MODELOWANIE DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA ELEKTROWNI WIATROWEJ Z TŁUMIKIEM DYNAMICZNYM

Transkrypt

1 MODLOWANI INŻYNIRSKI ISSN X 44 s Gwce 1 MODLOWANI DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA LKTROWNI WIATROWJ Z TŁUMIKIM DYNAMICZNYM WALDMAR ŁATAS 1 PAWŁ MARTYNOWICZ 1 Potechnka Krakowska Instytut Mechank Stosowane e-ma: atas@mech.pk.edu.p AGH Akadema Górnczo-Hutncza Katedra Automatyzac Procesów e-ma: pmartyn@agh.edu.p Streszczene. Rozważono drgana układu maszt-gondoa eektrown watrowe. Maszt zamodeowano ako pryzmatyczną bekę sztywno połączoną z masą skuponą reprezentuącą gondoę. Do masy skupone został dołączony tłumk dynamczny pracuący w kerunku pozomym. Założono małe nowe drgana bek opsane modeem uera-bernouego. Układ poddano wymuszenu słą pozomą. Równane ruchu rozwązano metodą rozdzeena zmennych Fourera. Dokonuąc czasowe transformac Lapace a otrzymano zaeżnośc opsuące amptudę w dzedzne częstotwośc da ugęca dowonego przekrou bek. 1. WSTĘP Maszt eektrown watrowe wraz z fundamentem obok łopat est eementem wymagaącym przeprowadzena anazy naprężeń odkształceń w warunkach pracy przy zmenaącym sę obcążenu ze strony watru wrnka czy też fa morskch/odu w przypadku nstaac zokazowanych na morzu. Anaza dynamk konstrukc układu maszt-gondoa ma na ceu okreśene częstotwośc oraz postac drgań własnych charakteryzuących sę namneszym wartoścam tłumennośc a w zwązku z tym stanowących nawększe wyzwane z punktu wdzena proektowana ekspoatac nstaac. W podstawowym zastosowanu prawdłowo dostroone tłumk dynamczne dołączone do drgaące konstrukc poddane wymuszenu harmoncznemu maą spowodować zankane drgań ustaonych w punkce zamocowana [1 4]. Wykorzystue sę e zarówno do tłumena drgań podłużnych poprzecznych ak skrętnych. Wee prac teoretycznych pośwęcono metodom optymanego doboru parametrów tłumków zarówno da zagadneń nowych ak nenowych [5 17]. W budownctwe tłumk dynamczne znaazły główne zastosowane w smukłych konstrukcach: mostach wszących [18 ] weżowcach [1 6] komnach [7 8] masztach poddanych różnorodnym wymuszenom zwązanym z oddzaływanem watru bądź ruchem sesmcznym podłoża. Podobne smukłą budową est konstrukca wsporcza (maszt) eektrown watrowe o pozome os obrotu. Tłumk dynamczne znaduą zastosowane w mostach drogowych koeowych [8 33] oraz przeznaczonych do ruchu peszego [34 35] w których dynamczne obcążene konstrukc wynka ze sposobu ruchu pocągów poazdów samochodowych czy też specyfk ruchu peszych.

