Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia
|
|
- Wacława Marcinkowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013
2 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N - liczebność populacji - pojemność środowiska N(t) - zagęszczenie populacji w chwili t N(t τ) - liczba osobników, które w chwili t są w wieku τ Ṅ - per capita, względy przyrost liczebności N populacji Procesy z Sposobem wprowadzenia struktury wieku jest rozpatrywanie równań różniczkowych z opóźnieniem.
3 : per capita jest funkcją liniową wielkości populacji N(t) w danej chwili t rozmnażają się tylko te osobniki, które są w ustalonym w wieku τ Procesy z szybkość zmian per capita zależy od liczebności osobników w wieku τ w chwili t, a zatem od N(t τ) funkcja liniowa jest funkcją malejąca
4 Procesy z Przy takich założeniach równanie na przyrost per capita przyjmuje postać: 1 N(t τ) N(t)Ṅ(t)=r(1- ), W szczególności równanie logistyczne zaproponowane przez G. E. Hutchinsona w 1948 r. zapiszemy jako Istnienie i Jednoznaczność Nieujemność Ṅ(t)=rN(t)(1- N(t τ) )
5 zależności rozwiązań równania 1 od N(t)Ṅ(t)=r(1-N(t τ) wielkości opóźnienia τ > 0 ) Zajmiemy się najpierw omówieniem podstawowych własności, takich jak istnienie, jednoznaczność, nieujemność rozwiązań dla nieujemnego warunku początkowego. Niech: Równanie będzie autonomiczne N(0) = N 0 - początkowa liczebność populacji N 0 : [ τ, 0] R + - funkcja początkowa określona na przedziale [ τ, 0] funkcja jest ciągła, t [0, τ] Procesy z Istnienie i Jednoznaczność Nieujemność
6 Dowód istnienia i jednoznaczności rozwiązania Niech, N(t)Ṅ(t)=r(1-1 N 0(t τ) ln N(t) N 0 (0) =rt- r t τ τ ) N 0 (s)ds N(t) = N 0 (0)exp[(rt r ) t τ N 0 (s)ds] dla t [0, τ] Oznaczmy otrzymane ( rozwiązanie przez) N 1 (t) = N 0 (0) exp rt r t τ N 0 (s)ds dla t [0, τ] Teraz zastosujemy metodę indukcji matematycznej. Załóżmy, że znamy rozwiązanie N k (t) na przedziale [(k 1)τ, kτ] i znajdźmy rozwiązanie na kolejnym przedziale N k+1 (t) = N k (kτ)exp dla ( t [kτ, (k + 1)τ]. τ τ r(t kτ) r t τ (k 1)τ N k (s)ds ) Procesy z Istnienie i Jednoznaczność Nieujemność
7 Procesy z Lemat 1 Rozwiązania równania Ṅ(t) = rn(t) ( ) 1 N(t τ) są nieujemne dla dowolnej ciągłej nieujemnej funkcji początkowej φ: [ τ,0] R + Dowód: Dla odcinka [0, τ] ( mamy rozwiązanie ) postaci N(t) = φ(0)exp rt r t τ φ(s)ds dla t [0, τ], τ które jest oczywiście nieujemne dla φ(0) 0. Stąd N(τ) 0, gdyż stanowi ona wartość początkową dla następnego kroku metody kroków. Istnienie i Jednoznaczność Nieujemność
8 Załóżmy, że mamy nieujemne rozwiązanie N(t) określone na odcinku [nτ, (n + 1)τ] Wtedy na odcinku [(n + 1)τ, (n + 2)τ] rozwiązanie można zapisać w postaci: N(t) = N((n + 1)τ)exp ( czyli jest nieujemne. r(t (n + 1)τ) r t τ nτ N(s)ds Zatem na mocy indukcji matematycznej pokazaliśmy, że rozwiązanie równania są nieujemne dla wszystkich t 0, o ile funkcja początkowa jest nieujemna. ) Procesy z Istnienie i Jednoznaczność Nieujemność
9 Procesy z dla równania są takie same jak w przypadku równania bez opóźnienia, gdyż są to rozwiązania postaci N(t)=const, zatem nie zależą od czasu, czyli także od opóźnienia. Metoda linearyzacji polega na dokonaniu zamiany zmiennych w taki sposób, aby badane rozwiązanie stacjonarne stało się rozwiązaniem zerowym, wyróżnieniu w prawej stronie równania części liniowej, sprawdzeniu własności części nieliniowej i zbadaniu wartości własnych równania zlinearyzowanego. Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu
10 Procesy z rozwiązań równania logistycznego Niech N będzie rozwiązaniem stacjonarnym. Stąd: 0 = r N(1 N ), czyli N = 0 albo N =. Wprowadzamy nową zmienną x(t), która oznacza odchylenie od stanu stacjonarnego, N(t) = N + x(t), przy czym zakładamy, że x(t) < ε i pomijamy wyrazy rzędu ε 2. Stąd: ẋ(t) = r( N + x(t)) ( 1 N+x(t τ) ) Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu
11 Procesy z Linearyzacja dla stanu stacjonarnego N = 0 ẋ(t) = r( N + x(t)) ( 1 N+x(t τ) ) dla N = 0. Otrzymujemy: ẋ(t) = rx(t)(1 x(t τ) ) ẋ(t) = rx(t) rx(t)x(t τ). Zatem równanie po linearyzacji ma postać: ẋ = rx(t) Część nieliniowa dla tego równania jest równa: f 0 = rx(t)x(t τ) Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu
12 Część liniowa tj. ẋ(t) = rx(t), ma jedną wartość własną r = 0, ale z założenia r > 0 Część nieliniowa tj. f 0 = (x(t), x(t τ)) = r x(t)x(t τ) Sprawdźmy założenia twierdzenia o linearyzacji. f f 0 (0, 0) = 0; 0 = r x(t τ); f 0 = r x(t); czyli x(t) x(t τ) obie funkcje zerują się w punkcje (0, 0) Zatem równanie stacjonarne N = 0 jest niestabilne i nie zależy od opóźnienia. Procesy z Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu
13 Procesy z Linearyzacja dla stanu stacjonarnego N = ẋ(t) = r( N + x(t)) ( 1 N+x(t τ) ) dla N = Otrzymujemy: ẋ(t) = r( + x(t)(1 +x(t τ) ) ẋ(t) = (r + rx(t))( x(t τ) ) ẋ(t) = rx(t τ) r x(t)x(t τ) Zatem równanie po linearyzacji ma postać: ẋ(t) = rx(t τ) Część nieliniowa dla tego równania jest równa: f k = rx(t)x(t τ) = f 0, spełnia założenia o linearyzacji. Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu
14 Dla równania: ẋ(t) = rx(t τ) wyznaczę równanie charakterystyczne. Szukam rozwiązań postaci wykładniczej tj. x(t) = x 0 e λt ẋ(t) = λx 0 e λt x(t τ) = x 0 e λ(t τ) Zatem równanie charakterystyczne przyjmuje postać: Procesy z Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu λx 0 e λt = rx 0 e λ(t τ) λ = re λτ
15 Procesy z ryterium Michajłowa pozwala stwierdzić, że jeśli pseudowielomian charakterystyczny W (λ) nie ma zer na osi urojonej to odpowiadające mu rozwiązanie stacjonarne jest asymptotycznie stabilne, czyli wszystkie wartości własne mają ujemne części rzeczywiste, jeśli argument wektora W (iω) wzrasta o π przy zmianie ω od 0 do. 2 rzywą, którą zakreśla w przestrzeni zespolonej wektor W (iω) nazywamy hodografem Michajłowa Pseudowielomian charakterystyczny jest postaci: Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu
16 psudowielomianu Pokażemy, że N = jest stabilne gdy rτ < π 2 i niestabilne w pozostałych przypadkach. Zauważmy, że dla τ = 0 mamy λ = r < 0. Stąd dla małych opóźnień stan N = pozostaje stabilny. Rozważmy: W (ωi) = RW (ωi) + IW (ωi) dla τ > 0 RW (ωi) = r cos(ωτ) IW (ωi) = ω r sin(ωτ) Procesy z Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu Ponieważ W (0) = RW (0) = r, więc argument początkowy jest równy 0
17 Rozważmy dwa przypadki: Procesy z 1 τ < 1 r 2 τ > 1 r 1 Jeśli τ < 1 r to IW (ωi) rośnie gdy ω zmienia się od 0 do,bo lim IW (ωi) = lim ω r sin(ωτ) = 0 ω 0 ω 0 lim IW (ωi) = lim ω r sin(ωτ) = ω ω Natomiast RW (ωi) = rcos(ωτ) [ r, r], gdyż cos(ωτ) [ 1, 1]. Wobec tego argw (ωi) także oscyluje, przy czym jego wartości są coraz bliższe π. 2 Zatem przyrost argw (ωi) = π co dowodzi 2 stabilności. Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu
18 2 Jeśli τ > 1 r IW (ωi) również zaczyna oscylować i hodograf może przeciąć oś rzeczywistą. Niech punktem przecięcia będzie takie ω,że IW ( ωi) = ω rsin( ωτ), RW ( ωi) = 0 rcos( ωτ) = 0 ωτ = π + kπ, gdzie k N 2 ω = π + kπ 2τ τ sin( ωτ) = 1 dla k = 2n + 1, n N sin( ωτ) = 1 dla k = 2n, n N Stąd: Procesy z Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu IW ( ωi) = π + 2kπ r 2τ τ IW ( ωi) = 3π + 2kπ + r 2τ τ
19 Procesy z Widzimy, że I(ωi) > 0 dla wszystkich k, jeśli jest dodatnie dla k = 0, co prowadzi do nierówności rτ < π 2 W punkcie τ = π 2r ryterium Michajłowa ani tw. o linearyzacji nie możemy zastosować, ale można zastosować bifrukcje Hopfa w jej wyniku pojawiają się nietrywialne rozwiązania okresowe o okresie 2π ω k = 2π r. Skoro rozwiązania są okresowe to w ptk. τ = π 2r nie ma stabilności. Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu
20 Procesy z Reasumując: Rozwiązanie N = 0 jest niestabilne rozwiązanie stacjonarne N = jest globalnie stabilne Na początku występują oscylacje gasnące w ptk τ = π 2r następuje destabilizacja i otrzymujemy oscylacje niegasnące wzrost opóźnienia powoduje wzrost amplitudy, która stabilizuje się z czasem Linearyzacja dla N = ryterium Michajłowa psudowielomianu
21 Procesy z rozwiązań równania logistycznego z opóźnieniem dla różnych wartości opóźnienia. Linearyzacja dla N Linearyzacja dla N =0 = ryterium Michajłowa psudowielomianu
22 Procesy z
1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście
Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
PAKIET MathCad - Część III
Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad
40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA
ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia
Projektowanie bazy danych
Projektowanie bazy danych Pierwszą fazą tworzenia projektu bazy danych jest postawienie definicji celu, założeo wstępnych i określenie podstawowych funkcji aplikacji. Każda baza danych jest projektowana
PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Joanna Kisielińska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie
1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 2007 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Kisielińska Szkoła Główna
Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x
Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca
Matematyka dla liceum/funkcja liniowa
Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa
Kurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część modelowanie, drgania swobodne Poniższe materiały
Podstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania
WYKŁAD 8 Reprezentacja obrazu Elementy edycji (tworzenia) obrazu Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania Klasy obrazów Klasa 1: Obrazy o pełnej skali stopni jasności, typowe parametry:
Spis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona
Spis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona.............. 3 3.1. Równanie sine-gordona.......................... 3 3.1.1. Rozwiązania dla fali biegnącej................... 7 3.2. Równanie
Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale"
Ćwiczenie: "Ruch harmoniczny i fale" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia:
7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód
Metody analizy funkcji przeżycia
Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy
Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych
Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do
Optyka geometryczna i falowa
