Równanie Schrödingera
|
|
- Janina Piotrowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Równanie Schröingera 52 Rozział 4 Równanie Schröingera Równanie Schröingera jest postulatem mechaniki kwantowej określającym tzw. ynamikę. Zaaje ono (przy opowienio obranym warunku początkowym) ewolucję funkcji falowej opisującej stan ukłau fizycznego. Przejziemy teraz yskusji różnoronych, a barzo ważnych, wniosków płynących z równania Schröingera. które zapiszemy w postaci i ψ( r, t) = Ĥ ψ( r, t). (4.1) gzie Ĥ jest hamiltonianem hermitowskim operatorem opowiaającym energii ukłau fizycznego. Bęziemy starać się prowazić ość ogólne rozważania, więc nie precyzujemy jaka jest konkretna postać operatora Ĥ. Posługiwać się bęziemy tutaj tylko jenym wektorem r argumentem funkcji falowej. Intuicyjnie więc mamy prze oczami ukła fizyczny złożony po prostu z jenej cząstki. Możemy jenak uważać, że r symbolizuje zbiór położeń, a r oznacza opowieni element wielowymiarowej (la wielu cząstek) objętości. Dlatego też rozważania nasze można łatwo uogólnić, wobec czego twierzimy, że onoszą się one o ogólnego (choć na razie bliżej nieokreślonego) ukłau fizycznego. 4.1 Zachowanie normy wektora stanu funkcji falowej Dyskutując probabilistyczną interpretację funkcji falowej wprowaziliśmy pojęcia gęstości i prąu prawopoobieństwa (por. efinicje (2.38) i (2.44)). Co więcej, biorąc po uwagę równanie Schröingera la jenej cząstki wyprowaziliśmy równanie ciągłości prąu prawopoobieństwa (2.45), a także wykazaliśmy, że norma funkcji falowej jest stała w czasie (patrz (2.48)). Wykażemy teraz fakt ogólniejszy. Równanie Schröingera z owolnym hamiltonianem zachowuje normę funkcji falowej, to jest ψ( r, t) 2 = ψ(t) ψ(t) = 3 r ψ ( r, t) ψ( r, t) = const., (4.2) czyli norma ψ( r, t) 2 nie zależy o czasu. Dowolna funkcja falowa (stan ukłau fizycznego) raz unormowana o jeności (na przykła w chwili początkowej), pozostaje unormowana w owolnej innej chwili czasu. Pokażemy, że jest to konsekwencją hermitowskości hamiltonianu. Aby wykazać to stwierzenie, rozważymy sprzężone równanie Schröingera, tj. równanie hermitowsko sprzężone o (4.1): i ψ ( r, t) = Ĥ ψ ( r, t) = Ĥ ψ ( r, t) (4.3) bo Ĥ hermitowski. Nie ma znaczenia, czy Ĥ jest jawnie zależny o czasu, czy też nie. Baamy teraz pochoną kwaratu normy. Korzystamy z reguł różniczkowania oraz z równań (4.1) i (4.3). S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 52
2 Równanie Schröingera 53 Otrzymujemy ψ( r, t) 2 = = i ( ψ 3 r ψ + ψ ( r, t) ψ ) ] [ Ĥψ ψ ψ Ĥψ = i 3 r [(Ĥψ ) ( )] ψ ψ Ĥψ = i ] [ ψ Ĥ ψ ψ Ĥψ, (4.4) gzie, w przeostatnim kroku skorzystaliśmy z hermitowskości Ĥ i z efinicji iloczynu skalarnego, zaś w ostatnim, z reguł sprzęgania hermitowskiego. Ponieważ zaś Ĥ = Ĥ, więc sprężenie w ostatnim wzorze nie ma znaczenia. W ten sposób ostajemy A zatem ψ( r, t) 2 = 0. (4.5) ψ( r, t) 2 = const. = ψ( r, t 0 ) 2, (4.6) czyli unormowana funkcja falowa ewoluująca zgonie z równaniem Schröingera pozostaje zawsze unormowana. Dzięki temu możemy łatwo utrzymać probabilistyczną interpretację funkcji falowej. Stwierzenie to ozwierciela fakt, że cząstki nie giną, więc prawopoobieństwo ich znalezienia w całej ostępnej przestrzeni jest zawsze równe 1, co wyaje się być intuicyjnie oczywiste. Z faktu zachowania normy funkcji falowej nie wynika, że lokalna gęstość prawopoobieństwa ρ( r, t) = ψ( r, t) 2 jest też stała (pamiętajmy, że r symbolizuje, o ile to potrzebne, zbiór położeń wielu (kilku) cząstek). Wręcz owrotnie, spoziewamy się, że skoro cząstka może się poruszać, to prawopoobieństwo znalezienia jej w różnych częściach ostępnego obszaru bęzie się w czasie zmieniać. Innymi słowy, prawopoobieństwo " przelewa" się z jenego poobszaru o rugiego. W przypaku jenej cząstki ilustruje to prawo zachowania prąu prawopoobieństwa (2.45) lub (2.46). Uogólnienia tego prawa na przypaek wielu cząstek nie bęziemy baać. Poprzestaniemy na wynikach la jenej cząstki, a zatem nie ma potrzeby powtarzać rozważań z rozziału Równanie Schröingera la ukłau konserwatywnego Ukła fizyczny nazywamy konserwatywnym (lub zachowawczym) jeśli jego hamiltonian nie zależy o czasu. W takim wypaku, za pomocą zasay opowieniości można ość łatwo skonstruować hamiltonian. Jeśli tylko znamy hamiltonian