Schematy blokowe ukªadów automatyki
|
|
- Robert Marcinkowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozdziaª 1 Schematy blokowe ukªadów automatyki Autorzy: Marcin Stachura 1.1 Algebra schematów blokowych Zasady przeksztaªcania schematów blokowych W celu uproszczenia wypadkowej transmitancji operatorowej regulatora, obiektu regulacji lub caªego ukªadu regulacji w przypadku, gdy skªada si on z kilku elementów ró»nie poª czonych, nale»y wyprowadzi zale»no±ci na transmitancj wypadkow. Ka»dy ukªad regulacji, niezale»nie od tego czy jest bardziej lub niej zªo»ony, mo»na rozªo»y na cz ±ci skªadaj ce si z elementów poª czonych szeregowo, równolegle, w ukªadzie ze sprz»eniem zwrotnym i równolegle z oddzielnymi wej±ciami lub wyj±ciami. Zasady przeksztaªcania schematów blokowych w celu ich uproszczenia i okre±lenia transmitancji ukªadu nazywane s algebr schematów blokowych. W tablicy 1.1, 1.2 przedstawiono zestawienie zasadniczych przykªadów takich przeksztaªce«. Ich znajomo± wystarcza do okre±lenia transmitancji dowolnie zªo»onego ukªadu. Transmitancj wypadkow du»ej liczby elementów ró»nie poª czonych znajduje si, w prostszych przypadkach, drog rozªo»enia ukªadu na cz ±ci proste. Jednak»e ta metoda wymaga du»ej przejrzysto±ci schematu blokowego, co przy bardziej zªo»onych ukªadach regulacji mo»e powodowa pewne trudno±ci. Dlatego w takich przypadkach najlepiej jest post powa nast puj co: 1. Dla ka»dego punktu w zªowego, do którego dochodzi kilka sygnaªów zestawia si, zgodnie z zasad superpozycji, równanie i z otrzymanego w ten sposób ukªadu równa«wyznacza si szukan transmitancj. 2. W ka»dym punkcie w zªowym wszystkie sygnaªy odchodz ce s wzajemnie sobie równe i jednocze±nie ka»dy z tych sygnaªów odchodz cych równa si sumie wszystkich sygnaªów przychodz cych. 1
2 Rysunek 1.1 Tablica podstawowych przeksztaªce«schematów blokowych, cze± a. 2
3 Rysunek 1.2 Tablica podstawowych przeksztaªce«schematów blokowych, cze± b. W przypadkach zªo»onych, gdy transmitancj ukªadu wyra»a si jako funkcj transmitancji jego elementów wprowadza si uproszczone oznaczenie transmitancji, np. zamiast G x (s) piszemy po prostu G x Przykªady zada«przykªad 1.1 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys Rozwi zanie: Rysunek 1.3 Ukªad poª cze«elementów do przykªadu 1.1 Šatwo zauwa»y, korzystaj c z tablicy 1.1,»e w prosty sposób mo»na wyznaczy dwie transmitancje zast pcze Z 1, Z 2 transmitancji G 2, G 3 (poz. 2. poª czenie równolegªe) oraz G 4, G 5 (poz. 3. sprz»enie zwrotne) (rys 1.4 ): 3
4 Rysunek 1.4 Wyznaczanie transmitancji zast pczych dla elementów o transmitancjach G 2, G 3 oraz G 4, G 5. Przy czym Z 1 = G 2 + G 3, natomiast Z 2 = G 4 1+G 4 G 5. Wyj±ciowy ukªad mo»na wi c przedstawi nast puj co: Rysunek 1.5 Zmodykowany ukªad poª cze«dla przykªadu 1.1 Nast pnie wyznaczana jest transmitancja zast pcza caªego ukªadu wyj±ciowego Z(z tablicy 1.1. poz. 1, poª czenie szeregowe, rys. 1.1 ), która wynosi b dzie: Z = G 1 Z 1 Z 2 = G 1G 4 (G 2 + G 3 ) 1 + G 4 G 5 (1.1) 4
5 Przykªad 1.2 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys Rozwi zanie: Rysunek 1.6 Ukªad poª cze«elementów do przykªadu 1.2. Podobnie jak w poprzednim przykªadzie (przykªad 1.1 ) wyznaczamy dwie transmitancje zast pcze Z 1, Z 2 transmitancji G 1, G 2 (poz. 1. poª czenie szeregowe) oraz G 3, G 4 (poz. 3. poª czenie równolegªe) (rys. 1.7 ): Rysunek 1.7 Wyznaczanie transmitancji zast pczych dla elementów o transmitancjach G 1, G 2 oraz G 3, G 4. Przy czym Z 1 = G 2 G 3, natomiast Z 2 = G 3 +G 4. Wyj±ciowy ukªad mo»na wi c przedstawi 5
6 nast puj co: Rysunek 1.8 Zmodykowany ukªad poª cze«dla przykªadu 1.2. Nast pnie wyznaczana jest transmitancja zast pcza caªego ukªadu wyj±ciowego Z(z tablicy 1.1. poz. 3, sprz»enie zwrotne, rys. 1.8 ), która wynosi b dzie: (1.2) Przykªad 1.3 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys.1.9. Rysunek 1.9 Ukªad poª cze«elementów do przykªadu 1.3. Rozwi zanie: W pierwszej kolejno±ci nale»y przenie± w zeª sumacyjny (1) za czªon o transmitancji G 1 (zgodnie z tablic 1.1. poz. 8, przesuni cie w zªa sumacyjnego za blok), otrzymuj c schemat jak na rys.1.10 : 6
