Wiadowmości wstępne z rachunku prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 1 Wiadowmości wstępe z rachuu prawdopodobieństwa Zdecydowaa więszość procesów fizyczych, techiczych, społeczych, eoomiczych itp, przebiega w sposób bardziej lub miej losowy. Zjawisami, tórych przebieg jesteśmy słoi uważać za dość przypadowy są a przyład: - rzut ostą do gry - ie wiemy, ile ocze wypadie, - opady deszczu w Kraowie w rou ie wiemy, iedy i ile będzie padać, - gra a giełdzie - ie wiemy, ile będą warte acje aszych spółe za dwa tygodie, a tym bardziej za ro. Z drugiej stroy, obserwujemy zjawisa, tóre jesteśmy słoi uważać za zdetermiowae. Są imi a przyład: - ruch wsazówe zegara - potrafimy oreślić ich położeie po upływie, powiedzmy, 47 miut, - abór dzieci do las pierwszych w szole podstawowej w ciągu ajbliższych sześciu lat - liczba pierwszolasistów w rou 2008 powia być rówa, zaej już, liczbie dzieci urodzoych w rou 2001, - oszczędzaie a stały procet zł przy oprocetowaiu roczym 10 da po dwóch latach 121 zł. Zwróćmy jeda przy tym uwagę a ila oczywistych fatów: - obserwowaa losowość zjawis może wyiać raczej z aszej iewiedzy, czy też z iedosoałości środów techiczych, tórymi dyspoujemy, iż z samej atury zjawis - ruch osti, a przyład, podlega przecież oreśloym prawom fizyczym i gdybyśmy zali ierue i wartość siły, z jaą rzucoo idealie symetryczą ostę, to moglibyśmy (teoretyczie) wypisać rówaia ruchu i rozwiązując je, oreślić liczbę ocze, tóra uaże się a górej ściace, - ie istieją (w zasadzie) procesy w pełi zdetermiowae - wiemy, że 100 zł złożoe a 2 lata a 10 da am 121 zł, jeda w przypadu baructwa bau możemy ie dostać ai grosza. Rachue prawdopodobieństwa i statystya są tymi działami matematyi, tóre badają i opisują zjawisa, uwzględiając ich losowy charater. Potrafimy a przyład uzasadić, że rzucając 100 razy ostą, prawie a pewo uzysamy w sumie więcej iż 330, lecz miej iż 370 ocze, przy czym zwrot prawie a pewo moża będzie odpowiedio sprecyzować. Możemy też oreślić oczeiwaą wielość aboru do lasy pierwszej w olejych adchodzących latach. Liczba ta ie jest, ja sugerowao wyżej, rówa liczbie dzieci urodzoych siedem lat wcześiej - trzeba bowiem uwzględić pewe dodatowe czyii: migracje, umieralość lub przewlełe choroby, a tórych wielość może być oreśloa a podstawie wieloletich obserwacji przy użyciu metod statystyczych. Metody statystycze mogą też pozwolić a oreśleie przewidywaej wielości opadów w rou 2008 w Kraowie oraz ich itesywość w poszczególych miesiącach. Podstawowe pojęcie rachuu prawdopodobieństwa - zdarzeie losowe - łączymy zazwyczaj z wyiiem pewej obserwacji lub doświadczeia. Wyi te może być jaościowy (p. wylosowaie asa z talii art) lub ilościowy (p. otrzymaie czwóri podczas rzutów ostą). Zdarzeia, tórych ie da się rozłożyć a zdarzeia prostsze azywamy zdarzeiami elemetarymi. Zbiór wszystich zdarzeń elemetarych azywamy przestrzeią zdarzeń elemetarych. Przyład Otrzymaie liczby parzystej przy rzucie ostą jest zdarzeiem losowym (jest realizowae przez trzy zdarzeia elemetare - 2, 4 i 6).

