Prawa zachowania momentu pdu (pisz je dla czstki relatywistycznej):

Transkrypt

1 Wykład 16 Jeszcze o dezyjnych Wóc jeszcze do uchu po zakzywionej powiezchni, a któej dϕ d. Pawa zachowania momentu pdu (pisz je a czstki elatywistycznej): J a mv / 1 v / c ϕ av m / 1 v / c m / 1 v / c i enegii, spowadzajce si do stałoci pdkoci: ϕ v dzielilimy, po podniesieniu do kwadatu, stonami (dugie pzez piewsze) i wykozystujc to, e / ϕ d / dϕ, dostalimy ównanie dezyjnej, nadajce si ju wpost do konketnego ozwizywania 1 g a Tym azem podziel je stonami odwotnie, bez podnoszenia do kwadatu, i skozystam z tego, e: ϕ / dϕ / d otzymujc: a Jest to dokładnie to samo ównanie, a nawet, chcc ozwizywa konketne zadanie, a konketnego g, i tak tzeba by je ozwikła wzgldem pochodnej otzymujc stae, ale ta nowa posta jest godna uwagi. Rozwamy długo odcinka dezyjnej, bdcej ozwizaniem powyszego ównania pomidzy dwoma ustalonymi punktami i o współzdnych 1, ϕ i, ϕ. Rozwizanie takie da si znale, gdy w ozwizaniu ϕ ϕ(), opócz dowolnej stałej a, ju obecnej w uzyskanym ównaniu óniczkowym piewszego zdu, wystpi dodatkowa stała całkowania C, azem dwie. dziemy mie ϕ ϕ(, a, C). Układajc dwa ównania: ϕ (, a, C) i ϕ (, a, C), wyznaczymy stałe a i C, któe pzestan by dowolne. Rzeczywicie punkty kocowe i na płaszczynie wytyczaj dezyjn. Mógłbym doba owe dwie stałe ównie do waunku, e dezyjna statujc w jednym punkcie, ma tam okelony kieunek, czyli okelon wato pochodnej dϕ / d. To dugie jest czsto paktyczniejsze.

2 Na ysunku s te dwa punkty, jest fagment stosownej dezyjnej i kilka altenatywnych dóg, azem pi, wiodcych od do. Dokładniej mówic, owe pi dóg odpowiada zalenociom ϕ ( ) ϕ ( ) + εδ( ), a ε 1, 0.5, 0, -0.5, -1, gdzie ϕ ( ) jest fagmentem dezyjnej (a jakiej metyki, któej nie specyfikuj, bo ozwaania s ogólne). Z kolei δ () jest jak, jedn z nieskoczenie wielu moliwych, modyfikacj, (naukowo zwan waiacj), naszej dezyjnej. Oczywist własnoci δ (), jeli mamy poównywa długo odcinka dezyjnej z długoci altenatywnych dóg od do, jest jej znikanie w punktach i δ( ) δ( ) 0 Nie jest tudno wyobazi sobie altenatywne dogi a wszystkich watoci ε pomidzy 1, a +1. Oczywicie długo dogi staje si w tej sytuacji funkcj ε. Cokolwiek wybalibymy na funkcj δ (), wato ε 0, bdzie odpowiadała akuat dezyjnej (w naszym ozumieniu tego okelenia, jako dogi wybieanej pzez punkt mateialny, nie doznajcy adnej siły w płaszczynie stycznej) l ( ε) dϕ ( )d ( ( ) + εδ ( )) + Dla jakiej watoci ε doga jest najkótsza? istot dezyjnej, jako tou a czstek (albo wiatła, wszak widzimy e czstka ultaelaty- g ( ) d To nie jest badzo tudne pytanie! Waunkiem koniecznym jest, by pochodna po ε była zeem! Domylamy si, e tak włanie bdzie a ε 0. Jak niebawem zozumiemy, fizyczn

