2. Równanie falowe Równanie struny i wzór d Alemberta. t2 x 2. L 2 = t + c

Transkrypt

1 . Równanie falowe.1. Równanie struny i wzór d Alemberta Niech L oznacza operator różniczkowy dany wzorem L = c t x. Zauważmy, że L = L L 1, gdzie L 1 = t c x, L = t + c x. Rozważymy zagadnienie początkowe Cauchy ego dla równania struny swobodnej: Lu u tt c u xx = dla x R, t >, u(x,) = f(x) dla x R, (.1) u t (x,) = g(x) dla x R. Funkcje f C (R) i g C 1 (R) są z góry dane (opisują, odpowiednio, początkowe wychylenie struny z położenia równowagi oraz jej początkową prędkość). Niewiadomą jest funkcja u, klasy C. Etap 1. Wyznaczymy postać wszystkich rozwiązań równania Lu =. Rozbijemy to zadanie na dwa kroki: rozwiążemy równania L 1 u = v i L v = (A) Załóżmy, że L v = w pewnym zbiorze wypukłym E R. Niech l γ oznacza prostą x ct = γ = const (γ R). Połóżmy h = v lγ, to znaczy, ściśle mówiąc, Uwaga. Ściślej mówiąc, będziemy poszukiwać rozwiązania klasy C 1 w półpłaszczyźnie domkniętej R [, ), które jest klasy C na półpłaszczyźnie otwartej R (, ). h(t) := v(γ + ct,t).

2 16. Równanie falowe Wtedy h (t) = v v (γ + ct,t) c + x t (γ + ct,t) = L v(γ + ct,t) =. Innymi słowy, funkcja v jest stała na odcinku prostej l γ zawartym w zbiorze E. Zatem, v(x,t) = ϕ(x ct) (.) dla pewnej funkcji ϕ : R R (intuicyjnie: wartość v(x,t) zależy tylko od γ = x ct, tzn. od tego, na której z prostych l γ leży punkt (x,t)). (B) Dobierzmy funkcję α : R R tak, aby cα = ϕ. Wtedy 1 L 1 α(x ct) = cα (x ct) cα (x ct) = ϕ(x ct) = v(x,t). Zatem L 1 (u(x,t) α(x ct)) = v(x,t) v(x,t) =. Powtarzając teraz rozumowanie (A) (ze zmianą c na c), przekonujemy się, że u(x,t) α(x ct) = β(x + ct), to znaczy u(x,t) = α(x ct) + β(x + ct). (.3) Uwaga. Z tego wzoru wynika, że wśród rozwiązań równania struny są takie funkcje, które należą do klasy C, ale w żadnym punkcie nie mają pochodnych trzeciego rzędu. Ponadto, przestrzeń wszystkich rozwiązań ma taki wymiar, jak przestrzeń funkcji klasy C : nieskończony. Jest więc zupełnie inaczej niż dla liniowych równań zwyczajnych o stałych współczynnikach: ich rozwiązania są funkcjami klasy C ; jeśli równanie ma rząd równy n, to przestrzeń wszystkich rozwiązań jest n-wymiarowa. Etap. Wykorzystując warunki u(x,) = f(x) i u t (x,) = g(x), dobierzemy funkcje α i β. Musi być oczywiście α(x) + β(x) = f(x), c(α (x) β (x)) = g(x). 1 Uwaga: w następnej linijce zapis L 1 α(x ct) oznacza wynik działania operatora L 1 na funkcję dwóch zmiennych (x, t) α(x ct). Podobną konwencją będziemy posługiwać się dalej.

3 .. Wzór Kirchhoffa. Zasada Huygensa 17 (Pierwszą równość otrzymujemy wstawiając t = do (.3), drugą różniczkując (.3) względem t i wstawiając t = ). Ponieważ zaś dla dowolnych x 1 i x mamy α(x 1 ) + β(x ) = 1 ( ) α(x 1 ) + β(x 1 ) + α(x ) + β(x ) x + 1 (β (s) α (s))ds, x 1 więc, wstawiając x 1 = x ct, x = x + ct dostaniemy ostatecznie u(x,t) = f(x + ct) + f(x ct) + 1 c Jest to właśniewzórd Alemberta. Podsumujmy dotychczasowe rozważania. STWIERDZENIE.1. x+ct x ct g(s) ds. (.4) (i) Każde rozwiązanie u C zagadnienia Cauchy ego (.1) dla struny nieskończonej spełnia wzór (.4), jest więc jednoznacznie wyznaczone przez dane początkowe f, g. (ii) Dla dowolnych f C (R) i g C 1 (R) wzór (.4) określa O tym, że wzór funkcję u C, która spełnia (.1). (iii) Jeśli sup s R f 1 (s) f (s) < ε, sup g 1 (s) g (s) < ε, s R to odpowiednie rozwiązania u 1 i u zagadnienia Cauchy ego spełniają nierówność u 1 (x,t) u (x,t) (1+T)ε dla wszystkich x R, t [,T]. (iv) Liczba u(x,t) zależy tylko od wartości f w punktach x ± ct i wartości g w punktach y [x ct,x + ct]. Ostatni warunek ma jasną interpretację fizyczną: c jest prędkością, z jaką rozchodzi się fala. d Alemberta rzeczywiście określa rozwiązanie równania falowego, przekonujemy się natychmiast bezpośrednim rachunkiem... Wzór Kirchhoffa. Zasada Huygensa Przejdziemy teraz do równania falowego dla n = 3 (tzn. w trzech wymiarach przestrzennych). Aby rozwiązać zagadnienie

