Analiza dynamiczna złożonych zamkniętych łańcuchów kinematycznych 1

Transkrypt

1 Anaza dynamczna złożonych zamknętych łańcuchów knematycznych 1 Paweł Maczyk, Janusz Frączek 2 Streszczene Symuacja układów weoczłonowych, o dużej czbe członów, na które nałożone są węzy jest szczegóne stotna z punktu wdzena wrtuanego prototypowana, zastosowań przy wydajnej anaze rzeczywstych układów mechancznych oraz przy zagadnenach ntegentnego sterowana. W artykue zaprezentowano zampementowano agorytm rekursywny do anazy dynamcznej złożonych zamknętych łańcuchów knematycznych. Równana ruchu Newtona Euera sformułowano we współrzędnych złączowych. Pęte knematyczne przekształcono w otwarte łańcuchy knematyczne uwzgędnono warunek zamykana otwartych łańcuchów knematycznych, stosując technkę neoznaczonych mnożnków Lagrange a. Reazację agorytmu przeprowadzono z wykorzystanem obczeń równoegłych na kastrze komputerowym. Symuacje numeryczne wykonano da różnych warantów obczenowych, a ch wynk zostały skomentowane. 1. WSĘP Anaza dynamczna układów weoczłonowych odgrywa stotną roę w weu zastosowanach nżynerskch komputerowo wspomaganych obczeń projektowana. Począwszy od anazy szerokej kasy maszyn mechanzmów, pojazdów, a skończywszy na zagadnenach teor drgań, sterowana, w tym także sterowana w czase rzeczywstym weu nnych [13]. Rosnące wymagana, co do coraz wernejszego wydajnejszego odwzorowana rzeczywstośc, powodują coraz wększe zanteresowane agorytmam bazującym na obczenach rekursywnych wykorzystujących nowe rozwązana sprzętowe, take jak np. różnej archtektury komputery równoegłe, czy komputery weordzenowe. Perwsze próby, prowadzące do wydajnych obczeń układów weoczłonowych pochodzą z przełomu at 70-tych 80-tych z obszaru robotyk. Wysoko wyspecjazowane podejśca, bazujące na pracach Luh, Wakera, Paua [25] oraz Wakera Orna [29], wykorzystujące równana Newtona Euera, spowodowały ch zastosowane do łańcuchów knematycznych otwartych, zarówno w przypadku zadana prostego, jak odwrotnego dynamk. Featherstone [14] 1 Praca naukowa fnansowana częścowo ze środków na naukę w atach jako projekt badawczy nr 407A Instytut echnk Lotnczej Mechank Stosowanej, Potechnka Warszawska, Nowowejska 24, Warszawa, Poska; e-ma: pmaczyk@me.pw.edu.p, jfraczek@me.pw.edu.p

