Składowe wektora y. Długość wektora y

Transkrypt

1 FIZYKA I Wykła II

2 Rachunek Pojęcia postawowe wektorowy i (I) historia b a Skłaowe wektora y n = n cos(α) y n = n sin(α) y b Ԧa = a, y a a b = b, y b b a Długość wektora y Ԧa = a + y a y b b = b + y b b a

3 Rachunek Pojęcia postawowe wektorowy i (II) historia b a Suma wektorów y y b c Ԧc = Ԧa+b c = a + b y c = y a + y b Ԧa = b = a, y a b, y b b a Różnica wektorów y Ԧ = Ԧa-b y b = a b y = y a y b b a b

4 Rachunek Pojęcia postawowe wektorowy i (III) historia Iloczyn skalarny wektorów n Ԧa b = a i b i i=1

5 Rachunek Pojęcia postawowe wektorowy i (IV) historia Iloczyn wektorowy wektorów Ԧa b = Ԧa b sinθ

6 Rachunek Pojęcia postawowe wektorowy i (V) historia Iloczyn wektorowy wektorów Reguła Sarrusa Rozwinięcie Laplace a

7 Mechanika: Pojęcia postawowe kinematyka i historia (I) Punkt materialny (masa punktowa) to ciało fizyczne obarzone masą, ale mające tak małe rozmiary, że w opisie matematycznym można je potraktować jak punkt geometryczny. Punktem materialnym może być: kamień rzucony po pewnym kątem o powierzchni Ziemi, jego rozmiary są nieistotne w porównaniu z oległością jaką przebęzie i okłanością pomiarów statek na morzu, jego rozmiary są nieistotne w porównaniu z rozmiarami morza Ziemia poruszająca się po orbicie wokół Słońca, jej wymiary są nieistotne w porównaniu z promieniem orbity. Reukcja ciała o punktu materialnego ma istotne znaczenie la prostoty opisu ruchu anego ciała. Masa punktowa w fizyce to iealizacja ciała lub ukłau ciał, w której wymiary ukłau można pominąć w porównaniu z oległościami, które pokonuje. Wtey można przyjąć, że cała masa ukłaa jest skupiona w śroku masy ukłau. W przypaku jenoronego ciała kulistego, masa punktowa jest nie tylko iealizacją, ponieważ takie ciała zachowuje się tak jak masa punktowa

8 Mechanika: Pojęcia postawowe kinematyka i historia (II) Kinematyka punktu materialnego: z 1. Położenie: Ԧr = y, z r r 1 r. Opis ruchu: r Ԧr t = t, y t, z t y 3. Tor ruchu: Ԧr t, t t, t 1

9 Mechanika: Pojęcia postawowe kinematyka i historia (III) Prękość śrenia: V sr r t r1 t 1 r t t0 V Prękość chwilowa: r r y lim ˆ t0 t yˆ z zˆ Prękość to pochona wektora wozącego r(t) po czasie; Pochona wektora, to suma iloczynów pochonych jego współrzęnych przez opowienie wersory;

10 Mechanika: Pojęcia postawowe kinematyka i historia (IV) Ruch jest jenostajny jeśli wektor prękości nie zmienia się w czasie: V(t) r lim t0 r t const(t) V r r( t) r(0) V r( t) r(0) Vt t t (t) (0) V t, y(t) y(0) V t, y z(t) z(0) V t z Prękość chwilowa: r r V lim t0 t ˆ y yˆ z zˆ

11 Pojęcia postawowe i historia Mechanika: kinematyka (V) Prękość chwilowa: z z y y r t r t ˆ ˆ ˆ lim V 0 Przyspieszenie to pochona wektora prękości V(t) po czasie (szybkość zmiany wektora prękości) t z z t y y t t t V z t V y t V t V a z y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r at V(0)t r(0) r(t) at V(0) ) at V(0)t (r(0) r(t) V

