UZUPEŁNIENIA MATEMATYCZNE

Transkrypt

1 UZUPEŁNIENIA MATEMATYCZNE Niektóre powod dl którch dził ten jest wżn: mimo iż fizk to nuk przrodnicz to jęzkiem jej opisu jest mtemtk, niektóre zgdnieni z mtemtki są rdzo użteczne n lekcjch fizki, Wektor Istnieją trz rodzje wielkości fizcznch: 1. Sklrne 2. Wektorowe 3. Tensorowe Ad. 1 Mimo iż nzw jest skomplikown wielkości te to po prostu licz. Przkłdowo weźm msę (m) podnie, że ciło m msę 3kg jednozncznie określ tą wielkość fizczną. Ad. 3 Tu już nie m tk łtwo i nzw skomplikown i sm wielkość tensorow też nie jest tk prost. Istnieją owiem wielkości fizczne zleżne od kierunku (np. grfit w jednm kierunku jest miękki w drugim twrd) i one włśnie opiswne są tensorowo. Możn powiedzieć, że tensor to licz zleżn od kierunku. Reprezentcją tensor jest mcierz kwdrtow tlic zwierjąc licz. N poziomie szkoł średniej nie nlizuje się wielkości tensorowch, jedną poznwną wielkością tensorową (oczwiście podną jko licz) ędzie moment ezwłdności, prz omwiniu rł sztwnej. Ad. 2 Pojęcie wektor oecne jest zrówno w mtemtce jk i fizce; jest mocno strkcjne, jednk okzuje się wsoce użteczne, np. prz omwiniu wielu pojęć z fizki i dltego zjmniem się nim dokłdnie. Istnieją wielkości fizczne (np. prędkość v) dl którch smo podnie wrtości jest niewstrczjące, poniewż nie dje informcji o tm w którm kierunku i w którą stronę poruszło się dne ciło. Tego tpu wielkości w fizce opisne są 1

2 wektorowo. Sm definicj wektor n potrze fizki jest prost: Wektorem nswm pewien oiekt, do którego opisu nleż podć: kierunek, zwrot, wrtość i punkt przłożeni. Grficznie wektor przedstwim jko strzłkę, co widć n poniższm rsunku: wrtosc kierunek punkt przlozeni zwrot kierunek prost n której leż wektor, zwrot strzłk określjąc stronę w którą jest skierown, wrtość długość wektor w jednostkch wielkości fizcznej, punkt przłożeni miejsce gdzie wektor m swój początek. Wrto w tm miejscu zwrócić uwgę n jedną rzecz. Pojęcie kierunku w znczeniu potocznm nie odpowid definicji kierunku wektor, tlko jest to jego zwrot. W książkch i podręcznikch wektor oznczne są w różn sposó: AB,, ā; m przjmniem oznczenie: lu AB. Długość wektor z kolei oznczm jko: m przjmniem umowę że ędziem pisć po prostu = Wróżnim jeszcze nstępując podził wektorów: wektor swoodne ez punktu zczepieni, wektor zczepione posidjące punkt zczepieni I możn wprowdzić pojęcie równości wektorów: Dw wektor swoodne są równe, gd mją ten sm kierunek, zwrot i wrtość. Jeżeli proste wznczjące kierunki wektorów są równoległe to wektor n nich leżące mją ten sm kierunek. Zstosownie pojęci wektor w fizce m rdzo dużo zlet; oto one: zpis prw fizcznch jest jednoznczn, np. ptrząc n deficicję sił ezwłdności F = m widzim, że jest on skierown przeciwnie do przspieszeni ukłdu nieinercjlnego. 2

3 pozwl n zwięzł zpis prw fizcznch, np. wzór n siłę Lorentz ( F = q v B) oejmuje wszstkie przpdki orientcji wektorów prędkości i indukcji mgnetcznej, zpis wektorow cechuje uniwerslność, co pozwl np. n tki wór ukłdu odniesieni w którm rozwiąznie prolemu ędzie njłtwiejsze, Wróżnim nstępujące dziłni n wektorch: 1. Mnożenie wektor przez liczę, 2. Dodwnie i odejmownie, 3. Iloczn sklrn, 4. Iloczn wektorow, Ad. 1 Mnożenie wektor przez liczę nie zmieni jego kierunku, lecz jego długość, gd licz przez którą mnożm wektor jest ujemn to również i zwrot. Widć to dorze n poniższch rsunkch. 2 0,5 0,75 Oczwiście, mnożąc wektor przez 1 otrzmujem ten sm wektor, zś po pomnożeniu przez 1 otrzmujem wektor przeciwn. Ad. 2 Sum dwóch lu więcej wektorów również jest wektorem, któr możn wznczć n dw sposo: Metod równoległooku + Metod wielokąt: + Metod równoległooku pozwl n dodnie do sieie tlko dwóch wektorów; w metodzie wielokąt dodwnch wektorów może ć więcej. Jeśli chodzi o odejmownie wektorów to njpierw wprowdzm pojęcie wektor 3

