OPTYMALIZACJA ROZMYTEGO FILTRU KALMANA PRZY WYKORZYSTANIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH

Transkrypt

1 Prace Nauowe Istytutu Maszy, Napędów i Pomiarów Eletryczych Nr 69 Politechii Wrocławsiej Nr 69 Studia i Materiały Nr 33 3 algorytm geetyczy, optymalizacja, filtr Kalmaa, uład dwumasowy Krzysztof DÓŻDŻ* OPYMALIZACJA OZMYEGO FILU KALMANA PZY WYKOZYSANIU ALGOYMÓW GENEYCZNYCH W artyule przedstawioo zagadieia związae z optymalizacją rozmytego filtru Kalmaa, pracującego w adaptacyjej struturze sterowaia uładu dwumasowego. Omówioo przyłady współczesych strutur sterowaia uładów eletryczych z połączeiem sprężystym, wymagających zastosowaia metod estymacji zmieych stau obietów dyamiczych. Szczególą uwagę zwrócoo a estymatory oparte a teorii filtru Kalmaa. Scharateryzowao ich problematyę oraz przedstawioo możliwości zastosowaia algorytmów geetyczych. Przedstawioo obiet badań, model matematyczy oraz algorytmy geetycze. Zaprezetowao proces optymalizacji rozmytego filtru Kalmaa przy ich wyorzystaiu. Przedstawioo wyii badań przy zastosowaiu obserwatora w otwartej oraz zamiętej struturze sterowaia.. WPOWADZENIE We współczesych struturach sterowaia apędów eletryczych wyorzystywae są sprzężeia zwrote od różych wielości eletromechaiczych uładów apędowych. W przypadu wielu algorytmów sterowaia wymagae jest posiadaie iformacji o wielościach, tóre w pratyce są trudo mierzale []. Przyładem występowaia taiej sytuacji są strutury sterowaia uładów apędowych z połączeiem sprężystym, gdzie wymagaa jest dostępość iformacji o taich wielościach, ja: momet sręty wału apędowego, momet obciążeia, prędość maszyy roboczej, różica prędości silia i maszyy roboczej, stała czasowa maszyy roboczej, czy pochode wybraych wielości []. W taim przypadu zastosowaie zajdują metody estymacji zmieych stau uładów dyamiczych. Spośród wielu metod odtwarzaia zmieych stau apędów eletryczych, opisaych w [7], wyróżić * Istytut Maszy Napędów i Pomiarów Eletryczych Politechii Wrocławsiej, ul. Smoluchowsiego 9, 5-37 Wrocław, rzysztof.drozdz@pwr.wroc.pl.

2 4 moża obserwatory oparte a teorii filtru Kalmaa []. Zastosowaie taiego rozwiązaia prowadzi do uzysaia pożądaej jaości estymacji wymagaych wielości, w waruach występowaia załóceń pomiarowych i parametryczych. Problematyczym zagadieiem w tym przypadu jest dobór współczyiów macierzy owariacji załóceń stau Q i wyjścia. Pomimo istieia metod aalityczych, tóre umożliwiają wyzaczeie wartości wspomiaych współczyiów [3], ajczęściej są oe dobierae w sposób doświadczaly []. Podejście aalitycze jest słusze w przypadu doładej zajomości parametrów uładu, tóre ie ulegają zmiaie podczas jego pracy oraz przy brau występowaia załóceń sygałów wyjściowych. W przypadu występowaia wymieioych czyiów jedym z rozwiązań jest zastosowaie algorytmów geetyczych, tóre umożliwiają zalezieie wartości miimalej przyjętej fucji celu [4], [5], [9]. Fucja ta powia być oreśloa w sposób zapewiający odporość uładu a zmiaę wybraych parametrów []. Algorytm geetyczy to procedura iteracyja, tórej celem jest optymalizacja oreśloej fucji celu poprzez zmiay osobiów populacji wyjściowej. Osobii te zaodowae są w postaci łańcuchów geów tworzących tzw. chromosomy. Ich zmiay astępują dzięi przeprowadzeiu zdefiiowaych operacji geetyczych, ja mutacja, rzyżowaie i selecja [7]. W iiejszej pracy przedstawioo zagadieia związae z zastosowaiem algorytmów geetyczych do optymalizacji rozmytego filtru Kalmaa FK, pracującego w adaptacyjej struturze sterowaia uładu dwumasowego. Do rozważań wyorzystao zmodyfioway algorytm ieliiowego rozszerzoego filtru Kalmaa NFK. Modyfiacja polegała a wprowadzeiu systemu rozmytego, tórego zadaiem była adaptacja wybraych współczyiów macierzy Q, a podstawie atualej estymowaej wartości stałej czasowej maszyy roboczej. ozważaia teoretycze zweryfiowao poprzez badaia symulacyje. W literaturze światowej istieje szereg prac opisujących w sposób ogóly modyfiacje filtrów Kalmaa [] [4], atomiast w literaturze rajowej występuje ich zioma liczba [8]. Implemetacja propoowaego rozwiązaia staowi owe podejście, ze względu a bra prac opisujących zastosowaie rozmytego filtru Kalmaa do estymacji zmieych stau i parametrów uładu dwumasowego.. OPIS I MODEL MAEMAYCZNY OBIEKU BADAŃ Przedmiotem badań jest rozmyty filtr Kalmaa pracujący w adaptacyjej struturze sterowaia uładu dwumasowego. Do rozważań wyorzystao model matematyczy uładu dwumasowego z beziercyjym połączeiem sprężystym, tóry moża opisać astępującymi rówaiami stau w jedostach względych []: dω t = me t ms t, dt

