Rozdział 1. Prawdopodobieństwo

Transkrypt

1 Wstęp Rachue prawdopodobieństwa (łac. probabilitis prawdopodoby) jest dziedzią matematyi, tóra współcześie zajduje szeroie zastosowaie zarówo w auce, ja i w pratyce. Jest dobrym arzędziem ostruowaia i opisu wielu modeli matematyczych dotyczących zagadień fizyi, medycyy, eoomii, socjologii, astroomii i iych. Z tych powodów rachue prawdopodobieństwa zajmuje ależe mu miejsce w programach auczaia wielu szół wyższych. Niiejsza siąża, adresowaa główie do studetów studiów licecjacich Wyższej Szoły Umiejętości, jest uoroowaiem przemyśleń i doświadczeń będących efetem wyładów i ćwiczeń z rachuu prawdopodobieństwa, prowadzoych a ieruach: iformatya, eoomia, socjologia. Przezaczoa jest taże dla wszystich zaiteresowaych rachuiem prawdopodobieństwa a poziomie licecjacim. Materiał zawarty w srypcie został podzieloy a dwa rozdziały. Rozdział pierwszy Prawdopodobieństwo zawiera defiicję asjomatyczą prawdopodobieństwa oraz podstawowe twierdzeia wyiające z tej asjomatyi. Rozdział drugi Zmiee losowe jedowymiarowe omawia pojęcie zmieej losowej oraz podstawowe rodzaje zmieych losowych i ich własości, a w szczególości charaterystyi liczbowe zmieej losowej. W części teoretyczej zrezygowao z dowodów twierdzeń, położoo acet a czytelość, zrozumiałość, i przystępość prowadzoych rozważań (duża liczba przyładów, zacza liczba rysuów będących iterpretacją geometryczą pojęć i własości). W realizacji materiału ograiczoo się do co ajwyżej przeliczalej przestrzei zdarzeń elemetarych. Zadaia umieszczoe w srypcie ależą do typowych, pozwalają a zastosowaie i ilustrację wiadomości teoretyczych. Jedocześie mogą być taże rozwiązywae samodzielie. Podae odpowiedzi i wsazówi pozwalają a otrolę poprawości rozwiązań i ułatwiają poszuiwaie drogi prowadzącej do ońcowego wyiu. W ońcowej części siążi zamieszczoo tablice iezbęde przy rozwiązywaiu zadań, dotyczących zmieych losowych o rozładzie Poissoa lub ormalym. Książa może staowić podstawę, pozwalającą a prowadzeie dalszych rozważań dotyczących zagadień zarówo rachuu prawdopodobieństwa, ja i statystyi matematyczej.

2 Mamy adzieję, że praca ta ułatwi studetom studiowaie przedmiotu, jaim jest rachue prawdopodobieństwa. Prosimy o przeazaie wszelich uwag a temat podręczia (poczta eletroicza: reata.wojtus@wsu.ielce.pl). Autorzy 6

3 Rozdział. Prawdopodobieństwo Podstawowymi pojęciami, omówioymi w tym rozdziale, są pojęcia: ombiatorya, zdarzeie losowe, zdarzeie elemetare, przestrzeń zdarzeń elemetarych, prawdopodobieństwo... Elemety ombiatoryi Elemety ombiatoryi wyorzystujemy przy obliczaiu prawdopodobieństw zdarzeń losowych, zwłaszcza w zastosowaiu defiicji lasyczej prawdopodobieństwa.... Pojęcie sili Symbol! ( silia) defiiujemy reurecyjie w sposób astępujący: 0!!! ( )!, N (..) Na podstawie (..) otrzymujemy:! ( )( )( )... (..) co ozacza, że! jest iloczyem olejych liczb aturalych od do włączie. Na przyład: 5! 4! ! 5! Symbol (współczyi) Newtoa ( ) Symbol Newtoa ( ) ( ad ) oreślamy w sposób astępujący:! () N, 0,,,..., (..)!! ( ) Newto Isaac (64-77) fizy i matematy agielsi, współtwórca rachuu różiczowego i całowego 7