4 18. Równanie falowe Cauchy ego, sprowadzimy je wykorzystując metodę znalezioną przez Poissona do jednowymiarowego zagadnienia Cauchy ego dla równania struny. Nie będzie to jednak struna nieskończona, jak w poprzednim podrozdziale, lecz struna półnieskończona; zajmijmy się nią przez chwilę...1. Struna półnieskończona Rozważmy zagadnienie początkowo-brzegowe Lu u tt c u xx = dla x >, t >, u(x,) = f(x) dla x, u t (x,) = g(x) dla x, u(,t) = dla t. (.5) ( Lewy koniec struny jest zaczepiony i nie zmienia swego położenia. Aby drugi i czwarty warunek nie były sprzeczne, należy przyjąć, że f() = ). Z wcześniejszych rozważań wynika, że u(x,t) = α(x ct) + β(x + ct), gdyż wyprowadzając wzór d Alemberta, zakładaliśmy jedynie, że u spełnia równanie Lu = na pewnym wypukłym podzbiorze płaszczyzny R. Funkcje α i β powinny spełniać warunki α(x) + β(x) = f(x), x, c(α (x) β (x)) = g(x), x, α( ct) + β(ct) =, t. Ponadto, do α można dodać stałą, odejmując ją jednocześnie od β. Możemy więc przyjąć, że α() = β() = 1 f() =. Znając f i g, wyznaczymy α i β dla x ct tak samo jak wcześniej, zatem u(x,t) = f(x + ct) + f(x ct) + 1 c x+ct x ct g(s)ds dla x ct. Aby określić u dla x < ct, należy wyrazić α na przedziale (,) przez f i g. To nietrudne: dla s, mamy α( s) = β(s) = α(s) f(s), (.6) a ponieważ β(x) α(x) = 1 c x g(ξ) dξ

5 .. Wzór Kirchhoffa. Zasada Huygensa 19 (α i β znikają w zerze!), więc z warunku α+β = f dla x mamy x α(x) = 1 f(x) 1 g(ξ) dξ, (.7) c β(x) = 1 f(x) + 1 c Z równości (.7) i (.6) dostaniemy to znaczy x g(ξ) dξ (.8) α( x) = 1 f(x) 1 g(ξ)dξ, x, c x α(x ct) = 1 f(ct x) + 1 c g(ξ)dξ dla x < ct. ct x Zatem, ze wzoru u(x,t) = α(x ct) + β(x + ct) mamy u(x,t) = f(x + ct) f(ct x) + 1 c ct+x ct x g(s)ds dla x < ct. Warto zauważyć, że efekt jest bardzo prosty: funkcja u jest określona tak, jakbyśmy przedłużyli f i g do funkcji nieparzystych na całej prostej, rozwiązali równanie struny w półpłaszczyźnie x R, t i obcięli rozwiązanie do R + R +. Innymi słowy: fala, która dochodzi do zamocowanego końca struny, odbija się, zmienia fazę i, nie tracąc energii, zaczyna biec w przeciwną stronę.... Średnie sferyczne i wyprowadzenie wzoru Kirchhoffa Po tych przygotowaniach przejdźmy do zagadnienia Cauchy ego dla równania falowego w R 3 R +. Poszukujemy rozwiązań problemu Jak poprzednio, Lu u tt c x u = dla x R 3, t >, u(x,) = f(x) dla x R 3, u t (x,) = g(x) dla x R 3. (.9) będziemy zakładać, że rozwiązanie jest klasy C 1 na półprzestrzeni domkniętej i klasy C w jej wnętrzu.