3 43 dω t = ms t ml t, dt dms t = ω t ω t 3 dt c gdzie: ω prędość silia, ω prędość maszyy roboczej, m e momet eletromagetyczy, m s momet sręty, m L momet obciążeia, mechaicza stała czasowa silia, mechaicza stała czasowa maszyy roboczej, c stała sprężystości. Wartości parametrów aalizowaego uładu wyosiły: = =,3 s, c =, s. Pozostałe dae zamodelowaego obietu zajdują się w []. W badaiach wyorzystao struturę sterowaia adaptacyjego z regulatorem PI i dwoma dodatowymi sprzężeiami zwrotymi, od mometu srętego oraz różicy prędości []. Schemat omawiaej strutury sterowaia przedstawioo a rysuu. W badaiach założoo szeroi zares zmia stałej czasowej maszyy roboczej od,4 N do 4 N. ys.. Schemat bloowy strutury sterowaia Przyjęto astępującą trasmitację pętli wymuszeia mometu eletromagetyczego: G p s =. 4,s +

4 44 Współczyii uładu regulacji dobierao uwzględiając atualą wartość stałej czasowej maszyy roboczej e, według poiższych zależości: c r I K 4 ω =, 5 c r z p K 3 4 ω ξ =, 6 3 = r c ω, = z ξ 8 gdzie: ω r zadaa pulsacja rezoasowa, ξ z zaday współczyi tłumieia uładu, K I, K p wzmocieia części całowej i proporcjoalej regulatora PI prędości. W badaiach przyjęto astępujące wartości: ω r = 4 s i ξ z =,7. Przedmiotem rozważań jest rozmyty filtr Kalmaa, staowiący modyfiację lasyczego algorytmu ieliiowego rozszerzoego filtru Kalmaa. Algorytm lasyczy moża przedstawić astępująco []: Obliczeie predytora wetora stau: / ˆ / ˆ u B x A x + = +. 9 Estymacja macierzy owariacji błędu predycji: / Q F P F P + = + gdzie: / ˆ /, / x x p x u x f F = =, = s c s c L s s s s s m m t t F.