Pojęcie podstawowe: promień świetlny. Optyka geometryczna i alowa Podstawowa obserwacja: jeżeli promień świetlny pada na granicę dwóch ośrodków to: ulega odbiciu na powierzchni granicznej za!amaniu przy
K P K P R K P R D K P R D W
KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 259, 2011. Anna Szymańska *
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 59, * WPŁYW TYPU ROZKŁADU WIELKOŚCI SZKÓD NA WARTOŚĆ SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNIKACYJNYCH OC. TEORETYCZNE ZASADY KALKULACJI
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Plan wykładu. Uwagi ogólne i definicje (1)
Plan wykładu Wprowadzenie Elementy elektroniczne w obudowach SO, CC i QFP Elementy elektroniczne w obudowach BGA i CSP Montaż drutowy i flip-chip struktur nie obudowanych Tworzywa sztuczne i lepkospręż
PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG
PRÓG RENTOWNOŚCI i PRÓG WYPŁACALNOŚCI (MB) Próg rentowności (BP) i margines bezpieczeństwa Przychody Przychody Koszty Koszty całkowite Koszty stałe Koszty zmienne BP Q MB Produkcja gdzie: BP próg rentowności
P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6
XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem
Projekty uchwał XXIV Zwyczajnego Walnego Zgromadzenia POLNORD S.A.
Projekty uchwał POLNORD S.A. w sprawie zatwierdzenia sprawozdania Zarządu z działalności Spółki za rok 2014 oraz zatwierdzenia sprawozdania finansowego Spółki za rok obrotowy 2014 Na podstawie art. 393
MATEMATYKA 9. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 2017/2018 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 9 FUNKCJE WYKŁADNICZE, LOGARYTMY Dla dowolnej liczby a > 0, liczby
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9
USTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity)
Dz.U.98.21.94 1998.09.01 zm. Dz.U.98.113.717 art. 5 1999.01.01 zm. Dz.U.98.106.668 art. 31 2000.01.01 zm. Dz.U.99.99.1152 art. 1 2000.04.06 zm. Dz.U.00.19.239 art. 2 2001.01.01 zm. Dz.U.00.43.489 art.
Automatyka. Etymologicznie automatyka pochodzi od grec.
Automatyka Etymologicznie automatyka pochodzi od grec. : samoczynny. Automatyka to: dyscyplina naukowa zajmująca się podstawami teoretycznymi, dział techniki zajmujący się praktyczną realizacją urządzeń
Leasing regulacje. -Kodeks cywilny umowa leasingu -UPDOP, UPDOF podatek dochodowy -ustawa o VAT na potrzeby VAT
Leasing Leasing regulacje -Kodeks cywilny umowa leasingu -UPDOP, UPDOF podatek dochodowy -ustawa o VAT na potrzeby VAT Przepisy dotyczące ewidencji księgowej: -UoR, art. 3, ust. 4, pkt. 1-7 oraz ust. 5
Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017
Załącznik Nr 2 do uchwały Nr V/33/11 Rady Gminy Wilczyn z dnia 21 lutego 2011 r. w sprawie uchwalenia Wieloletniej Prognozy Finansowej na lata 2011-2017 Objaśnienia do Wieloletniej Prognozy Finansowej
Prezentacja dotycząca sytuacji kobiet w regionie Kalabria (Włochy)
Prezentacja dotycząca sytuacji kobiet w regionie Kalabria (Włochy) Położone w głębi lądu obszary Kalabrii znacznie się wyludniają. Zjawisko to dotyczy całego regionu. Do lat 50. XX wieku przyrost naturalny
Dokumentacja Techniczna Zbiorniki podziemne Monolith
Dokumentacja Techniczna Zbiorniki podziemne Monolith Monolit h DORW2045 07.04.2009 1 / 11 1. Lokalizacja 1.1 Lokalizacja względem budynków Nie wolno zabudowywać terenu nad zbiornikiem. Minimalną odległość
Umowa o pracę zawarta na czas nieokreślony
Umowa o pracę zawarta na czas nieokreślony Uwagi ogólne Definicja umowy Umowa o pracę stanowi dokument stwierdzający zatrudnienie w ramach stosunku pracy. Według ustawowej definicji jest to zgodne oświadczenie