klasyczny H kl jako funkcję kanonicznych położeń i pęów, to hamiltonian kwantowo-mechaniczny bęzie postaci Ĥ = H kl ( ˆR, ˆP) = H kl ( r, i ), (4.7) czyli bęzie tą samą funkcją operatorów położenia i pęu. Oczywiście, w myśl naszej umowy, operatory ˆR oraz ˆP mogą oznaczać opowienie roziny, na przykła numerowane ineksami opowiaającymi cząstkom tworzącym baany ukła fizyczny. Jak wiemy z yskusji w rozziale 2 (patrz (2.49) (2.56)) funkcja falowa ukłau, którego hamiltonian nie zależy o czasu wyraża się jako iloczyn ψ( r, t) = e ie(t t 0)/ ϕ( r), (4.8) w którym zmienne przestrzenne i czas są rozseparowane, zaś E oznacza energię ukłau. Funkcja ϕ( r) jest niezależna o czasu, spełnia równanie Ĥ ϕ( r) = E ϕ( r), (4.9) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 53
3 Równanie Schröingera 54 i musi być unormowana ϕ = 1. Równanie powyższe jest zaganieniem własnym la operatora Hamiltona Ĥ = H( r, i ). Równanie to nazwaliśmy stacjonarnym równaniem Schröingera. Funkcję falową (stan kwantowo-mechaniczny) ψ( r, t) określony równaniem (4.8) nazwiemy stanem stacjonarnym. Konkretna postać równania (4.9) oczywiście zależy o postaci hamiltonianu, a więc o tego z jakim ukłaem fizycznym mamy o czynienia. W alszym ciągu wykłau (i ćwiczeń) rozważymy cały szereg różnoronych przykłaów ukłaów konserwatywnych (z hamiltonianem niezależnym jawnie o czasu), la których bęziemy rozwiązywać stacjonarne równanie Schröingera, tj. zaganienie własne la opowieniego hamiltonianu. Tutaj zaś przestawimy pewne ogólne własności stacjonarnego równania Schröingera. Twierzenie 4.1 Jeśli stan ukłau zachowawczego jest stanem stacjonarnym, to wartość oczekiwana energii jest stała w czasie. To znaczy ψ Ĥ ψ = const. = E, la stanu stacjonarnego ψ( r, t). (4.10) Dowó. Ponieważ ukła jest z założenia konserwatywny, więc hamiltonian nie zależy o czasu. Na mocy (4.8) mamy więc ψ Ĥ ψ = 3 r ψ ( r, t) Ĥ ψ( r, t) = 3 r e ie(t t0)/ ϕ ( r) Ĥ e ie(t t 0)/ ϕ( r) = 3 r ϕ ( r) Ĥ ϕ( r), (4.11) bowiem człony wykłanicze się znoszą. Wizimy więc, że wartość oczekiwana energii nie zależy o czasu, a więc jest stała. Co więcej, na mocy (4.9) mamy Ĥϕ = E, ską już wynika ruga część tezy Ewolucja w czasie la stanu stacjonarnego Przeyskutujemy nieco okłaniej rozwiązania równania Schröingera (2.24) la ukłau zachowawczego. Pełne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzęu wzglęem czasu wymaga znajomości warunku początkowego ψ( r, t 0 ) ψ 0 ( r), (4.12) w którym unormowaną o jeności funkcję ψ 0 ( r) przyjmiemy za znaną. Naszym celem bęzie zbaanie postaci funkcji falowej ψ( r, t) la chwil czasu t > t 0. Załóżmy, że znamy rozwiązania zaganienia własnego la hamiltonianu, tzn. umiemy znaleźć zbiór funkcji {u nα } i energii własnych {E n } takich, że spełnione jest równanie Ĥ u nα ( r) = E n u nα ( r), (4.13) gzie oatkowy ineks α uwzglęnia możliwość egeneracji. Funkcje własne hamiltonianu (obserwabli operatora hermitowskiego) tworzą bazę w przestrzeni funkcji falowych baanego ukłau i spełniają relacje ortonormalności i zupełności u nα u mβ = δ nm δ αβ, u nα( r) u nα ( r ) = δ( r r ). (4.14) n Dowolny stan ukłau opisany funkcją falową ψ( r, t) może być rozłożony w bazie ψ( r, t) = α c nα (t) u nα ( r), (4.15) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 54
4 Równanie Schröingera 55 przy czym cała informacja o zależności o czasu jest zawarta we współczynnikach c nα (t). Opis zależności stanu ukłau o czasu sprowaza się więc o znalezienia tych współczynników. Aby je obliczyć postawiamy rozkła (4.15) o równania Schröingera (4.1). Korzystając z liniowości operatora Ĥ otrzymujemy i c nα (t) t u nα ( r) = c nα (t) Ĥ u nα( r) = E n c nα (t) u nα ( r), (4.16) Mnożymy teraz obustronnie przez u mβ ( r) i c nα (t) t u mβ( r) u nα ( r) = E n c nα (t) u mβ( r) u nα ( r). (4.17) Całkujemy obie strony po 3 r w całej przestrzeni (obliczamy więc iloczyny skalarne) i c nα (t) t u mβ u nα = E n c nα (t) u mβ u nα. (4.18) Korzystamy z relacji ortonormalności (4.14) i c nα (t) t δ mn δ βα = E n c nα (t) δ mn δ βα. (4.19) Wykonując sumowanie otrzymujemy równanie ruchu la współczynników c nα (t): c mβ (t) t = ie n c mβ(t). (4.20) Zwróćmy uwagę, że równanie to możemy otrzymać o razu z (4.16) owołując się o jenoznaczności przestawienia