4 Z oreśleia (..) wyia, że 0. ( 0 ), ( ) 0. ( ) ( ) 0. ( ) ( ) + ( + ) ( + ) Współczyii ( ) występują we wzorze dwumiaowym Newtoa: ( a b) ( ) a b 0 (..4) + (..5)... Permutacje bez powtórzeń Permutacją bez powtórzeń -elemetowego zbioru A { a a,..., }, o różych elemetach azywamy ażdy -wyrazowy ciąg, w tórym ażdy elemet zbioru A występuje doładie jede raz. Liczba P wszystich możliwych permutacji bez powtórzeń -elemetowego zbioru A wyosi: P! (..6) Przyład Ciągi: abc, acb, bac, bca, cab, cba są wszystimi permutacjami bez powtórzeń zbioru A { a, b, c}. Niech A { a a,..., }..4. Permutacje z powtórzeiami, a będzie zbiorem różych elemetów. Permutacją -elemetową z powtórzeiami, w tórej elemet a powtarza się razy, elemet a powtarza się razy... elemet a powtarza się razy, ( ), azywamy ażdy -wyrazowy ciąg, w tórym poszczególe elemety zbioru A powtarzają się podaą liczbę razy.,,..., Liczba P wszystich -wyrazowych permutacji z powtórzeiami jest rówa!,,..., P (..7)!!...! a 8

5 Przyład Ciągi: abb, bab, bba są wszystimi -elemetowymi permutacjami z powtórzeiami zbioru Z { a, b}, w tórych elemet a występuje jede raz, elemet b występuje dwa razy:! P,!!..5. Wariacje bez powtórzeń Każdy -wyrazowy ciąg różych elemetów z -elemetowego zbioru A { a, a,..., a } o różych elemetach azywamy -wyrazową wariacją bez powtórzeń ze zbioru A. Liczba W wszystich -wyrazowych wariacji bez powtórzeń -elemetowego zbioru A wyraża się wzorem:! W ( + )( + )...( ), N, (..8)! ( ) Przyład Jeżeli A { a, b, c},, to liczba wszystich dwuelemetowych wariacji bez! powtórzeń z tego zbioru wyosi W 6, ( )! Sposób tworzeia tych wariacji moża zilustrować przy pomocy grafu, zwaego drzewem, uazującego wyii dwurotego losowaia elemetów ze zbioru A (bez zwrotu) (rys. ). W a b c b c a c a b Rys.. W 6 Put W azywa się wierzchołiem drzewa (lub węzłem startowym grafu). Wariacje te tworzą ciągi: ab, ac, ba, bc, ca, cb. 9

6 Niech A { a a,..., }..6. Wariacje z powtórzeiami, a będzie zbiorem różych elemetów. Każdy -wyrazowy ciąg elemetów tego zbioru (elemety mogą się powtarzać) azywamy -wyrazową wariacją z powtórzeiami z -elemetowego zbioru A. Liczba W wszystich -wyrazowych wariacji z powtórzeiami z -elemetowego zbioru A wyraża się wzorem: W, N, N (..9) Przyład 4. Jeżeli A {,, } oraz to W 9, wariacje te tworzą ciągi:,,,,,,,, (rys. ). i, to W 8, wszystie -elemetowe wariacje z powtórzeiami tego zbioru tworzą ciągi: aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb (rys. ). Jeżeli A { a, b} W W a b a b a b a b a b a b a b Rys.. W 9 Rys.. W Kombiacje bez powtórzeń, a. Każdy -elemetowy podzbiór zbioru A azywamy -elemetową ombiacją bez powtórzeń -elemetowego zbioru A. Liczba C wszystich -elemetowych ombiacji bez powtórzeń -elemetowego zbioru A wyraża się wzorem:! C ()!!, N, (..0) Niech A będzie zbiorem różych elemetów, A { a a,..., } ( ), 0