6 . Równanie falowe Aby sprowadzić (.9) do zagadnienia jednowymiarowego, będziemy dla h : R 3 R rozważaćśrednie I h (x,r) = 1 h(x + ry)dσ y 4π y =1 = 1 4πr S (x,r) h(ξ)dσ ξ. Jak widać, I h (x,r) oznacza średnią wartość funkcji h na sferze o środku x i promieniu r. Nietrudno stwierdzić, że: Jeśli dla pewnego s =,1,,... funkcja h C s (R 3 ), to również I h C s (R 3 R + ); lim I h (x,r) = h(x) dla każdej funkcji ciągłej h i dla wszystkich r x R 3. Stosując twierdzenie Fubiniego, otrzymujemy h(x + z)dz = R ( h(x + z)dσ z )dr B(,R) z =r = R 4πr I h (x,r)dr. (.1) (Aby uzyskać drugą równość, zmieniamy w wewnętrznej całce zmienną z z na y = z/r S (,1); wtedy dσ z = r dσ y.) Udowodnimy teraz dwie własności średnich I h. LEMAT.. Dla funkcji h C (R 3 ) zachodzi równość ( R x ) 4πr I h (x,r)dr = 4πR R I h(x,r). Dowód. Lewą stronę równości z tezy lematu przekształcimy, posługując się kolejno: wzorem (.1), twierdzeniem Gaussa Ostrogradskiego i zamianą zmiennych S (,R) z y = z/r S (,1). Zauważając, że wektor normalny do sfery S (,R) w punkcie z dany jest wzorem n(z) = z/r, otrzymujemy

7 .. Wzór Kirchhoffa. Zasada Huygensa 1 ( R x ) 4πr I h (x,r)dr = h(x + z)dz = = B(,R) S (,R) S (,1) h(x + z) z R dσ z R = 4πR R I h(x,r). 3 h (x + Ry) y i x i=1 i }{{} = R h(x+ry) dσ y LEMAT.3. Dla funkcji h C (R 3 ) zachodzi równość x r I h (x,r) = r r I h(x,r). Dowód. Różniczkując względem R obie strony równości z tezy lematu., otrzymujemy R x R r I h (x,r)dr = R R R I h(x,r). Z twierdzenia Newtona Leibniza wynika, że lewa strona jest równa x R I h (x,r), więc x RI h (x,r) = 1 R R R R I h(x,r). Aby otrzymać tezę lematu, wystarczy sprawdzić, że dla dowolnej dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f jednej zmiennej s mamy 1 ( s f (s)) = (sf(s)). s Pozostawiamy to sprawdzenie jako łatwe zadanie dla Czytelnika. Oznaczmy teraz symbolem Ψ r operator, który funkcji h przyporządkowuje ri h (,r), to znaczy niech Ψ r h(x) = ri h (x,r).

8 . Równanie falowe Uwaga. Pisząc Ψ r(lu) i Ψ ru, traktujemy zmienną t jako dodatkowy parametr operację uśredniania, występującą w definicji Ψ r, aplikujemy tylko do zmiennych x. (Dla r = wygodnie jest przyjąć Ψ r h = ). Obliczając Ψ r (Lu), dla Lu = u tt c x u =, dostaniemy ( ) = Ψ r (Lu) = L(Ψ r u) = c Ψ t r r u. (Ostatnia równość jest treścią lematu.3.) Po prawej stronie x odgrywa rolę parametru, zmiennymi są zaś r ( położenie ) i t ( czas ). Ponieważ r i t, więc mamy do czynienia z równaniem struny półnieskończonej. Warunki początkowo-brzegowe to Ψ r u = Ψ r f dla t =, r, t ru = Ψ r g dla t =, r, Ψ r u = dla t, r =. (.11) Funkcję Ψ r u wyrazimy, stosując wzór d Alemberta. Ponieważ naszym ostatecznym celem jest znalezienie wartości u (co wymaga obliczenia średnich I u (x,r) iprzejściadogranicy r ), więc zainteresujemy się wartościami r < ct. Podstawiając wypisane wyżej wartości początkowe do wzoru na rozwiązanie równania struny, otrzymujemy: Ψ r u(x,t) = 1 ( ) Ψ ct+r f(x) Ψ ct r f(x) + 1 c ct+r Ψ ξ g(x)dξ. (.1) Ponieważ 1 u(x,t) = lim r 4π S (,1) ct r Ψ r u(x,t) u(x + ry,t)dσ y = lim, r r więc (.1) prowadzi do u(x,t) = r Ψ rf(x) + 1 r=ct c Ψ ctg(x). (.13) Aby wyrazić u jawnym wzorem, pozostaje obliczyć pochodną względem r. Otóż, r Ψ rf(x) r=ct = 1 ( f(x + ry)dσ y + r y) 4π r f(x + ry)dσ r=ct = 1 4π y =1 t ( t S (,1) y =1 f(x + cty)dσ y ).