wektorów (funkcji) w bazie. Całkowanie równania (4.20) jest barzo proste (zmienne się rozzielają). W rezultacie otrzymujemy c mβ (t) = c mβ (t 0 ) e ien(t t 0)/. (4.21) Wstawiamy teraz wynik (4.21) o rozkłau (4.15) i mamy ψ( r, t) = c nα (t 0 ) e ien(t t 0)/ u nα ( r). (4.22) Współczynniki c nα (t 0 ) oczywiście zależą o warunku początkowego (4.12), który jest any. Nietruno jest więc je wyliczyć. Bierzemy wyrażenie (4.22) la chwili początkowej ψ 0 ( r) = ψ( r, t 0 ) = c nα (t 0 ) u nα ( r). (4.23) Mnożymy obustronnie z lewej przez u mβ ( r), obliczamy iloczyny skalarne (całkujemy) i korzystamy z ortonormalności funkcji własnych hamiltonianu u mβ ψ 0 = c nα (t 0 ) u mβ u nα = c mβ (t 0 ). (4.24) Obliczone w ten sposób współczynniki postawiamy o (4.22): ψ( r, t) = u nα ψ 0 e ien(t t 0)/ u nα ( r), (4.25) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 55
5 Równanie Schröingera 56 co stanowi poszukiwane rozwiązanie równania Schröingera la ukłau konserwatywnego. Wizimy więc, że uzyskane rozwiązanie jest kombinacją liniową wyrażeń typu (4.8). Oczywiście ogólne rozwiązanie musi być, zgonie z zasaą superpozycji wynikającą z liniowości równania Schröingera, kombinacją liniową rozwiązań szczególnych. Uzyskane wyniki pozwalają nakreślić proceurę rozwiązywania równania Schröingera la ukłaów zachowawczych (z hamiltonianem niezależnym jawnie o czasu). 1. Rozwiązujemy stacjonarne równanie Schröingera (4.13), czyli zaganienie własne la operatora Hamiltona. Znajujemy więc wartości (energie) własne i opowienie funkcje własne tworzące bazę w przestrzeni funkcji falowych ukłau. 2. Rozkłaamy stan początkowy w bazie stanów własnych, tj. obliczamy współczynniki weług wzoru (4.24). 3. Konstruujemy funkcję falową la t > t 0 na postawie relacji (4.22) lub (4.25). Pokreślmy, że kluczową rolę ogrywa tu pierwszy punkt. Jest on zresztą zazwyczaj technicznie najtruniejszy Normowanie stacjonarnej funkcji falowej (4.25) Uowoniliśmy już, że równanie Schröingera zachowuje normę funkcji falowej i to niezależnie o tego czy hamiltonian jest, czy też nie jest funkcją czasu. Mimo to, zrobimy proste ćwiczenie rachunkowe, w którym wykażemy, że funkcja falowa (4.25) jest rzeczywiście unormowana. Istotnie, z efinicji normy ψ 2 = 3 r ψ ( r, t)ψ( r, t) [ ] = 3 r u nα ψ 0 e ien(t t0)/ u nα ( r) n,α u mβ ψ 0 e iem(t t0)/ u mβ ( r) m,β = ψ 0 u nα e i(en Em)(t t0)/ u mβ ψ 0 n,α m,β 3 r u nα ( r) u mβ( r) (4.26) Całka w ostatniej linii to po prostu iloczyn skalarny u nα u mβ = δ nm δ αβ (ortonormalność funkcji bazy). Wykonując więc sumowania po m i β wizimy, że w czynniku wykłaniczym energie się znoszą. W ten sposób mamy ψ 2 = ψ 0 u nα u nα ψ 0 n,α = 3 r ψ0 ( r) u nα( r) 3 x u nα ( x) ψ 0( x) n,α [ ] = 3 r 3 x ψ0( r) u nα( x) u nα ( r) ψ 0 ( x) n,α = 3 r 3 x ψ0( r) δ( x r) ψ 0 ( x), (4.27) gzie skorzystaliśmy z warunku zupełności funkcji tworzących bazę. Dalsze kroki są już trywialne ψ 2 = 3 r ψ0 ( r) ψ 0( r) = 1, (4.28) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 56
6 Równanie Schröingera 57 bowiem początkowa funkcja falowa jest, z założenia, unormowana. Pokażemy później, wprowazając tzw. notację Diraca, jak można wykonać analogiczne rachunki w sposób niemalże automatyczny Stan początkowy stan własny hamiltonianu Rozważymy teraz pewien szczególny przypaek. Niech stan początkowy ψ( r, t 0 ) = ψ 0 ( r) bęzie jenym ze stanów własnych hamiltonianu opowiaającym energii E n. W wypaku, gy E n jest g n -krotnie zegenerowane, to ψ 0 ( r) kombinacją liniową ψ 0 ( r) = α b α u nα ( r), (4.29) bowiem wszystkie u nα (α = 1, 2,..., g n ) opowiaają tej samej (g n krotnie zegenerowanej) wartości własnej energii. Na mocy relacji (4.25) stan ukłau la owolnego t > t 0 ψ( r, t) = m,β u mβ α b α u nα e iem(t t 0)/ u mβ ( r) = b α u mβ u nα e iem(t t0)/ u mβ ( r) m,β α = b α δ mn δ βα e iem(t t0)/ u mβ ( r) m,β α = e ien(t t 0)/ α b α u nα ( r) = e ien(t t 0)/ ψ 0 ( r). (4.30) A więc oba stany: początkowy ψ 0 ( r) i końcowy ψ( r, t) różnią się tylko globalnym (niezależnym o położenia r) czynnikiem fazowym. Różnica ta nie ma żanego znaczenia fizycznego. Stan początkowy i końcowy niosą okłanie tę samą informację. Dlatego też stany stacjonarne (stany własne hamiltonianu) są tak nazwane. Ponato