2 Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 2 Defiicja Niech Ω będzie ustaloą przestrzeią zdarzeń elemetarych. Zdarzeiami azywamy podzbiory przestrzei Ω, tóre tworzą rodzię (czyli zbiór zbiorów) S taą, że zbiór pusty Ø S, jezeli A S, to Ā S (Ā - dopełieie, czyli Ω \ A), jeżeli dla dowolego ciągu A i S, to Rodzię S azywamy σ-algebrą zdarzeń. Defiicja A 1 A 2... A... S. Zdarzeiem przeciwym Ā do zdarzeia A azywamy zdarzeie polegające a tym, że ie zachodzi zdarzeie A. Ā = Ω \ A. Zdarzeiem pewym azywamy zdarzeie, tóre zawiera wszystie elemety przestrzei zdarzeń elemetarych (czyli, tóre musi się zdarzyć). Ozaczamy go przez Ω. Zdarzeie iemożliwe ta taie, tóre ie może zajść. Odpowiada mu zbiór pusty Ø. Ozaczamy go więc przez Ø. Zdarzeie A pociąga zdarzeie B wtedy i tylo wtedy, gdy z zajścia zdarzeia A wyia zajście zdarzeia B. Sumą lub alteratywą zdarzeń A 1, A 2,..., A, azywamy zdarzeie polegające a zajściu co ajmiej jedego z ich, czyli odpowiadające sumie zbiorów Dla przeliczalej liczby zdarzeń mamy A 1 A 2... A = A. =1 A 1 A 2... = A. =1 Iloczyem zdarzeń A 1, A 2,..., A, azywamy zdarzeie polegające a jedoczesym zajściu wymieioych zdarzeń i ozaczamy Dla przeliczalej liczby zdarzeń mamy A 1 A 2... A = A. =1 A 1 A 2... = A. =1

3 Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 3 Zdarzeia A i B azywamy wyluczającymi się, jeżeli ich iloczy jest zdarzeiem iemożliwym, tz. A B = Ø. Jest wiele różych defiicji prawdopodobieństwa. Defiicja (def. lasycza, gdy Ω ma sończoą liczbę zdarzeń elemetarych) Niech przestrzeń Ω słada się ze sończoej liczby zdarzeń elemetarych i zajście ażdego z ich jest jedaowo możliwe. Niech - (A) jest liczbą zdarzeń elemetarych sprzyjających zajściu zdarzeia A, - (Ω) jest liczbą wszystich zdarzeń elemetarych, to prawdopodobieństwem zdarzeia A azywamy liczbę P (A) = (A) (Ω). Defiicja (def. geometrycza, oparta a pojęciu miary zbioru) Niech G będzie ustaloym zbiorem (jedowymiarowym, płasim, przestrzeym) o zadaej mierze m(g). Niech g G ma miarę m(g). Załadamy, że wybraie dowolego putu jest jedaowo możliwe. Niech zdarzeie A polega a tym, że wybray losowo put ależy do zbioru g. Prawdopodobieństwo zdarzeia A defiiujemy jao P (A) = m(g) m(g). Defiicja geometrycza pozwala a rozpatrzeie przypadu iesończoej, ieprzeliczalej liczby zdarzeń elemetarych. Jest oa jeda truda do zastosowaia i ie usuwa pojęcia jedaowo prawdopodobe. Defiicja (Asjomatycza defiicja prawdopodobieństwa - Kołmogorowa r.) Niech Ω jest przestrzeią zdarzeń elemetarych, a S jest σ-algebrą zdarzeń, to prawdopodobieństwem azywamy fucję P : S R (czyli fucję przypisującą zdarzeiom liczby rzeczywiste) taą, że dla ażdego A S zachodzi 0 P (A) 1, P (Ω) = 1, jeżeli dla dowolych i j jest A i A j = Ø, to P ( i A i ) = i P (A i ). Ostati warue ozacza, że dla ciągu parami wyluczających się (rozłączych) zdarzeń, prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest rówe sumie ich prawdopodobieństw. Nie ma podobej własości dla iloczyu zdarzeń.

4 Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 4 Elemetare własości prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo zdarzeia iemożliwego wyosi 0: P (Ø) = 0. Prawdopodobieństwo dowolego zdarzeia jest ie więsze od 1: P (A) 1. Jeżeli zdarzeie A pociąga zdarzeie B, A B, to P (A) P (B). Prawdopodobieństwo różicy dwóch zdarzeń wyraża się wzorem P (B \ A) = P (B) P (A B). Jeżeli zdarzeie A pociąga zdarzeie B, A B, to P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). P (B \ A) = P (B) P (A). Suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwych rówa się jedości: P (A) + P (Ā) = 1. Defiicja Prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia A pod waruiem zajścia zdarzeia B (ozaczamy P (A B)) azywamy liczbę P (A B) P (A B) =. P (B) Liczbę P (A B) azywamy prawdopodobieństwem waruowym. Defiicja Mówimy, że zdarzeia A i B są iezależe, gdy P (A B) = P (A)P (B). Rówość ta ie wylucza sytuacji, gdy P (A) = 0 lub P (B) = 0. Niech P (A) > 0 i P (B) > 0. Wówczas ażda z rówości P (A B) = P (A), P (B A) = P (B) staowi warue oieczy i dostateczy iezależości zdarzeń. Defiicja (iezależość zespołowa zdarzeń) Mówimy, że zdarzeia A 1, A 2,..., A są iezależe, gdy P (A i1 A i2... A im ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A im ) dla ażdego m i ażdego m - wyrazowego rosącego ciągu liczb aturalych 1 i 1, i 2,..., i m.