12 Mechanika: Pojęcia postawowe kinematyka i historia (VI) Ruch jenostajny po okręgu y r v 1 r 1 r v v

13 Mechanika: Pojęcia postawowe kinematyka i historia (VI) Ruch krzywoliniowy w biegunowym ukłazie oniesienia: y v r r v r = r v φ = r φ = rω φ ω = Prękość raialna Prękość transwersalna Prękość kątowa

14 Mechanika: Pojęcia postawowe kinematyka i historia (VII) Ruch krzywoliniowy w biegunowym ukłazie oniesienia: y v r r Przyspieszenie liniowe Przyspieszenie raialne Przyspieszenie transwersalne a r = r r y a φ = r r φ φ + = r rω Przyspieszenie ośrokowe ω = r + r r ω = rε + ω Przyspieszenie kątowe ε = ω Przyspieszenie Coriolisa

15 Mechanika: Pojęcia postawowe ynamika i punktu historiamaterialnego (I) Siła: miara wielkości oziaływania (wartość, kierunek i zwrot, punkt przyłożenia) Wypakowa sił: n F w = i=1 F i Siły równoważące: ten sam kierunek i zwrot, ta sama wartość, ten sam punkt przyłożenia

16 Mechanika: Pojęcia postawowe ynamika i punktu historiamaterialnego (II) Zasay ynamiki Newtona W inercjalnym ukłazie oniesienia, jeśli na ciało nie ziała żana siła lub siły ziałające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jenostajnym prostoliniowym. W inercjalnym ukłazie oniesienia jeśli siły ziałające na ciało nie równoważą się (czyli wypakowa sił jest różna o zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym o siły wypakowej, a owrotnie proporcjonalnym o masy ciała. Ԧa = 1 m F w Oziaływania ciał są zawsze wzajemne. W inercjalnym ukłazie oniesienia siły wzajemnego oziaływania wóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każa ziała na inne ciało).

17 Mechanika: Pojęcia postawowe ynamika i punktu historiamaterialnego (III) Galileusz ( ) włoski astronom, astrolog, matematyk, fizyk i filozof, prekursor nowożytnej fizyki, uoskonalił tzw. kompas geometryczny i wojskowy, wykonał eksperyment owozący, że czas trwania spaku swobonego nie zależy o masy ciała, baał staczanie się kul po równi pochyłej, skonstruował termometr. Zasaa wzglęności Galileusza: prawa mechaniki są jenakowe we wszystkich inercjalnych ukłaach oniesienia.

18 Mechanika: Pojęcia postawowe ynamika i punktu historiamaterialnego (III) Transformacje Galileusza Ԧv trans = 0,0, v z, v z = const, ω = 0 = + v z t, y = y, z = z = + v z = v + v z ma = m = m + v zt = m v z = m

19 Mechanika: Pojęcia postawowe ynamika i punktu historiamaterialnego (IV) Prawa tarcia Coulomba i Morena 1. Siła tarcia jest niezależna o wielkości powierzchni stykających się ze sobą ciał i zależy jeynie o ich rozaju.. Wartość siły tarcia la ciała znajującego się w spoczynku może zmienić się o zera o granicznej wartości, proporcjonalnej o całkowitego nacisku normalnego. 3. W przypaku, gy ciało ślizga się po pewnej powierzchni, siła tarcia jest zawsze skierowana przeciwnie o kierunku ruchu i jest mniejsza o granicznej wartości. T = T s = μ s N T = T k = μ k N