wizimy tutaj jak istotne jest rozwiązanie zaganienia własnego la hamiltonianu (stacjonarnego równania Schröingera). Co więcej, w rozważanym stanie gęstość prawopoobieństwa znalezienia cząstki w otoczeniu punktu r jest niezależna o czasu. Istotnie, z (4.30) mamy o razu ρ( r, t) = ψ( r, t) 2 = ψ 0 ( r) 2, (4.31) bo czynnik wykłaniczy ma mouł równy jeności. Rozważmy jeszcze wartość oczekiwaną obserwabli  = Â( r, p) niezależnej jawnie o czasu la ukłau znajującego się w stanie stacjonarnym (4.30)) stanie własnym hamiltonianu (energii). Bezpośrenio z efinicji mamy A = ψ  ψ = 3 r ψ ( r, t)  ψ( r, t) = 3 r ψ0( r)  ψ 0( r) = ψ 0  ψ 0 = A 0. (4.32) Wnioskujemy więc, że la ukłau w stanie własnym hamiltonianu wartości oczekiwane niezależnych o czasu obserwabli są także o czasu niezależne Uwagi o zachowaniu energii Z powyższych rozważań wynika, że stan własny hamiltonianu (la ukłau konserwatywnego) w wyniku ewolucji czasowej pozostaje stanem własnym opowiaającym tej samej energii. Możemy więc powiezieć, że energia jest zachowana. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 57
7 Równanie Schröingera 58 Inne spojrzenie na uzyskane rezultaty jest następujące. W chwili początkowej t 0 mierzymy energię ukłau. Otrzymujemy jeną z wartości własnych, np. E n. Po pomiarze, stan ukła (funkcja falowa) reukuje się o stanu własnego energii (o postaci typu (4.29)). Jest to stan stacjonarny, którego ewolucja w czasie polega na pojawieniu się fizycznie nieistotnego czynnika fazowego. Ponowny pomiar energii a ten sam wynik, czyli energia ukłau jest stała. Oczywiście w obecności oziaływań zewnętrznych lub oziaływania zależnego o czasu sytuacja się komplikuje. Do yskusji takich zaganień wrócimy w alszych częściach wykłau. 4.3 Ewolucja wartości oczekiwanej obserwabli A t liczbowa funkcja czasu Niech  bęzie operatorem hermitowskim (obserwablą) opowiaającym pewnej wielkości fizycznej. Stan ukłau opisany jest funkcją falową ψ( r, t) spełniającą równanie Schröingera (4.1) lub równanie sprzężone (4.3). Pokreślmy, że rozważana wielkość fizyczna może (ale nie musi) być jawną funkcją czasu. Powstaje wówczas pytanie jak zależy o czasu wartość oczekiwana A t = ψ(t)  ψ(t) = 3 r ψ ( r, t)  ψ( r, t). (4.33) Ważne jest zrozumienie, że A t jest liczbową funkcją czasu, z czego zaje sprawę umieszczony u ołu ineks t. Przyjmijmy, że A kl ( r kl, p kl, t) jest pewną klasyczną wielkością charakteryzującą ukła fizyczny (np. cząstkę bezspinową). W mechanice klasycznej r kl i p kl są funkcjami czasu, ich ewolucją rzązą hamiltonowskie równania ruchu. A więc klasyczna wielkość A( r, p, t) zależy o czasu w sposób niejawny (uwikłany) poprzez r i p, a także jawnie, na co wskazuje jej trzeci argument. Przechozimy teraz o mechaniki kwantowej, weług zasay opowieniości A( r, p, t) Â( r, i, t). (4.34) Operatory położenia i pęu o czasu nie zależą (tzw. obraz Schröingera). Cała zależność o czasu siezi w trzecim argumencie. Przy obliczaniu wartości oczekiwanej weług (4.33) oatkowa zależność o czasu wchozi poprzez opowienią zależność funkcji falowej ψ(t). Otrzymana całka wzglęem 3 r jest oczywiście niezależna o r, aje ona liczbę zależną o czasu. A zatem A t jest funkcją czasu, tj. la owolnego t jest liczbą. Wyjątkiem jest sytuacja (por. (4.32)), gy ψ( r, t) jest stanem własnym hamiltonianu, a obserwabla  nie zależy jawnie o czasu. Jeżeli jenak  = Â(t) (obserwabla jest funkcją czasu), to wartość oczekiwana A t jest funkcją czasu nawet wtey, gy stan ψ jest stanem własnym energii Równanie ruchu la A t Aby opowiezieć na postawione powyżej pytanie, szukamy równania ruchu mówiącego jak zachowuje się wartość oczekiwana A t jako funkcja czasu. Ponieważ jest to funkcja tylko t, więc różniczkując równanie (4.33) ostajemy t A t = 3 r ψ ( r, t)  ψ( r, t) = [ ψ 3 r  ψ + ψ  ψ + ψ  ψ ] (4.35) W śrokowym skłaniku opuściliśmy, że operator  może jawnie zależeć o czasu. Posługując się równaniem Schröingera (4.1) i równaniem sprzężonym (4.3) eliminujemy pochone czasowe S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 58
