FALKI HAARA W LINIOWYCH UKŁADACH DYNAMICZNYCH *)

Transkrypt

1 Maria KOSICKA Paweł ADAMCZYK FALKI HAARA W LINIOWYCH UKŁADACH DYNAMICZNYCH *) STRESZCZENIE W arykule przedsawiono eody analizy i opyalizacji liniowych układów dynaicznych o sałych skupionych przy zasosowaniu funkcji Haara. Podano eody analizy dla układów dowolnego rzędu i o dowolnej liczbie sygnałów serujących. Oówiono zaley sosowanej eody, a akże jej pewne niedogodności.. FUNKCJA HAARA Publikacja Haara [6] pochodząca z 9 była pierwszą pracą doyczącą ożliwości konsruowania rodzin funkcji schodkowych, nieciągłych funkcji orogonalnych []. Przez szereg la funkcje Haara uważane były za rodzaj ciekawoski aeaycznej bez większego zasosowania. Dopiero w laach 8. ubiegłego wieku w związku z rozwoje dziedziny przewarzania sygnałów zwrócono uwagę na nie uwagę. Znalazły one zasosowanie w eorii ransforacji falkowej jako najprossze falki [, 8, 9]. * ) Arykuł jes rozszerzoną i uzupełnioną wersją referau zgłoszonego na XXV Konferencję IC-SPETO Gliwice-Beskid Śląski gr inż. Maria KOSICKA, gr inż. Paweł ADAMCZYK Zakład Badań Podsawowych Elekroechniki Insyu Elekroechniki PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszy,

2 48 M. Kosicka, P. Adaczyk Podsawowa falka Haara jes definiowana nasępująco: dla <,5 ψ () = dla,5 < dla < i () Ta falka generuje poniższy zbiór falek: ψ () j j jk ψ = ( k ) () gdzie j i k są liczbai całkowiyi, przy czy j zwane jes współczynnikie skali, a k współczynnikie przesunięcia []* ). Charakerysyczną cechą falki jes zależność przesunięcia j k od współczynnika skali, naoias paraer j zwany jes współczynnikie noralizujący i powoduje, że dla każdej falki całka z jej kwadrau w przedziale, w kóry ψ jk ( ) (zw. przedziale nośnika), jes równa. Falki Haara sanowią zae rodzinę funkcji orogonalnych i oronoralnych. Czase jednak wygodniej jes przyjąć sałą apliudę falki zwykle równą. Taki zbiór funkcji [4, 5] jes orogonalny, ale nie oronoralny. Dla h( ) = ψ (), gdzie ψ ( ) opisane jes wzore (), kolejne funkcje są generowane nasępująco: j h () = h ( k) n j n = + k, j, k < j (3) przy czy dla i= l = + k j j j hi() hl()d = δ i, l= dla i l (4) * ) Lieraura doycząca ransforay falkowej jes bardzo obszerna. Tu powołano się jedynie na najpopularniejszą pracę w języku polski zawierającą propozycję erinologii polskiej z ej dziedziny oraz 6 pozycji bibliografii.

3 Falki Haara w liniowych układach dynaicznych 49 Kolejne falki uzyskuje się zae przez przesunięcie oraz kopresję falki podsawowej. Dodakowo uwzględnia się funkcję h( ) = dla < zwaną funkcją skalującą (rys.). h( ) h( ) h( ),5,5,5 h3( ),5,75,5,5,5,5,5 h ()d τ τ h ()d τ τ h ()d τ τ h ()d τ τ 3 Rys.. Funkcja skalująca i rzy pierwsze falki Haara skonsruowane zgodnie ze wzore (3) oraz ich całki. Falki opisane wzore (3) oraz funkcja skalująca sanowią bardzo dobrą bazę do rozkładu każdej funkcji y( ) całkowalnej z kwadrae w przedziale,. A zae, jeśli y() d< [ ) y oże być przedsawiona w posaci:, funkcja ( ) N () c h () y i = i i = (5) przy czy