2 P. Maczyk, J. Frączek zaproponował agorytm, prowadzący do formuł rekursywnych na przyspeszena da łańcuchów otwartych, wykorzystując wekośc reprezentujące własnośc bezwładnoścowe układu weoczłonowego (artcuated body nteras). Jerkovsky [20] opsał kka sformułowań, wykorzystywanych w dynamce układów weoczłonowych, używając koncepcj transformacj prędkośc. Zaety stosowana reprezentacj układu weoczłonowego jako grafu, współrzędnych wzgędnych transformacj prędkośc przy wydajnym rozwązywanu równań ruchu wykaza Km Vanderpoeg w pracy [23]. Z wynków tych skorzysta Bae Haug. Zastosowane zasad waracyjnych: zasady prac przygotowanych zasady d Aemberta [16] do równań Newtona Euera poprowadzło autorów w pracy [5] do nowego ujednoconego, macerzowego podejśca do probemu anazy dynamcznej łańcuchów otwartych oraz w ogónośc drzew. Zaproponowa on agorytm rekursywny o złożonośc obczenowej rzędu O(n), wzgędem czby stopn swobody układu, wykorzystujący topoogę mechanzmu. Uogónene agorytmu da łańcuchów knematycznych zamknętych przedstawono w pracy [6], a wynk mpementacj numerycznej agorytmu, z użycem komputera równoegłego z pamęcą wspóną [22] w artykue [7]. Praca Rodrgueza [27] prezentuje w zwęzłej forme wydajne agorytmy rekursywne, wykorzystujące aparat agebry przestrzennej. Z rozważań tych korzysta sę w pracy [24], w której autor prezentuje uogóna agorytmy rozwązywana zadana prostego odwrotnego dynamk manpuatorów oraz bada je pod wzgędem ch efektywnośc. Neco nne podejśce przedstawono w pracach [3, 19]. Równana ruchu formułowane są we współrzędnych zaeżnych przekształcane za pomocą macerzy transformacj prędkośc do współrzędnych nezaeżnych. Autorzy tej metody wskazują na możwość zastosowana obczeń równoegłych w mpementacj agorytmu oraz procedur do obczeń na macerzach rzadkch, co znacząco poepsza własnośc agorytmu do symuacj w czase rzeczywstym. Aternatywną metodę symuacj układów weoczłonowych przedstawono równeż w pracy [19]. Równana ruchu Lagrange a z węzam sformułowano tam we współrzędnych naturanych, dodano metody stabzacj węzów (penaty method) oraz użyto specjane opracowanych procedur całkujących. Podejśce to zostało wykorzystane w pracach [11, 12], w których podjęto próbę porównana stnejących metod wydajnej symuacj układów weoczłonowych. Nowym podejścem, optymanym, ze wzgędu na wykorzystane zasobów komputerów równoegłych wydają sę być agorytmy rekursywne rozwjane przez Andersona [2], oraz Crchtey a, Andersona, w pracach [9, 10], bazujące na równanach Kane a [21]. Nnejszy artykuł przedstawa agorytm, oparty na deach zawartych w pracach [5 7], wykorzystujący równana Newtona Euera bazujący na współrzędnych złączowych (wzgędnych) [19, 26]. Pozwaa on na systematyczne formułowane równań ruchu, które można wykorzystać przy obczenach równoegłych, uwzgędnając topoogę układu weoczłonowego. Równana ruchu wyprowadzono w oparcu o zasady rachunku waracyjnego [17] metody mechank anatycznej [16]. Podstawowym ceem tego agorytmu jest systematyczna redukcja równań ruchu, z jednego układu współrzędnych do

3 Anaza dynamczna złożonych zamknętych łańcuchów drugego, a przez to zapewnene odpowednej wydajnośc obczenowej tej metody. Pracę kończą przykłady obczenowe, które są skomentowane pod wzgędem cech agorytmu, stotnych z punktu wdzena zastosowań obczeń równoegłych. 2. ALGORYM OBLICZENIOWY 2.1. Knematyka Położena, prędkośc przyspeszena członów w układze gobanym (kartezjańske) wyczane są w oparcu o współrzędne złączowe pomędzy sąsednm członam. W przypadku łańcuchów knematycznych otwartych, do których są sprowadzane pęte knematyczne sekwencja obczeń postępuje od członu, oznaczonego jako podstawa do członów, będących na końcach łańcuchów [5] Dynamka Równana ruchu da łańcucha knematycznego zamknętego zostaną przedstawone w oparcu o równana Newtona Euera oraz zasady waracyjne mechank anatycznej. W podejścu tym równana da całego łańcucha uzyskuje sę poprzez sukcesywne sumowane prac przygotowanych sł uogónonych sł bezwładnośc da pojedynczych członów oraz sł reakcj, pochodzących od przecęca pęt, w ceu uzyskana struktury drzewa [6]. Rys. 1 ustruje łańcuch knematyczny zamknęty, wraz z uwdocznonym przecęcem pomędzy członam n a n + 1 podzałem mechanzmu na łańcuch otwarty β β + 1 oraz członem, do którego zostane przeprowadzona redukcja równań ruchu. Rys. 1. Łańcuch knematyczny zamknęty Waracyjne równane ruchu da łańcucha z Rys. 1 przyjmuje postać: m n, n+ 1 = n+ 1 δ Z ( M Y& Q ) + δz ( M Y& Q + Φ λ = n ( n, n+ 1) Z n( n+ 1) ) = 0 (1)