5 45 3 Obliczeie wzmocieia Kalmaa: K + = P + / C + [ C + P + / C + + ]. 3 4 Wyzaczeie estymaty wetora stau: xˆ / + = xˆ / + K + [ y + C + ˆ x + / ] Obliczeie macierzy owariacji błędu estymaty: P + / + = [ I K + C + ] P + /. 5 6 Powrót do pierwszego rou. Zapropoowaa w pracy modyfiacja przedstawioego algorytmu polegała a wprowadzeiu systemu rozmytego, tórego struturę przedstawioo a rysuu. Zadaiem systemu było wyzaczaie wartości elemetów q 44 i q 55 macierzy Q, a podstawie atualej wartości stałej czasowej maszyy roboczej e. Dołady opis zastosowaego rozwiązaia zajduje się w []. Przedstawioy system rozmyty wymaga doboru współczyiów m i, gdzie i =,,...,. ys.. Strutura wyorzystaego systemu rozmytego a oraz zastosowae fucje przyależości zmieej wejściowej b 3. ALGOYMY GENEYCZNE Algorytmy geetycze oparte są a ispiracjach biologiczych. Ich działaie odzwierciedla sposób ewolucji orgaizmów żywych, tóre to w jej tou adaptują się do waruów swojego środowisa aturalego. Algorytm geetyczy jest procedurą iteracyją, tórej celem jest optymalizacja założoej fucji celu. Działaie taiej procedury prowadzi do uzysaia osobiów populacji wyjściowej, tóre zaodowae

6 46 są w postaci łańcuchów geów tworzących chromosomy. Chromosomy wraz z postępem procedury iteracyjej ulegają zmiaom prowadzącym do uzysaia ajlepszego rozwiązaia, w świetle przyjętego ryterium. Zmiay te są wyiiem operacji geetyczych, taich ja mutacja, rzyżowaie i selecja. Schemat działaia algorytmu geetyczego przedstawioo a rysuu 3. ys. 3. Schemat bloowy algorytmu geetyczego Algorytm geetyczy słada się z ilu etapów, tóre moża przedstawić astępująco: iicjalizacja populacji początowej jest to rozpoczęcie procesu iteracyjego od losowaia N chromosomów będących łańcuchami liczb biarych lub rzeczywistych o długości L, selecja a tym etapie obliczaa jest wartość przyjętej fucji celu fx dla ażdego chromosomu x, a astępie a podstawie ocey wartości fucji celu dla poszczególych chromosomów tworzoa jest owa populacja N chromosomów, gdzie prawdopodobieństwo wyboru owego chromosomu do owej populacji zależe jest od wartości fucji celu, rzyżowaie gdzie z prawdopodobieństwem p c zachodzi rzyżowaie par chromosomów, mutacja gdzie z prawdopodobieństwem p m ma miejsce zamiaa bitów lub zmiaa wartości liczby rzeczywistej o Δx w owym łańcuchu chromosomu, iteracja wymieioe operacje geetycze są powtarzae w celu uzysaia owych geeracji o optymalej wartości fucji celu, w sesie założoego ryterium, zatrzymaie algorytmu astępuje w momecie uzysaia pożądaego rozwiązaia lub po wyczerpaiu zaplaowaej liczby roów. Algorytmy geetycze zajdują szeroie zastosowaie w zagadieiach optymalizacji, szczególie optymalizacji wieloryterialej przy występowaiu załóceń oraz zmieej w czasie fucji celu [7]. Szczegółowy opis algorytmów geetyczych moża zaleźć między iymi w [6].

7 47 4. OPYMALIZACJA OZMYEGO FILU KALMANA Proces optymalizacji rozpoczęto od doboru wartości współczyiów macierzy owariacji Q i ieliiowego rozszerzoego filtru Kalmaa, do tórego sygałów wejściowych dodao szumy białe o wartościach wariacji wyoszących 4e-5 dla mometu eletromagetyczego, 5e-6 dla prędości silia i wartościach średich rówych. Wartości te dobrao a podstawie aalizy szumów występujących a staowisu laboratoryjym, a tórym plauje się przeprowadzeie badań esperymetalych. Następie, do lasyczego algorytmu filtru Kalmaa, dołączoo propooway system rozmyty i przeprowadzoo jego optymalizację. Oba procesy zrealizowao przy wyorzystaiu algorytmów geetyczych o różych liczbach populacji początowej, zaresach startowych, liczbach iteracji i postaciach fucji celu. W ażdym z przypadów zastosowao jedolitą selecję stochastyczą, reproducję osobiów, mutację adaptacyją oraz rzyżowaie rozproszoe. W pracy przedstawioo przypadi zbadaych astaw algorytmów geetyczych i postaci fucji celu dające ajlepsze rezultaty, w świetle przyjętych ryteriów. W prezetowaych badaiach wyorzystao astępujące fucje celu: = F ω ω e ω ωe ms mse ml mle e 6 F = ml mle e 7 gdzie: liczba próbe, x e wartość estymowaa. Fucja F uwzględia wszystie wielości wyjściowe filtru Kalmaa i posłużyła do optymalizacji współczyiów macierzy Q i lasyczego algorytmu. W przypadu fucji F wzięto pod uwagę iloczy modułów różic wielości rzeczywistych i estymowaych, dla mometu obciążeia i stałej czasowej maszyy roboczej. Fucja ta posłużyła do optymalizacji współczyiów systemu rozmytego. Wybór omawiaej fucji celu motywoway był fatem ajwięszego wpływu współczyiów q 44 i q 55, a jaość estymacji uwzględioych w iej wielości. W tabeli przedstawioo zestawieie wybraych astaw algorytmów w poszczególych procesach optymalizacji. abele i 3 prezetują przyjęte ograiczeia, wyiające z wiedzy esperciej lub doświadczeia, obszaru poszuiwań wartości dobieraych współczyiów w obu procesach. W wyiu przyjętych założeń otrzymao wartości współczyiów, tóre zestawioo w tabelach 5 i 6, dla poszczególych procesów optymalizacji. Przebiegi tych procesów zobrazowao a rysuu 4.

