Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

Transkrypt

1 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. 1.. Dany jes wiek całkowiy x. Nasępujące prawdopodobieńswa przeżycia: g= 2p x + 1/3, h= 2p x + 1/ 2, j= 2p x + 3/4 obliczono sosując inerpolację zakładającą, że naężenie wymierania jes sałe w rocznym przedziale między kolejnymi wiekami całkowiymi. Wówczas liczby g, h, j spełniają ożsamość: (A) gj = h (B) g j = h (C) gj = h (D) g j = h (E) g j 2 3 = h

2 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. 2. Rozważamy 20-lenie ubezpieczenie na życie i dożycie dla (x) i zmianę ablic rwania życia, kóra spełnia warunki: ( P ) ( K( x) = k) = P( K( x) = k) +, dla 0 k 19. gdzie 0. Wiadomo ponado, że dla = 0, 004 A ( 0004, ) = A + 001,. Podaj analogiczną składkę dla = 0, 006, czyli (A) A 0, 015 (B) A 0, (C) A 0, 013 (D) A 0, (E) A 0, (0,006) A x:20 2

3 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. 3. Rozparujemy dwa ubezpieczenia renowe dyskrenego ypu dla osoby w wieku 25 la, z płanościami na począku roku. Niech P(40) oznacza właściwy poziom rocznej składki, kóra będzie płacona przez (25), przez najbliższe 40 la (w formie reny życiowej) i sfinansuje w akuarialnym sensie emeryurę, kóra będzie mu wypłacana corocznie w wysokości 1, począwszy od 65 roku życia, aż do śmierci. Analogicznie, niech P(41) oznacza właściwy poziom corocznej składki, kóra będzie płacona przez (25), przez najbliższe 41 la (w formie reny życiowej) i sfinansuje w akuarialnym sensie emeryurę, kóra będzie mu wypłacana corocznie w wysokości 1, począwszy od 66 roku życia, aż do śmierci. W przypadku przedwczesnej śmierci nie przewidziano żadnych świadczeń. Oblicz P(41)/P(40). Dane są: 1 A = 0, , a && = 17, , a && = 0, : 25: Podaj najbliższą warość. (A) 0,79 (B) 0,84 (C) 0,89 (D) 0,94 (E) 0,99. 3

4 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. 4. Na życie osoby w wieku (0,4) la [x jes liczbą całkowią] wysawiono dożywonią polisę na życie z sumą ubezpieczenia , płaną na koniec roku śmierci. Sała, roczna składka jes płacona z góry za kolejne laa ubezpieczenia. Wyznacz składkę roczną, przyjmując założenie UDD dla śmierelności w kolejnych laach życia oraz nasępujące dane: a& & x = 10,3188 q x = 0, 011 i=8%. Podaj najbliższą warość. (A) 233,70 (B) 234,00 (C) 234,30 (D) 234,60 (E) 234,90 4

5 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. 5. Rozważamy ubezpieczenie erminowe ciągłe dla (x), kóre wypłaci 1 w chwili śmierci, opłacane za pomocą reny ciągłej składek ze zmienną inensywnością π( ), malejącą liniowo przez cały okres ubezpieczenia. Oo wzór na maksymalną warość wyrażenia vv() w całym okresie ubezpieczenia ( v oznacza echniczny czynnik dyskonujący, V() oznacza rezerwę składek neo po laach) π() (A) ( ) v π() (B) ( 1 ) v (C) π() 1 (D) π() (E) π () 5

6 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. 6. Rozparujemy n-lenie ubezpieczenie na życie i dożycie dyskrenego ypu. W dziesiąym roku suma ubezpieczenia wynosiła 72 ys. zł. Osiągnięy przy sopie echnicznej i=3% zysk inwesycyjny umożliwia od 11 roku polisy wzros sumy ubezpieczenia o 8%, pod warunkiem analogicznego wzrosu rocznej składki. Podaj nową sumę ubezpieczenia, jeśli ubezpieczony zdecydował się na wzros składki o 3%. Dane są: A 0,52475 A 0, = 0, = x : n Wskaż najbliższą warość. = x : 10 (A) (B) (C) (D) (E) p x 6