4 5 M. Kosicka, P. Adaczyk c i j () () = y h d (6) i gdzie j = i k. Foralnie wyrażenie (5) oże zawierać nieskończoną liczbę wyrazów. W prakyce jednak przyjuje się liczbę skończoną, szczególnie wówczas, gdy y() jes kawałkai sałe. Rozparywane u falki Haara ożna zapisać jako wekory o eleenach w posaci: h () = { K () { K h [ ] = [ K ] 443 h() = [ { K K { K] h3() = [ { K { K K ] id (7) przy czy usi być poęgą liczby. Z powyższych wekorów worzy się acierz ( ) H () () () = H o posaci: h h M (8) h () Całkę z (8) ożna również wyrazić za poocą falek Haara, w posaci: H ( τ) dτ = P H ( ) (9) gdzie: P P/ H/ = H ()

5 Falki Haara w liniowych układach dynaicznych 5. ANALIZA UKŁADÓW LINIOWYCH Z WYKORZYSTANIEM FALEK HAARA Układ liniowy o paraerach skupionych opisywany jes zwykle równaniai sanu i równaniai wyjścia o posaci: x& () = Ax() + Bu(), x() = x y() = Bx() + Cu(). () y wekory odpowiednio: ziennych sanu o n składowych, sygnałów wejściowych o p składowych i sygnałów wyjściowych o q składowych. Macierze,,, n n, n p, q n, q p. gdzie x (), u (), () ABCD ają wyiary odpowiednio [ ] [ ] [ ] [ ], oż- Jeśli u () jes funkcją całkowalną z kwadrae w przedziale,) na ją przedsawić w posaci suy funkcji Haara: u() = GH () () gdzie G jes acierzą o wyiarach [ p ]. W podobny sposób ożna przedsawić wekor pochodnych ziennych sanu: & (3) x() = FH () Po scałkowaniu powyższego równanie orzyuje się: x ( ) = x &( τ)d τ+ x = H ( τ)d τ + x = FP H () + x (4) przy czy acierze F, P, H ają wyiary odpowiednio [ n ],[ ],[ ]. Po podsawieniu równań (), (3) i (4) do () orzyuje się wyrażenie FH () = AFP H () + Ax + BGH () (5)

6 5 M. Kosicka, P. Adaczyk kóre ożna również zapisać w posaci: F AFP H() = GH () (6) gdzie G = Ax, { K + BG. - H () ożna przed- Równanie (5) po przenożeniu obu sron przez sawić w równoważnej posaci: f, f,, f A f, f,, f P g, g,, g (7) = gdzie f i i g i są kolunai acierzy F i G odpowiednio. Ponieważ szukana acierz F jes lewosronnie nożona przez acierz A, a prawosronnie przez acierz P powyższe równanie oże być rozwiązane przy zasosowaniu iloczynu Kroneckera [3]: T vec( )= vec( ) F I A P G (8) gdzie vec( F ) i vec( G ) są wekorai kolunowyi zbudowanyi z kolun odpowiednich acierzy zgodnie z ogólną definicją: vec ( ) = [ d d... d d d... d... d d... d ] T D s s s (9) przy czy D jes acierzą o wyiarach [ s ], a iloczyn Kroneckera [3] zdefiniowano nasępująco: A pa pa K p A p A p A K p A M M O M pa p A K pa T P = () co oznacza, że wynik iloczynu jes acierzą o wyiarach [ n n ].

7 Falki Haara w liniowych układach dynaicznych 53 Równanie (6) ożna przedsawić akże za poocą równania Lapunowa w posaci: A F FP A G () = przy czy równanie o a rozwiązanie ylko wówczas, gdy de( A ). Znajdowanie acierzy F przy zasosowaniu iloczynu Kroneckera wyaga wykonywania operacji odwracania acierzy kwadraowej o dużych wyiarach, co znacznie zwiększa czas obliczeń szczególnie przy duży paraerze. Dlaego eż auorzy [4] zaproponowali algory pozwalający na znalezienie acierzy F bez użycia iloczynu Kroneckera. Algory en zosał zasosowany przy obliczaniu wszelkich przebiegów przy wykorzysaniu prograu Malab. 4. ROZWIĄZYWANIE RÓWNANIA RICCATIEGO ZA POMOCĄ FALEK HAARA Serowanie przy kwadraowy wskaźniku jakości o posaci: f T () () () () x Qx u Ru () T J = + d dla układu opisanego równaniai () wyaga znalezienia serowania (rys.) w posaci: lub T ( ) = ( ) ( ) u R B K x (3) T () = () = ( ) ( ) u R B v L x (4) gdzie K () jes rozwiązanie równania Riccaiego o posaci: T T () () ( ) ( ) ( ) K& = K A A K + K BR B K Q (5)