3 wistyczna, pousza si na naszej powiezchni po takim samym toze jak i czstka powolna), jest nie tyle jej najkótszo, ale włanie to, by zmiany długoci, pzy małych waiacjach, były popocjonalne do wyszych potg ε ni 1. to włanie pochodna mnoy piewsz potg pzyostu funkcji: f ( x + ε) f ( x) εf ( x) + O( ε ) W wikszoci postych sytuacji, a dezyjnej (czyli a ε 0) mamy zeczywicie minimum długoci dogi, ale to akuat nie jest wane. Wypada policzy (a watoci ε 0) t pochodn: ( ε) dε ε 0 ( ( )) ( ) ( ) δ ( )d ( ( )) ( ) ( ) dδ( ) Iloczyn pochodnej waiacji δ () i pzyostu d zastpiłem pzyostem δ ( )d dδ( ). Sztuczka z uzupełnianiem adb o bda do pełnego pzyostu d(ab), jest niezwykle uyteczna! Dopieo co, mielimy to pzy mpeze, a i teaz wato uzupełni. Pzyosty pełnego iloczynu d ( ( )) ( ) δ( ) zsumuj si nieuchonnie do totalnego pzyostu, ( ) czyli ónicy watoci tego iloczynu w punktach i. le tam jeden z czynników δ ( ) 0 δ( ) 0! 1, wic i cały iloczyn jest tam ówny zeu. Poniewa pod całk dodalimy bda, co z istniejcym wyaeniem dało ostatecznie, tj. po wysumowaniu, 0, musimy jeszcze tylko uwzgldni człon, (bo uzupełnianie to pzecie dodanie i odjcie owego bda). Zatem : dε ( ε) ε 0 δ( )d ( ( )) ( ) ( ) bda d δ( ) d ( ( )) le popatzmy na ównanie uzyskane z mechaniki. To mówi ono dokładnie to, i wyaenie do zóniczkowania: ( ( )) ( ), ( ) jest stał. wic nasza definicja dezyjnej, jako tou fizycznej czstki, najpostszej linii, pozwala udowodni, e jest ona nie tylko minimalna pod wzgldem kzywizny, ale i ( ) ( ) d 1 W pzypadku mpèa podobne znikanie wynikało z zamknitoci kontuu z pdem. Jest to szczególny pzypadek tzw. całkowania pzez czci. 3

4 minimalna (czy ogólniej stacjonana) pod wzgldem długoci. I na odwót 3. Jeli kto definiuje dezyjn jako lini najkótsz, to powysze ozumowanie dowodzi, e punkty mateialne i wiatło (zmuszone pozostawa na powiezchniach z dowoln metyk) włanie bd pousza si po takich dezyjnych. Zapamitajmy ten achunek. Gdy w całce F( y' ( x), x) dx nie wystpuje samo y(x), a jedynie y (x), to zaleno y(x) minimalizujca t całk spełnia musi ównanie F( y', x) constans y Jest to ewelacyjnie wygodny i skuteczny sposób dochodzenia do potzebnych ówna. Natua zmiennych nie ma znaczenia. Moe to by, jak pzed chwil, jako zmienna niezalena i kt ϕ() jako zmienna zalena. Za chwil, a zbadania tou wiatła w gstniejcym pionowo oztwoze, zmienn niezalen bdzie z, a zmienn zalen x. Toch póniej tak zmienn niezalen bdzie czas, a zmienn zalen któa ze współzdnych, a zaaz potem czas t stanie si zmienn zalen a jedna ze współzdnych zmienn niezalen. Wszystkie chwyty dozwolone. yle funkcja podcałkowa nie zawieała 4 zmiennej wybanej na zalen, a jedynie jej pochodn. Skupmy teaz uwag na wietle. Gdy mylimy o nim, jako o fotonach (a wic skajnie elatywistycznych czstkach), zasady mechaniki pozwalaj wyznaczy to, (co zobilimy) w zakzywionej płaszczynie, bez odwoływania si do własnoci ekstemalnoci dogi. Gdy jednak pomylimy o falach w waunkach, gdy jest sens mówi o pomieniach, a wic w ganicy fal kótkich, nasuwa si natychmiast konstukcja Huyghensa, w któej fal, w kadym punkcie P, mona uwaa za sum fal od wielu, powiedzmy N punktów P wczeniejszego fontu (z ónymi, zalenymi od oegłoci fazami). i φ ( P, P') e wszystkich P' a( P) a( P' ) W kadym takim punkcie P, fala jest te sum od wczeniejszego fontu, czyli od wielu punktów P, wic ju mamy sum podwójn: a iφ( P, P') iφ( P', P'') i( φ( P, P') +φ( P', P'')) ( P) e e a( P' ') e a( P wszystkich P' wszystkich P' ' wszystkich P' i P'' ''), 3 Jeli damy, by kzywa opisana funkcj ϕ () była ekstemal, (czyli albo minimalna, albo maksymalna, albo chocia stacjonana) da musimy znikania pochodnej ostatniej całki, a kadej funkcji δ (), a to wymusza znikanie wzdłu całego tou pochodnej wystpujcego tam wyaenia, co oznacza jego stało. 4 Tu znów ocieamy si o temat zek. W jakim sensie pawie, e istot fizyki! ak zmiennej w wyaeniu, któe mogłoby ja w innych okolicznociach zawiea, nazywa si symeti. Gdy uch opisany jest waunkiem minimalnoci pewnej całki, kada symetia implikuje swoje pawo zachowania. Fizyka stoi na symetiach. 4