7 Rysunek 1.10 Zmodykowany ukªad poª cze«dla przykªadu 1.3. Nast pnie nale»y przestawi kolejno± w zªów sumacyjnych (1) oraz (2) (zgodnie z tablic 1.1. poz. 4, zmiana kolejno±ci w zªów sumacyjnych), otrzymuj c schemat jak na rys.1.11 : Rysunek 1.11 Zmodykowany ukªad poª cze«dla przykªadu 1.3. Dzi ki zamianie w zªów sumacyjnych mo»na upro±ci uzyskany schemat do dwóch transmitancji zast pczych Z 1, Z 2, a nast pnie wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu (rys ) Rysunek 1.12 Zmodykowany ukªad poª cze«dla przykªadu
8 Transmitancja zast pcza b dzie miaªa posta : Przykªad 1.4 Z = Z 1 Z 2 = (G 1 + 1) 1 (1 G 1 ) = 1 + G 1 1 G 1 (1.3) Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys.1.4. Rysunek 1.13 Ukªad poª cze«elementów do przykªadu 1.4 W zadaniu tym, na pocz tek nale»y przesun w zeª informacyjny przy transmitancji G 3 za blok o transmitancji G 2 (zgodnie z tablic 1.1 poz. 10, przesuni cie w zªa informacyjnego za blok) rys. 1.4 A. Nast pnie wyznaczane s dwie transmitancje zast pcze Z 1, Z 2 dla elementów zaznaczonych na rys. 1.4 B. Wynosz one odpowiednio (sprz»enie zwrotne oraz poª czenie szeregowe patrz j.w.): ( ) 1 Z 1 = G 3 G2 + 1 = G 3 G (1.4) Z 2 = G G 2 (1.5) Uzyskano w ten sposób ukªad poª cze«jak na rys A, transmitancja zast pcza Z 3 wynosi: Z 3 = Z 1 Z 2 = ( ) G3 G2 + 1 = G 3G 2 + G 2 (1.6) G G 2 G G G 2 8
9 Rysunek 1.14 Zmodykowany ukªad poª cze«elementów do przykªadu 1.4 Rysunek 1.15 Zmodykowany ukªad poª cze«elementów do przykªadu 1.4. Krok drugi. Nast pnie dzielimy w zeª informacyjny transmitancji Z 3 na dwie cz ±ci (rys B). W kolejnym kroku przesuwamy w zeª sumacyjny oraz wyznaczamy dwie transmitancje zast pcze Z 4, Z 5 (rys A), które wynosz odpowiednio: Z 4 = G G 1 Z 3 = G G 1 G 3 G 2 G 2 2 +G 2 + G 2 1+G 2 (1.7) Z 5 = G 3G 2 G G 2 + G G (1.8) 9
10 Rysunek 1.16 Zmodykowany ukªad poª cze«elementów do przykªadu 1.4. Krok trzeci. Ostatecznie transmitancja zast pcza Z caªego ukªadu wynosi (rys B): Przykªad 1.5 Z = (Z 4 Z 5 ) + 1 (1.9) Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys Rysunek 1.17 Ukªad poª cze«elementów do przykªadu
11 Wskazówka: W podanym przykªadzie pro±ciej jest wyznaczy równania dla w zªów sumacyjnych A i B i analitycznie wyznaczy poszukiwan transmitancj zast pcz. W odniesieniu do w zªa sumacyjnego A sªuszne jest równanie: a w odniesieniu do w zªa sumacyjnego B równanie: v = vg 1 + xg 6 + yg 4 (1.10) Ruguj c z powy»szych równa«zmienn v otrzymuje si : Co jest szukan transmitancj zast pcz. y = yg 2 + xg 5 + vg 3 (1.11) y x = G 6 (1 G 2 ) + G 4 G 5 (1 G 1 ) (1 G 2 ) G 3 G 4 (1.12) 11
12 1.1.3 Zadania do samodzielnego rozwi zania Przykªad 1.6 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys. 1.6 Rysunek 1.18 Ukªad poª cze«elementów do przykªadu 1.6 Przykªad 1.7 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys Rysunek 1.19 Schemat poª cze«elementów do przykªadu
13 Przykªad 1.8 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys.1.20 Przykªad 1.9 Rysunek 1.20 Schemat poª cze«elementów do przykªadu 1.8. Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys.1.9 Rysunek 1.21 Schemat poª cze«elementów do przykªadu
14 Przykªad 1.10 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys Rysunek 1.22 Schemat poª cze«elementów do przykªadu 1.10 Przykªad 1.11 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys Rysunek 1.23 Schemat poª cze«elementów do przykªadu
15 Przykªad 1.12 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys Rysunek 1.24 Schemat poª cze«elementów do przykªadu 1.12 Przykªad 1.13 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys Rysunek 1.25 Schemat poª cze«elementów do przykªadu
16 Przykªad 1.14 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys Rysunek 1.26 Schemat poª cze«elementów do przykªadu 1.14 Przykªad 1.15 Wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu przedstawionego na rys Rysunek 1.27 Schemat poª cze«elementów do przykªadu
