ANALIZA UKŁADÓW O PARAMETRACH ROZŁOŻONYCH ZA POMOCĄ FALEK HAARA

Transkrypt

1 Maria KOSICKA ANALIZA UKŁADÓW O PARAMERACH ROZŁOŻONYCH ZA POMOCĄ FALEK HAARA SRESZCZENIE W arykule przedsawiono eody analizy liniowych układów dynaicznych o paraerach rozłożonych opisanych równaniai różniczkowyi cząskowyi przy zasosowaniu funkcji (falek) Haara. Podano eody analizy układów dowolnego rzędu. Zilusrowano je obliczeniai rozkładu prądu i napięcia w linii długiej oraz obliczeniai rozkładu eperaury w ogrzewany pręcie. Oówiono zaley sosowanej eody, a akże jej pewne niedogodności.. WPROWADZENIE Niniejsza praca jes konynuacją prac [7, 8, 9], w kórych zosały opisane eody analizy i opyalizacji liniowych układów dynaicznych o ziennych skupionych przy zasosowaniu falek Haara. Poniżej pokazano pewne ożliwości zasosowania falek Haara do układów o ziennych rozłożonych. Sygnały określające układy o paraerach rozłożonych zależne są nie ylko od czasu, ale również od współrzędnych przesrzennych. Układy akie opisuje się równaniai różniczkowyi cząskowyi. Przykładai układów o paraerach Mgr inż. Maria KOSICKA Zakład Badań Podsawowych Elekroechniki Insyu Elekroechnik PRACE INSYUU ELEKROECHNIKI, zeszy 7, 3

2 M. Kosicka rozłożonych są linie długie, kable, wyienniki ciepła, reakory rurowe, eleeny nagrzewane ip. Rozwiązywanie równań różniczkowych cząskowych zarówno analiycznie jak i nuerycznie jes dość kłopoliwe, ponieważ zawierają one co najniej dwie zienne niezależne i co najniej dwa zbiory warunków począkowych (lub brzegowych) spełniających e równania. Okazuje się, że do ego ypu zadań ożna w pewnych przypadkach sosować ransforaę Haara [], co pozwala na szybsze i bardziej eleganckie rozwiązywanie probleu. Inforacje na ea funkcji (falek) Haara ożna znaleźć w każdej nieal publikacji doyczącej ransforay falkowej [np.,, ], a sposób rozkładu dowolnej funkcji na funkcje (falki) Haara zosał dokładnie opisany w pracach [, 3] oraz uzupełniony w pracach [7, 8, 9], dlaego eż poniżej pokazano jedynie szkic sosowanej eody. Podsawową falkę Haara (rys.a) definiuje się nasępująco: dla <,5 ψ () = dla,5 < dla < i () a) b) Rys.. Podsawowa falka Haara (a) i odpowiadająca jej funkcja skalująca (b). Falka a generuje zbiór falek opisany wzore: ψ () j ψ j ( k j j j jk ) ψ = = ( k ) ()

3 Analiza układów o paraerach rozłożonych za poocą falek Haara gdzie j i k są liczbai całkowiyi, przy czy j zwane jes współczynnikie skali, a k współczynnikie przesunięcia []. Charakerysyczną cechą falki jes zależność przesunięcia j k od współczynnika skali, naoias paraer j zwany jes współczynnikie noralizujący i powoduje, że dla każdej falki całka z jej kwadrau w przedziale o długości j, w kóry ψ jk(), jes równa. Falki Haara sanowią rodzinę funkcji orogonalnych i oronoralnych, zn. spełniają zależności: ψ j k dla j = j i k = k () ψ j k ()d = dla lub i lub = ( j j i k k) ( j j k = k) ( j j i k k ) (3) zgodnie ze wzore () () ( ) Czase przyjuje się sałą apliudę falki zwykle równą, wedy =, a kolejne funkcje są generowane nasępująco: h ψ j h () = h ( k) n j n = + k, j, k < j (4) przy czy j j j dla i= l = + k hi() hl()d = δ i, l= dla i l (5) aki zbiór funkcji jes orogonalny, ale nie oronoralny, ponieważ h n () d cons. Falki Haara uzupełnione funkcją skalującą (rys.b), dla kórej h () = przy < ogą być narzędzie rozkładu dowolnej funkcji całkowalnej,, a więc spełniającej warunek z kwadrae w przedziale [ ) f () d < (6)