8 54 M. Kosicka, P. Adaczyk T przy czy K( ) = oraz K( ) = K ( ), ( ) f L opyalny współczynnik sprzężenia zwronego, v () poocnicza zienna sanu zasosowana w równaniu (), co pozwala na przedsawienie go w posaci: () () ( ) () ( ) () T x& A BR B x x = = T A v& Q A v v (6) K () x() T R ( ) B ( ) u ( ) x x& ( ) = Ax( ) + Bu( ) ( ) u ( ) x& ( ) = Ax( ) + Bu( ) x ( ) K () L ( ) Rys.. Równoważne scheay blokowe serowania opyalnego układu liniowego przy kwadraowy wskaźniku jakości. Przy rozwiązywaniu równania Riccaiego wygodnie jes znoralizować przedział czasu [, f ] do [, ] i rozwiązywać równanie od końca, wprowadzając nową zienną: τ = (7) f Równanie (6) zosanie zae przekszałcone do posaci: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x& τ x τ x τ = = x = A,, A = A v& τ v τ v τ = = f f (8) i oże być wyrażone za poocą acierzy Φ ( τ ) zwanej acierzą podsawową [7] lub ransisyjną układu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x τ xf Φ τ Φ τ xf = Φ( τ ) = τ τ τ v Φ Φ (9)

9 Falki Haara w liniowych układach dynaicznych 55 Wówczas zgodnie z (5) opyalny współczynnik sprzężenia zwronego ożna wyrazić wzore: ( ) T τ = ( τ) ( τ) L R B Φ Φ (3) Wzór (8) ożna przekszałcić podobnie jak wzór (), zgodnie z zasadai podanyi w p.. Wedy: ( τ) ( τ) ( τ) ( τ) x& x xf = CH( τ), = CPH ( τ) + v& v (3) i analogicznie do wzoru (6): xf C ACP= A, { K M n (3) n Eleeny acierzy Φ ( τ ) znajduje się eodą zwaną eodą przebiegów chwilowych [7]. Współczynniki sprzężenia zwronego ożna znaleźć analiycznie, np. eodą odwronego przekszałcenia Laplace a, ponieważ { } () = L [ s ] Φ I A. Meoda a jes jednak dość uciążliwa, a orzyane wzory bardzo skoplikowane. Nieniej dla prosego przykładu opisanego w pracy [] przy danych dla wzoru (6):.. =... =. A, B, [,5] R =, f= s. =. C, ( )... x =., Q =.., wyprowadzenie wzorów jes ożliwe i pozwala na porównanie wyników uzyskanych eodą falek Haara z przebiegai obliczonyi z funkcji analiycznych (rys.3).

10 56 M. Kosicka, P. Adaczyk L L L L, L 5 L L, L 5 L L L, L 5 L L = 4 = 6 = 56 Rys.3. Porównanie opyalnych współczynników sprzężenia zwronego obliczonych eodą rozkładu na falki Haara z obliczonyi analiycznie. u x x = 6 u x x = 56 Rys.4. Syulacja przebiegów sygnału serującego oraz ziennych sanu przy opyalny współczynniku sprzężenia zwronego dla przykładu z rys.3. Rozważono odel [] układu regulacji położenia kąowego aneny śledzącej obieky w przesrzeni, gdzie ruch układu opisany jes równanie różniczkowy:

11 Falki Haara w liniowych układach dynaicznych 57 J d ϑ d D () L() d k ϑ + = d M + M (33) przy czy: J zasępczy oen bezwładności układu; k D współczynnik arcia kineycznego; ϑ położenie kąowe aneny; M oen wywarzany przez silnik napędzający; M oen oporowy. L Przyjęo, że oen obroowy wywarzany przez silnik jes wpros proporcjonalny do sygnału serującego u ( ), a zae M ( ) = ku( ). Przekszałcenie równania () pozwala na opisanie układu równaniai sanu o posaci (): gdzie A = a, = b B, = [ ] x y, =,, x = = y, & C, x x( ) kd k przy czy: a =, b J = J. Obliczenia przeprowadzono dla danych: J = kg, 5,, k = 7,87 kg V s, k D= 46 kg s, =,, f= 5,s. Q, = [,5] R, 5 L 5 5 L L, L 5 L L, L 5 L L L, L 5 L L L [s] [s] = 4 = 6 = 56 Rys.5. Opyalne współczynniki sprzężenia zwronego obliczone eodą rozkładu na falki Haara dla układu regulacji położenia kąowego aneny.