WYMAGANIA EDUKACYJNE SPOSOBY SPRAWDZANIA POSTĘPÓW UCZNIÓW WARUNKI I TRYB UZYSKANIA WYŻSZEJ NIŻ PRZEWIDYWANA OCENY ŚRÓDROCZNEJ I ROCZNEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE SPOSOBY SPRAWDZANIA POSTĘPÓW UCZNIÓW WARUNKI I TRYB UZYSKANIA WYŻSZEJ NIŻ PRZEWIDYWANA OCENY ŚRÓDROCZNEJ I ROCZNEJ Anna Gutt- Kołodziej ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI Podczas pracy
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)
Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu
DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA ŁÓDZKIEGO
DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA ŁÓDZKIEGO Łódź, dnia 20 kwietnia 2016 r. Poz. 1809 UCHWAŁA NR XVIII/114/2016 RADY GMINY JEŻÓW z dnia 30 marca 2016 r. w sprawie zasad wynajmowania lokali wchodzących w skład
7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka
7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka Oczekiwane przygotowanie informatyczne absolwenta gimnazjum Zbieranie i opracowywanie danych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Uczeń: wypełnia komórki
Aby ułatwić współdzielenie oferty noclegowej w różnych obiektach oraz agregatorach ofert i zestandaryzować ten proces
Specyfikacja formatu IOF dla Bookingu Cel: Aby ułatwić współdzielenie oferty noclegowej w różnych obiektach oraz agregatorach ofert i zestandaryzować ten proces Uwagi: IOF dla Bookingu składa się z części
Kratownice Wieża Eiffel a
Kratownice Wieża Eiffel a Kratownica jest to konstrukcja nośna, składająca się z prętów połączonch ze sobą w węzłach. Kratownica może bć: 1) płaska, gd wszstkie pręt leżą w jednej płaszczźnie, 2) przestrzenna,
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Uniwersytet Warszawski Organizacja rynku dr Olga Kiuila LEKCJA 12
LEKCJA 12 KOSZTY WEJŚCIA NA RYNEK Inwestując w kapitał trwały zwiększamy pojemność produkcyjną (czyli maksymalną wielkość produkcji) i tym samym możemy próbować wpływać na decyzje konkurencyjnych firm.
SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA ROK OBROTOWY 2012 STOWARZYSZENIE PRZYJACIÓŁ OSÓB NIEPEŁNOSPRAWNYCH UŚMIECH SENIORA
SPRAWOZDANIE FINANSOWE ZA ROK OBROTOWY 2012 STOWARZYSZENIE PRZYJACIÓŁ OSÓB NIEPEŁNOSPRAWNYCH UŚMIECH SENIORA Z SIEDZIBĄ: 27-600 SANDOMIERZ UL. CZYŻEWSKIEGO 1 NIP 864-194-95-41 REGON 260625626 NR KRS 0000424547
Zagadnienia transportowe
Mieczysław Połoński Zakład Technologii i Organizacji Robót Inżynieryjnych Wydział Inżynierii i Kształtowania Środowiska SGGW Zagadnienia transportowe Z m punktów odprawy ma być wysłany jednorodny produkt
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem (Wpisuje zdaj cy przed rozpocz ciem pracy) KOD ZDAJ CEGO MMA-RG1P-01 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 10 minut ARKUSZ II MAJ ROK 00 Instrukcja dla
2. Generatory liczb (pseudo)losowych
http://www.kaims.pl/~robert/miss/ Zmienne i rozkłady Znane rozkłady Wartość średnia i wariancja Niech X będzie zmienną losową, tj. funkcją odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω w zbiór liczb
x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n )
*** Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n ) p, x = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p n x n cena koszyka x Zbiór wszystkich koszyków, na jakie sta
WYJAŚNIENIA. Renowację kanalizacji sanitarnej w ramach Projektu Rozbudowa i modernizacja systemu kanalizacyjnego Miasta Konina Etap II.