20 Mechanika: Pojęcia postawowe ynamika i punktu historiamaterialnego (V) Siły oporu Opory toczenia Opór aeroynamiczny F t = Q f t = q e R stan i rozaj nawierzchni (opór jest mniejszy na asfalcie niż na roze gruntowej) konstrukcja ogumienia (większe opory toczenia występują la opon o konstrukcji iagonalnej niż la opon raialnych) ciśnienie (wraz ze wzrostem ciśnienia w ogumieniu opór toczenia maleje) F m = b v n opór w łożyskach, opór zbieżności kół (związany z nierównoległym ustawieniem kół w stosunku o osi połużnej pojazu), opór skrętu kół (zależny o prękości pojazu i promienia skrętu), opór związany z okształceniem się opony na nierównościach, opór na mokrej nawierzchni. F a = 1 ρ v A C A - powierzchnia czołowa pojazu czyli 0,8-0,9 iloczynu szerokości i wysokości pojazu C - współczynnik oporu aeroynamicznego q - gęstość powietrza (1,93 kg/m3 w T= 73 K i P=0,1 MPa) F a = 0,047 v A C opory profilowe (związane z kształtem w przekroju wzłużnym) ok. 60% całkowitego oporu opory inukcyjne (związane z kształtem powierzchni bocznej) ok. 8% całkowitego oporu opory tarcia ok. 10% całkowitego oporu opory zakłóceń (czyli wszelkie nierówności karoserii) ok. 1 % całkowitego oporu opory ukłau chłozenia i wentylacji ok. 10 % całkowitego oporu n F o = D i v i i=1

21 Mechanika: Pojęcia postawowe ynamika i punktu historiamaterialnego (VI) Siły oporu prękość graniczna w spaku swobonym s = v 0 t + at v 0 = 0; a = g; s = h h = gt F o = k v F g = F o kv g = mg t = h g g = v k t F g = m g v k = gh v g = mg k k = ρ A C

22 Mechanika: Pojęcia postawowe ynamika i punktu historiamaterialnego (VI) Siły oporu prękość graniczna w spaku swobonym s = v 0 t + at v 0 = 0; a = g; s = h h = gt F o = k v F g = F o kv g = mg t = h g g = v k t F g = m g v k = gh v g = mg k k = ρ A C

23 Mechanika: Pojęcia postawowe ynamika i punktu historiamaterialnego (VII) Pę (ruch ciał ze zmienną masą) p p F, p mv, m const F ( mv ) m v m mt F v m ( mv ) v m ma Zasaa zachowania pęu Całkowity pę ukłau ciał jest stały, jeżeli w ukłazie nie ziałają siły zewnętrzne: n Ԧp i = const i=1

24 Mechanika: Pojęcia postawowe ynamika i punktu historiamaterialnego (VIII) Pę (ruch ciał ze zmienną masą) ( mv) m v m mt F v m

25 Pojęcia postawowe i historia Praca i energia (I) Praca B A F r w B A B A B A B A B A r F r F r F r F r F r F const F F r W 1 ), ( cos ), ( cos Siła zachowawcza siła mająca tę własność, że praca wykonana przez nią przy przemieszczaniu ciała na roze o początku A i końcu B zależy tylko o położenia punktów A i B, nie zależy zaś o przebiegu rogi, czyli o toru ruchu.

26 Praca Pojęcia i energia postawowe (II) i historia Energia potencjalna: Praca siły F(,y) na roze elementarnego przemieszczenia r: W F r Praca siły F(,y) nie zależy o rogi, a tylko o punktu startu i końca przemieszczenia to można określić funkcję skalarną, zależną tylko o współrzęnych (,y). Nazywamy ją energią potencjalną i określamy jej nieskończenie mały przyrost: U F r Minus został wybrany ze wzglęu na to, że ubytek energii potencjalnej jest równy wykonanej elementarnej pracy. Jest on przyjęty ze wzglęów fizycznych. Przyrost funkcji U(,y) można wyrazić jako sumę przyrostów funkcji wzglęem obywu zmiennych niezależnych i y jako: Z rugiej strony U U U y y U F r - U U F F y y Grupując wyrazy z opowienimi przyrostami i y otrzymamy: y y F U F y U y 0 y F U F y U y Mówimy, że siła równa jest ujemnemu graientowi energii potencjalnej co zapisujemy: F U U U F i j y