2 188 W. ŁATAS P. MARTYNOWICZ Z uwag na ość możwych zastosowań w weu różnorodnych konstrukcach wee uwag pośwęcono zagadnenu prawdłowego doboru parametrów tłumków dynamcznych w układach bekowych [33 39]. Da układów cągłych takch ak bek z reguły naepszym punktem zamocowana tłumka dynamcznego est punkt przyłożena obcążena ae może sę to okazać technczne nemożwe. Zarówno wtedy ak w przypadku obcążena rozłożonego neprawdłowo dobrany punkt zamocowana tłumka może spowodować wzrost amptudy drgań w nektórych obszarach układu. W zaeżnośc od tego czy rozpatrue sę c okane zagadnena optymazac na przykład M mnmazaca amptudy drgań konstrukc w m ustaonym punkce czy też gobane zagadnena optymazac na przykład mnmazaca k średne energ knetyczne całego ub częśc drgaącego układu można uzyskać różne P(t) parametry optymane tłumka dynamcznego czy też układu tłumków. Okazue sę że dostroone tłumk dynamczne mogą powodować wzrost energ knetyczne układu w pewnych zakresach D Rys. 1. Mode układu maszt-gondoa z tłumkem dynamcznym w częstotwośc a kuczowym zagadnenem w gobanych probemach optymazac est ch odpowedna okazaca [374]. Wadą pasywnych tłumków dynamcznych est efektywne dzałane edyne w wąskm zakrese częstotwośc neskuteczność tłumena drgań nestaconarnych oraz wrażwość na nedokładne dostroene. W ceu poprawy efektywnośc wprowadza sę słę aktywną pomędzy tłumk a konstrukcę [ 341]. Wadą układów aktywnych est z koe duże zużyce energ uzaeżnene od e bezawarynego dostarczana. Układy semaktywne które mogą zmenać sztywność abo tłumene [14 44] w czase rzeczywstym maą epszą efektywność od układów pasywnych ne wymagaą duże ośc energ. Aby poprawć skuteczność emnac drgań stosue sę układy tłumków dynamcznych dostraanych w naogóneszym przypadku różnorodnym metodam na edną [9 3145] bądź też na kka częstotwośc rezonansowych [3335]. Uogónenem układów tłumków dynamcznych są tłumk o parametrach rozłożonych [46] które są odpowedne do zastosowana w przypadkach wymuszeń szerokopasmowych na przykład w zagadnenach redukc hałasu [47]. Maszt eektrown watrowe est poddawany różnym rodzaom wymuszeń oddzałuących bezpośredno (wry Karmana sła naporu watru) bądź za pośrednctwem wrnka turbny (sła naporu watru). Wymuszena zmenne w czase są źródłem drgań które mogą być nebezpeczne da konstrukc. Podczas proektowana konstrukc wsporcze oraz fundamentu naeży uwzgędnć ekstremane przypadk obcążeń dynamcznych. Zastosowane w układze maszt-gondoa tłumka dynamcznego pozwo zredukować wymagana wytrzymałoścowe konstrukc wsporcze fundamentu.

3 MODLOWANI DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA LKTROWNI WIATROWJ 189 W pracy rozważono drgana modeu układu maszt-gondoa eektrown watrowe z tłumkem dynamcznym. Maszt został zamodeowany ako utwerdzona pryzmatyczna beka sztywno połączona z masą skuponą reprezentuącą gondoę. Do masy skupone został dołączony tłumk dynamczny pracuący w kerunku pozomym (rys. 1).. MODL TORTYCZNY Rozważanym układem przedstawonym na rys. 1 est ponowa pryzmatyczna beka utwerdzona na ednym końcu ze sztywno zamocowaną masą skuponą M na drugm swobodnym końcu. Beka ma długość średncę D gęstość poe przekrou poprzecznego A moment bezwładnośc przekrou I moduł Younga. Na końcu bek do masy skupone dołączony est dynamczny tłumk drgań o mase m sztywnośc k współczynnku tłumena c (DODATK 1) wykonuący ruch w kerunku pozomym. Układ poddany est wymuszenu pozomą słą przyłożoną w dowone odegłośc od podstawy. Założono małe nowe drgana bek opsane modeem uera-bernouego z tłumenem wewnętrznym opsanym parametrem. Przy powyższych założenach równane drgań układu przedstawonego na rys. 1 ma postać: 5 4 w w w A I I P( t) ( 4 4 ) F( t) ( ) (1) t t gdze oznaczono: P( t ) sła wymuszaąca przyłożona w punkce o współrzędne F( t ) sła dzałaąca na bekę pochodząca od dołączonego w punkce o współrzędne tłumka dynamcznego (w badanym przypadku przymuemy ). Przedstawone obczena oraz użyte oznaczena są anaogczne do zawartych w pracy [4]. Do rozwązana równana ruchu (1) zastosowano metodę rozdzeena zmennych Fourera: w( t) q ( t) ( ) () 1 W powyższym wyrażenu przez ( ) oznaczono funkce własne bek z masą skuponą na końcu bez dołączonego tłumka dynamcznego. Naeży wyznaczyć funkce czasu q ( t ). Na wstępe przedstawono w postac szeregów Fourera dystrybuce Draca występuące po prawe strone równana (1): 1 ( ) d ( ) (3) 1 ( ) b ( ) (4) Po podstawenu szeregu () do równana (1) wykorzystanu zwązków (3) oraz (4) dokonano transformac Lapace a tego równana ze wzgędu na zmenną czasową: 4 4 As Q ( s) I sq ( s) I Q ( s) P( s) d F( s) b ( ) (5) 1