Konin, dnia 18.12.2013r. Dotyczy: przetargu nieograniczonego na: WYJAŚNIENIA Renowację kanalizacji sanitarnej w ramach Projektu Rozbudowa i modernizacja systemu kanalizacyjnego Miasta Konina Etap II. Nr
NOWELIZACJA USTAWY PRAWO O STOWARZYSZENIACH
NOWELIZACJA USTAWY PRAWO O STOWARZYSZENIACH Stowarzyszenie opiera swoją działalność na pracy społecznej swoich członków. Do prowadzenia swych spraw stowarzyszenie może zatrudniać pracowników, w tym swoich
Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07
Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07 2 Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowo-wytwórczej) Podatek przemysłowy (lokalny podatek
jest częściowe pokrycie wydatków związanych z wychowaniem dziecka, w tym z opieką nad nim i zaspokojeniem jego potrzeb życiowych.
Praktyczny poradnik Celem świadczenia wychowawczego jest częściowe pokrycie wydatków związanych z wychowaniem dziecka, w tym z opieką nad nim i zaspokojeniem jego potrzeb życiowych. W zakładce "wnioski
Zastosowanie metod statystycznych do problemu ujednoznaczniania struktury zdania w języku polskim
Motywacja Zastosowanie metod statystycznych do problemu ujednoznaczniania struktury zdania w języku polskim Seminarium IPI PAN, 03.01.2011 Outline Motywacja 1 Motywacja Poziomy anotacji Równoważność dystrybucyjna
; zeca.,, iw.-te /fes o ^ Aa*~'t
OŚWIADCZENIE MAJĄTKOWE wójta, zastępcy wójta, sekretarza gminy, skarbnika gminy, kierownika jednostki organizacyjnej gminy, osoby zarządzającej i członka organu zarządzającego gminną osobą prawną oraz
Zadania z parametrem
Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu
Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.
Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj 2013 1 / 11 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia:
Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3
PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!
Metrologia cieplna i przepływowa
Metrologia cieplna i przepływowa Systemy, Maszyny i Urządzenia Energetyczne, I rok mgr Pomiar małych ciśnień Instrukcja do ćwiczenia Katedra Systemów Energetycznych i Urządzeń Ochrony Środowiska AGH Kraków
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta Pieniężny Pomiar Korzyści z Handlu Możesz kupić tyle benzyny ile chcesz, po cenie 2zł za litr. Jaka jest najwyższa cena, jaką zapłacisz za 1 litr benzyny?
OŚWIADCZENIE MAJĄTKOWE
OŚWIADCZENIE MAJĄTKOWE wójta, zastępcy wójta, sekretarza gminy, skarbnika gminy, kierownika jednostki organizacyjnej gminy, osoby zarządzającej i członka organu zarządzającego gminną osobą prawną oraz
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Warunki formalne dotyczące udziału w projekcie
Witaj. Interesuje Cię udział w projekcie Trener w rolach głównych. Zapraszamy więc do prześledzenia dokumentu, który pozwoli Ci znaleźć odpowiedź na pytanie, czy możesz wziąć w nim udział. Tym samym znajdziesz
EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 19 MAJA 2015
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 19 MAJA 2015
PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO. w Urzędzie Gminy Mściwojów
I. Postanowienia ogólne 1.Cel PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO w Urzędzie Gminy Mściwojów Przeprowadzenie oceny ryzyka zawodowego ma na celu: Załącznik A Zarządzenia oceny ryzyka zawodowego monitorowanie
ANALIZA OBWODÓW RZĘDU ZEROWEGO PROSTE I SIECIOWE METODY ANALIZY OBWODÓW
ANALIZA OBWODÓW RZĘDU ZEROWEGO PROSTE I SIECIOWE METODY ANALIZY OBWODÓW Rezystancja zastępcza dwójnika bezźródłowego (m.b. i=0 i u=0) Równoważność dotyczy zewnętrznego zachowania się układów, lecz nie
E k o n o m e t r i a S t r o n a 1
E k o n o m e t r i a S t r o n a Liniowy model ekonometryczny Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny (model regresji wielorakiej) można zapisać w postaci: y = α + α x + α x +... + α x + ε, t =,,...,
Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I
Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy
LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA Za zadanie do±wiadczalne mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Rozgrzane wolframowe wªókno»arówki o temperaturze bezwzgl dnej T emituje
10 RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU
Włodzimiez Wolczyński Miaa łukowa kąta 10 RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU 360 o =2π ad = = 2 s 180 o =π ad 90 o =π/2 ad = jednostka adian [1 = 1 = 1] Π ad 180 o 1 ad - x o = 180 57, 3 57 18, Ruch jednostajny
PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy
Warszawa, dnia 03 marca 2016 r. RZECZPOSPOLITA POLSKA MINISTER FINANSÓW PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Działając na podstawie art.