7 Przyład 5. a,b,c A,, to C ( ), Jeżeli { } {,b}, { a,c}, { b,c}, a (rys. 4). ombiacje te tworzą zbiory: W a b c b c c a a b Rys. 4. C Pętlą ie objęto ombiacji: {b,a}, {c,a}, {c,b}, poieważ {a,b} {b,a}, {a,c} {c,a}, {b,c} {c,b} Warto zauważyć, że jeżeli zbiór E { e, e,...,e } jest zbiorem posiadającym elemetów, to liczba wszystich podzbiorów tego zbioru wyosi. Istotie ( + ) () 0 + () + () ( ) gdzie liczba ( ), 0,,,..., ozacza liczbę wszystich podzbiorów -elemetowych, utworzoych z elemetów zbioru E. Liczba ta jest rówa liczbie -elemetowych ombiacji (bez powtórzeń) utworzoych z elemetów zbioru E. Zad.... Oblicz: a) 5!! 0!! b) 6!8 8!9 c) Zadaia 4! Odp. a) 57, b), c) 77, 5 6 4!! 6! 4! 5!4! Zad.... Uprościć wyrażeia:! ( + ) ( )(! + )!! a), b), c), d) ( )!! ( )! ( )! Odp. a) ( ) ( +) b) ( ) ( + ) ( )!( + )! ( )(! + )!

8 c) ( + )( + )...( ) d) ( ) ( + )( + ) Zad.... Oblicz: 7 5 a) +, b) 5 7, c) 4 Odp. a) 45, b) 65 c) Zad...4. Korzystając ze wzoru dwumiaowego Newtoa, oblicz: a) ( x y), b) ( p + r) c) ( a b) 4 Odp. a) 4x 4xy + y b) p + 6 p r + pr + 8r 4 c) 6 a 96a b + 6a b 6ab + 8b Zad...5. Rozwiąż rówaia: ( )!! 5 a) ( )!( )! b) : + + 4!, N,, wyzacz Odp. a) 5, b), N, Zad...6. Asystet zbiera piseme prace z olowium 0 studetów staowiących grupę. Na ile sposobów może to uczyić? Odp. 0! Zad...7. Na ile sposobów moża ustawić obo siebie: a) 5, b) poumerowaych omputerów w pracowi omputerowej a: a) 5, b) ozaczoych staowisach? Odp. b)! Zad...8. W urie są 4 ule ozaczoe umerami:,,, 4. Wyciągamy olejo 4 ule i otujemy ich umery według olejości wylosowaia (tworząc tym samym liczby 4-cyfrowe). Ile różych liczb 4-cyfrowych moża otrzymać? Odp. 4!4

9 Zad studetów w olejości losowej wchodzi a egzami.. Na ile sposobów mogą to uczyić? Odp. 0! Zad...0. Na ile sposobów moża ustawić w ciąg liczby 0,,,...,9, ta aby: a) liczby, sąsiadowały ze sobą w podaej olejości, b) liczby, sąsiadowały ze sobą, c) liczby, ie sąsiadowały ze sobą, d) pomiędzy liczbami i (w podaej olejości) były dwie ie liczby. Odp. a) 9! 6880 b) 9! 75760, c) 0! 9! 90040, d) 8! Zad.... Ile jest słów długości 5 utworzoych z liter 0 i, w tórych 0 powtarza się razy, a powtarza się razy. Wypisz te słowa. 5! Odp. 0!! Zad.... W urie są trzy ule ozaczoe umerem, dwie ule ozaczoe umerem i jeda ula ozaczoa umerem. Wyciągamy olejo 6 ul i otujemy ich umery według olejości losowaia. Ile różych liczb sześciocyfrowych moża utworzyć w te sposób? 6! Odp. 60!!! Zad.... Ile różych słów (mających ses lub ie) moża utworzyć przestawiając litery w wyrazie STATYSTYKA? 0! Odp !!!!! Zad...4. Na ile sposobów moża ułożyć w rzędzie: jede orali biały, dwa oralii żółte, trzy oralii zieloe, cztery oralii iebiesie, pięć oraliów czerwoych? 5! Odp !!! 4! 5! Zad...5. Ile wyosi suma cyfr we wszystich przestawieiach dooaych a cyfrach:,,,,,? 6! Odp !!!