8 48 abela. Zestawieie astaw algorytmów geetyczych w procesach optymalizacji Proces optymalizacji Parametr Wartość Populacja początowa 5 Nieliiowy rozszerzoy Zares startowy filtr Kalmaa Liczba iteracji 5 Fucja celu F Populacja początowa ozmyty filtr Kalmaa Zares startowy Liczba iteracji 3 Fucja celu F abela. Przyjęte wartości ograiczeń w procesie optymalizacji NFK Parametr q q q q q Ograiczeia abela 3. Przyjęte wartości ograiczeń w procesie optymalizacji FK Parametr m m m 3 m 4 m 5 Ograiczeia Parametr m 6 m 7 m 8 m 9 m Ograiczeia 3 ys. 4. Przebiegi procesów optymalizacji NFK a, c oraz FK b, d przy wyorzystaiu algorytmów geetyczych

9 49 abela 4. Zestawieie otrzymaych wartości parametrów macierzy NFK Parametr q q q 33 q 44 q 55 Wartość,7,9,8 99,5 99,98 6,68 abela 5. Zestawieie otrzymaych wartości parametrów m i FK Parametr m m m 3 m 4 m 5 Wartość,948 4,63 57,56 45,596 6,85 Parametr m 6 m 7 m 8 m 9 m Wartość 98,8 4849, ,495 5,859 9, WYBANE WYNIKI BADAŃ SYMULACYJNYCH W ramach badań symulacyjych przetestowao oba zastosowae algorytmy lasyczego ieliiowego rozszerzoego filtru Kalmaa oraz rozmytego filtru Kalmaa, pracujące poza struturą sterowaia, przy zastosowaiu otrzymaych w wyiu procesów optymalizacji wartości poszczególych współczyiów. Następie przeprowadzoo testy pracy obserwatora w zamiętej struturze sterowaia. Na rysuu 5 przedstawioo sygały wejściowe dla obu obserwatorów. Wyii badań NFK pracującego w otwartej struturze sterowaia, przy zastosowaiu wartości współczyiów macierzy Q i z tabeli 4, zaprezetowao a rysuu 6. ysue 7 obrazuje wyii badań FK pracującego poza struturą sterowaia. W celu wyoaia ocey jaości estymacji poszczególych zmieych stau i wielości dodatowych, obliczoo błędy estymacji, zgodie z poiższą zależością: xi xie i= δ x =, i =,,..., 9 gdzie: x wartość rzeczywista, x e wartość estymowaa, liczba próbe. Wartości błędów estymacji zestawioo w tabeli 6. Otrzymae rezultaty wsazują a uzysaie zaczącej poprawy jaości estymacji wszystich wielości. Kolejym etapem badań była weryfiacja pracy obserwatora w zamiętej struturze sterowaia. Wyii tych badań zaprezetowao a rysuu 8, a obliczoe wartości błędów estymacji dołączoo do tabeli 6. Aaliza uzysaych rezultatów wsazuje a prawidłową pracę strutury sterowaia, wyorzystującej zaprojetoway algorytm rozmytego filtru Kalmaa, ze względu a bra występowaia drgań srętych oraz podobieństwo przebiegu prędości maszyy roboczej do odpowiedzi wielomiau odiesieia. Aalizę przeprowadzoo zgodie z metodologią przedstawioą w [].