4 P. Maczyk, J. Frączek δ Z = δr δπ są wrtuanym przemeszczenam rotacjam, M gdze [ ] 6x, [& ] macerz masowa, 6 Y = r ω prędkośc, Q wektor sł, 6x 1, λ mnożnk Lagrange a, odpowadające równanom węzów. Zastosowane a n( n+1) wzorów knematyk do wzoru (1) daje w rezutace wzór (2) na przyspeszena wzgędne w parach knematyczych: q&& B ) ( Q )1 = { B Y& + B j + L j+ 1)2 ( M j+ 1)2 {( M ) + ΦM j+ 1 + K λ}] + K ) B ) D } 1 )2 ) [ B + )2 ( M + K ) (2) Odpowedne przeformułowane [7] równań ruchu (1) da łańcuchów β β + 1, wykorzystujące zwązek (2) daje zredukowane do członu równane ruchu postac: δz {( M + K + ( ΦM β β + ΦM + K β + 1 β + 1 ) Y& ) λ} = 0 ( Q + L β + L Do równań (3) naeży dołączyć równane węzów, opsujące mejsce ( n, n+ ) przecęca pary knematycznej, o postac Φ 1 = 0. Równane to można zróżnczkować dwukrotne wzgędem czasu, otrzymując równane węzów na przyspeszena [18, 26]: β + 1 ) + Φ& Φ Y& + Φ Y& γ 0 (4) Z Z + = n n n+ 1 n 1 Wykorzystane zwązku (4) pozwaa na redukcję tych równań do członu, da obu łańcuchów β β + 1. (3) ( ΦM β RHS + ΦM β β + 1 RHS ) Y& + ( ΦL β + 1 γ = 0 β + ΦL β + 1 ) λ + (5) gdze macerze K, L, ΦM, L, RHS są zdefnowane w źróde [7]. Naeży przy tym zaznaczyć, że formułowane wzorów (3) (5) wykorzystuje topoogę mechanzmu. Łacząc powyższe równana oraz uwzgędnając węzy nakładane na człon otrzymamy układ równań nowych na przyspeszena członu, mnożnk Lagrange a odpowedzane za przecęce w parze knematycznej oraz mnożnk, zwązane z węzam, bezpośredno nakładanym na człon. Koejnym krokem w agorytme jest obczene przyspeszeń wzgędnych w parach knematycznych

5 Anaza dynamczna złożonych zamknętych łańcuchów (2) oraz obczene przyspeszeń członów w układze gobanym, a następne całkowane przyspeszeń wzgędnych przyspeszeń członu Metoda całkowana W przypadku, gdy mechanzm ma strukturę łańcucha knematycznego otwartego równana ruchu stanową układ równań różnczkowych zwyczajnych; w przypadku, gdy łańcuch jest zamknęty układ równań ruchu jest układem równań różnczkowo agebracznych. W nnejszym agorytme równana ruchu są formułowane we współrzędnych złączowych, ae w ogónośc są to równana różnczkowo agebraczne o ndekse różnczkowym równym 1 [4]. Równana o obnżonym ndekse, z podwójne zróżnczkowanym węzam prowadzą na ogół do naruszena węzów, wynkających z faktu, że zróżnczkowane równana węzów ne są równoważne w sense numerycznym węzom orygnanym [15]. Kompeksowe omówene metod numerycznych do całkowana równań różnczkowo agebracznych, opsujących dynamkę układów weoczłonowych można znaeźć m. n. w pracy [15]. Ze wzgędu na swą prostotę, ogóność zastosowań nsk koszt numeryczny obczeń, w mpementacj tego agorytmu, do korekcj równań węzów posłużono sę metodą stabzacj Baumgarte a [8, 15, 18, 26], poegającą na zastąpenu drugej pochodnej równań węzów kombnacją nową pochodnych. 2 Φ & + 2α Φ & + β Φ = 0 (6) W mpementacj, prowadz to do przeformułowana wektora γ, do postac: γ * 2 = γ 2αΦ& β Φ (7) Dodatne stałe α β są doberane dośwadczane, gdyż ne jest znana ogóna metoda doboru tych parametrów. Na ogół α = β oraz α, β (1,20). W mpementacj numerycznej do całkowana użyto procedurę bboteczną [30], wykorzystującą metodę weokrokową wstecznego różnczkowana (BDF) o zmennym rzędze. 3. REALIZACJA PROGRAMOWA 3.1. Wprowadzene W ceu przetestowana wydajnośc przedstawonego sformułowana wskazana cech, które można wykorzystać przy zrównoeganu obczeń zaprezentowne zostaną dwa przykłady obczenowe, z różnym warantam symuacyjnym. Agorytm zaprogramowano zarówno w wersj sekwencyjnej, jak równoegłej w języku Fortran. Wersja równoegła programu została napsana

