METHOD OF ANALYSIS OF MEASUREMENT RESULT COHESION WITH THE THEORY OF MATHEMATICAL RECORD USING AND CONCENTRATIONS ANALYSIS

Transkrypt

1 Joural of ONES Powertrai ad Trasport, Vol.4, No. 007 METHOD OF ANALSIS OF MEASUREMENT RESULT COHESION WITH THE THEOR OF MATHEMATICAL RECORD USING AND CONCENTRATIONS ANALSIS *atarzya Topolsa, *Wojciech Walowia, **Mariusz Topolsi Politechia Wrocawsa *Wydzia Mechaiczy Istytut ostrucji i Esploatacji Maszy **Wydzia Eletroii atedra Systemów i Sieci omputerowych Wyb. Wyspiasiego 7, Wrocaw, Polad atarzya.topolsa@pwr.wroc.pl, wojciech.walowia@pwr.wroc.pl mariusz.topolsi@pwr.wroc.pl.pl Abstract This study presets method of selectio the most coheret, repeatable i time, results of researches. Firstly, a possible of applicatio of cocetratio aalysis for detectio of variable or depedet variable, which results are differet from other variables, is preseted. Because some results of the same variable i time periods could ifluece o icrease of results stadard error, for such poits detectio, measure usig mathematic filig system theory, Spearma s correlatio ordial ras ad weight of iformatio cotradictio, i sese of Dampster-Shafer theory, are proposed. The obtaied measure cause decrease of results stadard errors by selectio ad removal of measure poits which ifluece o validity scales decrease. Example-results of the measuremet, the aalysis of cocetratios for variable,, 3 ad 4, results of the ormalizatio for each result of measuremets, average values of measuremet for all received results BZ ad for selected MODELS, results of measuremet mared curves of average data for all BZ measuremets ad measuremet selected of MODEL least stadard-errors are preseted i the paper. eywords: modellig, durability, Dempster Shafer, statistica METODA ANALIZ SPÓJNOCI WNIÓW POMIARÓW Z WORZSTANIEM TEORII EWIDENCJI MATEMATCZNEJ I ANALIZ SUPIE Streszczeie W artyule zastaa przedstawioa metoda doboru ajbardziej spójych wyiów pomiarów powtarzaych w czasie. W pierwszej czci zaprezetowao moliwo zastosowaia aalizy supie do wyrycia zmieej bd zmieych zaleych, tórych wyii rói si od pozostaych zmieych. Poiewa ietóre wyii pomiarów tej samej zmieej w odstpach czasu mog wpywa a zwiszaie bdu stadardowego wyiów, wic w celu wyrycia taich putów zapropoowao miar wyorzystujc teori ewidecji matematyczej, orelacj rag porzdowych Spearmaa i wag sprzeczoci iformacji w sesie teorii Dempstera-Shafera. Uzysaa miara pozwolia a obieie bdów stadardowych pomiarów, przez wyselecjoowaie i usuicie putów pomiarowych, tóre wpywaj a zmiejszeie rzeteloci sal. W szczególoci w artyule przedstawioo przyadowe wyii pomiaru, aaliza supie dla zmieych,, 3 i 4, wyii ormalizacji dla poszczególych wyiów pomiarów, uredioe wartoci pomiarów dla wszystich otrzymaych wyiów BZ i dla wyselecjoowaych MODELI, wyii pomiarów wraz z aiesioymi rzywymi uredieia daych dla wszystich pomiarów BZ i pomiarów wyselecjoowaych o ajmiejszych bdach stadardowych MODELI. Sowa luczowe: modelowaie, trwao, Dempster- Shafer, statystya