8 Równanie Schröingera 59 funkcji falowej t A t = 3 r [ 1 i (Ĥψ )  ψ + ψ  ψ + 1 ) i ψ  (Ĥψ ]. (4.36) Drugi człon to po prostu wartość oczekiwana pochonej czasowej operatora Â. Zapisując powyższe wyrażenie nieco formalniej mamy t A  t = 1 1 Ĥψ Âψ + ψ ÂĤψ. (4.37) i i Przerzucając w rugim członie hamiltonian z lewego skłanika iloczynu skalarnego o prawego, korzystamy z jego hermitowskości t A  t = 1 i ψ ĤÂψ + 1 ψ ÂĤψ, (4.38) i a następnie łączymy wa ostatnie skłaniki otrzymując t A  t = + 1 ) (ÂĤ i ψ Ĥ ψ. (4.39) Wizimy, że ostatni człon to po prostu wartość oczekiwana komutatora, wobec tego piszemy poszukiwane równanie ruchu w postaci i [Â, t A t = ] Â(t) Ĥ + i. (4.40) Ostatni skłanik jest obecny tylko wtey, gy obserwabla  jest jawnie zależna o czasu. Zwróćmy też uwagę, że w tym wyprowazeniu nie zakłaaliśmy, że hamiltonian Ĥ jest o czasu niezależny. Pożytek z równania (4.40) jest w praktycznych obliczeniach na ogół mały. Wynika to stą, że o obliczenia jego prawej strony potrzebne nam są wie wartości oczekiwane [Â, ] Ĥ = ψ(t) [ Â, Ĥ ] ψ(t), Â(t) = ψ(t) Â(t) ψ(t). (4.41) Aby policzyć te wartości oczekiwane musimy znać ψ(t) rozwiązania równania Schröingera. Możemy wówczas bezpośrenio obliczyć A t ze wzoru (4.33). Nie ma wtey potrzeby buowania wzoru (4.40), a następnie jego całkowania. Mimo to relacja (4.40) ma zastosowania formalno-teoretyczne, pozwalające omówić ważne aspekty mechaniki kwantowej. Dla obserwabli niezależnej jawnie o czasu rugi skłanik wyrażenia (4.40) znika, a zatem pozostaje równanie i t A t = [Â, Ĥ ]. (4.42) Jeżeli więc obserwabla  komutuje z hamiltonianem, to jest stałą ruchu. Mamy więc następujące stwierzenie  = 0  = Â, [ ] Â, Ĥ = 0 = t A t = 0, A t = const.. (4.43) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 59
9 Równanie Schröingera 60 W szczególności, w ukłaach fizycznych, których hamiltonian nie zależy jawnie o czasu energia jest zachowana. Ĥ = 0, = E = const., (4.44) co wykazaliśmy (inną metoą) już uprzenio. Warto w tym miejscu przypomnieć, że w mechanice klasycznej stałą ruchu jest wielkość fizyczna, której nawiasy Poissona z hamiltonianem znikają (zerują się). Przy kwantowaniu nawiasy Poissona przechozą w komutatory, więc stwierzenie (4.43) możemy uznać za kwantowo-mechaniczny opowienik twierzenia mechaniki klasycznej. Relacja (4.40) jest przyatna o wyprowazenia tzw. równań Ehrenfesta. Równania te pozwalają wyjaśnić sposób przejścia o mechaniki kwantowej o klasycznej. 4.4 Twierzenie Ehrenfesta Wyprowazenie równań Ehrenfesta Rozważmy cząstkę bezspinową poruszającą się w polu o potencjale (energii potencjalnej) ( r), Oczywiście jej hamiltonian ma postać Ĥ = ˆP 2 2 m + ( r). (4.45) Zastosujemy wyżej omawiany formalizm o operatorów położenia i pęu ˆR oraz ˆP cząstki. Żaen z tych operatorów nie zależy jawnie o czasu, wobec czego, na mocy (4.40) otrzymujemy równania ruchu la wartości oczekiwanych i t r t = i t p t = [ ˆR, Ĥ ], (4.46a) [ ˆP, Ĥ ]. (4.46b) Wartości oczekiwane obliczamy la pewnego stanu ψ ukłau, nie ma jenak tutaj konieczności okłaniejszego precyzowania tego stanu. Aby wykorzystać równania ruchu (4.46b) musimy obliczyć występujące w nich komutatory. Pierwszy z nich to [ ˆR, ] Ĥ = 1 [ ˆR, ˆP2 ] + [ ] ˆR, ( r). (4.47) 2 m Drugi komutator znika, bo ziałanie operatora położenia i jego funkcji polega na mnożeniu funkcji falowej, a takie ziałania są przemienne. Wobec tego, pisząc zgonie z (3.97) ˆR = r, otrzymujemy [ ] r, Ĥ = 1 [ r, ˆP2 ] = 1 2 m 2 m = e k 2 m [ ek ˆx k, ˆP n ˆP n ] { [ ˆxk, ˆPn ] ˆPn + ˆP n [ ˆxk, ˆPn ] } = e k 2 m ( i δ kn ˆPn + i δ kn ˆPn ) = i m e k ˆP k = i m ˆP. (4.48) Przechozimy teraz o obliczeń komutatora operatora pęu i hamiltonianu, potrzebnego w (4.46b). Niech ψ( x) oznacza owolną funkcję falową baanej cząstki, wówczas mamy [ ˆP, Ĥ ] ψ( r) = [ ˆP, ( r) ] ψ( r) = i ek [ k, ( r) ] ψ( r) = i e k { k ( ( r) ψ( r)) ( r) k ψ( r)} = i e k ( ψ( r) k ( r) + ( r) k ψ( r) ( r) k ψ( r) ). (4.49) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 60