6 P. Maczyk, J. Frączek w oparcu o standardową bbotekę do przesyłana komunkatów (MPI) [28, 32], będącą z punktu wdzena programsty bboteką do wysyłana odberana komunkatów oraz do synchronzacj zadań [22]. Równoegłe waranty programu zostały uruchomone na dwóch procesorach, na ośmowęzłowym kastrze komputerowym, w którym każdy węzeł składa sę z dwóch procesorów Inte Xeon 2,4GHz z 512kB Cache L2 [31] oraz 2GB pamęc RAM, połączonych secą Ethernet 1Gbt Mechanzm korbowo wodzkowy Perwszym przykładem obczenowym jest prosty mechanzm korbowo wodzkowy [18]. Anazę dynamczną przeprowadzono pod dzałanem sł cężkośc t momentu napędowego korby n( t) = 0, 01e, zaznaczonego na Rys. 2a. W tym przypadku pętę knematyczną rozcęto w parze sferycznej, tworząc dwa otwarte łańcuchy knematyczne, co schematyczne reprezentuje graf na Rys. 2b. a b Rys. 2. a mechanzm korbowo wodzkowy, b graf mechanzmu W przypadku programu równoegłego obczena rozdzeono pomędzy dwa procesory, uwzgędnając topoogę mechanzmu. Zarejestrowane czasy wykonana programów ustruje ab. 1. ab. 1. Czas wykonana symuacj w przypadku programu sekwencyjnego równoegłego Czas symuacj [s] 1 CPU, t=0.01 [s] 2 CPU, t=0.01 [s] 1 CPU, t=0.001 [s] 2 CPU, t=0.001 [s] 1,000 0,058 0,085 0,165 0,240 5,000 0,368 0,530 0,912 1,342 10,000 0,792 1,143 1,865 2,714 20,000 1,594 2,337 3,766 5,435 30,000 2,412 3,468 5,690 8,192 40,000 3,229 4,691 7,572 10,866 50,000 3,985 5,756 9,370 13,573 60,000 4,768 6,951 11,180 16,336 Parametry symuacj zostały zmenone wg dwóch kryterów: czasu symuacj kroku całkowana. W żadnym z przypadków ne udało sę zarejestrować

7 Anaza dynamczna złożonych zamknętych łańcuchów korzyśc, wynkającej ze stosowana dwóch procesorów, co może bezpośredno wynkać z faktu małej zarnstośc rozwązywanego probemu, rozumanej jako ość operacj obczenowych pomędzy procesam komunkacj Automatyczne generowana pęta knematyczna Wydajność agorytmu przetesowano na przykładze pęt knematycznej, generowanej automatyczne, z reguowaną oścą par knematycznych. Mechanzm został utworzony z par knematycznych obrotowych. Człon 1 jest neruchomą podstawą, do której redukowane są równana ruchu, przecęca dokonuje sę dzeąc pęte na dwa jednakowej długośc łańcuchy knematyczne otwarte. Rys. 3 przedstawa schemat mechanzmu. Rys. 3. Automatyczne generowana pęta knematyczna Anazę dynamczną układu przeprowadzono obcążając mechanzm słam cężkośc. Czas symuacj wynosł 10 s, krok całkowana t = 0, 01 s. W przypadku programu równoegłego, obczena rozdzeono pomędzy 2 procesory, uwzgędnając topoogę mechanzmu po przecęcu. Oprócz testowana obczeń na jednym węźe, na którym oba procesory mają tą samą przestrzeń adresową, przeprowadzono symuacje na dwóch różnych węzłach kastra komputerowego, podczas której komunkaty były przesyłane przez seć komputerową. Zarejestrowane pomary ustrują ponższe wykresy. a Czas wykonana programu [s] CPU 2 CPU, 1 weze 2 CPU, 2 wezy Lczba par knematycznych b Wspoczynnk przyspeszena CPU, 1 weze 2 CPU, 2 wezy Lczba par knematycznych Rys. 4. a czas wykonana programu równoegłego, b współczynnk przyspeszena