4 19 W. ŁATAS P. MARTYNOWICZ 4 A gdze: ; est -tą częstoścą drgań własnych układu bez dołączonego tłumka I dynamcznego da bek bez tłumena wewnętrznego. Przez Q ( s ) P( s ) F( s ) oznaczono transformaty Lapace a odpowedno q ( t ) P( t ) F( t ). Z nowe nezaeżnośc funkc własnych ( ) wynka ż: d P( s) b F( s) Q ( s) As I s 4 (1 ) Wykorzystuąc zaeżność (6) otrzymano wyrażene na transformatę funkc opsuące nę ugęca bek: dp( s) b F( s) W ( s) ( ) 4 As I (1 s) (7).1. Sła w tłumku dynamcznym przekazywana na bekę 1 (6) k c m w Rys.. Schemat częśc bek z dołączonym tłumkem dynamcznym Wykorzystuąc oznaczena na rys. można zapsać równane ruchu masy tłumka oraz wyrażene na rzut na kerunek w sły przekazywane od tłumka na bekę: mw ( t) k ( w ( t) w( t) c ( w ( t) w ( t) (8) w F( t) k ( w( t) w ( t) c w ( t) ( w ( t) (9) 1 1 W porównanu z rys. 1 tłumk na rys. został zamocowany w dowonym mescu bek opsanym współrzędną (da przerzystośc beka na rys. została narysowana pozomo). Po wykonanu transformac Lapace a wyrażeń (8) (9) otrzymano: mw ( s) k ( W ( s) W ( s) cs ( W ( s) W ( s) (1) F( s) k ( W ( s) W ( s) cs W ( s) ( W ( s) (11) 1 1 Z wyrażena (1) uzyskano transformatę ruchu masy tłumka W ( s ) : 1 cs k W1 ( s) W ( ) s cs k (1) Ostatna zaeżność oraz zwązek (11) daą wyrażene na transformatę sły przekazywane na bekę od tłumka dynamcznego:

5 MODLOWANI DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA LKTROWNI WIATROWJ 191 ( cs k) F( s) W ( s) cs k (13).. Przemeszczene tłumka dynamcznego oraz na ugęca bek Wykorzystuąc zaeżność (13) otrzymano ze zwązku (7) wyrażene na transformatę n ugęca bek: ( cs k) dp( s) bw ( s) W ( s) cs k ( ) 4 As I(1 s) (14) 1 Powyższa zaeżność pownna zachodzć także da : dp( s) bw ( s) cs k 4 1 As I (1 s) ( cs k) W ( s) ( ) (15) Z ostatnego wzoru uzyskano transformatę przemeszczena przekrou bek w mescu zamocowana tłumka dynamcznego: d ( ) P( s) 4 1 As I(1 s) W ( s) (16) ( cs k) b ( ) 1 4 cs k As I (1 s) Ostatne wyrażene po podstawenu do (1) oraz (14) pozwaa uzyskać wzory na transformatę n ugęca bek W ( s ) oraz transformatę przemeszczena tłumka dynamcznego W ( s ) Moment gnący sła tnąca w podporze Wykorzystuąc wyprowadzone wcześne zwązk otrzymać można wyrażena da transformat sły tnące oraz momentu gnącego da dowonego przekrou bek: ( cs k) dp( s) bw ( s) T ( s) I(1 s) W ( s) I (1 s) cs k ( ) 4 As I(1 s) (17) 1 1 ( cs k) dp( s) bw ( s) cs k 1 4 As I (1 s) M g ( s) I (1 s) W ( s) I(1 s) ( ) (18).4. Drgana ustaone charakterystyk amptudowo częstotwoścowe Rozpatruąc stan ustaony można w mesce s podstawć 1. Pozwaa to otrzymać charakterystyk amptudowo-częstotwoścowe da badanych wekośc. Przykładowo ponższy wzór przedstawa stosunek amptudy przemeszczena przekrou bek w mescu zamocowana tłumka dynamcznego do amptudy sły wymuszaące:

6 19 W. ŁATAS P. MARTYNOWICZ W ( ) d ( ) ( I A ) I b ( ) ( k c ) m 1 ( k m ) c ( I A ) I (19) Anaogczne wyrażena można otrzymać na charakterystyk amptudowo-częstotwoścowe n ugęca bek przemeszczena tłumka dynamcznego sły tnące oraz momentu gnącego..5. Funkce własne układu bez tłumka dynamcznego Funkce własne układu bez tłumka dynamcznego oraz ch druge trzece pochodne występuące w wyrażenach na moment gnący słę tnącą dane są wzoram: sn( ) snh( ) ( ) (sn( ) snh( )) (cos( ) cosh( )) () cos( ) cosh( ) sn( ) snh( ) ( ) (sn( ) snh( )) (cos( ) cosh( )) cos( ) cosh( ) 3 sn( ) snh( ) ( ) (cos( ) cosh( )) (sn( ) snh( )) cos( ) cosh( ) z Wartośc własne wynoszą gdze z są perwastkam równana charakterystycznego: 1 cos z cosh z z sn z cosh z cos z snh z (3) Wekość oznacza stosunek masy skupone znaduące sę na końcu pręta do masy bek pryzmatyczne: M A. Funkce własne są ortogonane z wagą (DODATK ): (1) () (1 ( )) ( ) ( ) d (4) Oznaczaąc funkcę wagową przez: ( ) 1 ( ) otrzymue sę wyrażena na współczynnk szeregów funkcynych (3) oraz (4): d ( ) ( ) ( ) d b ( ) ( ) ( ) d (5) gdze: ( ) ( ) d. Po obczenach otrzymue sę: d ( ) ( ) d ( ) b ( ) ( ) d ( ) (6)

7 MODLOWANI DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA LKTROWNI WIATROWJ WYNIKI OBLICZŃ Przyęto w obczenach że amptuda sły wymuszaące est równa P = 3 [N] a współrzędna e przyłożena est równa współrzędne zamocowana tłumka dynamcznego:. Obczena przeprowadzono da trzech warantów parametrów masowogeometrycznych modeu. Przy przyętych wartoścach parametrów fzycznych masowogeometrycznych zadowaaącą zbeżność numeryczną osągnęto da 1 wyrazów rozwnęca wyrażeń w szereg funkcyne. Parametry rozważanych trzech warantów konfgurac modeu dobrano po wzęcu pod uwagę zasady podobeństwa dynamcznego do rzeczywstych konstrukc eektrown watrowych oraz ogranczone możwośc aboratoryne t. wysokość pomeszczena dostępne wzbudnk drgań oraz dostępny tłumk MR (który zostane zastosowany doceowo w mesce tłumka wskotycznego). Przyęto założene ż masa dodatkowa m tłumka dynamcznego będze stanowć 1% masy modane perwsze postac drgań gętnych układu maszt-gondoa (take założene pozwaa uzyskać kkunastokrotny wzrost tłumennośc te postac): Mode 1: D.1 [ m] M [ kg] m [ kg] c [ Ns / m] k [ N / m] Mode : D.15 [ m] M [ kg] m [ kg] c 4.61[ Ns / m] k 47 [ N / m] Mode 3: D.11 [ m] M [ kg] m [ kg] c 7.56 [ Ns / m] k 768 [ N / m] Ponadto przyęto: 78. [ kg / m ].1 1 [ N / m ] (gęstość moduł Younga sta konstrukcyne).8 [ s].4 [ m]. Na podstawe anazy wynków obczeń stwerdzono ż wyższe postace drgań charakteryzuą sę znaczne wększym tłumennoścam znaczne mneszym (a) amptudam w zwązku z tym.5 Mode 1 zustrowano edyne amptudy Mode da perwsze postac drgań Mode 3.4 gętnych. Charakterystyk amptudowo-częstotwoścowe wychyena gondo.3 zameszczono na rys. 3. Wykres wdoczny na rys. 3 (a) przedstawa amptudy. wychyena gondo ze sztywno połączonym tłumkem czy.1 bez dzałaącego układu redukc drgań. Da trzech warantów modeu otrzymano podobne. wartośc częstotwośc rezonansowych: 5.58 Hz Częstotwość (Hz) (mode 1) Hz (mode ) Hz (mode 3). Amptuda wychyena gondo (m)