4 przeciwnego; jest to wektor mjąc ten sm kierunek, wrtość le przeciwn zwrot co dn wektor. przkld wektor przeciwnego Znjąc to pojęcie możem zstąpić odejmownie wektorów dodwniem wektor przeciwnego: + = + ( ) i dodć wektor w jeden z poznnch sposoów. Oprócz metod z wektorem przeciwnm istnieje jeszcze inn metod odejmowni wektorów; metod wielokąt, jest on podon do metod równoległooku tle że z wektorów o wspólnm początku tworzm trójkąt: Przkłd odejmowni wektorów metodą trójkąt. Zwrot wektor różnic skierown jest w stronę odjemnej Ad. 3 M rdzo duże znczenie w fizce i jest jednm z dwóch rodzjów ilocznu określonego n wektorch o tle ciekwm, że w jego wniku dostjem liczę. Niech dne ędą dw wektor którch kierunki tworzą kąt mm: = cos( (, )) = cos() Interpretcj grficzn ilocznu sklrnego jest nstępując: cos( ) = ḃ Dzieląc iloczn sklrn przez długość pierwszego wektor otrzmujem długość rzutu drugiego wektor n kierunek pierwszego W zleżności od kąt międz wektormi, znk ilocznu sklrnego wnosi: 4

5 = 0 o = cos(0) = (0 o,90 o ) = cos() > 0 = 90 o = cos(0) = 0 (90 o,180 o ) = cos() < 0 = 180 o = cos(180) Ilość zstowowń ilocznu sklrnego w fizce jest ogromn; zcznjąć od definicji prc, poprzez możliwość oliczeni kąt międz wektormi którch iloczn sklrn znm, n mechnice kwntowej kończąc (operuje on n wektorowej przestrzeni Hilert z ilocznem sklrnm). Ad. 4 Niech ędą dne dw wektor i ; ilocznem wektorowm (ozncznm: ) nzwm wektor c określon nstępująco: Kierunek prost prostopdł do płszczzn wznczonej przez wektor którch iloczn wektorow oliczm, Zwrot ustlon regułą prwej zgiętej dłoni lu korkociągu; orcjąc 4 zgięte plce prwej dłoni zgodnie z kolejnością ilocznu wektorowego (czli od do ), wprostown kciuk pokże zwrot ilocznu wektorowego, 5

6 Wrtość którą możn oliczć z zleżności c = = sin( (, )) = sin() Interpretcj grficzn ilocznu wektorowego, jest nstępując: c. S Długość ilocznu wektorowego ( c) jest równ liczowo polu powierzchni równoległooku utworzonego przez wektor i ( c = S) Wrto zuwżć jeszcze, że iloczn wektorow nie jest przemienn tlko ntprzemienn: = Ozncz to, że wielkości fizczne ędące ilocznem wektorowm nie są określone w sposó do końc jednoznczn. Określenie wektor w ukłdzie współrzędnch Niech ędą dne punkt A(, ) i B(, ). Wektor = [p,q] o początku w punkcie A i końcu w punkcie B określm nstępująco: =[p,q] A( ) B( ) współrzędne wektor: p =, q = długość wektor: = czli: ( ) 2 + ( ) 2 = p 2 + q 2 Nleż zwrócić uwgę, że podnie współrzędnch początku i końc wektor jednozncznie wzncz jego położenie w ukłdzie współrzędnch (wektor zczepion), ntomist podnie smch współrzędnch wektor nie określ położeni wektor (wektor swoodn). 6