9 .. Wzór Kirchhoffa. Zasada Huygensa 3 Podstawiając ten wynik do wzoru (.13), dostaniemy 4πu(x,t) = ( ) t f(x + cty)dσ y t + t S (,1) g(x + cty)dσ y, (.14) S (,1) lub równoważnie, po zamianie zmiennych S (,1) y z = x + cty S (x,ct), 4πc u(x,t) = ( ) 1 f(z)dσ z + 1 g(z)dσ z. (.15) t t t S (x,ct) S (x,ct) Zarówno wzór (.14), jak i wzór (.15) bywają nazywane wzorem Kirchhoffa. Jak wcześniej, podsumujmy wyniki naszych rozważań i rachunków. TWIERDZENIE.4. Jeśli f C 3 (R 3 ), g C (R 3 ), to zagadnienie Cauchy ego dla równania falowego w R 3 R + ma dokładnie jedno rozwiązanie u klasy C. To rozwiązanie jest określone wzorem Kirchhoffa (.15). Ponadto, rozwiązanie zależy w sposób ciągły od danych początkowych f,g w następującym sensie: jeśli to f 1 f C 1 (R 3 ) < ε, g 1 g C (R 3 ) < ε, u 1 (x,t) u (x,t) < const(t)ε dla x R 3 oraz t [,T]. (Jednoznaczność wynika stąd, że wykazaliśmy, iż każde rozwiązanie spełnia wzór Kirchhoffa. Gdy f C 3 i g C, to prawa strona wzoru Kirchhoffa ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie, więc i lewa czyli funkcja u także. Sprawdzenia wymaga to, czy funkcja określona wzorem Kirchhoffa istotnie spełnia równanie falowe; wystarczy w tym celu prześledzić już wykonane rachunki). WNIOSEK.5 (Zasada Huygensa). Jeśli dane początkowe f, g mają zwarte nośniki i S = suppf suppg,

10 4. Równanie falowe to u(x,t) = dla wszystkich t [t 1 (x),t (x)], gdzie t 1 (x) = inf {t > : S (x,ct) S }, t (x) = sup {t > : S (x,ct) S }. Dowód. Dla t < t 1 (x) i dla t > t (x) sfera S (x,ct) nie ma punktów wspólnych ze zbiorem S, więc funkcje f i g znikają na niej tożsamościowo i obie całki we wzorze Kirchhoffa są równe zero. Interpretacja tego wniosku jest dość oczywista: w R 3 źródło dźwięku o ograniczonych rozmiarach można słyszeć tylko przez pewien skończony, ściśle określony czas. Front fali dociera do obserwatora, czy raczej słuchacza, tym szybciej, im większa jest stała c, czyli prędkość rozprzestrzeniania się zaburzeń; po przejściu fali następuje cisza gdy zbiór S jest zwarty, wartości u(x,t) znikają dla odpowiednio dużych t..3. Wzór Poissona. Czego nie mogą płaszczaki? Okazuje się, że znajomość wzoru Kirchhoffa pozwala niemal natychmiast wypisać wzór na rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego dla równania falowego w dwóch wymiarach przestrzennych (tzn. w R R + ). Pomysł jest bardzo prosty: należy dodać fikcyjny trzeci wymiar x 3 i zaraz potem założyć, że f,g i u w ogóle nie zależą od x 3. Oczywiście u dane jest wzorem Kirchhoffa. Należy ten wzór wypisać (biorąc np. wszędzie x 3 =, gdyż f,g i u nie zależą od x 3 ), a następnie przejść od całkowania po dolnej i górnej połówce sfery S (x,ct) do całkowania po dysku. Otrzymamy (proszę samodzielnie wykonać zamianę zmiennych w obu całkach we wzorze Kirchhoffa!) πc u(x,t) = t + ( D (x,ct) D (x,ct) ) f(z)dz c t z x g(z) dz (.16) c t z x. Jest to tzw.wzórpoissona; x i z są punktami płaszczyzny R, a D (x,ct) oznacza dysk o środku x i promieniu ct. Jest więc inaczej niż we wzorze Kirchhoffa: tam całkowaliśmy po sferach, tzn. po zbiorach kowymiaru 1 w R 3, tu natomiast całkujemy po dyskach