8 194 W. ŁATAS P. MARTYNOWICZ (b) Amptuda wychyena gondo (m) Rys. 3. Charakterystyk amptudowo-częstotwoścowe: a) układ bez dzałaącego tłumka dynamcznego b) układ z tłumkem dynamcznym 4. WNIOSKI KOŃCOW Częstotwość (Hz) Mode 1 Mode Mode 3 Wykres przedstawony na rys. 3 (b) obrazue amptudy drgań gondo z dostroonym tłumkem dynamcznym. Włączene tłumka dynamcznego skutkue prawe 1-krotnym spadkem amptudy drgań przy częstotwośc rezonansowe a co za tym dze podobnym spadkem wartośc momentu gnącego oraz sły tnące w punkce utwerdzena bek. Zastosowane tłumka dynamcznego oznacza zatem możwość znacznego ogranczena kosztów budowy konstrukc wsporcze turbny wraz z fundamentem. Zaprezentowaną metodykę wykorzystano do obczena amptudy przemeszczena masy skupone (gondo) (rys. 3) a także amptud sły poprzeczne momentu gnącego w mescu zamocowana bek do podłoża. Na podstawe otrzymanych wynków możwe est zaproektowane stanowska badawczego do anazy dynamk modeu układu maszt-gondoa eektrown watrowe oraz rozbudowane go o dynamczny tłumk drgań. DODATK 1 OPTYMALN PROJKTOWANI TŁUMIKÓW DYNAMICZNYCH Tłumk dynamczne są zwyke dostroone do poedyncze formy drgań układu. Z anatycznego punktu wdzena tłumk est dołączony do oscyatora (modanego) o ednym stopnu swobody w wynku czego powstae układ o dwóch stopnach swobody. Da takch układów nowych stnee kka metod których ceem est optymane dostroene tłumka dynamcznego opsanego dwoma parametram: a gdze a k m S częstość drgań oscyatora (modanego); S c bezwymarowy współczynnk tłumena tłumka dynamcznego. km Optymane wartośc wymenonych parametrów zaeżą od tego czy rozpatrywany układ est wymuszony słą czy też ruchem podłoża oraz czy wartość wymuszena est funkcą determnstyczną czy osową. W przypadku drgań o ednym stopnu swobody z dołączonym tłumkem dynamcznym z reguły poma sę tłumene w układze [1][3]. Da przyęte wartośc parametru przy zmenaące sę wartośc stneą dwa nezmenncze punkty przez które przechodzą wszystke charakterystyk amptudowo-częstotwoścowe. Da ustaonego stosunku masy tłumka dynamcznego m do masy modane m (da dane formy drgań) m m położene tych punktów zaeży edyne od parametru który est zmenany aż amptudy S S

9 MODLOWANI DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA LKTROWNI WIATROWJ 195 wychyena w punktach nezmennczych osągną wartośc mnmane (które okazuą sę być take same). Tłumene est z koe tak dobrane żeby charakterystyk mały w punktach nezmennczych pozomą styczną. Powyższe rozważana prowadzą do następuących optymanych wartośc parametrów tłumka dynamcznego [1]: 1 OPT 1 3 OPT 8(1 ) W przypadku tłumena występuącego w drgaącym układze można tak dobrać parametr że maksymane amptudy ruchu będą występować w pobżu punktów nezmennczych. Przykładowo borąc średną wartość ze współczynnków tłumena da których maksma amptud znaduą sę w ednym oraz drugm punkce nezmennczym otrzymue sę optymaną wartość tłumena daną wzorem [3]: 3 OPT 3 8(1 ) Wszystke optymane wartośc parametrów podane powyże zostały wyprowadzone przy założenu małe w porównanu z ednoścą wartośc współczynnka mas. DODATK WARUNK ORTOGONALNOŚCI FUNKCJI WŁASNYCH Funkce własne ( ) ( ) spełnaą równana: IV 4 ( ) ( ) IV 4 ( ) ( ) (1') Perwsze równane mnoży sę stronam przez ( ) druge przez ( ) a następne odemue stronam: 4 4 IV IV ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (') Wyrażene (') całkue sę po zmenne w grancach od do. Po przekształcenach otrzymue sę : 4 4 ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3') Rozdzeone warunk brzegowe da bek utwerdzone w punkce oraz z masą skuponą M na końcu swobodnym bek da maą postać: M 4 () () ( ) ( ) ( ) (4') A Po uwzgędnenu warunków (4') otrzymano ze wzoru (3'): M ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) (5') A Ostatn wynk można zapsać w postac: 4 4 ( ) (1 ( )) ( ) ( ) d (6')