4 M. Kosicka Można za ich poocą dokonywać uproszczonej analizy liniowych układów dynaicznych zarówno o paraerach skupionych, jak i rozłożonych [, 3]. Podsawą analizy jes założenie, że każdą funkcję spełniającą warunek (6) ożna przedsawić w posaci suy: N = i i (7) i= () c h () f przy czy c j i= f () hi() d (8) gdzie j = i k. Foralnie paraer N, ale w prakyce przyjuje warość skoń- h i są falkai Haara przedsawionyi w posaci wekorów [] czoną. Funkcje ( ) o eleenach, gdzie jes sopnie rozwinięcia funkcji h i ( ) i usi być poęgą liczby : h () = { K () { K h [ ] = [ K ] 443 h() = [ { K K { K] h3() = [ { K { K K ] id (9) Z powyższych wekorów worzy się acierz H ( ) H () h ( ) () h = h M () ()

5 Analiza układów o paraerach rozłożonych za poocą falek Haara 3 oraz jej całkę, kórą ożna wyrazić akże za poocą falek Haara: H ( τ ) d τ = P H ( ) () gdzie P P/ H/ = H () (7). Rozłożenie na falki Haara funkcji dwóch ziennych ( ) Powyższe rozważania odnosiły się do rozkładu funkcji jednej ziennej f x,, wyaga rakowania jednej z nich (np. x) jako paraeru, wedy najwyższą pochodną funkcji f x, po wysępującą w równaniu różniczkowy cząskowy ożna przed- ( ) sawić w posaci: q f ( x, ) q = ( x) ( ) a H (3) gdzie a ( x) wekor o eleenach zależnych od x. Kolejne niższe pochodne (przy zerowych warunkach począkowych) przyją zgodnie z () posać: q ( ) ( ) f x, f x, q q = a ( x) PH( ), K, = a ( x) P H( ), f ( x, q ) = a ( x) P H( ) (4) Naoias daną pochodną funkcji ( x ) p p (, ) d a ( ) f x x = p p x dx f, po x ożna wyrazić w posaci: () q P H (5) e operacje pozwalają na sprowadzenie równania różniczkowego cząskowego do równania różniczkowego zwyczajnego, w kóry wysępują pochod- a x. Powyższą eodę zilusrowano rzea przykładai: ne wekora ( )

6 4 M. Kosicka obliczeniai przebiegu prądu i napięcia w linii długiej, obliczeniai przebiegu prądu i napięcia dla bezindukcyjnego kabla, obliczeniai rozkładu eperaury w nagrzewany ealowy pręcie.. ZASOSOWANIE RANSFORMAY HAARA DO OBLICZENIA PRĄDU I NAPIĘCIA W LINII DŁUGIEJ Rys.. Eleenarny odcinek linii długiej dwuprzewodowej o długości Δ x. Równanie linii długiej [6] zwane równanie elegrafisy a posać: (, ) ri x (, ) gu x (, ) u( x, ) i x + l = x (, ) i( x, ) u x + l = x (6) (7) gdzie r, l, g, c rezysancja liniowa, indukcyjność liniowa, kondukancja liniowa i pojeność liniowa ) (rys.). ) Paraery liniowe zwane były kiedyś paraerai na jednoskę długości.

