ZASTOSOWANIE METOD ANALIZY WRAŻLIWOŚCI DO MODELOWANIA KONSTRUKCJI Z PRZEDZIAŁOWYMI PARAMETRAMI. 1 Wprowadzenie

Transkrypt

1 Andrze POWNUK ZASTOSOWANIE METOD ANALIZY WRAŻLIWOŚCI DO MODELOWANIA KONSTRUKCJI Z PRZEDZIAŁOWYMI PARAMETRAMI Wprowadzene Wartośc wszystkch parametrów układów mechancznych obarczone są pewną nepewnoścą []. Gdy dysponuemy dużą lczbą danych pomarowych maą one charakter losowy, to do modelowana wartośc wykorzystue sę metody probablstyczne []. Zwykle ednak ne mamy dostateczne lczby nformac aby określć nezbędne charakterystyk probablstyczne proektowane konstrukc. W nnesze pracy rozważać będę przypadek gdy można nepewne parametry konstrukc h można określć z dokładnoścą do przedzału [ ] [ h, h ] h = []. Wele konstrukc można opsać przy pomocy układu nelnowych równań algebracznych zależnych od wektora nepewnych parametrów h ( q h) 0 F, = () gdze F est określoną funkcą. Zbór rozwązań równana () można określć następuąco [3] { } ([ h] ) q : F( q h) = 0, h [ h] = [ h,h ]... [ h, ] q () =, m h m Zbór ten est bardzo skomplkowany, dlatego też w zastosowanach posługuemy sę namneszym welowymarowym przedzałem [3], który zawera w sobe zbór rozwązań (). Zbór ten oznaczamy: ([ h] ) [ nf q( [ h] ),sup q( [ h] )] hull q = (3) Znanych est wele metod poszukwana zboru (3). Można pokazać, że zagadnene dokładnego określena zboru (3) w ogólnośc posada bardzo wysoką złożoność oblczenową [3]. Jednak badaąc przypadk szczególne można skonstruować bardze efektywne algorytmy [4]. Na podstawe welu symulac numerycznych [5] można zauważyć, Mgr nż., Wydzał Budownctwa Poltechnk Śląske

2 że w wększośc zagadneń nżynerskch zależność q (...,h est monotonczna. W takm przypadku zbór (3) można określć na podstawe wartośc skranych przedzału [h], co znaczne upraszcza oblczena. Gdy funkca q (...,h est różnczkowalna w sposób cągły oraz pochodna posada stały znak dla h [] h, to zbór (3) określamy na podstawe algorytmu: eśl > 0, to q = q (...,h oraz ( + q q...,h,... ) + =, (4) eśl < 0, to q = + q (...,h oraz ( q q...,h,... ) W skróce można te reguły zapsać następuąco: + = (5) q = qh q sgn, q = qh q sgn +. (6) Punktowe testy monotoncznośc. Metoda zerowego rzędu Z własnośc pochodne funkc cągłe wynka, że eśl dla ustalone wartośc q h >> 0, (7) to funkca ta zachowue znak w pewnym otoczenu punktu h, czyl ( ) q ( ) h q = h sgn sgn dla [ h ε, h + ε] W przypadku zagadneń nelnowych pochodne funkc q (...,h metody różnc skończonych [6] lub metod analzy wrażlwośc [6]: h (8) oblczamy przy pomocy τ+ τ q q q = + τ (9) Można równeż określć wrażlwość rozwązana w zagadnenach dynamcznych [6].