10 196 W. ŁATAS P. MARTYNOWICZ LITRATURA 1. Den Hartog J.P.: Mechanca vbratons Dover Pubcatons Mneoa NY Korenev B.G. Reznkov L.M.: Dynamc vbraton absorbers :theory and technca appcatons. New York: Wey Harrs C.M. Perso A.G.: Harrs shock and vbraton handbook. McGraw-H. 4. Mead D.J.: Passve vbraton contro. New York: Wey Lee Ch.-L. Chen Y.-T. Chung L.-L. Wangd Y.-P.: Optma desgn theores and appcatons of tuned mass dampers. ngneerng Structures 6 8 p Rüdnger F.: Tuned mass damper wth fractona dervatve dampng. ngneerng Structures 6 8 p L C. Zhu B.: stmatng doube tuned mass dampers for structures under ground acceeraton usng a nove optmum crteron. Journa of Sound and Vbraton 6 98 p Krenk S. Høgsberg J.: Tuned mass absorbers on damped structures under random oad. Probabstc ngneerng Mechancs 8 3 p Mohtat A. Dehghan-Nr.: Generazed framework for robust desgn of tuned mass damper syste. Journa of Sound and Vbraton 1 33 p Leung A.Y.T. Zhang H.: Partce swarm optmzaton of tuned mass dampers. ngneerng Structures 9 31 p Sgobba S. Marano G.C.: Optmum desgn of near tuned mass dampers for structures wth nonnear behavour. Mechanca Syste and Sgna Processng 1 4 p Marano G.C. Greco R. Sgobba S.: A comparson between dfferent robust optmum desgn approaches: appcaton to tuned mass dampers. Probabstc ngneerng Mechancs 1 5 p Chakraborty S. Roy B.K.: Reabty based optmum desgn of tuned mass damper n sesmc vbraton contro of structures wth bounded uncertan parameters. Probabstc ngneerng Mechancs 11 6 p Farsh B. Assad A.: Deveopment of a chaotc nonnear tuned mass damper for optma vbraton response. Communcaton n Nonnear Scence and Numerca Smuaton p Jokc M. Stegc M. Butkovc M.: Reduced-order mutpe tuned mass damper optmzaton: a bounded rea emma for descrptor syste approach. Journa of Sound and Vbraton p Tg O.F.: Optmum vbraton absorber (tuned mass damper) desgn for near damped syste subected to random oads. Journa of Sound and Vbraton p Bsegna P. Caruso G.: Cosed-form formuas for the optma poe-based desgn of tuned mass dampers. Journa of Sound and Vbraton p Chen S.R. Ca C.S.: Couped vbraton contro wth tuned mass damper for ong-span brdges. Journa of Sound and Vbraton 4 78 p Abde-Rohman M. Maram J.J.: Contro of wnd-nduced nonnear oscatons n suspenson brdges usng mutpe sem-actve tuned mass dampers. Journa of Vbraton and Contro 6 1(9) p Chen S.R. Wu J.: Performance enhancement of brdge nfrastructure syste: ongspan brdge movng trucks and wnd wth tuned mass dampers. ngneerng Structures 8 3 p