5 Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 5 Twierdzeie Niech A i B będą dowolymi zdarzeiami losowymi. Wtedy P (A B) = P (A) + P (B) P (A B); P (A B) = P (A)P (B A), gdy P (A) > 0; P (A B) = P (B)P (A B), gdy P (B) > 0; ogólie P (A 1 A 2... A ) = = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 )... P (A A 1... A 1 ). Defiicja Mówimy, że uład zdarzeń losowych jest A 1, A 2,..., jest zupeły, jeżeli zdarzeia te są parami wyluczające się (rozłącze), a ich suma jest zdarzeiem pewym, tz. A i A j = Ø, i j, A = Ω. Twierdzeie Jeżeli A 1, A 2,..., A są uładem zupełym zdarzeń losowych i P (A ) > 0, dla = 1, 2,...,, to dla dowolego zdarzeia losowego B zachodzi rówość ( ) P (B) = P (A )P (B A ). =1 zwaa wzorem a prawdopodobieństwo zupełe (lub całowite). Nieiedy B azywamy sutiem, a A 1, A 2,..., A przyczyami. Wówczas twierdzeie moża zapisać w postaci: Jeżeli sute B może zajść w wyiu jedej z przyczy A 1, A 2,..., A jedyie możliwych i wzajemie wyluczających się, to prawdopodobieństwo zajścia sutu B wyraża się rówością ( ). Twierdzeie Jeżeli P (B) > 0; A 1, A 2,..., A są uładem zupełym zdarzeń losowych; P (A ) > 0 dla = 1, 2,..., ; to zachodzi wzór ( ) azyway wzorem Bayesa. P (A B) = P (A )P (B A ) P (A i )P (B A i ) i=1.

6 Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 6 Gdy spełioe są założeia twierdzeia, prawdopodobieństwo tego, że A dla = 1, 2,...,, było przyczyą zajścia sutu B wyraża się rówością ( ). Wzór a prawdopodobieństwo całowite stosujemy, gdy zdarzeie B realizuje się w sposób pośredi (dwustopiowy) - ajpierw występują przyczyy A j, tóre mogą spowodować zajście zdarzeia B - prawdopodobieństwo liczymy przed zajściem zdarzeia B. Wzór Bayesa stosujemy wtedy, gdy zdarzeie B już zaszło i było realizowae pośredio poprzez zaistieie przyczy A j. Schemat Beroulliego Schemat doświadczeia losowego polegającego a wielorotym powtarzaiu tego samego doświadczeia losowego. Pojedymcze doświadczeie polega a tym, że mogą zajść jedyie zdarzeia A lub Ā. Czyli zbiór zdarzeń słada się ze zdarzeń Ø, A, Ā, Ω oraz P (A) = p (0, 1) i P (Ā) = q = 1 p (0, 1). Załadamy, że wyii olejych prób są zdarzeiami iezależymi. Jeżeli zajście zdarzeia A azwiemy sucesem, a Ā porażą, to prawdopodobieństwo osiągięcia doładie sucesów w próbach wyraża się wzorem P () = zwaym wzorem Beroulliego. ( ) p q = ( ) p (1 p). Elemety ombiatoryi Silia -!: 1! = 1,! = ( 1), jest iloczyem olejych liczb aturalych od 1 do włączie. Dodatowo Symbol Newtoa - ( ) : ( 0! = 1. )! =!( )!, ( ) = 1. 0 Kombiatoryą azywamy dziedzię matematyi, tórej zadaiem jest obliczaie liczby zbiorów, w jaie moża łączyć w oreśloy sposób elemety ależące do daego zbioru sończoego.