10 Równanie Schröingera 61 Drugi i trzeci skłanik wzajemnie się znoszą, a zatem wobec owolności funkcji falowej ψ( x) otrzymujemy [ ˆP, Ĥ ] = i e k k ( r) = i ( r). (4.50) Wykorzystując obliczone komutatory (4.48) i (4.50) w równaniach (4.46), po skróceniu czynników i ostajemy t r t = 1 m ˆP t, (4.51a) t p t = ( r). (4.51b) Powyższe równania stanowią treść tzw. twierzenia Ehrenfesta. Są to kwantowo-mechaniczne równania ruchu la wartości oczekiwanych położenia i pęu cząstki (bezspinowej) poruszającej się w polu o potencjale ( x). Równania (4.51) są barzo poobne o klasycznych równań ruchu cząstki t x kl(t) = 1 m p kl(t), (4.52a) t p kl(t) = gra ( x) = F kl, (4.52b) gzie F kl jest klasyczną siłą ziałającą na cząstkę. Analogia pomięzy równaniami (4.51) i (4.52) jest ewientna, lecz wymaga starannej yskusji Dyskusja. Granica klasyczna Załóżmy, że ψ( x, t) przestawia pewien pakiet falowy opisujący rozważaną cząstkę. Wówczas wartość oczekiwaną x(t) nazwiemy centrum pakietu. Zbiór położeń { x(t) } sparametryzowany czasem t stanowi wówczas trajektorię, wzłuż której porusza się centrum pakietu. Pokreślmy, że nie mówimy tu o trajektorii cząstki, ale o pakiecie, który nieozownie ma pewne rozmycie. Jeżeli szerokość przestrzenna pakietu jest mała w porównaniu ze wszelkimi innymi oległościami istotnymi la baanego ukłau, to położenie pakietu jest obrze określone (choć tylko w pewnym przybliżeniu) przez położenie jego centrum. W takiej granicy nie ma istotnej różnicy pomięzy opisami klasycznym, a kwantowo-mechanicznym. Powstaje jenak wtey pytanie, czy ruch centrum pakietu polega prawom mechaniki klasycznej? Równanie (4.51a) stwierza, że prękość pakietu (jego śroka) jest równa śreniemu pęowi pozielonemu przez masę cząstki. A więc lewa strona równania (4.51b) może być interpretowana jako m 2 x(t) /t 2. Opowieź na postawione pytanie byłaby pozytywna, jeśli prawa strona (4.51b) byłaby równa klasycznej sile F kl = gra ( x) (4.53) x = x a więc graientowi energii potencjalnej wziętemu w centrum pakietu. Jenakże prawa strona równania (4.51b) jest równa śreniej sile, uśrenionej po całym pakiecie. Na ogół zaś śrenia siła gra ( x) = 3 r ψ ( x, t) [ ( x) ] ψ( x, t) gra ( x), (4.54) x = x bowiem inaczej mówiąc, śrenia wartość funkcji na ogół nie jest równa wartości funkcji obliczonej la śreniej wartości jej argumentu. Wnioskujemy więc, że ściśle rzecz biorąc opowieź na S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 61
11 Równanie Schröingera 62 postawione pytanie jest negatywna: w ogólnym przypaku ruch centrum pakietu polega prawom mechaniki kwantowej, a NIE klasycznej. Uzyskane wyniki pozwalają na alszą, choć już przybliżoną yskusję. W relacji (4.54) równość nie zachozi. Jenakże możemy lewą część (4.54) zapisać w postaci gra ( x) = 3 r ψ( x, t) 2 ( x). (4.55) Jeżeli więc funkcja ψ( x, t) 2 jest ostro wypikowana w okolicach x, tzn. ψ( x, t) 2 szybko zmienia się w obszarze, gzie ( x) jest wolnozmienny (innymi słowy, jeżeli w okolicach x wyrażenie gra ( x) jest praktycznie stałe), to możemy powyższą całkę przybliżyć wzorem gra ( x) ( x) 3 r ψ( x, t) 2 x = x = gra ( x), (4.56) x = x ze wzglęu na normowanie funkcji (pakietu) falowej. W granicy makroskopowej (klasycznej) ługość fali e Broglie a λ B, związanej z rozważaną cząstką, jest znacznie mniejsza niż oległości na jakich ( x) zmienia się w istotny sposób. Rozmiary pakietu falowego są zazwyczaj rzęu kilku λ B, więc relacja (4.56) jest obrym przybliżeniem. W takim przypaku ruch pakietu falowego jest w obrym przybliżeniu klasyczny i opowiaa ruchowi cząstki klasycznej o masie m w polu o potencjale ( x). Wynik ten jest barzo ważny, bowiem pozwala wykazać, że równania mechaniki klasycznej wynikają z równania Schröingera w określonej sytuacji granicznej, która jest obrze spełniona la zecyowanej większości ukłaów makroskopowych. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 62
1 Postulaty mechaniki kwantowej
1 1.1 Postulat Pierwszy Stan ukłau kwantowomechanicznego opisuje funkcja falowa Ψ(r 1, r 2,..., r N, t) zwana także funkcją stanu taka, że kwarat jej moułu: Ψ 2 = Ψ Ψ pomnożony przez element objętości
Bardziej szczegółowoWielomiany Hermite a i ich własności
3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 4 Doatek B Wielomiany Hermite a i ich własności B.1 Definicje Jako postawową efinicję wielomianów Hermite a przyjmiemy wzór Roriguesa n H n (x)
Bardziej szczegółowoChemia teoretyczna. Postulaty mechaniki kwantowej. Katarzyna Kowalska-Szojda
Chemia teoretyczna Postulaty mechaniki kwantowej Katarzyna Kowalska-Szoja Spis treści 1 Postulaty mechaniki kwantowej 2 1.1 Postulat pierwszy.......................... 2 1.2 Postulat rugi.............................