11 .4. Niejednorodne równanie falowe: całki Duhamela 5 tzn. po zbiorach tego samego wymiaru, co R. Dlatego właśnie ze wzoru (.16) wynika dość ciekawy wniosek. Mianowicie dla równania falowego w R +1 zasada Huygensa nie zachodzi, tzn. zbiór {t : u(x, t) } zazwyczaj jest nieograniczony, nawet gdy dane początkowe mają zwarty nośnik. Jeśli bowiem S = suppf suppg, to dla dowolnego punktu x istnieje t 1 = t 1 (x) takie, że dlawszystkich t > t 1 dysk D (x,ct) zawiera punkty zbioru S. Płaszczaki z powieści E.A. Abbotta nie mogą więc o ile w ich świecie rozprzestrzenianiem się fal akustycznych rządzi to samo równanie falowe odpoczywać w absolutnej ciszy. Typowy sygnał akustyczny, który już raz dotrze do ustalonego punktu x R, jest odbierany po wsze czasy; nie ma wyraźnie zaznaczonego tylnego frontu fali, jedynie natężenie odbieranego dźwięku słabnie, ze względu na składnik c t pod pierwiastkiem w mianowniku. Zatem, płaszczaki o lekko przytępionym słuchu mogą wieść w miarę normalny żywot (patrz zad. 6 s. 133). Podobny fenomen ma miejsce także i w wyższych wymiarach: zasada Huygensa obowiązuje jedynie wtedy, gdy wymiar przestrzeni jest liczbą nieparzystą. (Więcej informacji można znaleźć w podrozdziale.4 książki L.C. Evansa Równania różniczkowe cząstkowe)..4. Niejednorodne równanie falowe: całki Duhamela Niech w dalszym ciągu L = t c x = t c 3 x i=1 i Na zakończenie naszego spotkania z równaniem falowym rozważymy jeszcze zagadnienie Cauchy ego dla równania niejednorodnego, Lu(x,t) = h(x,t) dla x R 3, t >, u(x,) = f(x) dla x R 3, (.17) u t (x,) = g(x) dla x R 3. Założymy, że h i g są klasy C, f zaś klasy C 3. Aby znaleźć rozwiązanie, zapiszemy u = w + v, gdzie Lw =, w(x,) = f(x), w t (x,) = g(x) oraz Lv = h, v(x,) = v t (x,) =. Funkcja w jest dana wzorem Kirchhoffa. Wystarczy więc rozwiązać zagadnienie (.17) dla f, g..

12 6. Równanie falowe Niech ϕ(x, t, s) (dodatkową zmienną s > traktujemy jako parametr) spełnia warunki Lϕ = dla x R 3, t >, ϕ(x,,s) = dla x R 3, (.18) ϕ t (x,,s) = h(x,s) dla x R 3. (Innymi słowy, aby wyznaczyć ϕ, należy rozwiązać nieskończoną rodzinę zagadnień Cauchy ego dla jednorodnego równania falowego, indeksowaną parametrem s. Można to oczywiście zrobić, stosując wzór Kirchhoffa). Połóżmy teraz v(x,t) := t ϕ(x,t s,s)ds. (.19) LEMAT.6. Funkcja v dana wzorem (.19) spełnia równanie Lv = h i warunki początkowe v(x,) = v t (x,) =. Dowód. Oczywiście v(x, ) = dla wszystkich x. Różniczkując obie strony (.19) względem odpowiednich zmiennych, otrzymujemy kolejno t v t (x,t) = ϕ(x,,t) + = t t v tt (x,t) = ϕ t (x,,t) + c x v(x,t) = ϕ t (x,t s,s)ds ϕ t (x,t s,s)ds, (.) t ϕ tt (x,t s,s)ds, (.1) c x ϕ(x,t s,s)ds. (.) Wstawiając t= w równaniu (.), przekonujemy się, że v t (x,)= dla wszystkich x. Odejmując drugie i trzecie równanie stronami, otrzymujemy Lv = ϕ t (,, ) = h.

13 .4. Niejednorodne równanie falowe: całki Duhamela 7 Wyrażając ϕ wzorem Kirchhoffa i podstawiając wynik do (.19), dostaniemy v(x,t) = 1 t 4πc = 1 ct 4πc = 1 4πc 1 t s S (x,r) B 3 (x,ct) S (x,c(t s)) h(z,t r c )dσ z h(z,s)dσ z ds dr r h(z,t z x ) c dz. z x Wynika stąd natychmiast następujący wniosek WNIOSEK.7. Wartość v(x,t) zależy jedynie od wartości h w punktach (z,s) położonych na stożku o równaniu z x = c(t s), s (,t).