10 . Wypisz wszystie wariacje bez powtórzeń dwuelemetowe utworzoe z elemetów tego zbioru. Ile ich jest? Odp. 4 Zad...6. Niech Z { a, b, c, d} Zad...7. Na półce zajduje się 5 różych siąże z dziedziy iformatyi. Studet wybiera olejo w sposób losowy 5 siąże i ułada je a stosie. Ile taich stosów moża utworzyć? 5! Odp ! Zad...8. Ile liczb pięciocyfrowych o różych cyfrach moża utworzyć z cyfr 0,,,...,9? Odp Zad...9. Dae są loci z literami uładającymi się w słowo: PODRĘCZNIK. Zabawa polega a tworzeiu słów pięcioliterowych (z sesem lub bez). Ile taich słów moża utworzyć? 0! Odp ! Zad..0. Ile moża utworzyć liczb parzystych czterocyfrowych (zero ie występuje a pierwszym miejscu), jeżeli cyfry ie mogą się powtarzać? 9! 8! Odp ! 6! Zad.... Ile moża utworzyć liczb czterocyfrowych zaczyających się cyfrą podzielą przez, w tórych cyfry ie powtarzają się? 9! Odp. 5 6! Zad.... Ile wariacji dwuelemetowych z powtórzeiami moża utworzyć ze zbioru A {,,,4 }? Wypisz je. Odp. 4 6 Zad.... Ile liczb w systemie dwójowym moża utworzyć za pomocą cyfr 0 i, jeżeli ażda liczba posiada doładie miejsca ozaczoe 0 lub? Wypisz je. Uogólij to zadaie a przypade liczb posiadających miejsc. Odp. 8 uogólieie: 4

11 Zad...4. Ile liczb w systemie dwójowym moża zapisać za pomocą cyfr 0 i, jeżeli ażda liczba ie może posiadać więcej iż miejsc ozaczoych 0 lub? Ile liczb moża utworzyć, gdy 5 (te model występuje w alfabecie Morse`a). Odp. i S, S5 6 i Zad...5. Ile moża utworzyć liczb ieparzystych czterocyfrowych (zero ie występuje a pierwszym miejscu), jeżeli cyfry w daej liczbie mogą się powtarzać? Ile jest wszystich taich liczb czterocyfrowych? Odp , Zad...6. Na ile sposobów moża rozdzielić 4 róże agrody między trzech pracowiów, jeżeli jede pracowi może otrzymać więcej iż jedą agrodę? Odp. 4 8 Zad...7. Ile moża utworzyć liczb czterocyfrowych o powtarzających się cyfrach, jeżeli w rzędzie jedości i tysięcy jest ta sama cyfra? Odp Zad...8. Na ile sposobów moża wypełić upo totalizatora sportowego (upo zawiera przewidywae wyii (wygraa, remis, przegraa) dwuastu spotań ligowych meczy piłi ożej)? Odp. 544 Zad...9. Ile tablic rejestracyjych postaci: lllcccc (l litera, c cyfra) moża utworzyć, mając do dyspozycji 0 liter i 0 cyfr, jeżeli elemety tablic: a) mogą się powtarzać, b) ie mogą się powtarzać ! 0! Odp. a) b) ! 6! Zad...0. Ile moża utworzyć różych wyzacziów postaci elemetami wyzaczia są liczby dwucyfrowe, i jeśli elemety te: a) mogą się powtarzać, b) ie mogą się powtarzać? ! Odp. a) b) ! a c b d, jeżeli 5