10 5 ys. 5. Przebiegi sygałów wejściowych NFK i FK: mometu eletromagetyczego a oraz prędości silia ys. 6. Przebiegi rzeczywistych i estymowaych wielości oraz błędy estymacji: prędości silia a, d, prędości maszyy roboczej b, e, mometu srętego c, f, mometu obciążeia g, i, stałej czasowej maszyy roboczej h, j w przypadu pracy NFK poza struturą sterowaia

11 ys. 7. Przebiegi rzeczywistych i estymowaych wielości oraz błędy estymacji: prędości silia a, d, prędości maszyy roboczej b, e, mometu srętego c, f, mometu obciążeia g, i, stałej czasowej maszyy roboczej h, j w przypadu pracy FK poza struturą sterowaia 5

12 5 ys. 8. Przebiegi sygałów wejściowych FK: mometu eletromagetyczego a, prędości silia b oraz przebiegi wielości rzeczywistych, estymowaych, błędów estymacji i parametrów uładu regulacji: prędości silia c, f, prędości maszyy roboczej d, g, mometu srętego e, h, mometu obciążeia i, l, stałej czasowej maszyy roboczej j, m, wzmocień regulatora PI i dodatowych sprzężeń zwrotych, w przypadu pracy FK w zamiętej struturze sterowaia

13 53 abela 6. Zestawieie wartości błędów estymacji dla NFK i FK Metoda NFK poza struturą sterowaia FK poza struturą sterowaia FK w zamiętej struturze sterowaia δω δω δm s δm L δ [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [s],8,38,334,557,45,7,7,68,463,,7,7,6,475,74 6. PODSUMOWANIE W pracy przedstawioo zagadieia związae z zastosowaiem algorytmów geetyczych do optymalizacji zapropoowaego algorytmu rozmytego filtru Kalmaa, pracującego w adaptacyjej struturze sterowaia uładu dwumasowego. Zaprezetowao i opisao obiet badań oraz jego model matematyczy. Scharateryzowao algorytmy geetycze wyorzystae w przedstawioych procesach optymalizacyjych. Wyii ich działaia zweryfiowao poprzez oceę pracy lasyczego algorytmu filtru Kalmaa oraz rozmytego filtru Kalmaa w otwartej struturze sterowaia, wyorzystujących wartości współczyiów dobrae za pomocą algorytmów geetyczych. Uzysao zaczącą poprawę jaości estymacji wszystich wielości wyjściowych rozmytego filtru Kalmaa, w porówaiu do lasyczego algorytmu. Kolejo algorytm te poddao testom pracy w zamiętej struturze sterowaia. Aaliza wyiów badań pozawala a wyciągięcie astępujących wiosów: Zastosowaie algorytmów geetyczych do optymalizacji rozmytego filtru Kalmaa, pracującego w adaptacyjej struturze sterowaia uładu dwumasowego, pozwala a uzysaie zadowalających wyiów pracy obserwatora, zarówo w otwartej, ja i zamiętej struturze sterowaia. Przy zastosowaiu omawiaych algorytmów ależy zwrócić szczególą uwagę a dobór postaci fucji celu. Przyjęcie odpowiedich astaw algorytmów oraz ograiczeń obszarów poszuiwań prowadzi do sróceia ich czasu pracy oraz poprawy wyzaczaia ajlepszych rozwiązań. Praca Fiasowaa Przez Narodowe Cetrum Naui W amach Projetu: Odpore Estymatory Zmieych Stau I Parametrów Uładu Napędowego Z Połączeiem Sprężystym, Umo- //B/St7/