3 . Metoda rzędu perwszego Można zastosować lnową aproksymacę pochodne funkc q (...,h q ( h ) ( h ) q ( h ) ( + h h ) : Przyrównuąc do zera wyrażene (0) można pokazać, że funkca q (...,h monotonczna eśl Traktuąc funkcę q (...,h h q [ h, h ] = h ako funkcę welu zmennych można przyąć (0) est () m ( h) q + ( hk hk ) k= k () Poszukuąc punktów h [] h dla których pochodna est równa zeru otrzymuemy nową procedurę sprawdzana monotoncznośc. Funkce q (...,h są monotonczne, gdy h k ( ) t h t [ h, h ] = k k k k dla k =,..., m (3) gdze t = m ( ) h q k= k (4) 3 Zagadnena optymalzac W zagadneń optymalzac konstrukc zarówno funkca celu f, ak rozwązane optymalne x, est funkcą wektora parametrów nepewnych h, dlatego rozwązana problemów optymalzac należą do następuących zborów { } f ([ h] ) = { f ( h) : h [ h] }, x ([] h ) = x ( h) : h [] h Informace na temat metod określana zborów (5) można znaleźć w pracach [7, 8]. Jeśl przedzał [h] est dostateczne wąsk, to zbory (5) można określć przy pomocy punktowych testów monotoncznośc wzorów (6). Nech dana est funkca celu f, która est zależna od wektora parametrów nepewnych h [] h oraz wektora zmennych decyzynych x [] x. (5)

4 Zakładaąc brak warunków ogranczaących, to z własnośc naturalnego przedzałowego rozszerzena funkc [3] wynka, że eśl ([][] x, h ) fˆ 0 (6) to funkca celu zależy monotonczne od parametru h, zatem ekstremalne wartośc funkc celu można oblczyć na podstawe wartośc skranych przedzału [h]. W przypadku gdy przedzały [x] [h] są dostateczne wąske można tuta wykorzystać równeż punktowe testy monotoncznośc opsane w punkce. Gdy znamy uż odpowedne końce przedzału [h] oznaczone tuta h, h + można oblczyć ekstremalne wartośc funkc celu stosuąc tradycyne algorytmy optymalzac szukaąc mnmów następuących funkc celu f x, h, f x, h. ( ) ( ) Gdy szukamy ekstremalnych wartośc rozwązana optymalnego x można skorzystać z punktowego testu monotoncznośc opsanego w punkce. W przypadku gdy funkca celu est różnczkowalna, to rozwązane optymalne est rozwązanem następuącego równana: h f ( x h) = 0 lub F ( x h) = 0,, gdze F = f (7) Pochodną rozwązana optymalnego można oblczyć na podstawe równana: F x F + = 0 x (8) W przypadku optymalzac z ogranczenam można zastosować punktowy test monotoncznośc. 4 Nezawodność układów z losowym przedzałowym parametram Nezawodność konstrukc [] można określć następuąco: = P{ g( h, r) > 0} = f ( h, r) R 0 0 r 0 dr (9) g( h, r) > 0 gdze g est funkcą granczną konstrukc [], f est funkcą gęstośc rozkładu prawdopodobeństwa, h est wektorem parametrów określonych z dokładnoścą do przedzału lczbowego [ h ], h 0 est ustaloną wartoścą parametru h, r est wektorem parametrów losowych.. Zbór wszystkch wartośc ake może przymować nezawodność układu określamy następuąco: [ ] = [ R,R ] = hull R [] h 0 ( ) = hull{ R: h [] h } R (0) Ekstremalnych wartośc nezawodnośc konstrukc szukamy na postawe wzoru (6) oraz punktowych testów monotoncznośc opsanych w punkce. 0 0