12 Zad.... Na ile sposobów moża przydzielić 5 studetów do trzech grup ćwiczeiowych: I, II, III? Odp. 5 4 będzie zbiorem pięciu różych elemetów. Ile jest wszystich -elemetówych ombiacji bez powtórzeń z tego zbioru? Wypisz je. 5 Odp. 0 Zad.... Niech Z { a, b, c, d, e} Zad.... Na ile sposobów moża przydzielić 5 grup ćwiczeiowych trzem asystetom: I, II, III, jeżeli ajpierw I asystet wybiera grupy, potem II asystet wybiera grupy, a asystetowi III przypada pozostała grupa. 5 Odp. 0 Zad...4. Na ile sposobów spośród grupy osób: 6 studetów, 9 studete moża wybrać 5 osób, wśród tórych będą studeti? 9 6 Odp. 60 Zad...5. Na ile sposobów grającemu w brydża moża rozdać art, wśród tórych będzie: 8 piów, 5 ierów? Odp Zad...6. W urie są 4 ule białe: b, b, b, b4, i 6 ul czarych: c, c, c, c4, c5, c6. Na ile sposobów moża wylosować 5 ul, wśród tórych będą ule czare? 4 6 Odp. 0 Zad...7. Na ile sposobów grupę 0 siatarzy moża podzielić a dwie rówe grupy po 5 osób w te sposób, by dwóch ajlepszych siatarzy było: a) w tej samej grupie, b) w różych grupach. 6

13 8 8 Odp. a) 56, b) Zdarzeia losowe Rachue prawdopodobieństwa jest dziedzią matematyi zajmującą się odrywaiem i badaiem praw rządzących zdarzeiami losowymi. Jest teorią asjomatyczą, w tórej pojęcia pierwote: zdarzeie elemetare (ozaczae symbolem e, ω) i przestrzeń zdarzeń elemetarych (ozaczoa symbolem E, Ω ) związae są z daym doświadczeiem losowym D. Doświadczeie losowe to doświadczeie rzeczywiste bądź ficyje (wymyśloe) wraz z góry oreśloym zbiorem wyiów. Poszczególe wyii tego doświadczeia tratujemy jao zdarzeie elemetare, zbiór wszystich zdarzeń elemetarych przyjmujemy jao zbiór zdarzeń elemetarych (przestrzeń zdarzeń elemetarych) (rys. 5). Doświadczeie losowe (D) zdarzeie elemetare (e) przestrzeń zdarzeń elemetarych (E) Rys. 5 Przestrzeń zdarzeń elemetarych możemy oreślić w róży sposób, p.: ) przez wypisaie wszystich zdarzeń elemetarych, ) przez podaie waruu, tóry spełiają wszystie elemety przestrzei E, ) za pomocą tzw. drzewa. Przyład 6 Rozważmy doświadczeie losowe D, polegające a jedorotym rzucie ostą sześcieą i obserwacji liczby ocze, tóre wypadły a górej ściace. Zdarzeia elemetare to:,,,4,5,6, jest ich 6. Przestrzeń zdarzeń elemetarych to zbiór E,,,4,5,6, tóry za pomocą drzewa moża przedstawić astępująco (rys. 6): { } W E Rys. 6 7