7 Analiza układów o paraerach rozłożonych za poocą falek Haara 5 Różniczkując powyższe równania najpierw po x, a nasępnie po, po wyrugowaniu pochodnych ieszanych orzyuje się układ równań różniczkowych cząskowych w posaci: ( ) ( ) ( ) u x, u x, u x, = lc + ( rc + lg) + rgu x x ( ) ( ) ( ) (, ) i x, i x, i x, = lc + ( rc + l g ) + rgi x x (, ) (8) (9) Zasosowanie ransforay Haara w dziedzinie czasu zgodnie z (3) u x, = równości: i (4) daje przy zerowych warunkach począkowych ( ) ( ) ( ) u x, u x, = a ( x) H( ), = a x PH, u x, = a x P H ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Podsawienie () do (8) pozwala orzyać różniczkowe zwyczajne: d a dx ( x) ( x) = a M () gdzie ( ) M = LC I + RC + LG P + RG P P Rozwiązanie równania () a posać: a = a exp( Mx) + a exp( M x) () I acierz jednoskowa. Ponieważ przy u x, usi ieć warość skończoną należy przyjąć a =. Podsawienie () do () daje zależność: x napięcie ( ) ( ) = ( ) u x, a exp( Mx) P H (3)

8 6 M. Kosicka Załóży, że na począku linii długiej zosał przyłożony skok napięcia u, = U. Po przedsawieniu sygnału wejściowego za poocą o warości ( ) ( ) funkcji Haara orzyuje się: u(, ) = a ( x) P H ( ) = U,,, 443 K (4) Sąd: ( x) = u( ) ( ) a H P (5), Przebieg napięcia w dowolny punkcie linii długiej ożna zae wyrazić wzore: ( ) = ( ) ( ) u x, a x exp( Mx) P H (6) Naoias przebieg prądu w punkcie x = znajduje się sosując ransforaę Haara do wzoru (6): ( ) di, d = bh () oraz i( ) ( ), = bph (7) gdzie b wekor o eleenach. Po zróżniczkowaniu wyrażenia (3) po x i podsawieniu wraz z (7) do () orzyuje się: [ ] b = a M P P + I (8) R L Naoias po podsawieniu (8) do (7): ( ) = [ + I] () i, a MP rp l PH (9) Przebieg prądu w dowolny punkcie linii ożna znaleźć podobnie jak przebieg napięcia podsawiając jako warunek brzegowy wyrażenie (9), sąd:

9 Analiza układów o paraerach rozłożonych za poocą falek Haara 7 ( ) ( ) [ ] = + I () i x a x MP rp l P M x P H (3), exp( ) Ogólne rozwiązanie analiyczne równań (8) i (9) wyagałoby znalezienia odwronej ransforay Laplace a [4] poniższych zależności: gdzie dla napięcia: u( x, ) = U L exp( γ x) dla prądu: ( ) s γ i x, = UL exp( γ x) s( ls+ r) γ = ( ls + r)( cs + g) Można rozparywać pewne przypadki szczególne, np.: dla linii bezsranej ( r = i g = ) (rys.3): c (, ) = ( ), i( x, ) U ( lcx) u x U lcx = (3) l dla linii nie zniekszałcającej ( rc = lg) : c (, ) = exp ( ) u x U xr lcx l i x U xr lcx l l c c (, ) = exp ( ) (3) Przebiegi napięcia i prądu dla linii nie zniekszałcającej będą iały podobną posać jak dla linii bezsranej (rys.3). Zieni się jedynie współczynnik proporcjonalności zależny od x.

10 8 M. Kosicka dla x = (rys.4) isnieje rozwiązanie analiyczne [4] przebiegu prądu: c α g ατ i(, ) = U e I( β) + e I( βτ ) dτ l c (33) gdzie r g α = + oraz r g β =, a I jes zodyfikowaną funkcją l c l c Bessela pierwszego rodzaju, rzędu zero []. Do obliczeń przyjęo dane: r =, Ω, c = 5 F, l g =. 6 = 5 H, var = 64 = 56 Rys.3. Przebiegi napięcia i prądu w odpowiedzi na skok jednoskowy napięcia dla linii bezsranej ( r =, g =) przy x obliczone za poocą rozkładu na falki Haara.