11 MODLOWANI DRGAŃ UKŁADU MASZT-GONDOLA LKTROWNI WIATROWJ Nagaraaah S. Varadaraan N.: Short tme Fourer transform agorthm for wnd response contro of budngs wth varabe stffness TMD. ngneerng Structures 5 7 p Wang A.-P. Ln Y.-H.: Vbraton contro of a ta budng subected to earthquake ectaton. Journa of Sound and Vbraton 7 99 p Gucu R. Yazc H.: Vbraton contro of a structure wth ATMD aganst earthquake usng fuzzy ogc controers. Journa of Sound and Vbraton p Lu M.-Y. Chang W.-L. Hwang J.-H. Chu Ch.-R.: Wnd-nduced vbraton of hghrse budng wth tuned mass damper ncudng so-structure nteracton. Journa of Wnd ngneerng and Industra Aerodynamcs 8 96 p Bekdaş G. Ngde S.M.: stmatng optmum parameters of tuned mass dampers usng harmony search. ngneerng Structures p Moon K.S.: Structura desgn of doube skn facades as dampng devces for ta budngs. Proceda ngneerng p Rccarde F.: On the amount of tuned mass to be added for the reducton of the sheddng-nduced response of chmneys. Journa of Wnd ngneerng and Industra Aerodynamcs 1 89 p Brownohn J.M.W. Carden.P. Goddard C.R. Oudn G.: Rea-tme performance montorng of tuned mass damper system for a 183m renforced concrete chmney. Journa of Wnd ngneerng and Industra Aerodynamcs 1 98 p Yau J.-D. Yang Y.-B.: A wdeband MTMD system for reducng the dynamc response of contnuous truss brdges to movng tran oads. Journa of Structura ngneerng 4 6 p Yau J.-D. Yang Y.-B.: Vbraton reducton for cabe-stayed brdges traveed by hghspeed trans. Fnte ements n Anayss and Desgn 4 4 p L J. Su M. Fan L.: Vbraton contro of raway brdges under hgh-speed trans usng mutpe tuned mass dampers. ASC Journa of Brdge ngneerng 5 1(3) p Sh X. Ca C.S.: Suppresson of vehce-nduced brdge vbraton usng tuned mass damper. Journa of Vbraton and Contro 8 14(7) p Luu M. Zabe V. Könke C.: An optmzaton method of mut-resonant response of hgh-speed tran brdges usng TMDs. Fnte ements n Anayss and Desgn 1 53 p L Quan. Fan J. Ne J. L Quanwang. Chen Y.: Crowd-nduced random vbraton of footbrdge and vbraton contro usng mutpe tuned mass dampers. Journa of Sound and Vbraton 1 39 p Caetano. Cunha Á. Magahães F. Moutnho C.: Studes for controng humannduced vbraton of the Pedro e Inês footbrdge. Part : Impementaton of tuned mass dampers. ngneerng Structures 1 3 p smazadeh. Ja N.: Optma desgn of vbraton absorbers for structuray damped Tmoshenko bea. ASM Journa of Vbraton and Acoustcs p Brennan M.J. Dayou J.: Goba contro of vbraton usng a tunabe vbraton neutrazer. Journa of Sound and Vbraton 3(3) p Younesan D. smazadeh. Sedaghat R.: Passve vbraton contro of bea subected to random ectatons wth peaked PSD. Journa of Vbraton and Contro 6 1(9) p Yang F. Sedaghat R.: Vbraton suppresson of non-unform curved bea under random oadng usng optma tuned mass damper. Journa of Vbraton and Contro 9 15() p

12 198 W. ŁATAS P. MARTYNOWICZ 4. Cheung Y.L. Wong W.O.: Isoaton of bendng vbraton n a beam structure wth a transatona vbraton absorber and a rotatona vbraton absorber. Journa of Vbraton and Contro 8 14(8) p Lm Ch.-W.: Actve vbraton contro of the near structure wth an actve mass damper appyng robust saturaton controer. Mechatroncs 8 18 p Rccarde F. Occhuzz A. Cemente P.: Sem actve tuned mass damper contro strategy for wnd-ected structures. Journa of Wnd ngneerng and Industra Aerodynamcs 87 p Keye S. Kemerb R. Homannc S.: A vbraton absorber wth varabe egenfrequency for turboprop arcraft. Aerospace Scence and Technoogy 9 13 p Km H.-S. Kang J.-W.: Sem-actve fuzzy contro of a wnd-ected ta budng usng mut-obectve genetc agorthm. ngneerng Structures 1 41 p L H.-N. N X.-L.: Optmzaton of non-unformy dstrbuted mutpe tuned mass damper. Journa of Sound and Vbraton 7 38 p Du D. Gu X.-J. Chu D.-Y. Hua H.: Performance and parametrc study of nfntemutpe TMDs for structures under ground acceeraton by H optmzaton. Journa of Sound and Vbraton 7 35 p Thompson D.J.: A contnuous damped vbraton absorber to reduce broad-band wave propagaton n bea. Journa of Sound and Vbraton p MODLLING VIBRATION OF WIND TURBIN TOWR-NACLL ASSMBLY WITH A TUND MASS DAMPR Summary. The paper deas wth vbraton of wnd turbne tower-nacee assemby. The tower s modeed as a prsmatc beam wth a umped mass representng the nacee. In order to attenuate vbraton a horzonta tuned mass damper s attached to the nacee. Assumng sma and near vbraton an anaytca uer-bernou mode s ntroduced. The system s subected to the horzonta ectaton force. The souton to the probem s epanded n a Fourer seres. Performng tme-lapace transform formuas descrbng dspacement amptudes of arbtrary pont of the beam may be wrtten n the frequency doman. Proekt został sfnansowany ze środków Narodowego Centrum Nauk.