I. POSTANOWIENIE OGÓLNE
Załącznik do Zarządzenia Nr 26/2015 Rektora UKSW z dnia 1 lipca 2015 r. REGULAMIN ZWIĘKSZENIA STYPENDIUM DOKTORANCKIEGO Z DOTACJI PODMIOTOWEJ NA DOFINANSOWANIE ZADAŃ PROJAKOŚCIOWYCH NA UNIWERSYTETCIE KARDYNAŁA
Wdrożenie modułu płatności eservice dla systemu Virtuemart 2.0.x
Wdrożenie modułu płatności eservice dla systemu Virtuemart 2.0.x Wersja 02 Styczeń 2016 Centrum Elektronicznych Usług Płatniczych eservice Sp. z o.o. Spis treści 1. Wstęp... 3 1.1. Przeznaczenie dokumentu...
wstrzykiwanie "dodatkowych" nośników w przyłożonym polu elektrycznym => wzrost gęstości nośników (n)
UKŁADY STUDNI KWANTOWYCH I BARIER W POLU LEKTRYCZNYM transport podłużny efekt podpasm energia kinetyczna ruchu do złącz ~ h 2 k 2 /2m, na dnie podpasma k =0 => v =0 wstrzykiwanie "dodatkowych" nośników
FORUM ZWIĄZKÓW ZAWODOWYCH
L.Dz.FZZ/VI/912/04/01/13 Bydgoszcz, 4 stycznia 2013 r. Szanowny Pan WŁADYSŁAW KOSINIAK - KAMYSZ MINISTER PRACY I POLITYKI SPOŁECZNEJ Uwagi Forum Związków Zawodowych do projektu ustawy z dnia 14 grudnia
2.1. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie
Rozdzia 2 Ruch i kinematyka 2.. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, wirowo Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie t, tzn. B X! t (X) =x
LABORATORIUM PRZYRZĄDÓW PÓŁPRZEWODNIKOWYCH
Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Politechniki Wrocławskiej STUDA DZENNE e LAORATORUM PRZYRZĄDÓW PÓŁPRZEWODNKOWYH LPP 2 Ćwiczenie nr 10 1. el ćwiczenia Przełączanie tranzystora bipolarnego elem
Badanie silnika asynchronicznego jednofazowego
Badanie silnika asynchronicznego jednofazowego Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie budowy i zasady funkcjonowania silnika jednofazowego. W ramach ćwiczenia badane są zmiany wartości prądu rozruchowego
II. WNIOSKI I UZASADNIENIA: 1. Proponujemy wprowadzić w Rekomendacji nr 6 także rozwiązania dotyczące sytuacji, w których:
Warszawa, dnia 25 stycznia 2013 r. Szanowny Pan Wojciech Kwaśniak Zastępca Przewodniczącego Komisji Nadzoru Finansowego Pl. Powstańców Warszawy 1 00-950 Warszawa Wasz znak: DRB/DRB_I/078/247/11/12/MM W
Epidemiologia weterynaryjna
Jarosław Kaba Epidemiologia weterynaryjna Testy diagnostyczne I i II i III Zadania 04, 05, 06 Warszawa 2009 Testy diagnostyczne Wzory Parametry testów diagnostycznych Rzeczywisty stan zdrowia chore zdrowe
ZARZĄDZENIE Nr 18/2009 WÓJTA GMINY KOŁCZYGŁOWY z dnia 4 maja 2009 r.