11 Analiza układów o paraerach rozłożonych za poocą falek Haara 9 g = - g = 5 [ Ω ] =6 = 64 Rys.4. Porównanie przebiegów prądu w odpowiedzi na skok napięcia dla x = przy rozwiązaniach za poocą falek Haara oraz funkcji Bessela przy różnych warościach kondukancji liniowej linii długiej. = 64 = 56 Rys.5. Przebiegi napięcia i prądu w odpowiedzi na skok jednoskowy napięcia przy rozwiązaniach za poocą rozkładu na falki Haara dla przypadku ogólnego ( x, g = ) przy różnych sopniach rozkładu.

12 M. Kosicka W przypadku ogólny (rys.5) ożna znaleźć przebiegi napięcia i prądu posługując się wzorai (6) i (3). 3. ZASOSOWANIE RANSFORMAY HAARA DO OBLICZENIA PRĄDU I NAPIĘCIA DLA KABLA BEZ INDUKCYJNOŚCI I BEZ UPŁYWNOŚCI Dla g = i l = równania (6)...(9) redukują się do posaci: (, ) ri x (, ) u x = x (, ) u( x, ) u x x = rc (34) (35) Podsawienie odpowiedniej zależności z () do (35) daje równanie różniczkowe o posaci (), przy czy w y przypadku acierz M opisana jes zależnością: rc M = P (36) Zgodnie z () i (34): ( ) = ( ) ( ) ( ) u x, a x exp Mx PH (37) c i( x, ) = a ( x) exp( Mx) P H () (38) r = : Przy czy dla skoku jednoskowego na począku kabla: u(, ) U ( ) a = U[, K,] H () P = U, 3443 K,,, K, (39)

13 Analiza układów o paraerach rozłożonych za poocą falek Haara x= x x= x > x x = x > x 3 x = x4 > x3 = 6 = 64 Rys.6. Przebiegi napięcia i prądu w odpowiedzi na skok jednoskowy napięcia dla bezindukcyjnego kabla przy rozwiązaniach za poocą rozkładu na falki Haara oraz przy zasosowaniu funkcji erfc (przy różnych warościach x).

14 M. Kosicka Rozwiązanie analiyczne [4] równań (34) i (35) a posać: x rc u( x, ) =erfc c i( x, ) = e πr rc x 4 (4) (4) gdzie erfc kopleenarna funkcja błędu o posaci ogólnej: z erfc e d ( z) = π (4) 4. ZASOSOWANIE RANSFORMAY HAARA DO OBLICZENIA ROZKŁADU EMPERAURY W OGRZEWANYM PRĘCIE Równanie różniczkowe cząskowe opisujące rozkład eperaury w ealowy jednorodny pręcie, kórego koniec jes ogrzewany, a posać [6]: Δϑ ( x, ) Δϑ( x, ) = α βδϑ x ( x, ) (43) gdzie ϑ ( x, ) Δ przyros eperaury pręa ponad eperaurę ooczenia, α, β współczynniki zależne od: współczynnika przewodnicwa cieplnego pręa, jego przekroju poprzecznego, ciepła właściwego, gęsości aeriału oraz współczynnika wyiany ciepła [6]. Zgodnie z zależnościai (4) i (5): Δϑ ( x, ) = ( x) ( ) a H (44)

15 Analiza układów o paraerach rozłożonych za poocą falek Haara 3 ( x ) ( x) ( ) Δ ϑ =a PH (45), Δϑ x ( x, ) = && ( x) ( ) a PH (46) Podsawienie (44), (45) i (46) do (43) daje równanie różniczkowe: α ( x) ( x)( βi) &&a a P + = (47) kórego rozwiązanie a posać () przy P + βi M =. α eperaura pręa nie oże rosnąć do nieskończoności, zae ak jak we wzorze () a =. Przyjując (z pewny przybliżenie), że na począku pręa nasąpił skok eperaury Δ ϑ ponad eperaurę ooczenia orzyuje p się zależność: Δ ϑ(, ) = aph ( ) = Δϑ p,,,, 443 K (48) Sąd po podsawieniu a do (), a nasępnie do (45) orzyuje się przybliżony wzór opisujący przebieg eperaury w funkcji czasu i odległości od począku pręa: Δ ϑ = Δ p ( ) x, ϑ,, K,, ( ) exp( x) ( ) 443 H P M PH (49) Rozwiązanie analiyczne równania (43) ożna znaleźć przy zasosowaniu ransforay Laplace a rakując zienną x jako paraer. Oznaczając ( x, ) θ( x,s) Δ ϑ = L (5)