5 czyli sum po N łamanych z faz kadego składnika zalen od dogi, czyli od owej łamanej. Kontynuujc mylenie o fali w punkcie P jako sumie wkładów od fontu jeszcze wcze- niejszego, dostaniemy sum N 3 składników, a dwukotnie załamanych segmentów: a i( φ( P, P') +φ( P', P'') +φ( P'', P''')) ( P) e a( P wszystkich P', P'' i P''' ' '') W pzestzeni o stałej długoci fali, ale pzestzeni zakzywionej, faza składnika (po dotaciu z konstukcj a do ódła fali), to bdzie po postu wielko popocjonalna do długoci dogi: π φ (, ) l(, ) λ Suma wielu składników z ónymi fazami niechybnie uedni si do zea. Jedyny istotny wkład da gupa łamanych o niemal identycznej fazie, czyli (a stałej długoci fali) o niemal identycznej długoci łamanej. tak gup łamanych jest gupa skupiona wokół dogi ekstemalnej. Tu wato podkeli, e tajektoie wyónione pzez istot konstuktywnej intefeencji, musz si chaakteyzowa owym bakiem zmiany waz z ε (w pzyblieniu liniowym), watoci fazy gdy nieco modyfikujemy tajektoi. Czyli znikanie pochodnej po ε całki okelajcej faz jest konieczne i wystaczajce, by tajektoia była moliwym pomieniem wiatła. Nie musi to by minimum, (cho najczciej jest). Zamiast stale si zastzega, e szukamy minimum, albo maksimum, albo punktu pzegicia, mówimy z eguły o minimum, wiedzc, e to pewien skót mylowy. Rozpatzmy taki banalny pzykład. Wemy najpostsz funkcj z minimum: x. Zapytajmy, z głupia fant, w jakim szeokim pzedziale wato funkcji óni si o mniej ni 1/ a dwóch pzypadków: wokół zea i wokół jedynki. W pobliu jedynki dostajemy oszacowanie: (1 ± ε) 1 < 1/ ε < 1/ , gdy w pobliu zea pzedział jest 5 itd. 000 azy szeszy! (0 ± ε) 0 < 1/ ε < 1/ Dla popagacji fal, dogi, czyli wkłady do zasady Huyghensa od ónych łamanych, konstuktywnie intefeuj, gdy faza takiej łamanej nie óni si wicej od dogi centalnej ni wie długoci fali. Gdyby łamana miała jeden wiezchołek, to owo symboliczne 000 azy oznaczałoby tyle azy wicej wkładów intefeujcych konstuktywnie a dogi minimalnej, ni a bylejakiej. le gdy waunek nałoony jest na sumy, liczba kombinacji, gdy mona sobie pozwoli na duo wikszy błd, owe 000, onie jak wysoka potga (zdu liczby wzłów łamanych) tej liczby!. Kótko mówic, tajektoie nie ekstemalne i ich otoczenie zupełnie si nie licz. Mona ustawi szeeg ekanów wycinajcych takie wkłady, a wiatło