2 . Topolsa, W. Walowia, M. Topolsi. Wprowadzeie Badajc róe obiety, p. elemety silia, aby uwiarygodi wyii pomiaru wyouje si badaia a wiszej liczbie tych samych elemetów w odstpie czasu. Oczywiste jest, e te zmiee ta mierzoe s od siebie zalee. Po wyoaiu taich esperymetów pojawia si istoty problem odwzorowaia wszystich pomiarów w jede spójy i wiarygody przebieg zmieoci. Bardzo czsto bdie uredia si wyii taich pomiarów, uzasadiajc to powtarzalymi waruami pomiaru. Niestety w rzeczywistoci róe czyii zewtrze, tórych ie bierzemy pod uwag, wpywaj a poprawo wyiów. Naley wic zastosowa metody pozwalajce a wyrycie pewych putów pomiarów, istotie statystyczie róicych si od supie poprawych wyiów. Bdy mog pojawia si w obrbie pojedyczych pomiarów albo caych mierzoych zmieych. W dalszej czci pracy zostaie zaprezetowaa metoda doboru wyiów bada do wyzaczaia charaterysty zmieoci. Teoria Dempstera - Shafera, zwaa jest iaczej teori ewidecji matematyczej, czy te teori fucji przeoaia. Wyzaczae s prawdopodobiestwa z jaimi dae hipotezy moa udowodi. Teoria umoliwia rozróieie wiedzy od iewiedzy i ma zastosowaie w przypadach iepeej iformacji, sadaia ewidecji i atualizacji przeoa. W teorii Dempstera Shafera zdaiom przypisuje si wieloci BelA, tóra azywaa jest stopiem przeoaia. Teoria wyorzystuje matematycze prawdopodobiestwa do subietywej ocey espertów i daje moliwo przypisywaia przeoa zarówo dla pojedyczych przeoa ja i grup odpowiedzi, a tae ie uzupeia si w teorii Dempstera Shafera iepeej specyfiacji. Przez fucj masy w sesie teorii DS rozumie si fucj m:^{ }[0,] speiajc warui: A m A, m 0, m A 0. 3 A Dowiedzioo [5], e dla adej fucji przeoaia Bel istieje doadie jeda fucja masy m taa, e BelA m B, atomiast dla zbiorów wiszej liczoci fucj ma moa BA tratowa jao wyrówaie "igoracji" podzbiorów daego zbioru. Przez fucj przeoaia w sesie teorii DS rozumie si ta fucj Bel:^{ }[0,], e BelA m B, 4 gdzie mb jest fucj masy w sesie teorii DS. Fucja przeoaia mierzy wiarygodo poszla a rzecz A. - dysrety iepusty soczoy zbiór, przy czym dla pewego aturalego BA Zmiea A - przyjmuje wartoci ze zbioru Rozpatrujc dwa rozady m i m, moa dooa ich poczeia, otrzymujc owy rozad bazowy m wedug reguy ABC m A m B mc. 6 m A m B AB 5

3 Method of Aalysis of Measuremet Result Cohesio with the Theory of Mathematical Record W pracy wyorzystao teori ewidecji matematyczej gdy wyii pomiaru s czsto ieprecyzyje i iepewe oraz bra jest czasami caowitej specyfiacji modelu. Szersze iformacje odoie teorii ewidecji matematyczej moa odale w pracach [,,3,4,5,6].. Metoda selecjoowaia zmieych i pojedyczych putów pomiarowych W celu zobrazowaia metody przytoczoy zostaie przyad, a podstawie tórego osewetie bd prezetowae poszczególe etapy wyzaczaia charaterystyi. Przyjmijmy dla uproszczeia, e a pewym elemecie mechaiczym wyoao dla pewej zadaej wartoci X={,,...,0} pomiar wartoci X. W celu uzysaia spójych wyiów pomiar powtórzoo a czterech róych tej samej lasy elemetach. Wyii esperymetu zestawioo w tabeli. Tab.. Przyadowe wyii pomiaru Tab.. Example-results of the measuremet lp X 3 4,4 0,84 0,6,57,36,73 3 3,3,56,06,6 4 4,88,6 3, ,35 3,77 3,5, ,38 3,8 3, ,6 5,04 5,39 3, ,5 6,9 6,33 5, ,5 7,97 8,63 4, ,4 0,74,0,97 W tabeli wytuszczoo pewe wyii, co zostaie wyjaioe w dalszej czci rozwaa. ro. Wyoaie aalizy supie W rou tym aley dooa esploracyjej aalizy daych, tórej celem jest uoeie zmieych w grupy w tai sposób, aby stopie ich powizaia by ja ajwiszy, a ze zmieymi pozostaych grup ja ajmiejszy. Aaliza taa wyrywa strutury z daych bez wyjaiaia dlaczego oe wystpuj. ro. Selecja pojedyczych pomiarów, tóre istotie wosz bdy do caoci bada. Poiewa zmiee ={,,3,4} s zalee od siebie, wic w pierwszej olejoci doouje si ormalizacji ich wartoci, ta aby olumy wyiów speiay warue ortogoaloci:, m, N i i 7 gdzie: - ozacza -t zmie ze wszystich zmieych. W aalizowaym wypadu ={,,3,4}, ={,,...,N} ozacza -ty pomiar sporód N pomiarów dla -tej zmieej. 53