ZARZĄDZENIE Nr 18/2009 WÓJTA GMINY KOŁCZYGŁOWY z dnia 4 maja 2009 r. w sprawie ustalenia Regulaminu Wynagradzania Pracowników w Urzędzie Gminy w Kołczygłowach Na podstawie art. 39 ust. 1 i 2 ustawy z dnia
Czy zdążyłbyś w czasie, w jakim potrzebuje światło słoneczne, aby dotrzeć do Saturna, oglądnąć polski hit kinowy: Nad życie Anny Pluteckiej-Mesjasz?
ZADANIE 1. (4pkt./12min.) Czy zdążyłbyś w czasie, w jakim potrzebuje światło słoneczne, aby dotrzeć do Saturna, oglądnąć polski hit kinowy: Nad życie Anny Pluteckiej-Mesjasz? 1. Wszelkie potrzebne dane
UCHWAŁA NR... RADY MIASTA KIELCE. z dnia... 2016 r.
Projekt UCHWAŁA NR... RADY MIASTA KIELCE z dnia... 2016 r. w sprawie określenia zasad przyznawania, wysokości i otrzymywania diet oraz zwrotu kosztów podróży przysługujących Radnym Rady Miasta Kielce Na
Pathfinder poprawny dobór parametrów i zachowań ludzi w czasie ewakuacji.
Pathfinder poprawny dobór parametrów i zachowań ludzi w czasie ewakuacji. 1. Wstęp. Pathfinder to innowacyjny symulator służący do obliczeń czasu ucieczki ludzi z budynku dla różnych scenariuszy ewakuacyjnych.
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
Raport z realizacji projektu szkoleń w ramach programu Komputer dla ucznia w roku 2008. Uczestnicy projektu oraz ewaluacja szkoleń
Raport z realizacji projektu szkoleń w ramach programu Komputer dla ucznia w roku 2008 Uczestnicy projektu oraz ewaluacja szkoleń 1 Wprowadzenie Omawiane w raporcie szkolenia były realizowane przez OFEK
Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,
VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si
Plan połączenia ATM Grupa S.A. ze spółką zależną ATM Investment Sp. z o.o. PLAN POŁĄCZENIA
Plan połączenia ATM Grupa S.A. ze spółką zależną ATM Investment Sp. z o.o. PLAN POŁĄCZENIA Zarządy spółek ATM Grupa S.A., z siedzibą w Bielanach Wrocławskich oraz ATM Investment Spółka z o.o., z siedzibą
- 70% wg starych zasad i 30% wg nowych zasad dla osób, które. - 55% wg starych zasad i 45% wg nowych zasad dla osób, które
Oddział Powiatowy ZNP w Gostyninie Uprawnienia emerytalne nauczycieli po 1 stycznia 2013r. W związku napływającymi pytaniami od nauczycieli do Oddziału Powiatowego ZNP w Gostyninie w sprawie uprawnień
nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?
Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda
Rachunek zysków i strat
Rachunek zysków i strat Pojęcia Wydatek rozchód środków pieniężnych w formie gotówkowej (z kasy) lub bezgotówkowej (z rachunku bankowego), który likwiduje zobowiązania. Nakład celowe zużycie zasobów w
ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 2. ZATRUDNIENIE NA CZĘŚĆ ETATU LUB PRZEZ CZĘŚĆ OKRESU OCENY
ZASADY WYPEŁNIANIA ANKIETY 1. ZMIANA GRUPY PRACOWNIKÓW LUB AWANS W przypadku zatrudnienia w danej grupie pracowników (naukowo-dydaktyczni, dydaktyczni, naukowi) przez okres poniżej 1 roku nie dokonuje