17 1.2 Schematy blokowe ukªadów automatyki Analizuj c ukªady automatyki pro±ciej jest wykorzystywa schematy blokowe ni» schematy technologiczne. Utworzenie schematu blokowego, skªadaj cego si z szeregu transmitancji operatorowych wymaga opisania poszczególnych zespoªów technologicznych odpowiednimi równaniami, a nast pnie wyznaczenia na tej podstawie transmitancji operatorowych. Wyznaczone transmitancje ukªadane s nast pnie w schemat blokowy, na podstawie, którego mo»na wyznaczy transmitancj zast pcz caªego ukªadu Przykªady zada«przykªad 1.16 Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj ukªadu elektrycznego przedstawionego na rys Wymuszeniem jest napi cie x, natomiast wyj±ciem obiektu napi cie oznaczone jako y. Rysunek 1.28 Schemat prostego ukªadu elektrycznego do przykªadu 1.16 Napi cie x mo»na okre±li jako: przy czym: x (t) = Ri (t) + y (t) (1.13) dy (t) i (t) = C dt (1.14) Z zale»no±ci (1.13 ), (1.14 ) mo»na wyznaczy równanie ró»niczkowe ukªadu: gdzie: T dy (t) dt + y (t) = x (t) (1.15) T = RC (1.16) Dziaªaj c na równanie (1.15 ) transformat Laplace'a otrzymujemy: T sy (s) + y (s) = x (s) y (s) (Ts + 1) = x (s) (1.17) 17
18 Transmitancja ukªadu wynosi wi c: G (s) = y (s) x (s) = 1 Ts + 1 (1.18) A jego schemat blokowy mo»na przedstawi nast puj co: Rysunek 1.29 Schemat blokowy ukªadu z rys Przykªad 1.17 Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys Wymuszeniem jest moment obrotowy M przyªo»ony do waªu wyj±ciem pr dko± k towa ω. Rysunek 1.30 Schemat prostego ukªadu mechanicznego do przykªadu Gdzie: M - moment obrotowy, φ - wspóªczynnik tarcia lepkiego, I- moment bezwªadno±ci, ω - pr dko± k towa. Z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego mo»na napisa,»e: A nast pnie,»e: dω (t) M (t) = I + φω (t) (1.19) dt Gdzie :T = I φ, k = 1 φ. I dω (t) + ω (t) = 1 dω (t) M (t) T + ω (t) = km (t) (1.20) φ dt φ dt Dziaªaj c na równanie (1.20 ) transformat Laplace'a otrzymujemy: T sω (s) + ω (s) = km (s) ω (s) (Ts + 1) = km (s) (1.21) 18
19 Transmitancja ukªadu wynosi wi c: G (s) = ω (s) M (s) = k Ts + 1 (1.22) A jego schemat blokowy mo»na przedstawi nast puj co: Rysunek 1.31 Schemat blokowy ukªadu z rys Przykªad 1.18 Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys Wymuszeniem jest przesuni cie x natomiast wyj±ciem przesuni cie y. Rysunek 1.32 Schemat prostego ukªadu mechanicznego do przykªadu Gdzie: c s - staªa spr»ysto±ci spr»yny, c t - staªa tªumienia tªumika pneumatycznego. Równanie siª przedstawionego ukªadu wygl da nast puj co: (x (t) y (t)) c s = c t dy (t) dt (1.23) Z równania (1.23 ) mamy: Gdzie: T = ct c s. c t dy (t) dy (t) + y (t) = x (t) T + y (t) = x (t) (1.24) c s dt dt 19
20 Dziaªaj c na równanie (1.24 ) transformat Laplace'a otrzymujemy: Transmitancja ukªadu wynosi wi c: Tsy (s) + y (s) = x (s) y (s) (Ts + 1) = x (s) (1.25) G (s) = y (s) x (s) = 1 Ts + 1 (1.26) A jego schemat blokowy mo»na przedstawi nast puj co: Rysunek 1.33 Schemat blokowy ukªadu z rys Przykªad 1.19 Przykªad ten zostaª zaczerpni ty z [?]. Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj ukªadu przedstawionego na rys Wymuszeniem jest nat»enie przepªywu cieczy Q 1 a wyj±ciem poziom cieczy w zbiorniku h. Rysunek 1.34 Schemat ukªadu regulacji automatycznej dla przykªadu Charakterystyka przetwornika pomiarowego (element oznaczony jako PP, na rys.1.34 ) wygl da nast puj co: 20
21 Rysunek 1.35 Charakterystyka przetwornika pomiarowego dla przykªadu W pierwszej kolejno±ci wyznaczona zostanie transmitancja obiektu regulacji. W stanach nieustalonych zmiany poziomu cieczy w zbiorniku mo»na opisa za pomoc zale»no±ci: dh (t) A dt = Q 1 Q 2 (1.27) Nat»enie przepªywu Q 2 mo»na obliczy z równania Bernoulli'ego dla poziomu lustra cieczy (1) oraz wypªywu ze zbiornika (2) mo»na zapisa nast puj co: Przyjmuj c v 1 = 0 oraz p 1 = p 2 otrzymuje si : v 2 1 2g + p 1 γ + h = v2 2 2g + p 2 γ + 0 (1.28) v 2 = Na podstawie równania ci gªo±ci przepªywu tzn.: 2gh (1.29) gdzie f - pole przekroju kanaªu zaworu. Q 2 = fv 2 (1.30) Nast pnie nale»y zlinearyzowa przedstawione równanie w wybranym punkcie pracy, oznaczonym h n, Q 1n, f n. W otoczeniu wybranego punktu pracy przyrosty zmiennych h oraz Q 2 zast puje si ich liniowymi aproksymacjami. Dla odró»nienia zapisu wszystkie przyrosty oznaczane s wi c poprzez dodanie symbolu : d h (t) A dt Przyrost Q 2 zast piony zostaje ró»niczk zupeªn : Q 2 = ( ) Q2 f + f n = Q 1 Q 2 (1.31) ( ) Q2 g h = 2gh f + f n h (1.32) h 2h n n 21