4 . Topolsa, W. Walowia, M. Topolsi Diagram drzewa Pojedycze wizaie Odleg. eulidesowa *Odl/Odl.mas Rys.. Aaliza supie dla zmieych,, 3 i 4 Fig.. The aalysis of cocetratios for variable,, 3 ad 4 Z rysuu moa wywiosowa, e zmiee i 3 oraz s ze sob bardzo powizae, ale zmiea 4 osabia asze ryterium tego, a ile jest oa istota w badaiach. Poiewa zmiea 4 zdecydowaie tworzy wase supieie, wic moa przypuszcza, e aley wyii 4 odrzuci. Jedae odrzuceie wszystich wyiów moe powodowa strat ceych putów pomiarów. W astpym pucie zostaie przedstawioy to postpowaia, za pomoc tórego wyodrbioe zosta pomiary wprowadzajce istote bdy do charaterysty pomiarów. Po wyoaiu ormalizacji przedstawioej we wzorze 7, doouje si ormalizacji wierszy adego pomiaru wyiów dla wszystich zmieych: N m m m. 8 Wyoujc dziaaia zgodie ze wzorami 7 i 8 otrzymuje si macierz, tórej wiersze speiaj warue ortogoaloci i staowi elemety ogisowe dla fucji przeoaia w sesie teorii Dempstera-Shafera: a b N N m m 0. 9 Wyii taiej ormalizacji zestawioo w tabeli. 54

5 Method of Aalysis of Measuremet Result Cohesio with the Theory of Mathematical Record Tab.. Wyii ormalizacji dla poszczególych wyiów pomiarów Tab.. Results of the ormalizatio for each result of measuremets lp X 3 4 0,6 0,3 0, 0,0 0,7 0,3 0,9 0, 3 3 0,6 0,9 0,3 0, ,6 0,3 0,8 0, ,4 0,7 0,5 0, ,5 0,7 0,4 0, ,6 0,5 0,6 0, ,5 0,6 0,4 0, ,7 0,6 0,8 0, , 0,3 0,3 0,3 Niech 0 m m 0 oraz m m. Moa oreli miary sprzeczoci iformacji, tóre zaprezetowao we wzorach i 3:, m m m R dla m m m m R a. 0.5 m m m R dla m R m m m b 3 55

6 . Topolsa, W. Walowia, M. Topolsi W powyszych aalizach wyorzystao tylo fucje aloacji prawdopodobiestwa i ie obliczao fucji przeoaia, gdy dla zadaia pojedyczych zdarze mamy do czyieia z bayesows fucj przeoaia, tóra jest tosama z fucj aloacji prawdopodobiestwa: Bel ' m. 4 ' We wzorach i 3 R jest orelacj Spermaa midzy jed zmie zale, a pozostaymi zmieymi. Jeeli olejy pomiar wiersze daych speia warue, 0. wówczas pomiar tai moa uza za spójy, iesprzeczy z pozostaymi wyiami pomiarów dla oreloej wartoci X. W wypadu, gdy iespeioy jest powyszy warue pomiar jest usuway. Po wyorzystaiu zaleoci i 3 w tabeli i zazaczoo wytuszczoym druiem pomiary, tóre ie speiaj wyej zapropoowaego waruu iesprzeczoci. W zwizu z powyszym s oe usuite z dalszej aalizy. W te sposób uzysao uredioe wyii pomiarów zestawioe w tabeli 3 z obliczoymi bdami stadardowymi dla wypadu wzicia pod uwag wszystich pomiarów i wzitych tylo tych ajbardziej istotych wedug zapropoowaej metody selecji. Aaliza wyiów pomiarów z wyorzystaiem opracowaego modelu sprawia, e po uredieiu istotych wyiów dla poszczególych pomiarów zmieych uzysao uogólio warto zmieej, tórej bd stadardowy dla rediej jest dla adego pomiaru istotie miejszy i gdyby uredioo wszystie wyii BD. Tab. 3. Uredioe wartoci pomiarów dla wszystich otrzymaych wyiów BZ i dla wyselecjoowaych MODELI Tab. 3. Average values of measuremet for all received results BZ ad for selected MODELS Zmiea redia redia Odch.Std. Odch.Std. Stad. Bd Stad. Bd X BZ MODEL BZ MODEL BZ MODEL 0,93 0,90 0,65 0,3 0,33 0,080,45,553 0,35 0,86 0,58 0,07 3,3,45 0,400 0,0 0,00 0,085 4,655,873 0,489 0,70 0,45 0,56 5 3,343 3,543 0,437 0, 0,9 0, 6 3,80 4,067 0,564 0,86 0,8 0,65 7 4,83 5,97 0,76 0,78 0,38 0,03 8 6,08 6,587 0,798 0,30 0,399 0,75 9 7,40 8,50,703 0,34 0,85 0,97 0,030 0,77 0,675 0,306 0,337 0,76 W te sposób moa teraz wyreli fucje zaleoci zmieej od X, co przedstawioo a rysuu. Na tym rysuu przedstawioo aiesioe puty pomiarowe dla trzech bada, ade po 0 pomiarów. Poadto areloo uredioe wyii tych pomiarów dla dwóch przypadów wszystie wyii pomiarów BZ, wyselecjoowae pomiary z wyorzystaiem MODELU zapropoowaego w iiejszej pracy. Drugi wypade zosta areloy dla caowitego usuicia zmieej 4 i dwóch putów dla zmieej zawartych w tabelach,. 56