7 Dziłni n wektorch w ukłdzie współrzędnch Niech ędą dne wektor = [, ], = [, ] i p R wówczs podstwowe dziłni n wektorch określm nstępująco: 1. Mnożenie wektor przez liczę 2. Dodwnie i odejmownie 3. Mnożenie sklrne p = p [, ] = [p,p ] ± = [, ] ± [, ] = [ ±, ± ] 4. Mnożenie wektorowe = [, ] [, ] = + = [, ] [, ] = [0,0, ] Rozkłd wektor n skłdowe Rozkłdem wektor n skłdowe nzwm przedstwienie dnego wektor jko sum innch wektorów (njczęściej dwóch lu trzech) tkich, że żden z nich nie może powstć jko komincj sum lu różnic pozostłch. Opercj rozkłdu n skłdowe, ędąc formlnie opercją odwrotną do sumowni wektorów nie jest określon jednozncznie (dn wektor może mieć wiele różnch rozkłdów) le m rdzo duże znczenie w fizce. Pozwl on dl przkłdu rozdzielić dw rodzje ruchu w rzucie ukośnm, co mocno ułtwi rozwżni. Jko przkłd rozkłdu wektor n skłdowe rozwżm ciło o msie m leżące n płskiej, poziomej powierzchni n które dził sił F pod kątem do podłoż. Przjmując współcznnik trci kinetcznego równ µ (0, 1) oliczm przspieszenie z jkim ędzie poruszć się ciło. Dokonm njpierw rozkłdu sił F w kierunku prostopdłm ( F 2 ) i równoległm do podłoż ( F 1 ): 7

8 T F 2 Q F F 1 W stucji przedstwionej n rsunku ciło porusz się, gdż skłdow F 1 jest większ niż sił trci ( T). Skłdow F 2 zmiejsz ntomist siłę ncisku n podłoże ztem i siłę trci. Korzstjąc z zleżności trgonometrcznch w trójkącie prostokątnm, możem oliczć długości poszczególnch skłdowch wektor F wnoszą one: F 1 F = cos() F 1 = F cos() F 2 F = sin() F 2 = F sin() Przspieszenie rozwżnego cił oliczm z II zsd dnmiki: = F w m gdzie F w jest wpdkową siłą dziłjącą n ciło, zś m to jego ms. Wpdkow sił dziłjąc n ciło wnosi: F w = F 1 T = F 1 µn = F 1 µ(q F 2 ) = F cos() µ(mg F sin()) Prz czm skorzstliśm z definicji sił trci i z fktu, że sił ncisku n podłoże jest mniejsz o skłdową F 2, podstwijąc do II zsd dnmiki mm: = F cos() µ(mg F sin()) m Jko pożteczne ćwiczenie proszę przenlizowć przpdek, gd sił F skierown jest nie ku górze le ku dołowi pod kątem Wersor i wersor knoniczne Zgdnienie to wkrcz nieco poz progrm liceum le zdrzją się w podręcznikch prw fizczne zpisne prz pomoc wersorów (np. def. strumieni indukcji) więc ich znjomość może ć przdtn. Rozwżm wektor o współrzędnch p = [,, c]. Umieszczjąc go w początku 3 wmirowego ukłdu współrzędnch, możem rozłożć go n skłdowe w kierunkch osi OX, OY i OZ, mm: 8

9 z c p Współrzędne poszczególnch skłdowch są nstępujące: = [,0,0], = [0,,0], c = [0, 0, c]. Po dodniu do sieie tch skłdowch otrzmujem wjściow wektor p ( p = + + c) Korzstjąc pondto z definicji mnożeni wektor przez liczę otrzmujem: p = + + c = [,0,0] + [0,,0] + [0,0,c] = [1,0,0] + [0,1,0] + c[0,0,1] W powższm równniu pojwiją się wektor skierowne wzdłuż osi ukłdu współrzędnch, o długości 1, to wersor knoniczne, oznczm je nstępująco: = [1,0,0], ȳ = [0,1,0], z = [0,0,1] Zś rozwżn wektor możn przedstwić nstępująco: p = [,,c] = + ȳ + c z Dzieląc ntomist powższ wektor przez jego długość ( p = c 2 ) otrzmm: p p = [ [,,c] c = c 2, c 2, ] c c 2 Jk łtwo się przekonć długość tego wektor wnosi 1, nzwm go wersorem dnego wektor i oznczm p, ztem dn wektor możem przdstwić jko: p p = p p = p p Powższ zpis wektor prz pomoc wersorów w użteczn poniewż pozwl n oddzielenie wrtości wektor od jego części pokzującej kierunek i zwrot. 9