7 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. 7. Rozparujemy 20-lenie ubezpieczenie na życie i dożycie dyskrenego ypu, ze sałą składką roczną płaną przez cały okres ubezpieczenia. Składka bruo obciążona jes narzuem na koszy adminisracyjne. Przez pierwszych 10 la ubezpieczenia koszy (wg. warości na począek roku) wynoszą 10% składki bruo, a przez osanie 10 la, 6% składki bruo. Wyznacz rezerwę na koszy adminisracyjne po 10 laach ubezpieczenia, jeśli wiadomo, że liczona na en sam momen prospekywna warość składek bruo wynosi 6450 zł oraz a&& x :10 = 0,6975 a&& Wskaż najbliższą warość. x : 20 (A) -270 (B) -180 (C) -90 (D) 90 (E) 180 7

8 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. 8. W danej populacji śmierelność ma w każdym kolejnym roku życia rozkład jednosajny. Dla osoby (x) wysawiono 20-lenią polisę na życie i dożycie, wypłacającą świadczenie śmierelne na koniec roku śmierci. Ponieważ osoba (x) jes nałogowym palaczem, do kalkulacji składki przyjęo śmierelność podwyższoną w sosunku do sandardowej o sały czynnik b=0,019, czyli przyjęo x + k + s = k + s + b dla całkowiych k oraz dla 0 s < 1. Składkę skalkulowano przy sopie echnicznej i=4%. Wyznacz jednorazową składkę neo w ym ubezpieczeniu za 1000 zł sumy ubezpieczenia, jeśli dla populacji sandardowej znane są: 20 px = 0,7943 a x ( i = 4%) 12, 9508 ( i = 6%) 11, 1039 Podaj najbliższą warość. = : 20 a x = : 20 (A) 520 (B) 540 (C) 560 (D) 580 (E) 600 8

9 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. 9. Ojciec (41) oraz maka (39) ubezpieczają dziecko (5) na wypadek sierocwa: jeśli przed osiągnięciem wieku 18 la dziecko zosanie całkowią sieroą, o począwszy od chwili śmierci drugiego z rodziców będzie orzymywać renę życiową ciągłą, z inensywnością 1 na rok, aż do wieku 18. Obliczyć jednorazową składkę neo za o ubezpieczenie, jeśli wiadomo, że ,, , 015, 5 + 0, 008, δ = 003,. Podaj najbliższą warość. (A) 0,02 (B) 0,07 (C) 0,12 (D) 0,17 (E) 0,22. 9

10 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. 10. Rozparujemy kohorę 50-lenich uczesników planu emeryalnego, wszyscy urodzeni 1 sycznia. W planie urzymywana jes rezerwa kapializująca bieżącą warość świadczeń śmierelnych dla uczesników umierających przed osiągnięciem wieku emeryalnego 65 la. Rezerwa a jes akualizowana na począku każdego roku. Wymiar jednorazowego świadczenia śmierelnego jes nasępujący: ,15 [ ] ( AS 0 < 15 D 50 + = ) 50+ gdzie [] jes częścią całkowią oraz (AS) x jes rocznym wynagrodzeniem osoby w wieku x la. Płace zmieniają się raz w roku, na począku roku. Tuż po podwyżce ( AS) 50 = W kohorcie 50-laków ubyki śmierelne sanowią ¼ całkowiych ubyków z planu, czyli ( ) ( τ ) 4 q d = q 0, = Akualna warość rezerwy na jednego uczesnika apv( D) 50 = 305, po sprowadzeniu na środek roku wypła wszyskich umierających w danym roku. Podaj o jaką kwoę zmniejszy się analogiczna rezerwa apv(d) 51, jeśli i=4%. Podaj najbliższą warość. (A) 15 (B) 17 (C) 19 (D) 21 (E) 23 10

11 Maemayka ubezpieczeń życiowych r. XXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 25 sycznia 2003 r. Maemayka ubezpieczeń życiowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko :...Klucz odpowiedzi... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punkacja 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 E 7 B 8 C 9 B 10 A * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna. 11