6 w punkcie docelowym, nawet tego nie zauway! Oczywicie, dopóki pzesłony nie zbli si do pomienia na oegło poównywaln z długoci fali. To jest wyjanienie niezwykle sugestywnej zasady Femata. Obowizuje ona a wszystkich fal, nie tylko a wiatła. Naley jednak unika mówienia o najkótszym czasie. Tzeba mówi o fazie fali. minimum λ( ) W najpostszym pzypadku zwykłej optyki, gdy zmienny jest współczynnik załamania, długo fali to λ Tv( ) Tc / n( ), gdzie T to okes dga w fali, std w zasadzie Femata mona zastpi odwotno długoci fali, pdkoci fazow: minimum v( ) co daje złudne waenie, e fotonowi si gdzie spieszy! Mona te uy współczynnika załamania:: n( 5 ) minimum W zeczywistoci, nawet a wiatła, wskutek dyspesji, czas wdowania paczki falowej, wyznaczony jest pzez pdko gupow, ón od pdkoci fazowej. w zasadzie Femata musi by pdko fazowa, bo to intefeencja fal wyznacza istotny obsza w pzestzeni, w któym wizka wiatła ma natenie zauwaalnie óne od zea. W pzestzeni zakzywionej i fale i czstki wybieaj toy o minimalnej długoci. W pzestzeni o zmiennej pdkoci, pomienie wiatła wybieaj toy najkótszej dogi optycznej, czyli najkótszej fazy. Ruchy w pzestzeniach zakzywionych, ale ze stał pdkoci jest tylko szczególnym pzypadkiem tej samej zasady. le i czstki poegajce mechanice Newtona maj swoj badzo pikna zasad, a któej zasada wybou dogi najkótszej w pzestzeni zakzywionej, ale bez potencjału, jest tylko szczególnym pzypadkiem. 5 Rozwamy pomie wiatła statujcy poziomo, w oodku, w któym, n( z) n k z. Jaka bdzie tajektoia? Tzw. doga optyczna, któa ma by minimalna wynosi: ( n 0 kz ) dx + dz ( n0 kz ) 1+ dz min 6 0. Kozystajc z eguły znajdowania paw zachowania, dostajemy: n kz( / 1+ ) a n kz / z 1. Jeli wiatło statuje z pocztku układu poziomo, to a z 0, musi by z 0, wic a n 0. Podstawiamy t wato i wyliczamy całkujemy w pamici: z kx / n0 n x z + C k n / kz 0, 0. Poniewa statujemy z pocztku układu, musi by: C 0, czyli:. To paabola. Wizka bdzie wnika w obsza z<0, tj. osncego współczynnika załamania.