16 4 M. Kosicka po podsawieniu do (43) orzyuje się równanie: ( xs) s + x α θ, β θ = θ α ( x, s) ( x,) (5) Dla θ ( x,) = rozwiązanie powyższego równania a posać: x x θ ( x,s) = Cexp s+ β + Cexp s+ β α α (5) Ponieważ θ (,s) C =. Współczynnik C ożna znaleźć z warunków brzegowych, zakładając, że na począku pręa nasąpił skok eperaury o wielkość Δ ϑ, zae: oraz p θ (, s) Δϑ s p = (53) θ Δϑp x, = exp s β s + α ( xs) (54) sąd x ( xs, ) = ( x, ) = Δ exp( ) erfc α - L θ θ ϑp β (55) Wyniki dla szacunkowo przyjęych warości przedsawiono na rys.7. α =,s, β =,s PRACE INSYUU ELEKROECHNIKI, zeszy 7, 3

17 Analiza układów o paraerach rozłożonych za poocą falek Haara 5 x= x x= x > x x = x > x 3 x = x > x 4 3 = 6 = 64 Rys.7. Przebiegi eperaury w różnych punkach pręa przy skoku jednoskowy eperaury na począku pręa. Porównanie przebiegów przy rozwiązaniu analiyczny oraz za poocą rozkładu na falki Haara.

18 6 M. Kosicka x = x x= x > x x = x > x 3 x= x > x 4 3 = 6 = 64 Rys.8. Przebiegi eperaury w różnych punkach pręa przy liniowy narasaniu eperaury na począku pręa. Porównanie przebiegów przy rozwiązaniu analiyczny oraz za poocą rozkładu na falki Haara.

19 Analiza układów o paraerach rozłożonych za poocą falek Haara 7 W podobny sposób ożna rozwiązać proble zakładając, że eperaura na począku pręa narasa liniowo. Wówczas we wzorze (49) należy podsawić: Δϑ(, f) Δϑ(, f) Δϑ(, f) Δ ϑ(, ) = aph ( ) =Δϑ p,,,,( ), ϑ(, K Δ f ) (56) gdzie Δ ϑ (, f ) przyros eperaury ponad eperaurę ooczenia w chwili końcowej f. Rozwiązanie analiyczne przyjuje wedy posać: (, ) Δϑ f x θ ( x, ) = exp( βτ) erfc dτ f ατ (57) Wyniki przedsawiono na rys PODSUMOWANIE Rozkład na falki Haara pozwala na szybsze wykonywanie obliczeń niż w przypadku zasosowania ransforay Fouriera lub ransforay Walsha, o czy wspoinano już w pracach [,3,7,8,9] poświęconych głównie zasosowaniu falek Haara w układach dynaicznych o paraerach skupionych. W niniejszą pracy badano ożliwości zasosowania eod rozkładu funkcji dwóch ziennych na falki Haara w układach o paraerach rozłożonych opisywanych równaniai różniczkowyi cząskowyi. Swierdzono, że rakując jedną ze ziennych jako paraer, ożna zasosować rozkład na falki Haara podobnie jak w przypadku układów o ziennych skupionych opisywanych równaniai różniczkowyi zwyczajnyi. Meodę zadeonsrowano na podsawie rzech różnych przykładów i a, gdzie o było ożliwe, porównano przebiegi uzyskane za poocą rozkładu na falki Haara z rozwiązaniai analiycznyi (rys.4, 6, 7, 8).