5 Przymuąc 5 Modelowane konstrukc z przedzałowym parametram F ( q h) = K( h) q Q( h), () równana równowag statyk konstrukc lnowo-sprężystych z przedzałowym parametram h przymuą postać (). Można pokazać [4,9], że eśl następuące przedzałowe macerze Jakobego ( Fˆ,...,Fˆ ) n ( ) ([ q ][, h] ) q,...,q są regularne [3], to funkca q q (...,h m ( Fˆ,...,Fˆ n ), ( ) [ q ][, h] q,...,h,...,q m ( ) () = est monotonczna w przedzale [h]. Sprawdzena regularnośc macerzy przedzałowe można dokonać różnym metodam [0]. Ponadto można wyróżnć klka przypadków szczególnych. ) W układach lnowo-sprężystych zależność przemeszczeń od przedzałowych obcążeń est zawsze monotonczna [4]. ) W płaskch układach prętowych zależność przemeszczeń od przedzałowego modułu Younga est monotonczna. Wynka to z postac równań równowag. Kq = Q E K ~ q = Q Kq ~ ~ = Q q = K Q E E (3) ) Gdy elementy macerzy sztywnośc K wektora obcążeń Q są lnowym funkcam nepewnych parametrów, to zbór (3) można znaleźć przy pomocy metody Rump a [5]. W welu przypadkach ne możemy określć dokładne wartośc parametrów h, a edyne przedzały [, ] h do których welkośc te należą. W wynku wykonana ser n pomarów h otrzymuemy zbór przedzałów Ξ = {[ ][, h ],...,[ h ]} h n. Defnuemy przy tym pewną funkcę m przyporządkowuącą każdemu elementow zboru Ξ prawdopodobeństwo ego wystąpena podczas pomarów m ([ h ]) = p (=,...,n oraz p pn = ). Parę ( Ξ, m ) nazywamy zborem losowym []. W oparcu o zbór losowy można określć funkcę przynależnośc zboru rozmytego h ~ []: µ ( h ~ ) = m [ hk ] h ( ) gdze [ hk ] Ξ [ ] h h k (4) Jeśl współrzędne wektora nepewnych parametrów h będą lczbam rozmytym h ~, to rozwązane równana () otrzymuemy w dwóch etapach. Naperw dla poszczególnych q : α-przekroów [] otrzymuemy rodznę przedzałowych rozwązań [ ] α [ q ] = q( [ h ]) = { q( h) : F( q, h) = 0, h [ h ]} α hull hull (5) α α

6 gdze [ ] = { h : µ ( h ) α} h [ ] [ ]... [ h ] α h ~ h (6) α = h α mα Następne rozwązane określamy ako wektor lczb rozmytych q ~ przy pomocy następuące reguły []: ( q q ~ ) = max{ α q [ q ]} µ α 6 Przykłady zastosowań : (7) 6. Rozcągane pręta wykonanego z materału sprężysto-plastycznego z przedzałowym parametram Rozważymy układ prętowy przedstawony na rysunku wykonanych z materału sprężysto-plastycznego z wzmocnenem knematycznym zotropowym, w którym przedzałowym parametram będą moduł Younga E oraz przekroe prętów A. A A A 3 A4 E E E E L L L3 L4 Rys.. Układ prętów rozcąganych W oblczenach przyęto następuące stałe materałowe ςso = 0. 9 ς. L = L = L3 = L4 = m, 0 = 90 MPa A [ , 0.00], [ ] 7 ς = 7 0, ς kn = 0. ς, 5 5 σ, [. 0 0,. 0 ] MPa E, 0 m A A 0, P = 30 kn. W oblczenach wykorzystano wzór (6). Wynk oblczeń przedstawone są w tablcy. Tablca. Przemeszczena węzłów układu prętowego q q q 3 q 4 q [m] , q [m]

7 6. Nezawodność pręta zgnanego Weźmy pod uwagę układ prętowy przedstawony na rysunku. P b 3 Rys.. Pręt zgnany Zakładaąc, że sła P oraz plastyczna nośność granczna są zmennym losowym o rozkładze normalnym, a długośc a b są określone z dokładnoścą do przedzału lczbowego. Ekstremalne wartośc nezawodnośc układu można określć przy pomocy metody różnc skończonych, punktowego testu monotoncznośc, wzoru (6) programu STRUREL [3]. W oblczenach przyęto następuące dane lczbowe P = 5 kn, σ p =. 59 kn, M pl = 8 kn m, σ M = 9, 6 kn m, a [ , 0.705]m, b [ 0. 95, 0.305]m. Funkca granczna [] ma w tym przypadku następuącą postać: g M a a b M b 3 ( M,M,M,P,a,b) = + M + + P 3 gdze M,M, M 3, to momenty plastyczne przyłożone odpowedno w punktach, 3. Używaąc programu STRUREL na podstawe funkc granczne (8) można oblczyć: β β a ( a + a,b) β( a,b) a, β β b Z wzorów (6) (9) otrzymuemy [. 49,.536] β. ( a,b + b) β( a,b) b (8) (9) 7 Wnosk W pracy przedstawono podstawy teoretyczne mechank konstrukc z przedzałowym parametram. Przedstawono efektywne algorytmy umożlwaące optymalzacę, określane nezawodnośc statecznośc konstrukc w warunkach występowana przedzałowych neokreślonośc parametrów. Należy podkreślć, że punktowe testy monotoncznośc można wykorzystywać edyne w przypadku, gdy przedzał [h] est dostateczne wąsk oraz odpowedne krytera zbeżnośc są spełnone. W przypadku, gdy chcemy otrzymać rozwązane z gwarantowaną pewnoścą, to należy zastosować metody przedzałowe [9, 4]. Jednak metody przedzałowe posadaą wysoką złożoność oblczenową [3] ogranczaą sę do problemów opsanych równanem (). Inne przykłady zastosowań zostaną przedstawone podczas prezentac referatu. Praca została wykonana w ramach grantu KBN Nr 8TF0065.