22 Zale»no± (1.31 ) mo»na wi c zapisa jako: Gdzie:T = A f n g 2hn T d h (t) dt 1, k 1 = f g, k 2 = 2hn n f n 2hn + h (t) = k 1 Q 1 (t) k 2 f (t) (1.33) Znak mo»e by pomini ty, przy jednoczesnym uwzgl dnieniu»e w zale»no±ci (1.31 ) wyst puj przyrosty poszczególnych warto±ci. T dh (t) dt + h (t) = k 1 Q 1 (t) k 2 f (t) (1.34) Dziaªaj c na zale»no± (1.34 ) transformat Laplace'a otrzymujemy: T sh (s) + h (s) = k 1 Q 1 (s) k 2 f (s) h (s) (T s + 1) = k 1 Q 1 (s) k 2 f (s) (1.35) Oznaczaj c Mo»na wyznaczy transmitancj obiektu regulacji: v (s) = k 1 Q 1 (s) k 2 f (s) (1.36) G OB (s) = h (s) v (s) = 1 T s + 1 (1.37) Przetwornik pomiarowy mo»na opisa jako obiekt bezinercyjny ze wzmocnieniem. Wzmocnienie przetwornika mo»na odczyta z jego charakterystyki (rys ). k PP = wy max wy min we max we min = 16mA 3m = 5.33mA m (1.38) Jako regulator przyjmijmy regulator typu PI o transmitancji: ( G R (s) = k p ) T i s (1.39) Wyj±ciem z regulatora jest sygnaª pr dowy o zakresie 4 20 ma, który podawany jest na ustawnik pozycyjny, który mo»na zamodelowa jako element bezinercyjny o wzmocnieniu k f Wynikowe pole przekroju otwarcia zaworu wynosi wi c b dzie: f = k f x (1.40) Wykorzystuj c zale»no±ci (1.36 ) (1.37 ) (1.38 ) (1.39 ) (1.40 ) mo»na narysowa schemat blokowy ukªadu regulacji automatycznej, przedstawionego na rys
23 Rysunek 1.36 [Tu wpisz Podpis rysunku. Uwaga: (1) Jedynie dla rysunków osadzonych w rozdziaªach. W pozostaªych dokumentach element ten mo»na usun zostanie on zignorowany.] gdzie: 1 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.36 ), 2 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.37 ), 3 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.38 ), 4 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.39 ), 5 - graczna reprezentacja zale»no±ci (1.40 ). Transmitancja zast pcza ukªadu wynosi zatem: G (s) = h (s) Q 1 (s) = k 1 Przykªad T s k ( T s+1 PPk f k 2 k Ti s+1 p T i s ) = k 1 T i s (T s + 1) T i s + k PP k f k 2 k p (T i s + 1) (1.41) Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys Wymuszeniem jest przesuni cie x, natomiast wyj±ciem przesuni cie y. Ci±nienia p 1, p 2 s staªe. 23
24 Rysunek 1.37 Schemat ukªadu mechanicznego do przykªadu Zauwa»my»e przesuni cie u mo»na zapisa jako sum przesuni u 1 oraz u 2 : u = u 1 u 2 (1.42) Przesuni cie u 1 mo»na wyznaczy, unieruchamiaj c punkt d¹wigni dla przesuni cia y: Rysunek 1.38 Sposób wyznaczenia przesuni cia u 1 : Šatwo mo»na zauwa»y (rys ),»e: x a + b = u 1 b u 1 = x b a + b Podobnie, u 2 mo»na wyznaczy, unieruchamiaj c punkt d¹wigni dla przesuni cia x: (1.43) 24
25 Rysunek 1.39 Sposób wyznaczenia przesuni cia u 2 : y a + b = u 2 a u 2 = y a a + b (1.44) Nast pnie, zauwa»my,»e dla staªych ci±nie«p 1, p 2, element zaznaczony na rys mo»na opisa nast puj ca zale»no±ci : T dy (t) dt + y (t) = ku (t) (1.45) Dziaªaj c na zale»no± (1.45 ) transformat Laplace'a otrzymujemy: T sy (s) + y (s) = ku (s) y (s) (Ts + 1) = ku (s) (1.46) St d transmitancja G (s) = y(s) u(s) wynosi: G (s) = y (s) u (s) = k Ts + 1 (1.47) Gdzie dla staªych ci±nie«p 1, p 2, T, k (p 1, p 2, A) 25
26 Rysunek 1.40 Wyznaczanie transmitancji zast pczej ukªadu elementów dla przykªadu Schemat blokowy ukªadu elementów z rys mo»na wi c przedstawi nast puj co: Rysunek 1.41 Schemat blokowy elementów z rys gdzie: 1 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.43 ), 2 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.44 ), 3 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.42 ), 4 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.46 ). Transmitancja zast pcza ukªadu przedstawionego na rys wynosi: Oznaczenia j.w. G z (s) = k Ts + 1 b (Ts + 1) (a + b) + u a a + b (Ts + 1) (a + b) (1.48) 26