7 Method of Aalysis of Measuremet Result Cohesio with the Theory of Mathematical Record 3. Podsumowaie W pracy zaprezetowao metod selecjoowaia zmieych oraz pojedyczych putów pomiarowych ajlepiej zwizaych ze wszystimi pomiarami. Aaliza supie zostaa wyorzystaa do oszacowaia zmieych ajbardziej zwizaych ze sob i daa oa moliwo usuicia zmieej ajbardziej oddaloej w sesie podobiestwa odlego eulidesowa od pozostaych. Wyorzystao teori ewidecji matematyczej do oszacowaia stopia przyaleoci putu pomiarowego do grupy putów. W tym celu wyorzystao miar R orelacji rag porzdowych Spearmaa, midzy ad zmie a pozostaymi zmieymi, aby ustali moc powizaia tych zmieych. Nastp wieloci wyorzysta we wzorach i 3 jest miara sprzeczoci w sesie teorii Dempstera-Shafera. Dzii zastosowaiu uifiacji tych trzech iformacji uzysao miar {, }, tórej dziedzi jest przedzia liczb rzeczywistych [0,]. Im warto jest blisza zeru, tym poszczególy pomiar jest bardziej spójy z grup pomiarów. Jeeli warto tego wspóczyia dy do, ozacza to, e put pomiarowy jest coraz sabiej zwizay z grup pomiarów. W pracy przyjto dla 4 pomiarów istoto tego wspóczyia 0,. Jeeli wyii {, } s miejsze od 0., s oe uzae za istote dla caoci bada. Zalet taiego podejcia jest moliwo wychwyceia tych pomiarów, tóre w istoty sposób powiszaj bd stadardowy wartoci rediej. Daje oo moliwo uzysaia spójej sali wyiów i tym samych istotie poprawia ich wiarygodo.,00 0,00 8,00 6,00 4,00,00 0, ,800 X BZ MODEL 3 4 Rys.. Wyii pomiarów wraz z aiesioymi rzywymi uredieia daych dla wszystich pomiarów BZ i pomiarów wyselecjoowaych o ajmiejszych bdach stadardowych MODELI Fig.. Results of measuremet mared curves of average data for all BZ measuremets ad measuremet selected of MODEL least stadard-errors 57

8 . Topolsa, W. Walowia, M. Topolsi 4. Literatura [] Durham, S. D., Smola, J. S., Valtorta, M., Statistical cosistecy with Dempster s rule o diagostic trees havig ucertai performace parameters, Iteratioal joural of Approximate Reasoig, 6, 67-8, 99. [] Gordo, J., Shortliffe E. H., The Dempster-Shafer Theory of Evidece, [w:] Schafer G. Pearl J., [red.] Readigs i Ucertai Reasoig. Morga aufma Publ., Ic., Sa Mateo, Califoria, 99. [3] Straszeca, E., Straszeca. J., Iterpretatio of Medical Symptoms Usig Fuzzy Focal Elemets, 4 th Iteratioal Coferece o Computer Recogitio Systems - CORES005, Rydzya Polad -5 May, 005. [4] Straszeca, E., Straszeca, J., Medical Reasoig with Fuzzy ad Ucertai Symptoms - Proc. Europea Symposium o Itelliget Techiques, pp ESIT 000 Aache, Germay, 000. [5] Wierzcho, S., Metody reprezetacji i przetwarzaia iformacji iepewej w ramach teorii Dempstera-Shafera, Istytut Podstaw Iformatyi Polsiej Aademii Nau, Warszawa, 996. [6] Wag, A., A Defect i Dempster-Shafer Theory, Proc. Cof. Icertaity i Artificial Itelligece, UA96, URL=ftp://cogsci.idiaa.edu/pub/wag.dempster.ps. 58