14 54 LIEAUA [] BIAŁOŃ., PASKO M., Wieloryterialy dobór parametrów proporcjoalego obserwatora strumiei magetyczych silia iducyjego przy wyorzystaiu algorytmu geetyczego, Zeszyty Problemowe BOBME-KOMEL Maszyy Eletrycze, r 9,, [] DÓŻDŻ K., SZABA K., Zastosowaie rozmytego filtru Kalmaa w adaptacyjej struturze sterowaia uładu dwumasowego, XI Koferecja Nauowa Sterowaie w Eergoeletroice i Napędzie Eletryczym, SENE 3: Łódź,..3, Wydawictwo Politechii Łódziej, 3, 6. [3] HIVONEN M., PYHÖNEN O., HANDOOS H., Adaptive oliear velocity cotroller for a flexible mechaism of a liear motor, Mechatroics, Vol. 6, No. 5, 6, [4] IOH D., IWASAKI M., MASUI N., Optimal desig of robust vibratio suppressio cotroller usig geetic algorithms, IEEE rasactio o Idustrial Electroics, Vol. 5, No. 5, 4, [5] LOW K.S., WONG.S., A multiobjective geetic algorithm for optimizig the performace of hard dis drive motio cotrol system, IEEE rasactio o Idustrial Electroics, Vol. 43, No. 3, 7, [6] MICHALEWICZ Z., Algorytmy geetycze + strutury daych = programy ewolucyje, Wydawictwa Nauowo-echicze, Warszawa 996. [7] OŁOWSKA-KOWALSKA., Metody sztuczej iteligecji w idetyfiacji, estymacji zmieych stau i sterowaiu apędów eletryczych, Prace Nauowe Istytutu Maszy, Napędów i Pomiarów Eletryczych Politechii Wrocławsiej, Studia i Materiały, Vol. 58, Nr 5, 5, [8] SEKIES P.J., SZABA K., Adaptacyjy filtr Kalmaa dla uładu apędowego z połączeiem sprężystym, Prace Nauowe Istytutu Maszy, Napędów i Pomiarów Eletryczych Politechii Wrocławsiej, Studia i Materiały, Vol. 66, Nr 3,, 8 4. [9] SZABA K., OŁOWSKA-KOWALSKA., Optimal desig of the exteded Kalma filter for the two-mass system usig geetic algorithm, Archive of Electrical Egieerig, Vol. 55, r. 3/4, 6, [] SZABA K., OŁOWSKA-KOWALSKA., Performace Improvemet of Idustrial Drives With Mechaical Elasticity Usig Noliear Adaptive Kalma Filter, rasactio o Idustrial Electroics, Vol. 55, No. 3, 8, [] SZABA K., Strutury sterowaia eletryczych uładów apędowych z połączeiem sprężystym, Prace Nauowe Istytutu Maszy, Napędów i Pomiarów Eletryczych Politechii Wrocławsiej, r 6,Wrocław 8. [] XIANGWU Y., YANG Y., QI G., HECHUAN Z., WEI Q., Electric vehicle battery SOC estimatio based o fuzzy Kalma filter, d Iteratioal Symposium o Istrumetatio ad Measuremet, Sesor Networ ad Automatio IMSNA, 3, [3] YADAIAH N., SIKANH., AO V.S., Fuzzy Kalma Filter based trajectory estmatio, th Iteratioal Coferece o Hybrid Itelliget Systems HIS,, [4] ZHEN D., LEUNG H., CHAN K., Model-set adaptatio usig a fuzzy Kalma filter, Proceedigs of the hird Iteratioal Coferece o Iformatio Fusio, FUSION,, Vol., p. MOD/3-MOD/9 APPLICAION OF HE GENEIC ALGOIHMS FO OPIMIZAION OF HE FUZZY KALMAN FILE his paper deals with a problem of a fuzzy Kalma filter optimizatio for a adaptive cotrol structure of a two-mass drive system. I the itroductio sectio of this paper moder cotrol structures of electrical drives with elastic joit are discussed. For their applicatio state variables estimatio of a dyamic object are required. A particular attetio is give to the observers based o the Kalma filter

15 theory. Additioally, the problematic aspects of the observer applyig desig by usig geetic algorithm are cosidered. Moreover, the remaider of the paper is orgaized as follows. First, the object of research ad its mathematical model are described. Subsequetly, geetic algorithms are discussed. Next, the optimizatio process of the fuzzy Kalma filter usig geetic algorithms is preseted. he simulatio results of the drive performace i a ope ad closed-loop cotrol structure are show. 55