27 1.2.2 Zadania do samodzielnego rozwi zania Przykªad 1.21 Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys Wymuszeniem jest siªa F, natomiast wyj±ciem przesuni cie y. Mas elementów oznaczono jako m, staª spr»ysto±ci spr»yny jako c s, natomiast wspóªczynnik tªumienia jako c t. Rysunek 1.42 Schemat mechaniczny do przykªadu Przykªad 1.22 Narysowa schemat blokowy ukªadu elektrycznego przedstawionego na rys Wymuszeniami s napi cia ¹ródªowe e 1 oraz e 2, natomiast wyj±ciem napi cie u na rezystancji R 3. Rysunek 1.43 Schemat elektryczny do przykªadu
28 Przykªad 1.23 Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys Wymuszeniem jest ci±nienie p, natomiast wyj±ciem przesuni cie y. Rysunek 1.44 Schemat mechaniczny do przykªadu Przykªad 1.24 Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys Wymuszeniem jest siªa F, natomiast wyj±ciem przesuni cie y. Rysunek 1.45 Schemat mechaniczny do przykªadu
29 Przykªad 1.25 Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj ukªadu przedstawionego na rys Wymuszeniem jest nat»enie przepªywu Q 1, natomiast wyj±ciem poziom cieczy h 2. Rysunek 1.46 Schemat ukªadu elementów do przykªadu Przykªad 1.26 Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj ukªadu regulacji przedstawionego na rys Wyj±ciem ukªadu jest k t obrotu waªu α. Regulator PID dziaªa (poprzez pomini ty element wykonawczy) na waª momentem obrotowym M. Na ukªad dziaªaj zakªócenia pod postaci momentu obci»enia M obc. Charakterystyka przetwornika pomiarowego (PP) zostaªa przedstawiona na rys Rysunek 1.47 Schemat ukªadu regulacji do przykªadu
30 Rysunek 1.48 Charakterystyka przetwornika pomiarowego do przykªadu Przykªad 1.27 Narysowa achemat blokowy, oraz wyznaczy transmitancj zast pcza ukªadu elementów przedstawionych na rys Wymuszeniem jest przesuni cie x, natomiast wyj±ciem przesuni cie y. Rysunek 1.49 Schemat ukªadu do przykªadu
31 Przykªad 1.28 Narysowa achemat blokowy, oraz wyznaczy transmitancj zast pcza ukªadu elementów przedstawionych na rys Wymuszeniem jest przesuni cie x, natomiast wyj±ciem przesuni cie y. Rysunek 1.50 Schemat ukªadu do przykªadu Wskazówka: Ci±nienie p k = k ˆx 31
32 Przykªad 1.29 Narysowa schemat blokowy oraz wyznaczy transmitancj pneumatycznego regulatora PID, przedstawionego na rys Wymuszeniem jest odchyªka regulacji e, wyj±ciem ci±nienie p k. Rysunek 1.51 Schemat pneumatycznego regulatora PID, do przykªadu Wskazówka: W przedstawionym regulatorze wyró»ni mo»na nast puj ce podzespoªy: kaskada steruj ca o staªej czasowej T i wspóªczynniku wzmocnienia k 1 dwie kaskady elastyczne zamkni te o staªych czasowych T d oraz T i ukªad d¹wigni o ramionach a, b, d, h Równianie kaskady steruj cej ma posta : T d p k (t) dt + p k (t) = k 1 φ (t) (1.49) 32
33 Przykªad 1.30 Narysowa achemat blokowy, oraz wyznaczy transmitancj zast pcza ukªadu elementów przedstawionych na rys Wymuszeniem jest przesuni cie x, natomiast wyj±ciem przesuni cie y. Rysunek 1.52 Schemat ukªadu do przykªadu
Przekształcanie schematów blokowych. Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:
Warszawa 2017 1 Cel ćwiczenia rachunkowego Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia: zasady budowy schematów blokowych układów regulacji automatycznej na podstawie równań operatorowych;
Bardziej szczegółowoOpis matematyczny ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór
Bardziej szczegółowoStabilno± ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Stabilno± ukªadów liniowych Autorzy: Bartªomiej Fajdek 1.1 Poj cia podstawowe Jednym z podstawowych wymogów stawianych ukªadom automatyki jest stabilno±. Istnieje wiele denicji stabilno±ci ukªadów
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoWICZENIE 2 Badanie podstawowych elementów pasywnych
Laboratorium Elektroniki i Elektrotechniki Katedra Sterowania i In»ynierii Systemów www.control.put.poznan.pl 1 Politechnika Pozna«ska WICZENIE 2 Badanie podstawowych elementów pasywnych Celem wiczenia
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoLXIV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