12 58 M. Kosicka, P. Adaczyk u [ V ] y =x [ rad ] [s] y =x [ rad/s ] = 6 u [ V ] y =x [ rad ] y =x [ rad/s ] = 56 Rys.6. Syulacja przebiegów sygnału serującego oraz ziennych sanu przy opyalny współczynniku sprzężenia zwronego dla układu regulacji położenia kąowego aneny. 3. ZASTOSOWANIE FUNKCJI HAARA DO OBLICZANIA ODPOWIEDZI UKŁADU NA DANE WYMUSZENIE W pracy [] wyznaczano rajekorię serowania opyalnego eodai wieloianów Czebyszewa oraz na drodze rozwiązywania równania Riccaiego eodą klasyczną. Zakładano, że rozwiązania za poocą równań Riccaiego są rozwiązaniai dokładnyi. Swierdzono, że serowanie opyalne dla układu regulacji położenia kąowego aneny a charaker funkcji wykładniczej, kórą ożna w przybliżeniu opisać analiycznie: u ( ) = 8exp(,369 )

13 Falki Haara w liniowych układach dynaicznych 59 Rozkładając powyższą funkcję na falki Haara zgodnie ze wzore () przy różny sopniu rozwinięcia i sosując algory opary na wzorach (7) i () orzyuje się przebiegi odpowiedzi układu na wyuszenie u ()(rys.) u [ V ] 6 4 u = 8 exp (-,369 ) u [ V ] 6 4 u = 8 exp (-,369 ) u [ V ] 6 4 u = 8 exp (-,369 ) y = x [rad].5 y = x [rad] y = x [rad] y = x [rad/s] y = x [rad/s].6.4. y = x [rad/s] = 4 = 6 = 56 Rys.7. Odpowiedzi układu regulacji położenia kąowego aneny na wyuszenie u ( ) przy jego rozkładzie na falki Haara przy różny sopniu rozwinięcia. Można zauważyć pewne niewielkie różnice warości przebiegów przy różnych eodach obliczeń (rys.6, 7) nie wpływające jednak w sposób isony na jakościowy przebieg sygnału. PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszy,

14 6 M. Kosicka, P. Adaczyk 5. FALKI HAARA W UKŁADACH WIELOWEJŚCIOWYCH Zarówno w cyowanych pracach [4,5] jak i w niniejszy arykule ograniczano się doychczas do analizy i opyalizacji układów jednowejściowych. W rakcie prac rozszerzono eorię na układy dowolnego rzędu o dowolnej liczbie sygnałów serujących. Przykłade syseu wielowejściowego jes napęd dwusilnikowy z połączeniai sprężysyi []. Jes o układ elekroechaniczny dwóch silników prądu sałego napędzających echaniz roboczy przez przekładnię. Połączenie każdego silnika z przekładnią a charaker sprężysy. W opisie syseu zasosowano nasępujące oznaczenia (rys.8): M, M, M oeny napędowe silników oraz oen oporowy echanizu; J, J, J oeny bezwładności silników i echanizu; c, c współczynniki sprężysości połączeń elasycznych; d, d współczynniki łuienia wewnęrznego połączeń elasycznych; ω, ω, ω prędkości kąowe silników i echanizu; P przekładnia echaniczna; α, α, α kąy obrou wałów i echanizu; k= cφ, k = cφ sałe silników; R, R, L, L rezysancje i indukcyjności obwodów worników; U, U napięcia worników przyjęe jako sygnały serujące. Rys.8. Schea dwusilnikowego układu napędzającego echaniz przez połączenie sprężyse. Zakładając, że M =, oraz że warość przekładni równa się, układ opisano nasępującyi równaniai sanu []:

15 Falki Haara w liniowych układach dynaicznych 6 & α & ω & α & ω & α & ω M& M & = c d c d J J J J J α ω c d c d α J J J J J ω U + α U c d c d ( c+ c) ( d+ d) ω J J J J J J k M L k R M k L k R L L (34) L L Do obliczeń przyjęo nasępujące dane dla układu pracującego jako pozycyjny: dwa jednakowe silniki o danych znaionowych: P n =,5kW, U n = V, I n = 8,7 A, n n = 45 obr/in 5,8rad/s, J = J =, kg, k = k =, 3N/A, R= R=,5 Ω, L= L=,57 H; paraery połączeń elasycznych: c = c = 43N/rad; oen bezwładności obciążenia: J =,kg ;. czas końcowy: f =,4s ; warunki począkowe: x ( ) = [ π π π ] T ; acierz Q : Q =

16 6 M. Kosicka, P. Adaczyk acierz R : R =.. i i+8 Liczba opyalnych współczynników sprzężenia zwronego L () wynosi szesnaście. Ponieważ jednak paraery obu silników są akie sae, zae L () = L () dla i =K 8. Przedsawiono przebiegi opyalnych współczynników wzocnienia (rys.9) oraz wyniki syulacji układu z opyalny sprzężenie zwrony dla dwóch sopni rozwinięcia (rys. ). L L 5 L L L L 5 L 3 L L L L L 6 3 L 7 3 L 7 L L 8 L 4 L L 4 L = 6 = 56 Rys.9. Opyalne współczynniki wzocnienia dla układu dwusilnikowego przy dwóch sopniach rozwinięcia.

17 Falki Haara w liniowych układach dynaicznych 63 U, U [ V ] U, U [ V ] , α, α [ rad ] α α, α, α, α [ rad ] α α, α α α Ω, Ω, Ω [ rad/s ] Ω Ω, Ω, Ω, Ω [ rad/s ] Ω Ω Ω, Ω M, M [ N. ] M, M [ N. ] = 6 = 56 Rys.. Syulacja przebiegów sygnału serującego oraz ziennych sanu przy opyalny współczynniku sprzężenia zwronego dla układu dwusilnikowego.

18 64 M. Kosicka, P. Adaczyk 6. UWAGI i WNIOSKI Sosując falki Haara do rozwiązywania probleów analizy i opyalizacji układów dynaicznych swierdzono, że ogą być one arakcyjny narzędzie wszędzie a, gdzie isona jes szybkość obliczeń. Szybkość obliczeń uzyskuje się dzięki dużej liczbie zer wysępujących w rozwinięciu funkcji (5, 7). Auorzy [4] podają, że zasosowanie ransforay Haara dla =56 zniejsza czas obliczeń ok. 6-kronie w sosunku do szybkiej ransforay Fouriera i ok. 8- kronie w sosunku do ransforay Walsha. Sosując falki Haara ożna uzyskać poprawne rozwiązania nawe przy ałej liczbie kroków (sopniu rozwinięcia) (rys.). Falki Haara ają jednak pewne wady. Powodują generowanie niepoprawnych rozwiązań dla dużego horyzonu czasowego f (proble zbliżony do rozwiązania algebraicznego równania Riccaiego []). Wynika o ze specyfiki funkcji, kóre w procedurach obliczania odpowiedzi układu, opisanych w [4] prowadzą do odwracania acierzy bliskich acierzo osobliwy. Wady ej nie ają wieloiany Czebyszewa []. Również przy zby ały sopniu rozwinięcia (p. rys.6 dla = 6, rys.7 dla = 4) uzyskuje się czase wyniki odległe od prawidłowych. Właściwie każdy przypadek należy analizować osobno i rudno podać u jakieś ogólne reguły. Należy u jeszcze wsponieć o doborze eleenów acierzy Q i R. Tu również nie a ogólnych reguł. Dobór przeprowadza się eodą prób i błędów zwracając uwagę na o, aby sygnały nie przekraczały warości dopuszczalnych. Wszyskie wyniki orzyano przy wykorzysaniu prograów Malab i Siulink. LITERATURA. Adaczyk P., Morawski M., Zajączkowski A.M.: Algoryy kopuerowe do obliczania serowania opyalnego układai elekroechanicznyi przy wykorzysaniu wieloianów Czebyszewa. Cz.I. Sprawozdanie z działalności sauowej. Zakład Badań Podsawowych Elekroechniki. Insyu Elekroechniki, Warszawa, grudzień.. Białasiewicz J.T.: Falki i aproksyacje. WNT, Warszawa,. 3. Brewer J.W.: Kronecker producs and arix calculus in syse heory. IEEE Trans. On Circus and Syses, vol. CAS-5, no.9, Sep. 978, pp Chen C.F., Hsiao C.H.: Haar wavele ehod for solving luped and disribued-paraeer syses. IEE Proc.-Conrol Theory Appl. vol.44, no. Jan. 997, pp

