Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych

Transkrypt

1 Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych dr inż.. Wojciech Zając Wykład 5. Dyskretna transformata falkowa

2 Schemat systemu transmisji danych wizyjnych Źródło danych Przetwarzanie Przesył Przetwarzanie Prezentacja Kontrolowane straty Zakłócenia

3 Obliczanie jednowymiarowej transformaty DCT Przekształcenie proste X DCT = Y ? * = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8

4 Obliczanie jednowymiarowej transformaty DCT Przekształcenie proste X DCT = Y f1 f2 f3 f4 f5 * = f6 f7 f8 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8

5 Obliczanie jednowymiarowej transformaty DCT Przekształcenie proste X DCT = Y f1 f2 f3 f4 f5 * = f6 f7 f8 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 Przekształcenie odwrotne Y DCT = X y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 f1 f2 f3 f4 f5 * = f6 f7 f8 ' 1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' 6 ' 7 ' 8

6 DCT jako analiza sub-pasmowa

7 Podział widma sygnału w analizie subpasmowej DCT 1 _ 0 π 2 _ π 3 _ π 4 _ π 5 _ π 6 _ π 7 _ π π f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8

8 Rozkład energii w obrazie Histogram wartości współczynnik czynników w DCT obraz LENA

9 Rozkład energii w obrazie Histogram wartości współczynnik czynników w DCT obraz BABOON

10 Szczególna postać analizy subpasmowej X(z) H (z) 0 G (z) 0 + Y(z) H (z) 1 G (z) 1 0 π _ 2 π X l X h

11 Podział widma sygnału w analizie falkowej H 0 (z) l H 1 (z) h 0 π _ 2 π X l X h

12 Podział widma sygnału w analizie falkowej l H 0 (z) ll H 0 (z) H 1 (z) lh H 1 (z) h 0 π _ 4 π _ 2 π X ll X lh X h

13 Podział widma sygnału w analizie falkowej l H 0 (z) ll H 0 (z) lll H 0 (z) H 1 (z) llh H 1 (z) lh H 1 (z) h 0 π _ 8 π _ 4 π _ 2 π X lll X llh X lh X h

14 Analiza falkowa W przeciwieństwie do analizy fourierowskiej i kosinusowej, analiza falkowa nie wyraża a badanych funkcji poprzez wielomiany, ale poprzez pewne specjalne funkcje - falki, które sąs tworzone ze stałej funkcji zwanej falką macierzystą,, poddanej wielokrotnym translacjom. Uzyskane w ten sposób b falki mają szereg interesujących skalowalnych właściwości. ci. Można je odnosić zarówno do czasu jak i do częstotliwo stotliwości, dopuszczając c bliższe związki zki pomiędzy badaną funkcją (funkcją reprezentowaną), a jej współczynnikami. W ten sposób b uzyskano większ kszą numeryczna stabilność w procesie odtwarzania funkcji. Pokazano, że e każde zadanie posługuj ugujące się szybką transformatą Fouriera może zostać sformułowane owane za pomocą falek, dając c przy tym więcej informacji przestrzennej (o miejscu położenia) jak i częstotliwo stotliwościowej. W ten sposób zamiast tworzyć spektrum natęż ężenie-częstotliwość można otrzymać spektrum falkowe (wavelet( spectrum).

15 TRANSFORMATA FALKOWA Cechą charakterystyczną funkcji bazowych transformaty falkowej jest to, że e ich wartość średnia jest równa r zero i mają postać szybko gasnących oscylacji. Ciągła transformata falkowa sygnału u ciągłego (t), z zastosowaniem falki bazowej g(t) ) jest opisana równaniem: r Wf 1 t b = g dt a a ( a, b) ( t) gdzie a jest współczynnikiem skali (wpływa na czas trwania) falki, b współczynnikiem przesunięcia (zmienia położenie na osi czasu). Wartość współczynnik czynników a i b interpretuje się jako miarę podobieństwa do danego fragmentu analizowanego sygnału. Wynikiem ciągłego przekształcenia falkowego sąs współczynniki Wf(a,b a,b), które odwzorowują sygnał oryginalny (t) ) za pomocą falki bazowej g(t) ) w przestrzeni czas-cz częstotliwość.