20 8 M. Kosicka W pewnych syuacjach orzyuje się bardzo dobre przybliżenia już dla niewielkiego sopnia rozwinięcia, np. = 64 (rys. 4, 6, 8). Naoias w innych nawe przy = 56 nie ożna uzyskać gładkich przebiegów (rys.3, 5). W akich przypadkach rozkład na falki Haara pozwala jedynie na uzyskanie orienacyjnego przebiegu (co częso jes w zupełności wysarczające). Na podsawie przeanalizowanych przypadków rudno jes jednak podać ogólne prawidłowości, właściwie każdy przypadek należy rozparywać osobno. Wszyskie wyniki orzyano przy wykorzysaniu pakieu Malab. LIERAURA. Białasiewicz J..: Falki i aproksyacje. WN, Warszawa,.. Chen C.F., Hsiao C.H.: Haar wavele ehod for solving luped and disribued-paraeer syses. IEE Proc.-Conrol heory Appl. vol.44, no., pp.87-94, Jan Chen C.F., Hsiao C.H.: Wavele approach o opiising dynaic syses. IEE Proc.- Conrol heory Appl. vol.46, no., pp.3-9, March Cheng D.K.: Analysis of linear syses. Addison-Wesley, New York, Haar A.: Zur heorie der orhogonalen Funkionensysee. Maheaische Annalen, pp.33-37, Leipzig, Kaczorek.: eoria serowania..i, PWN, Warszawa, Kosicka M., Adaczyk P.: Falki Haara w liniowych układach dynaicznych. Prace Insyuu Elekroechniki, z., sr.47-66,. 8. Kosicka M., Adaczyk P.: Zasosowanie falek Haara do analizy i opyalizacji liniowych układów dynaicznych. Refera na XXV Konferencję IC-SPEO, sr , GLIWICE- BESKID ŚLĄSKI, -5.V.. 9. Kosicka M.: Możliwości zasosowania falek Haara do analizy i opyalizacji układów napędowych. Prace Insyuu Elekroechniki, z.4,, sr Kosicka M.: ransforaa falkowa a ransforaa Fouriera. Przegląd Elekroechniczny, z.7, sr. 75-8, Kosicka M.: Właściwości ransforay falkowej. Przegląd Elekroechniczny, z.9, sr. 4-9,.. McLachlan N.W.: Funkcje Bessela dla inżynierów. PWN, Warszawa, 964. Rękopis dosarczono, dnia r. Opiniował: prof. dr hab. inż. Krysyn Pawluk

21 Analiza układów o paraerach rozłożonych za poocą falek Haara 9 ANALYSIS OF DISRIBUED-PARAMEERS SYSEMS USING HAAR WAVELES M. KOSICKA SUMMARY he paper presens ehods of analysis of disribued-paraeers syses described by parial differenial equaions wih applicaion of he Haar funcions (waveles). hose ehods of any rank syses are illusraed by copuaions concerning he curren and volage disribuion in ransission line as well as he eperaure disribuion in a heaed bar. Advanages and soe inconveniences of ehods have been specified. Mgr inż. Maria Kosicka urodziła się w 944 roku w Warszawie. Ukończyła sudia na Wydziale Elekryczny Poliechniki Warszawskiej w 968 roku w specjalności auoayka przeysłowa. W y say roku rozpoczęła pracę w Insyucie Elekroechniki, począkowo w Zakładzie Zasosowań Przeysłowych Układów Regulacji (obecnie Zakład Napędów Obrabiarkowych), a od 978 roku w Zakładzie Badań Podsawowych Elekroechniki. Zajowała się probleai auoayki napędu elekrycznego, eorią regulacji, przewarzanie obrazów, a obecnie zagadnieniai doyczącyi zasosowań ransforay falkowej. Jes auorką lub współauorką około czerdziesu arykułów i referaów. Dwukronie orzyała nagrodę Dyrekora Insyuu Elekroechniki za arykuł wyróżniający się wśród drukowanych na łaach Prac IEL. Jes członkie Sowarzyszenia Elekryków Polskich od czasów sudenckich.