7 Dopieo dzisiaj uwiadomiłem sobie, e a dosy postego, ale pouczajcego pzypadku mona j z powodzeniem Wam zapezentowa. Tak jak si j zazwyczaj pezentuje, pzypawia o ból głowy! Pozwólcie, e zacytuj fagment z podcznika wybitnego matematyka i fizyka teoetyka W. I. nolda: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. C. Jacobi w wykładach dynamiki z lat (C. Jacobi, Volesungen ube Dynamic, elin 1866) wyaził opini: >>We wszystkich niemal podcznikach, nawet w tych najlepszych, zasada ta jest pzedstawiona w taki sposób, e nie da si jej zozumie<<. Nie miem tu nausza tej tadycji. Pzed laty, gdy zaczynałem mie wykłady mechaniki teoetycznej wypacowałem swój sposób dowodzenia zasady Jacobiego, któy uwaam za zozumiały, ale bynajmniej nie łatwy. Dlatego, z ogomnym alem, (bo sama zasada jest sfomułowana posto, jej sens fizyczny jest pikny, a uyteczno w ozwizywaniu poblemów, niesamowita), musiałem si zgodzi, e o niej wspomn, ale na zasadzie mdzy ludzie udowodnili. tego oganicznie nie znosz. Wol wyba sytuacj szczególn, łatwiejsz, ale pokaza wszystkie elementy ozumowania. Oto owo wypowadzenie: Rozpatzmy uch czstki w płaszczynie x,z pod działaniem siły potencjalnej opisanej potencjałem V(z). W poblemie tym s dwa pawa zachowania. Składowej poziomej pdu: m x p x i całkowitej enegii: m ( x m, dzielimy pzez (1 + z ) i wycigamy piewiastek: + z ) + V ( z) E Pzepisujemy dugie pawo w postaci: ( E V m ( x + z ) (1 + z ) px 1 m ( E V 1+ z px Jeszcze tylko mnoymy ułamek w liczniku i mianowniku pzez dx/dz, oznaczane jako x i mamy: m ( E V px + 1 Lewa stona jest pochodn po x wyaenia m ( E V + 1, a zaazem stał. Zatem ównanie tou spełnia zasad: m( E V + 1d z minimum m( E V d x + Jest to dokładna analogia zasady Femata. 7 d z

8 Wiemy skd ind, e w polu cikoci z potencjałem mgz, wszelkie zuty opisywane sa paabolami. Nic dziwnego, e pzykład z optyki z współczynnikiem załamania z liniow funkcj pod piewiastkiem, dopowadził nas te do paaboli. Nie ukywam, e dobieajc dajcy si łatwo ozwiza pzykład ilustujcy zasad Femata, wiedziałem o lotach piłek tenisowych i o zasadzie Jacobiego. Teaz zasadne jest zapyta, aczego pawa mechaniki pzewiduj t sam tajektoi, któa w nazucajcy si sposób wynika z intefeencji fal? Chyba wiecie, aczego!!! o mateia, to te fale. Stało si to jasne osiemdziesit kilka lat temu. a fal de oglie a, długo fali (nieelatywistycznej) czstki, to λ, p mv( ) m( E V ( )) Zasada Jacobiego ma pdko w liczniku a nie w mianowniku jak zasada Femata. Po postu a fal mateii o innych pdkociach od fal elektomagnetycznych, inny jest te zwizek długoci fali z pdkoci uchu paczek falowych. To, e a wiatła (w niektóych zeszt tylko pzypadkach) pojawia si czas jako wielko najkótsza, to czysty pzypadek nie waty wzmiankowania. Liczy si faza. Sens falowy zasady Jacobiego (i innej, podobnej podanej pzez siebie) pzeczuwał współczesny mu Hamilton, ale do odkycia i udowodnienia falowego chaakteu wszelkiej mateii było jeszcze daleko. To, atego, Newtonowi, taktujcemu wiatło jako ój zwykłych czstek, a wyjanienia pawa załamania musiało wyj, e współczynnik załamania jest popocjonalny a nie odwotnie popocjonalny do pdkoci tego wiatła w oodku! Hamonia midzy mechanik, optyk a dezyjnymi (i, nieco ogólniej, zasad Femata a zasad Jacobiego) jest moliwa dziki faktycznemu falowemu chaakteowi mateii. λ( ) minimum Według mnie jest to najciekawsze ównanie fizyki. Jest ównie pawomocne w optyce, mechanice kwantowej (a pzez to w zwykłej mechanice i mechanice elatywistycznej, czyli elektodynamice czstek), w teoii gawitacji, w teoii stun, czyli teoii wielowymiaowych czasopzestzeni, z któych n-4 jest zwatych w mikoskopowych ozmiaach. poza tym bije w oczy swoj oczywistoci. 8