19 Falki Haara w liniowych układach dynaicznych Chen C.F., Hsiao C.H.: Wavele approach o opiising dynaic syses. IEE Proc.- Conrol Theory Appl. vol.46, no., March 999, pp Haar A..: Zur Theorie der orhogonalen Funkionensysee. Maheaische Annalen, Leipzig, 9, pp Kaczorek T.: Teoria układów regulacji auoaycznej. WNT, Warszawa, Kosicka M.: Transforaa falkowa a ransforaa Fouriera, Przegląd Elekroechniczny, z.7, 998, sr Kosicka M.: Właściwości ransforay falkowej, Przegląd Elekroechniczny, z.9,, sr Nowacki Z.: Napęd dwusilnikowy z połączeniai sprężysyi. V Krajowa Konferencja Naukowa Serowanie w Energoelekronice i Napędzie Elekryczny, Łódź Arurówek, 4-6 lisopada,.. Wajs K.: Funkcje Walsha i ich zasosowanie w elekroechnice. Przegląd Elekroechniczny, z., 976, sr Rękopis dosarczono, dnia.3. r. Opiniował: prof. dr hab. inż. Krysyn Pawluk HAAR WAVELETS IN LINEAR DYNAMIC SYSTEMS M. KOSICKA, P. ADAMCZYK ABSTRACT The paper presens ehod of analysis and opiisaion of luped-paraeers syses by eans of he Haar waveles. I has been found ha Haar wavele operaional arix is faser han Fas Fourier Transfor and Walsh Transfor, however, i has soe disadvanages, oo.

20 66 M. Kosicka, P. Adaczyk Mgr inż. Maria Kosicka urodziła się w 944 roku w Warszawie. Ukończyła sudia na Wydziale Elekryczny Poliechniki Warszawskiej w 968 roku w specjalności auoayka przeysłowa. W y say roku rozpoczęła pracę w Insyucie Elekroechniki, począkowo w Zakładzie Zasosowań Przeysłowych Układów Regulacji (obecnie Zakład Napędów Obrabiarkowych), a od 978 roku w Zakładzie Badań Podsawowych Elekroechniki. Zajowała się probleai auoayki napędu elekrycznego, eorią regulacji, przewarzanie obrazów, a obecnie zagadnieniai doyczącyi zasosowań ablic sysolicznych. Jes auorką lub współauorką ponad rzydziesu arykułów i referaów. Dwukronie orzyała nagrodę Dyrekora Insyuu Elekroechniki za arykuł wyróżniający się wśród drukowanych na łaach Prac IEL. Jes członkie Sowarzyszenia Elekryków Polskich od czasów sudenckich. Mgr inż. Paweł Adaczyk ukończył sudia agiserskie na Wydziale Elekryczny Poliechniki Łódzkiej w roku 993. W y say roku rozpoczął pracę w Zakładzie Napędu Elekrycznego i Auoayki Przeysłowej Insyuu Auoayki, gdzie pracuje do dziś. W laach pracował Pracowni Serowania Opyalnego Zakładu Badań Podsawowych Elekroechniki. W swojej pracy naukowej zajuje się zagadnieniai, związanyi z napęde elekryczny: zagadnieniai echanicznyi, oraz napędai wielosilnikowyi. W okresie pracy w Zakładzie Badań Podsawowych zajował się probleai syulacji układów dynaicznych przy poocy funkcji Haara. Jes auore i współauore arykułów publikowanych in. na konferencjach PEMC 96 Budapesz, SENE 95,97, Łódź, SMC 95 Zakopane. Działalność dydakyczna obejuje zajęcia z napędu elekrycznego, szucznej ineligencji i syseów nadzoru procesów przeysłowych.