7 Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 7 Permutacje Permutacje bez powtórzeń. Zbiór sładający się z elemetów uporządowaych i różych azywamy permutacją bez powtórzeń z elemetów. P =!. Wyia z tego, że dwie permutacje tego samego zbioru różią się tylo olejością elemetów. Przyład Iloma sposobami moża umieścić siedem osób a ośmiu poumerowaych rzesłach? Rozw. Kolejość jest istota, gdyż rzesła są umerowae, czyli a 8! sposobów. Permutacje z powtórzeiami. Zbiór sładający się z elemetów uporządowaych, wśród tórych pewe elemety powtarzają się odpowiedio 1, 2,..., razy, azywamy - elemetową permutacją z powtórzeiami. Przyład P 1, 2,..., =! 1! 2!...!. Ile różych wyrazów (mających ses lub ie) moża utworzyć przstawiając litery w wyrazie matematya? Rozw. Tworzymy zbiory 10 - cio elemetowe zbioru 10 - cio elemetowego, w tórym elemety m, a i t się powtarzają odpowiedio 2, 3 i 2 razy. Czyli P 2,3,2 10 = 10! 2!3!2! = Kombiacje Kombiacje bez powtórzeń. Kombiacją bez powtórzeń z elemetowego zbioru azywamy ilość podzbiorów tego zbioru sładających się z różych elemetów (wybraych spośród różych elemetów), przy czym obojęta jest olejość rozmieszczeia elemetów. ( ) C =. Przyład Ile astąpi powitań, gdy spota się jedocześie 8 zajomych osób? Rozw. Wszystich osób jest 8 przy czym jedocześie podają sobie ręce ( 2) osoby. Porząde przy powitaiu dwóch daych osób ie odgrywa roli. Czyli C8 2 = =

8 Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 8 Kombiacje z powtórzeiami. Kombiacją z powtórzeiami: te sam elemet może być wybray do - elemetowego ciągu ilarotie, a poadto ie ma zaczeia porząde elemtów ciągu: ( ) C + 1 =. Przyład Mamy cztery rodzaje owowców: jabła, gruszi, morele i pomarańcze. Robimy paczi po pięć owowców w ażdej. Ile moża otrzymać w te sposób różych pacze? Rozw. Wybieramy 5 - cio elemetową próbę z populacji czteroelemetowej. ( ) Czyli w 8 próbce przyajmiej jede owoc musi się powtórzyć. Czyli C5 4 = = Wariacje Wariacje bez powtórzeń. Wariacją bez powtórzeń (rozmieszczeiem bez powtórzeń) z - elemetowego zbioru po elemetów ( ) azywamy uporządoway ciąg sładający się z różych elemetów wybraych spośród różych elemetów. Przyład V =! ( )!. Ile moża wyoać różych trójolorowych chorągiewe z sześciu barw? Rozw. Kolejość barw odgrywa rolę (podobie ja p. choragiew biało-czerwoa jest flagą Polsi, a czaro-biała sięstwa Moaco). Soro chorągwie mają być trójolorowe, to barwy ie mogą się powtarzać. Czyli V6 3 6! = (6 3)! = 120. Wariacje z powtórzeiami. Wariacją z powtórzeiami (rozmieszczeiem z powtórzeiami) z - elemetowego zbioru po elemetów ( ) azywamy uporządoway ciąg sładający się z różych lub ie różiących się elemetów, wybraych spośród różych elemetów. Przyład V =. Ile moża utworzyć liczb parzystych czterocyfrowych (czyli taich, że cyfra 0 ie występuje a pierwszym miejscu), w tórych cyfry mogą się powtarzać? Rozw. Wszystich liczb czterocyfrowych z powtarzającymi cyframi jest V 10 4 = Czyli taich, w tórych 0 ie występuje a pierwszym miejscu jest 9 V = Połowa z ich, to liczby parzyste, więc 4500.

9 Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 9 Literatura J. Jaubowsi, R. Sztecel - Rachue prawdopodobieństwa dla (prawie) ażdego, SCRIPT, Warszawa 2002 W. Kordeci - Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Defiicje, twierdzeia, wzory, Oficya Wydawicza GiS, Wrocław 2003 W. Kordeci - Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Przyłady i zadaia, Oficya Wydawicza GiS, Wrocław 2003 W. Krysici i ii - Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach cz. I i II, Wydawictwo Nauowe PWN, Warszawa 2005 W. Kordeci, J. Mieliczu - Statystya dla studetów ieruów techiczych i przyrodiczych, WNT, Warszawa 2004 Materiały dydatycze a dostępe a stroie www Wydziału Matematyi, Iformatyi i Mechaii Uiwersytetu Warszawsiego