27 Praca Pojęcia i energia postawowe (III) i historia Energia potencjalna (przykłay): Energia kinetyczna: Jeśli siła F jest stała i rozpęza masę m o prękości v 1 o prękości v to możemy napisać: W W r 1 F r 1 ma v 1 v m v v 1 m v v v 1 mv mvv v r mv F r m r m m v v v r 1 r 1 v 1 v v 1 mv mv 1 mv Poobne rozumowanie la siły zmiennej co o kierunku wzglęem przesunięcia aje: mv 1 mv Siła zwiększa przez wykonanie na ciałem pracy jego energię ruchu energię kinetyczną. 1

28 Zasay Pojęcia zachowania postawowe i historia Zasaa zachowania energii mechanicznej Zerzenia elastyczne m 1 V 1p V 1 k m V p V k p prze =p po E Kprze = E Kpo Zerzenia nieelastyczne m 1 V 1 k V 1p m V p V k p prze =p po

29 Ukłay Pojęcia nieinercjalne postawowe (I) i historia Siły w ukłaach nieinercjalnych (pozorne, bezwłaności) Zjawiska fizyczne: ochylenie swobonie spaających ciał o pionu (niewielkie) wahało Foucault. Jeżeli uruchomimy wahało na biegunie północnym, to przy każym wahnięciu kulka ochyli się w prawo la obserwatora związanego z Ziemią (ochoząc o bieguna na wschó, po minięciu bieguna na zachó). Dla niego płaszczyzna wahań bęzie obracać się wzglęem położa z prękością kątową Ziemi, tylko, że w przeciwnym kierunku.

30 Ukłay Pojęcia nieinercjalne postawowe (II) i historia Siły w ukłaach nieinercjalnych (pozorne, bezwłaności) Siła bezwłaności w ruchu niejenostajnym prostoliniowym siła Alemberta: Ruch jenostajny: Ԧv = const w ukłazie inercjalnym Hamowanie: a a w ukłazie inercjalnym w ukłazie nieinercjalnym F b Siła bezwłaności w ukłazie nieinercjalnym F b = ma F b = m Ԧa

31 Ukłay Pojęcia nieinercjalne postawowe (III) i historia Siły w ukłaach nieinercjalnych (pozorne, bezwłaności) Siła bezwłaności w ruchu po okręgu siła ośrokowa: v = ωr Obserwator w ukłazie inercjalnym ԦF os = mω Ԧr = mv Ԧr r r Obserwator w ukłazie nieinercjalnym ԦF os = mω Ԧr = mv r Ԧr r

32 Pojęcia postawowe i historia Ukłay nieinercjalne (IV) Siły w ukłaach nieinercjalnych (pozorne, bezwłaności) Siła bezwłaności w ruchu po okręgu siła ośrokowa: L ab g G R g G Y z t t a a sin ) ( cos P z P P X l b g Q R g G Y

33 Ukłay Pojęcia nieinercjalne postawowe (V) i historia Siły w ukłaach nieinercjalnych (pozorne, bezwłaności) Siła bezwłaności w ruchu po okręgu siła ośrokowa: v b = 85 km h = 3,7 m s v c = 6,7 m s F b = 4493 N = 5.6Q F c = 359 N = 0,45Q

34 Ukłay Pojęcia nieinercjalne postawowe (VI) i historia Siły w ukłaach nieinercjalnych (pozorne, bezwłaności) Siła bezwłaności poczas ruchu ciała w ukłazie obracającym się siła Coriolisa: Obserwator w ukłazie inercjalnym Obserwator w ukłazie nieinercjalnym a c = r φ = Ԧv ω F c = m Ԧv ω Efekty militarne: I wojna światowa: ostrzał artyleryjski Paryża z oległości 110 km znoszenie pocisków na wschó o 1,6 km II wojna światowa: bombarowanie Lonynu rakietami V z oległości ok. 300 km ochylenie torów rakiet na wschó o 3,7 km pomywanie prawych brzegów rzek syberyjskich skręcanie pasatów (w prawo na półkuli północnej, w lewo na połuniowej) cyklony (sytuacja na półkuli północnej)