Za zadanie D mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Maj c do dyspozycji: LXIV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA generator napi cia o przebiegu sinusoidalnym o ustalonej amplitudzie
Bardziej szczegółowoTeoria Sterowania w Zadaniach I. Janusz Nowakowski i Piotr Suchomski
Teoria Sterowania w Zadaniach I Janusz Nowakowski i Piotr Suchomski 18 pa¹dziernika 2006 2 Spis rzeczy 1 Liniowe równanie ró»niczkowe zwyczajne o staªych wspóªczynnikach jako podstawowy model ukªadu dynamicznego.
Bardziej szczegółowoBadanie silnika asynchronicznego jednofazowego
Badanie silnika asynchronicznego jednofazowego Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie budowy i zasady funkcjonowania silnika jednofazowego. W ramach ćwiczenia badane są zmiany wartości prądu rozruchowego
Bardziej szczegółowoBifurkacje. Ewa Gudowska-Nowak Nowak. Plus ratio quam vis
Bifurkacje Nowak Plus ratio quam vis M. Kac Complex Systems Research Center, M. Smoluchowski Institute of Physics, Jagellonian University, Kraków, Poland 2008 Gªówna idea.. Pozornie "dynamika" ukªadów
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoPodstawowe czªony dynamiczne. Odpowied¹ impulsowa. odpowied¹ na pobudzenie delt Diraca δ(t) przy zerowych warunkach pocz tkowych, { dla t = 0
CHARAKTERYSTYKI W DZIEDZINIE CZASU I CZ STOTLIWO CI Podstawowe czªony dynamiczne Opis w dziedzinie czasu: Odpowied¹ impulsowa g(t) = L 1 [G(s)] odpowied¹ na pobudzenie delt Diraca δ(t) przy zerowych warunkach
Bardziej szczegółowoRys.2 N = H (N cos = N) : (1) H y = q x2. y = q x2 2 H : (3) Warto± siªy H, która mo»e by uto»samiana z siª naci gu kabla, jest równa: z (3) przy
XXXV OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody III stopnia Rozwi zania zada«dla grupy mechaniczno-budowlanej Rozwi zanie zadania Tzw. maªy zwis, a wi c cos. W zwi zku z tym mo»na przyj,»e Rys. N H (N cos N)
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoZasilacz stabilizowany 12V
Zasilacz stabilizowany 12V Marcin Polkowski marcin@polkowski.eu 3 grudnia 2007 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 2 Wykonane pomiary 2 2.1 Charakterystyka napi ciowa....................................... 2
Bardziej szczegółowoi, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Bardziej szczegółowoZastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a. Przykªad 1 Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe. ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi
Zastosowanie przeksztaªcenia Laplace'a Przykªad Rozwi» jednorodne równanie ró»niczkowe liniowe ÿ(t) + 5ẏ(t) + 6y(t) = 0 z warunkami pocz tkowymi y(0 + ) = a, ẏ(0 + ) = b. Rozwi zanie Dokonuj c transformacji
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoElektrostatyka. Prawo Coulomba. F = k qq r r 2 r, wspóªczynnik k = 1 = N m2
Elektrostatyka Prawo Coulomba F = k qq r r 2 r, wspóªczynnik k = 1 N m2 4πε = 9 109 C 2 gdzie: F - siªa z jak ªadunek Q dziaªa na q, r wektor poªo»enia od ªadunku Q do q, r = r, Przenikalno± elektryczna
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoDynamika Bryªy Sztywnej
Dynamika Bryªy Sztywnej Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 27.10.2016 Podstawy dynamiki bryªy sztywnej Bryªa sztywna to ukªad cz stek o niezmiennych wzajemnych odlegªo±ciach. Adam Szmagli«ski
Bardziej szczegółowo1 Trochoidalny selektor elektronów
1 Trochoidalny selektor elektronów W trochoidalnym selektorze elektronów TEM (Trochoidal Electron Monochromator) stosuje si skrzy»owane i jednorodne pola: elektryczne i magnetyczne. Jako pierwsi taki ukªad
Bardziej szczegółowoModelowanie ukªadów dynamicznych
1 Modelowanie ukªadów dynamicznych PRZYKŠAD 1 - Zbiornik Na rys. 1 pokazany jest schemat zbiornika przepªywowego. Rysunek 1: Schemat zbiornika przepªywowego. Zakªada si, i»: do zbiornika wpªywa i wypªywa
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowoLekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz
Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoKoªo Naukowe Robotyków KoNaR. Plan prezentacji. Wst p Rezystory Potencjomerty Kondensatory Podsumowanie