16 Przekształcenie falkowe Przekształcenie falkowe opiera się na szablonie, który wykorzystuje pewną funkcję podstawową (falkę podstawową). Transformatę falkową oblicza się na podstawie wzoru, poprzez wyznaczanie iloczynu skalarnego z przeskalowanymi i przesuniętymi wersjami falki podstawowej. CWT f 1 = τ s s t τ s ( τ s) f ( t), Ψ ( t) = f ( t) Ψ dt,, gdzie: ( ) Ψ t s,τ falka podstawowa, odpowiednio argumenty skali i czasu, tworzące dziedzinę transformaty

17 Przekształcenie falkowe Teoria falkowej reprezentacji sygnału u nie definiuje konkretnej postaci falki, określa jedynie własnow asności jakie musi posiadać taka funkcja. Wymaga się,, by falka miała a skończon czoną energię, wartość średnią równą zero oraz by posiadała a niezerowe wartości tylko w skończonym przedziale. Spełnienie tych warunków w powoduje, że e falka posiada postać krótkotrwa tkotrwałej oscylacji, skąd d wywodzi się jej nazwa.

18 Przekształcenie falkowe W wyniku jednowymiarowego przekształcenia falkowego otrzymuje się dwuwymiarową półpłaszczyznę, której argumentami sąs skala i czas. Zmienna skali wywodzi się ze skalowania falki podczas wyznaczania transformaty i posiada znaczenie odwrotności chwilowej częstotliwo stotliwości. Teoretyczne badania naukowe doprowadziły y do opracowania różnych r odmian przekształcenia falkowego, przeznaczonych do cyfrowego przetwarzania sygnałów. Największe znaczenie posiada tu dyskretne przekształcenie falkowe, które dostarcza najbardziej zwartą reprezentację falkową sygnału dyskretnego. W wyniku tej transformacji otrzymuje się zbiór współczynnik czynników w pogrupowanych odpowiednimi poziomami skali, zdyskretyzowanej wykładniczo. Na każdym poziomie skali, odpowiadającym analizowaniu sygnału u z różnąr rozdzielczości cią, otrzymuje się współczynniki, których gęstog stość rozmieszczenia w czasie jest zależna od bieżą żącej wartości skali. Dzięki temu, uzyskuje się własność wielorozdzielczości ci,, pozwalającą na dopasowanie się rozdzielczości ci czasowej analizy sygnału u do aktualnej skali analizy.

19 Jednowymiarowa analiza falkowa l H 0 (z) ll H 0 (z) lll H 0 (z) H 1 (z) llh H 1 (z) lh H 1 (z) h lll 2 HG 00 (z) + ^ ll 2 GH 0 (z) 0 (z) ^ l llh 2 HG 1 (z) lh 2 HG 1 (z) + h 2 2 HG 0 (z) HG 1 (z) + ^ 0 π_ 8 π_ 4 π_ 2 π X lll X llh X lh X h

20 Dwuwymiarowa analiza falkowa Blok A ll-ll-ll Blok A H 0 vert vert l vert H 0 hor hor ll Blok A ll-ll ll-lh ll-hl ll-ll-lh ll-ll-hl ll-ll-hh H 1 hor hor lh ll-hh h vert H 0 hor hor hl H 1 vert vert H 1 hor hor hh

21 Dwuwymiarowa analiza falkowa c.d. 0 π_ 2 π_ 0 2 π ll-ll-ll ll-ll-hl ll-ll-lh ll-ll-hh ll-hl ll-lh ll-hh lh hl hh π

22 Realizacja - filtry LeGalla G H ( ) ( z = z + 2z z z ) 0 2 H ( ) ( z = z + 2 z) ( ) ( z = z + 2 z) G = z 2z ( ) ( 2 z z z ) 1 2 (1) (2) (3) (4)

23 Jakość przetwarzania (1) PSNR [db] Wavelet DCT BER [%]

24 Jakość przetwarzania (2) DCT,, BER=0.1% WAVELET,, BER=0.1%

25 Jakość przetwarzania (3) DCT,, BER=1% WAVELET,, BER=1%