10 Funkcje trgonometrczne Pojęcie funkcji trgonometrcznch w ogólności wcle nie jest łtwe; m ogrniczm się do rzecz w fizce niezędnch. Funkcje trgonometrczne w trójkącie prostokątnm Rozwżm trójkąt prostokątn w oznczenich klscznch. Wówczs stosunki odpowiednich oków w tm trójkącie powiązne są z jego kątmi poprzez nstępujące funkcje trgonometrczne: β γ c sin() = c cos() = c tn() = ctg() = = przprost. przeciwlegl przeciwprostoktn = przprost. przlegl przeciwprostoktn = przprost. przeciwlegl przprost. przlegl = przprost. przlegl przprost. przeciwlegl Nzw funkcji trgonometrcznch wmwim oowiednio: sinus (sin), kosinus (cos), tngens (tn) i kotngens (ctg). Mjąc dn powższ trójkąt prostokątn możn pondto wprowdzić podstwowe zleżności trgonometrczne, pondto okzuje się, że ędą one prwdziwe dl dowolnch kątów, czego udowodnienie nie jest już tkie łtwe. Ptrząc n definicje funkcji tn i ctg widć że jedn to odwrotność drugiej ztem: tn() = 1 ctg() tn() ctg() = 1 Dzieląc funkcje sin przez cos otrzmm tn, co łtwo udowodnić: sin() cos() = c c = c c = tn() = sin() cos() Stosując Twierdzenie Pitgors możn wprowdzić tzw. jednkę trgonometrczną: 10

11 ( ) = c 2 2 c c = c2 2 ( ) 2 2 c + = 1 2 c c Korzstjąc z definicji funkcji sinus i kosinus otrzmujem ztem: sin 2 () + cos 2 () = 1 Oprócz powższch wzorów w fizce wją użteczne jeszcze nstępujące zleżności: funkcje podwojonego kąt: sin(2) = 2sin() cos(), cos(2) = cos 2 () sin 2 () funkcje sum i różnic: sin( ± β) = sin()cos(β) ± cos()sin(β) cos( ± β) = cos()cos(β) sin()sin(β) sum i różnic funkcji: ( ) ( ) ± β β sin() ± sin() = 2sin cos 2 2 ( ) ( ) + β β cos() + cos() = 2cos cos 2 2 ( ) ( ) + β β cos() cos() = 2sin sin

12 Dotchczs omwiliśm funkcje trgonometrczne w odniesieniu do kąt, są one jednk określone w ogólności dl licz rzeczwistch. A to zrozumieć nleż poznć mirę łukową kąt. Jesteśm przzwczjeni do mierzeni kąt w stopnich (np. z pomocą podziłki n kątomierzu) i dltego mir stopniow wdje się nm rdziej intuicjn, w rzeczwistości jest odwrotnie, poniewż to mir łukow (zwn też mirą nturlną) jest pierwszą metodą określni kąt i definiujem ją nstępująco: r l Mir łukow kąt jest to stosunek długości łuku l ztoczonego promieniem do jego długości r = l r [] = rd Kąt w mierze łukowej m wrtość jednego rdin gd ztcz łuk równ promieniowi (l = r). W mierze stopniowej wrtość jednego to około 57 o W przpdku gd mm kąt pełn (w mierze stopniowej 360 o ) wówczs ztoczon długość łuku wnosi: l = 2Πr ztem: 360 o = 2Πr r 360 o = 2Π Co pozwl n przeliczenie stopni n rdin i odwrotnie. Klscznm sposoem konstrukcji funkcji sinus jest zrzutownie orcjącego się odcink n prostą; po odłożeniu n osi OX kolejnch wrtości kątów otrzmujem wkres funkcji sinus: ω (5) (4) (3) (2) (1) Oś OX zwier licz rzeczwiste, nie kąt dltego poprwniej jest stosowć kąt 12

13 w mierze łukowej i wówczs wkres funkcji sinus jest nstępując: =sin() π 1 π 3 2 π 3π 5π 1 π 2 2π 4π Funkcj kosinus jest przesunięt względem sinus o Π 2 (90o ) ztem: =cos() 1 π π 3 2 π 3π 5π π 2 2π 4π 1 Użtecznm w fizce w tkże twierdzenie sinusów i kosinusów. Dotczą one dowolnego trójkąt γ R β c Twierdzenie sinusów: sin = sinβ = c sinγ = 2R Twierdzenie kosinusów: β c 2 = cosγ c 2 = 2 + c 2 2ccosβ γ 2 = 2 + c 2 2ccos 13