Bardziej szczegółowoWażny przykład oscylator harmoniczny
6.03.00 6. Ważny przykła oscylator harmoniczny 73 Rozział 6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 6. Wprowazenie Klasyczny, jenowymiarowy oscylator harmoniczny opowiaa potencjałowi energii potencjalnej:
Bardziej szczegółowoHarmoniki sferyczne. Dodatek C. C.1 Wprowadzenie. Całka normalizacyjna I p (n)
3.1.24 Do. mat. C. Harmoniki sferyczne 1 Doatek C Harmoniki sferyczne C.1 Wprowazenie Harmoniki sferyczne są funkcjami specjalnymi pojawiającymi się w wielu zaganieniach fizyki. W poręcznikach fizyki matematycznej
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
Bardziej szczegółowo(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowo(U.5) Zasada nieoznaczoności
3.0.2004 26. (U.5) Zasaa nieoznaczoności 42 Rozział 26 (U.5) Zasaa nieoznaczoności 26. Pakiet falowy minimalizujący zasaę nieoznaczoności 26.. Wyprowazenie postaci pakietu Stan kwantowo-mechaniczny (lub
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie całkowe Fouriera
Przekształcenie całkowe Fouriera Postać zespolona szeregu Fouriera Niech ana bęzie funkcja f spełniająca w przeziale [, ] warunki Dirichleta. Wtey szereg Fouriera tej funkcji jest o niej zbieżny, tj. przy
Bardziej szczegółowoNotacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu
3.10.2004 7. Notacja Diraca 84 Rozdział 7 Notacja Diraca 7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu Do tej pory posługiwaliśmy się postulatem, że stan układu fizycznego jest w mechanice kwantowej w pełni
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoWYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0
WYKŁAD nr 4. Zaanie programowania nieliniowego ZP. Ekstrema unkcji jenej zmiennej o ciągłych pochonych Przypuśćmy ze punkt jest punktem stacjonarnym unkcji gzie punktem stacjonarnym nazywamy punkt la którego
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoReprezentacje położeniowa i pędowa
3.10.2004 9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 103 Rozdział 9 Reprezentacje położeniowa i pędowa 9.1 Reprezentacja położeniowa Reprezentacja położeniowa jest szczególnie uprzywilejowana i najczęściej
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa II wykład dziesiąty
Geometria Różniczkowa II wykła ziesiąty Wykła ziesiąty rozpoczyna serię wykłaów poświęconych geometrii symplektycznej. Zajmować się bęziemy głównie zastosowaniami geometrii symplektycznej w mechanice,
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowo(U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie
3.10.2004 31. (U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie 81 Rozdział 31 (U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie 31.1 Równanie Schrödingera i operator ewolucji 31.1.1 Podstawowe definicje Gdy układ
Bardziej szczegółowo1. Podstawowe pojęcia w wymianie ciepła
PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.
Bardziej szczegółowoZasada nieoznaczoności
3.10.2004 5. Zasada nieoznaczoności 63 Rozdział 5 Zasada nieoznaczoności 5.1 Formalna zasada nieoznaczoności 5.1.1 Średnie i dyspersje. Pojęcia wstępne Niech Â, ˆB oraz Ĉ będą operatorami hermitowskimi
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoWykłady z Hydrauliki- dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD 3
WYKŁAD 3 3.4. Postawowe prawa hyroynamiki W analizie problemów przepływów cieczy wykorzystuje się trzy postawowe prawa fizyki klasycznej: prawo zachowania masy, zachowania pęu i zachowania energii. W większości
Bardziej szczegółowoPole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu) (1.1) (1.2a)
PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowo(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej
3.10.2004 24. (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Założenia wstępne
Bardziej szczegółowo(U.13) Atom wodoropodobny
3.10.200 3. U.13 Atom wodoropodobny 122 Rozdział 3 U.13 Atom wodoropodobny 3.1 Model Bohra przypomnienie Zaznaczmy na wstępie o czym już wspominaliśmy w kontekście zasady nieoznaczoności, że model Bohra
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoKO OF Szczecin:
XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA (1981/198) Stopień III, zaanie teoretyczne T Źróło: Nazwa zaania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiay Fizycznej; Anrzej Kotlicki; Anrzej Naolny: Fizyka w Szkole, nr
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowojest więc blisko 2000 razy mniejsza niż masa nukleonu. Masa zredukowana elektronu w atomie 1 m e M
3.1.4 15. Atom wooropoobny 161 Rozział 15 Atom wooropoobny UWAGA : W rozziale tym traktujemy elektron jako cząstkę bezspinową. Innymi słowy, nie bierzemy po uwagę faktu, że elektron posiaa spin 1/. W alszych
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoPostulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki
Bardziej szczegółowoPole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)
PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.