8 P. Maczyk, J. Frączek Rys. 4a 4b przedstawają czas wykonana programu sekwencyjnego programów równoegłych oraz współczynnk przyspeszena w przypadku, gdy zmenana jest czba par knematycznych. Współczynnk przyspeszena jest rozumany jako oraz czasu wykonana programu sekwencyjnego do czasu wykonana programu równoegłego. Neznaczny zysk, z zastosowana dwóch procesorów na jednym węźe otrzymujemy (Rys. 4b) w przypadku pęt, zawerającej 15 par knematycznych. Współczynnk przyspeszena stabzuje sę da pęt, składającej sę ze 151 par knematycznych ne osąga przyspeszena deanego. Wynka to m. n. z faktu stnena częśc programu równoegłego, którego ne można zrównoegć (wczytywane danych, wczytywane mechanzmu) oraz stałych narzutów czasowych na komunkację. W przypadku dwóch procesorów, komunkujących sę poprzez seć komputerową, zysk obserwujemy dopero da 251 par knematycznych. 4. UWAGI KOŃCOWE W artykue przedstawono opracowano agorytm rekursywny do anazy dynamcznej złożonych układów weoczłonowych. Obczena wykonano na komputerze równoegłym z pamęcą okaną. Wnosk, płynące z tej pracy są następujące: sformułowane można uogónć do bardzej złożonych struktur, w których topoogę układu weoczłonowego zapsuje sę używając języka teor grafów stneje możwość automatycznej detekcj węzów nadmarowych czas wykonana programu jest funkcją nenową wzgędem czby stopn swobody układu dodane do układu eementów sprężysto tłumących powoduje dodatkowe narzuty na komunkację zrównoegene zostało przeprowadzone tyko w oparcu o własnośc agorytmu; pożądane jest użyce procedur bbotecznych, przystosowanych do obczeń na komputerach z pamęcą okaną użyce obczeń równoegłych przynos znaczącą korzyść w układach z kkudzesęcoma stopnam swobody, jednak pozom zrównoegena programu sne zaeży od topoog układu weoczłonowego. LIERAURA [1] ADAMS (Sover ranng Matera, Vew ranng Matera), [2] K. S. Anderson, An order n formuaton for the moton smuaton of genera mut rgd body constraned systems, Computers and Structures, 1992, Vo. 3, s [3] A. Aveo, J. M. Jmenez, E. Bayo, J. G. de Jaon, A smpe and hgy paraezabe method for rea tme dynamc smuaton based on veocty transformatons, Computer Methods n Apped Mechancs and Engneerng, 1993, Vo. 107, s