8 Lteratura [] Ben-Ham Y. Elshakoff I., Convex Models of Uncertanty n Appled Mechancs. Elsever Scence Publshers, New York, 990 [] Stock R., Optymalzaca nezawodnoścowa konstrukc prętowych w zakrese dużych przemeszczeń. Teora program komputerowy. Prace IPPT, Nr 3, Warszawa 999 [3] Neumaer A., Interval Methods for Systems of Equatons. Cambrdge Unversty Press, Cambrdge 990 [4] Pownuk A., Zastosowane regularnych przedzałowych macerzy Jacobego do oblczana ekstremalnych wartośc welkośc mechancznych. Część I - Podstawy teoretyczne. Zeszyty Naukowe Poltechnk Śląske, Sera Budownctwo, Nr 86, 999, s [5] Kulpa Z., Pownuk A., Skalna I., Analyss of lnear mechancal structures wth uncertantes by means of nterval methods. Computer Asssted Mechancs and Engneerng Scences, Vol. 5, 998, s [6] Kleber M., Parameter Senstvty n Nonlnear Mechancs, Theory and Fnte Element Computatons. John Wlley and Sons, New York 997 [7] Ganzerl S., Panteldes Ch.P., Optmum structural desgn va convex model superposton. Computers and Structures, Vol. 74, 000, s [8] Panteldes C.P., Booth B.C., Computer-aded desgn of optmal structures wth uncertanty. Computers and Structures, Vol. 74, 000, s [9] Pownuk A., Applcatons of Regular Interval Jacoban Matrces to Calculaton Extreme Values of Mechancal Quanttes. Proc. Relable Computatons and Interval Algebra, Bułgara, Sozopol, 999, s. 5-7 [0] Jansson Ch., Rohn J., An algorthm for checkng regularty of nterval matrces. SIAM Journal on Matrx Analyss and Applcatons, Vol.0, Nr 3, 999, s [] Dubos D., Prade H., Random sets and fuzzy nterval analyss. Fuzzy Sets and Systems, Vol.4, 99, s.87-0 [] Pownuk A., Przedzałowe metody w rozwązywanu układów równań lnowych mechank rozmyte. Konferenca Naukowo-Dydaktyczna Nowe Tendence w Nauczanu Mechank, Kołobrzeg 996, s.9-8 [3] STRUREL, A Structural Relablty Analyss Program System, COMREL and SYSREL Users Manual, RCP Consult, 998 Applcatons of senstvty analyss methods for modellng of structures wth nterval parameters Summary In ths paper a new method for modellng of structures wth nterval parameters was presented. Several pont monotoncty tests were descrbed. Usng these procedures we can calculate dsplacements, relablty, stablty and optmal solutons n the structures wth the nterval parameters. The pont monotoncty tests can be apply only f an nterval [h] s suffcently narrow. If we want to obtan a soluton wth a guaranteed accuracy the nterval monotoncty tests should be appled. Several numercal examples were also presented. All the algorthms can be mplemented nto the exstng engneerng software.