Bardziej szczegółowoPole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)
PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowo(U.11) Obroty i moment pędu
3.10.2004 32. U.11) Obroty i moment pędu 96 Rozdział 32 U.11) Obroty i moment pędu 32.1 Wprowadzenie Obroty w przestrzeni R 3 są scharakteryzowane przez podanie osi obrotu, którą określa wektor jednostkowy
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na
Bardziej szczegółowox 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:
RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy
Bardziej szczegółowoO nauczaniu oceny niepewności standardowej
8 O nauczaniu oceny niepewności stanarowej Henryk Szyłowski Wyział Fizyki UAM, Poznań PROBLEM O lat 90. ubiegłego wieku istnieją mięzynaroowe normy oceny niepewności pomiarowych [, ], zawierające jenolitą
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Grupy cykliczne
Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoDYFRAKCJA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE
YFRAKCJA NA POJEYNCZEJ POWÓJNEJ SZCZELNE. Cel ćwiczenia: zapoznanie ze zjawiskiem yfrakcji światła na pojeynczej i powójnej szczelinie. Pomiar ługości fali światła laserowego, oległości mięzy śrokami szczelin
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5. Renty życiowe
ROZDZIAŁ 5 Renty życiowe Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy czy osoba której przyszły czas
Bardziej szczegółowo21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji
21 Symetrie 21.1 Grupy symetrii Spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie, jak zmienia się stan układu kwantowego pod wpływem transformacji układu współrzędnych. Najprostszą taką transformacją jest np. przesunięcie
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoAnalityczne metody kinematyki mechanizmów
J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów Analityczne metoy kinematyki mechanizmów Spis treści Współrzęne opisujące położenia ogniw pary kinematycznej Mechanizm korowo-wozikowy (crank-slier
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowo(U.6) Oscylator harmoniczny
3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 47 Rozdział 7 U.6 Oscylator harmoniczny 7. Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg W głównej części wykładu rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu kwantowo-mechanicznego
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoWykład 13 Mechanika Kwantowa
Wykład 13 Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński mrow@if.pw.edu.pl Wydział Fizyki Politechnika Warszawska 25 maja 2016 Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 13 25 maja 2016 1 / 21 Wprowadzenie Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoVII. CZĄSTKI I FALE VII.1. POSTULAT DE BROGLIE'A (1924) De Broglie wysunął postulat fal materii tzn. małym cząstkom przypisał fale.
VII. CZĄSTKI I FALE VII.1. POSTULAT DE BROGLIE'A (1924) De Broglie wysunął postulat fal materii tzn. małym cząstkom przypisał fale. Światło wykazuje zjawisko dyfrakcyjne. Rys.VII.1.Światło padające na
Bardziej szczegółowoFunkcje falowe i równanie Schrödingera
3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 12 Rozdział 2 Funkcje falowe i równanie Schrödingera 2.1 Funkcja falowa W poprzednim rozdziale stwierdziliśmy, że do pełnego opisu zjawisk mikroświata,
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoElektrodynamika. Część 2. Specjalne metody elektrostatyki. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektroynamika Część 2 Specjalne metoy elektrostatyki Ryszar Tanaś Zakła Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.phys.amu.eu.pl/\~tanas Spis treści 3 Specjalne metoy elektrostatyki 3 3. Równanie Laplace a....................
Bardziej szczegółowo3 Ewolucja układu w czasie, trajektorie kwantowe
3 Ewolucja układu w czasie, trajektorie kwantowe Pytanie: jak ewoluuje funkcja falowa stanu kwantowego ψ? W tym rozdzoale zajmiemy się ruchem cząstki w jednym wymiarze. 3.1 Trajektorie klasyczne Klasyczne
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoMetoda obrazów wielki skrypt przed poświąteczny, CZĘŚĆ POTRZEBNA DO OFa
Metoa obrazów wielki skrypt prze poświąteczny, CZĘŚĆ POTRZEBNA DO OFa 1. Równania i warunki brzegowe Dlaczego w ogóle metoa obrazów ziała? W elektrostatyce o policzenia wszystkiego wystarczą 2 rzeczy:
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan Wstęp do QFT (tym razem trochę równań ) Funkcje falowe a pola Lagranżjan revisited Kilka przykładów Podsumowanie Tomasz Szumlak AGH-UST Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej
Bardziej szczegółowopo lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoDo wprowadzania symboli pochodnych można wykorzystać paletę Calculus lub skróty klawiszowe: SHIFT+? - wprowadza symbol pierwszej pochodnej.
1. Pochone funkcji Mathca umożliwia obliczenie pochonej funkcji w zaanym punkcie oraz wyznaczenie pochonej funkcji w sposób symboliczny. 1.1 Wyznaczanie wartości pochonej w punkcie Aby wyznaczyć pochoną
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań różniczkowych
Rozwiązwanie równań różniczkowch. Równanie różniczkowe zwczajne. rzęu A. Metoa rkfie - zaimplementowana w Mathcazie metoa Rungego-Kutt. rzęu ze stałm krokiem całkowania: rkfie(,,ma, N, P) gzie: ma N P
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie
Bardziej szczegółowogęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoWykład Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
Wykła 5 5. Pole magnetyczne, inukcja elektromagnetyczna Prawo Ampera Chcemy teraz znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występujące rozkłay prąów, takich jak przewoniki prostoliniowe, cewki
Bardziej szczegółowoNormalizacja funkcji falowej
Normalizacja funkcji falowej Postulaty mechaniki kwantowej Zadanie. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Ncosαx) dla x [, a] Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoJak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?
Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe materii (cząstek, układów cząstek) opisuje matematycznie pewna funkcja falowa ( x, t ) Tutaj upraszczamy
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowo(U.16) Dodawanie momentów pędu
.0.004 7. (U.6) Dodawanie momentów pędu 5 Rozdział 7 (U.6) Dodawanie momentów pędu 7. Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu / 7.. Przejście do bazy sprzężonej W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoXXXVIII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne
XXXVIII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne Zadanie T A. Wykaż, że jeżeli liczby a i b spełnią równanie soczewki: + (fconst) a b f to wszystkie proste przechodzące przez punkty (a,0) i
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoUkłady statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię
Bardziej szczegółowo