Plan prezentacji Wst p Rezystory Potencjomerty Kondensatory Podsumowanie Wst p Motto W teorii nie ma ró»nicy mi dzy praktyk a teori. W praktyce jest. Rezystory Najwa»niejsze parametry rezystorów Rezystancja
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 6 - Miejsce i rola regulatora w układzie regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 6 - Miejsce i rola regulatora w układzie regulacji Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Regulacja zadajnik regulator sygnał sterujący (sterowanie) zespół wykonawczy przetwornik pomiarowy
Bardziej szczegółowoLekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Bardziej szczegółowoWykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007
Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowo1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 4 - algebra schematów blokowych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Schemat blokowy Schemat blokowy (strukturalny): przedstawia wzajemne powiązania pomiędzy poszczególnymi zespołami
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoWykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Bardziej szczegółowoAnaliza obserwowalno±ci
Analiza obserwowalno±ci Niech ẋ(t) = Ax(t), y(t) = Cx(t), x(0) R n gdzie A R n n oraz C R q n. Para (A, C) jest caªkowicie obserwowalna je»eli x(0) znajomo± funkcji y : [0, t f ] R q (wyj±cia obiektu)
Bardziej szczegółowoAutomatyzacja. Ćwiczenie 9. Transformata Laplace a sygnałów w układach automatycznej regulacji
Automatyzacja Ćwiczenie 9 Transformata Laplace a sygnałów w układach automatycznej regulacji Rodzaje elementów w układach automatyki Blok: prostokąt ze strzałkami reprezentującymi jego sygnał wejściowy
Bardziej szczegółowoAutomatyka i sterowania
Automatyka i sterowania Układy regulacji Regulacja i sterowanie Przykłady regulacji i sterowania Funkcje realizowane przez automatykę: regulacja sterowanie zabezpieczenie optymalizacja Automatyka i sterowanie
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoWzmacniacz Operacyjny
Wzmacniacz Operacyjny Marcin Polkowski marcin@polkowski.eu 18 grudnia 2007 SPIS TRE CI SPIS RYSUNKÓW Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 5 1.1 Ukªad µa741................................................. 5 2 Wzmacniacz
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoGranular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY PB 2 PB 1 Projekt z wyznaczania reduktów zbioru Liczba osób realizuj cych projekt: 1-2 osoby 1. Wczytanie danych w formatach arf,
Bardziej szczegółowoListy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowo1 Elektrostatyka. 1.1 Wst p teoretyczny
Elektrostatyka. Wst p teoretyczny Dwa ªadunki elektryczne q i q 2 wytwarzaj pole elektryczne i za po±rednictwem tego pola odziaªuj na siebie wzajemnie z pewn siª. Je»eli pole elektryczne wytworzone jest
Bardziej szczegółowoPrzykªad obliczeniowy dla sko«czenie elementowego sformuªowania metody Galerkina
Przykªad obliczeniowy dla sko«czenie elementowego sformuªowania metody Galerkina Anna Górska, Magdalena Kici«ska Abstrakt - Artykuª ma na celu przybli»enie procesu modelowania przepªywu ruchu ulicznego
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/ Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018
Bardziej szczegółowoSpis zawartości Lp. Str. Zastosowanie Budowa wzmacniacza RS485 Dane techniczne Schemat elektryczny
Spis zawartości Lp. Str. 1. Zastosowanie 2 2. Budowa wzmacniacza RS485 3 3. Dane techniczne 4 4. Schemat elektryczny 5 5. Konfiguracja sieci z wykorzystaniem wzmacniacza RS485 6 6. Montaż i demontaż wzmacniacza
Bardziej szczegółowoLekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 4 - algebra schematów blokowych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 4 - algebra schematów blokowych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Schemat blokowy Schemat blokowy (strukturalny): przedstawia wzajemne powiązania pomiędzy poszczególnymi zespołami
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoUczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnaªów
Przetwarzanie sygnaªów Laboratorium 1 - wst p do C# Dawid Poªap Przetwarzanie sygnaªów Pa¹dziernik, 2018 1 / 17 Czego mo»na oczekiwa wzgl dem programowania w C# na tych laboratoriach? Dawid Poªap Przetwarzanie
Bardziej szczegółowoANALOGOWE UKŁADY SCALONE
ANALOGOWE UKŁADY SCALONE Ćwiczenie to ma na celu zapoznanie z przedstawicielami najważniejszych typów analogowych układów scalonych. Będą to: wzmacniacz operacyjny µa 741, obecnie chyba najbardziej rozpowszechniony
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 7 - obiekty regulacji Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Obiekty regulacji Obiekt regulacji Obiektem regulacji nazywamy proces technologiczny podlegający oddziaływaniu zakłóceń, zachodzący
Bardziej szczegółowoWZMACNIACZ OPERACYJNY - ZASTOSOWANIA LINIOWE
Cel wiczenia: WZMACNIACZ OPERACYJNY - ZASTOSOWANIA LINIOWE praktyczne wykorzystanie techniki ujemnego sprz»enia zwrotnego, do±wiadczalna werykacja parametrów zaprojektowanego wcze±niej wzmacniacza napi
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki
Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoElementy pneumatyczne
POLITECHNIKA LSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INYNIERII RODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZDZE ENERGETYCZNYCH Elementy pneumatyczne Laboratorium automatyki (A 3) Opracował: dr in. Jacek Łyczko Sprawdził:
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoP 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6
XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem
Bardziej szczegółowoInterpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM STEROWANIE SILNIKA KROKOWEGO
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY Zakład Cybernetyki i Elektroniki LABORATORIUM TECHNIKA MIKROPROCESOROWA STEROWANIE SILNIKA KROKOWEGO Opracował: mgr inŝ. Andrzej Biedka
Bardziej szczegółowoTechnika regulacji automatycznej
Technika regulacji automatycznej Wykład 2 Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 56 Plan wykładu Schematy strukturalne Podstawowe operacje na schematach
Bardziej szczegółowoLegalna ±ci ga z RRI 2015/2016
Legalna ±ci ga z RRI 205/206 Równania ró»niczkowe pierwszego rz du sprowadzalne do równa«o zmiennych rozdzielonych a) Równanie postaci: = f(ax + by + c), Równanie postaci: = f(ax + by + c), () wprowadzamy
Bardziej szczegółowoKinetyczna teoria gazów
Kinetyczna teoria gazów Gaz doskonaªy 1. Cz steczki gazu wzajemnie na siebie nie dziaªaj, a» do momentu zderzenia 2. Rozmiary cz steczek mo»na pomin, traktuj c je jako punkty Ka»da cz steczka gazu porusza
Bardziej szczegółowoProgramowanie wspóªbie»ne
1 Zadanie 1: Bar Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 6 monitory cz. 2 Napisz monitor Bar synchronizuj cy prac barmana obsªuguj cego klientów przy kolistym barze z N stoªkami. Ka»dy klient realizuje nast
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoSpis tre±ci. Plan. 1 Pochodna cz stkowa. 1.1 Denicja Przykªady Wªasno±ci Pochodne wy»szych rz dów... 3
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 2 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Plan wicze«1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu
Bardziej szczegółowoa) f : R R R: f(x, y) = x 2 y 2 ; f(x, y) = 3xy; f(x, y) = max(xy, xy); b) g : R 2 R 2 R: g((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 y 1 x 2 y 2 ;
Zadania oznaczone * s troch trudniejsze, co nie oznacza,»e trudne.. Zbadaj czy funkcjonaª jest dwuliniowy, symetryczny, antysymetryczny, dodatniookre±lony: a) f : R R R: f(x, y) = x y ; f(x, y) = 3xy;
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoModel obiektu w JavaScript
16 marca 2009 E4X Paradygmat klasowy Klasa Deniuje wszystkie wªa±ciwo±ci charakterystyczne dla wybranego zbioru obiektów. Klasa jest poj ciem abstrakcyjnym odnosz cym si do zbioru, a nie do pojedynczego
Bardziej szczegółowoNAP D I STEROWANIE PNEUMATYCZNE
NAP D I STEROWANIE PNEUMATYCZNE ZESTAW WICZE LABORATORYJNYCH przygotowanie: dr in. Roman Korzeniowski Strona internetowa przedmiotu: www.hip.agh.edu.pl wiczenie Temat: Układy sterowania siłownikiem jednostronnego
Bardziej szczegółowo