14 Wkres funkcji wstępującch w fizce Wiele prw fizcznch opiswnch jest wzrormi w którch wstępują zrówno stłe fizczne jk i wielkości zmienne, ztem mm do cznieni z pewną funkcją. Ztem istotn jest znjomość prznjmniej wkresów podstwowch funkcji: Funkcj liniow (0,) =+ We wzorze funcji liniowej i to zmienn zś, i są stłmi określonmi tk: = tn (,0) 0 wzncz miejsce przecięci się wkresu z osią OX, 0 miejsce zerowe 0 = Funkcj odwrotn Funkcj odwrotn określon jest nstępującm wzorem: = Wkresem jest hiperol której ksztłt w zleżności od znku stłej jest nstępując: >0 <0 14

15 Funkcje tą określ wzór: Funkcj kwdrtow = c,,c R Wkresem tej funkcji jest prol, której ksztłt w zleżności od współcznnik i tzw. wróżnik funkcji kwdrtowej: = 2 4c jest nstępując: >0 <0 > 0 > 0 >0 <0 = 0 = 0 >0 <0 < 0 < 0 15

16 Funkcj tpu: = 2 W zleżności od wrtości współcznnik jej wkres jest nstępując: <0 >0 Mimo iż jest on podon do funkcji = jest rdziej strom. Określ ją wzór: i posid nstępując wkres: Funkcj pierwistkow =, > 0 to ksztłt kżdej z głęzi hiperoli Funkcj wkłdnicz Funkcj t określon jest nstępującm wzorem: () = R, R +, > 0 1 Funkcj t jest różnowrtościow (dzięki czemu łtwo rozwiązuje się równni 16

17 wkłdnicze), ciągł orz różniczkowln wrz z pochodną (tzw. funkcj kls C2; rdzo wżn włsność funkcji w fizce) zś jej wkres zleż od stłej >1 0<<1 1 1 Jk widć, funkcj wkłdnicz rośnie gd > 1 i mleje gd 0 < < 1, pondto niezleżnie od wrtości podstw potęgi wszstkie wkres przechodzą przez punkt (0,1). Dl funkcji wkłdniczej prwdziwe są nstępujące wzor (znne z gimnzjum) = + : = ( ) = Brdzo wżną w fizce i innch nukch przrodniczch jest funkcj wkłdnicz: () = e ( e = lim n = n n) Licz niewmiern e to tzw. stł Euler, zś funkcj wkłdnicz jest dltego tk wżn poniewż jej wrtość wnosi tle smo co jej tempo wzrostu; tkie funkcje mogą posłużć do opisu różnch procesów i to nie tlko fizcznch. Funkcj logrtmiczn Funkcj t jest odwrotn do funkcji wkłdniczej, czli ieżem funkcję = zmienim, i mm: =. Wstrcz jednie wliczć co okzuje się nie tkie proste wręcz niemożliwe, ch że określim logrtm w nstępując sposó: 17

18 log () = = jk widć jest to po prostu smoliczn zpis ile wnosi wkłdnik potęgi, ztem funkcj logrtmiczn m postć: () = log () R +, R, > 0 1 Funkcj t jest róznowrtościow, ciągł i kls C2 jej ksztłt jej wkresu zleż również od wrtości licz 1 >1 0<<1 1 Jk widć, funkcj logrtmiczn rośnie dl > 1 i mleje gd 0 < < 1 pondto niezleżnie od wrtości wszstkie wkres przechodzą przez punkt: (1,0). Dl funkcji logrtmicznej przjmuje się nstępujące oznczeni: log 10 ( ) = log( ) log e ( ) = ln( ) Dl funkcji logrtmicznej prwdziwe są nstępujące wzor (tego rczej w gimnzjum nie ło) 18

19 log ( ) = log () = log () + log () = log () ) ( log () log () = log log ( ) = log () Funkcj logrtmiczn jest tkże wżn dl opisu świt, przkłddowo okzło się że zmsł człowiek logrtmują (odczucie, np. głośności dźwięku jest proporcjonlne do logrtmu odźc, np. ntężeni dźwięku) Alfet grecki lf β et γ gmm δ delt ε epsilon ζ zet η et Γ Gmm Delt Θ Thet θ thet ι iot κ kpp λ lmd µ mi ν ni ξ ksi Λ Lmd Ξ Xi Π Pi π pi ro σ sigm τ tu Σ Sigm Υ Upsilon Φ Fi υ upsilon ϕ fi χ chi ψ psi ω omeg Ψ Psi Ω Omeg 19