9 Anaza dynamczna złożonych zamknętych łańcuchów [4] K. E. Brenan, S. L. Campbe, L. R. Petzod, Numerca Souton of Inta Vaue Probems n DAE, Phadepha, SIAM, [5] D. S. Bae, E. J. Haug, A recursve formuaton for constraned mechanca system dynamcs: Part I: Open Loop Systems, Mechancs of Structures and Machnes, 1987, Vo. 15, s [6] D. S. Bae, E. J. Haug, A recursve formuaton for constraned mechanca system dynamcs: Part II: Cosed Loop Systems, Mechancs of Structures and Machnes, , Vo. 15, s [7] D. S. Bae, J. G. Kuh, E. J. Haug, A recursve formuaton for constraned mechanca system dynamcs: Part III: Parae Processor Impementaton, Mechancs of Structures and Machnes, 1988, Vo. 16, s [8] J. Baumgarte, Stabzaton of constrants and ntegras of moton n dynamca systems, Computer Methods n Apped Mechancs and Engneerng, 1972, Vo. 1, s [9] J. H. Crtchey, K.S. Anderson, Improved Order-N Performance Agorthm for the Smuaton of Constraned Mut-Rgd-Body Dynamc Systems, Mutbody SystemDynamcs, 2004, Vo. 9, s [10] J. H. Crtchey, K.S. Anderson, A Parae Logarthmc Order Agorthm for Genera Mutbody System Dynamcs, Mutbody System Dynamcs, 2004, Vo. 12, s [11] J. Cuadrado and J. Cardena, E. Bayo, Modeng and Souton Methods for Effcent Rea me Smuaton of Mutbody Dynamcs, Mutbody System Dynamcs, 1997, Vo. 1, s [12] J. Cuadrado and J. Cardena, P. Morer, E. Bayo, Integent Smuaton of Mutbody Dynamcs: Space-State and Descrptor Methods n Sequenta and Parae Computng Envronments, Mutbody System Dynamcs, 2000, Vo. 4, s [13] P. Eberhard, W. Scheen, Computatona Dynamcs of Mutbody Systems: Hstory, Formasms, and Appcatons, Journa of Computatona and Nonnear Dynamcs, January 2006, Vo. 1, s [14] R. Featherstone, he Cacuaton of Robot Dynamcs Usng Artcuated Body Interas, Internatona Journa of Robotcs Research, 1983, Vo. 2(1), s [15] J. Frączek, Modeowane mechanzmów przestrzennych metodą układów weoczłonowych, Warszawa, WPW, [16] R. Gutowsk, Mechanka anatyczna, Warszawa, PWN, [17] I. M. Gefand, S. W. Fomn, Rachunek waracyjny, Warszawa, PWN, [18] E. J. Haug, Computer Aded Knematcs and Dynamcs of Mechanca Systems. Voume I: Basc Methods, Ayn and Bacon, [19] J. G. de Jaon, E. Bayo, Knematc and Dynamc Smuaton of Mutbody Systems. he Rea me Chaenge, New York, Sprnger Verag, [20] W. Jerkovsky, he Structure of Mutbody Dynamcs Equatons, 1978, Vo. 1(3), s [21]. R. Kane, D. A. Levnson, Dynamcs: heory and Appcatons, New York, McGraw H, 1985 [22] A. Karbowsk, E. Newadomska Szynkewcz, Obczena równoegłe rozproszone, Warszawa, WPW, [23] S. S. Km, M. J. Vanderpoeg, A Genera and Effcent Method for Dynamc Anayss of Mechanca Systems Usng Veocty ransformatons, ASME Journa of Mechansms, ransmssons and Automaton n Desgn, 1986, Vo. 108, s [24] Kozłowsk K. Modee matematyczne dynamk robotów oraz dentyfkacja parametrów tych mode, Poznań, WPP, 1992.

10 P. Maczyk, J. Frączek [25] J. Y. S. Luh, M. W. Waker, R. P. C. Pau, On Lne Computatona Scheme for Mechanca Manpuators, ASME Journa of Dynamc Systems, Measurement, and Contro, 1980, Vo. 102(2), s [26] P. E. Nkravesh, Computer Aded Anayss of Mechanca Systems, Prentce-Ha, [27] G. Rodrguez, A. Jan K, Kreutz Degado, Spata operator agebra for mutbody system dynamcs, he Journa of the Astronautca Scences, 1992, Vo. 40, s [28] M. Snr, S. Otto, S. Huss Lederman, D. Waker, J. Dongarra, MPI: he Compete Reference, London, he MI Press, [29] M. W. Waker, D. E. Orn, Effcent Dynamc Computer Smuaton of Robotc Mechansms, ASME Journa of Dynamc Systems, Measurement, and Contro, 1982, Vo. 104(3), s [30] Gude to the SLAEC Common Mathematca Lbrary, [31] Inte Xeon Processor Product Informaton, [32] MPICH2 User s Gude, DYNAMIC ANALYSIS OF COMPLEX CLOSED LOOP KINEMAIC CHAINS he smuaton of arge constraned mutbody systems s essenta n deveopng modern technooges such as vrtua prototypng, appcaton for effcent anayss of reastc mechanca systems and ntegent contro systems. hs paper presents a recursve approach to dynamc anayss of compex cosed oop knematc chans. he Newton Euer equatons of moton are formuated usng reatve coordnates. Cosed oop knematc chans are transformed nto open oop chans by cut jont technque. Cut jont costrant and Lagrange mutpers are ntroduced to compete the equatons of moton. he agorthm s mpemented usng parae computng on a custer workstaton. Some numerca smuatons are carred out for dfferent computatona exampes and the resuts are commented.