14 Drzewo to słada się z wierzchoła W i gałęzi, a ońcach tórych wiszą zdarzeia elemetare. Przestrzeń zdarzeń elemetarych E może być zbiorem: ) co ajwyżej przeliczalym tz. zbiorem sończoym albo iesończoym, ale przeliczalym, ) iesończoym i ieprzeliczalym. W dalszych rozważaiach załadamy, że przestrzeń E jest zbiorem co ajwyżej przeliczalym. Pozwala to oreślić pojęcie zdarzeia losowego w sposób astępujący: Defiicja.. Dowoly podzbiór przestrzei zdarzeń elemetarych E azywamy zdarzeiem losowym. Uwaga: Zauważmy, że z ażdym doświadczeiem losowym związaa jest tylo jeda przestrzeń zdarzeń elemetarych, oraz że ta sama przestrzeń zdarzeń elemetarych może opisywać jedo lub więcej doświadczeń losowych. Z defiicji (..) wyia, że jeżeli przestrzeń zdarzeń elemetarych E jest -elemetowa, to liczba wszystich zdarzeń losowych oreśloych w tej przestrzei wyosi. Przyład 7 Niech D ozacza doświadczeie losowe polegające a jedorotym rzucie moetą symetryczą i obserwacji wyiu górej stroy moety. Wówczas E { O, R}, czyli, a liczba wszystich zdarzeń losowych związaych z tą przestrzeią wyosi, czyli 4, istotie, podzbiorami (zdarzeiami losowymi) zbioru E są:, { O}, { R}, { O,R}. Zbiór tych zdarzeń losowych możemy ozaczyć symbolem Z i przedstawić astępująco: Z {, { O},{ R},{ O,R }. Z ozacza tzw. rodzię zdarzeń losowych. Defiicja.. Zbiór wszystich zdarzeń losowych związaych z przestrzeią zdarzeń elemetarych E azywamy rodzią (lasą) zdarzeń losowych i ozaczamy symbolem Z (rys. 7). Doświadczeie losowe zdarzeie elemetare przestrzeń zdarzeń elemetarych zdarzeie losowe rodzia zdarzeń losowych Rys. 7 8

15 Zdarzeia losowe będziemy ozaczali dużymi, początowymi literami alfabetu, p. A, B, C, D,..., a ich elemety małymi literami, p. a, b, c, d,... Przy tej umowie rysue 7 moża przedstawić astępująco (rys. 8): Ja widać a podstawie tego schematu termiy: doświadczeie losowe i zdarzeie losowe mają odmiee zaczeie. Soro zdarzeie losowe jest zbiorem, to moża mówić o działaiach a zdarzeiach i prawach imi rządzących aalogiczie ja w przypadu działań a zbiorach i prawach rachuów zbiorów (pozaych w szole średiej). Zgodie z defiicją.. zdarzeiem losowym są: przestrzeń zdarzeń elemetarych, zbiór pusty. Zdarzeiem pewym E azywamy całą przestrzeń zdarzeń elemetarych E. Zdarzeiem iemożliwym azywamy zbiór pusty. Koiucją (iloczyem) zdarzeń A, B azywamy zdarzeie A B, sładające się ze zdarzeń elemetarych e, tóre ależą jedocześie do A i B. A B { e E : e A e B} Alteratywą (sumą) zdarzeń A, B azywamy zdarzeie A B, sładające się ze zdarzeń elemetarych e, tóre ależą co ajmiej do jedego ze zdarzeń A, B. A B { e E : e A e B} Różicą zdarzeń A, B azywamy zdarzeie A-B, sładające się z tych zdarzeń elemetarych e, tóre ależą do zdarzeia A i ie ależą do zdarzeia B. A B { e E : e A e B} ' Zdarzeiem przeciwym do zdarzeia A azywamy zdarzeie A będące różicą zdarzeń E i A, czyli: A E A { e E : e E e A}. Mówimy, że zdarzeie A zawiera się w zdarzeiu B (lub, że zdarzeie A pociąga zdarzeie B), co zapisujemy symbolem A B, jeśli ażde zdarzeie elemetare e ależące do zdarzeia A ależy rówież do zdarzeia B. A B e A e B ( ) ( ) e E Mówimy, że zdarzeia A i B są rówe, co zapisujemy symbolem AB, jeśli A B i B A [ A B B A] e A e B A B e D e E A Z E Rys. 8 9

16 Mówimy, że zdarzeia A i B wyluczają się (lub są rozłącze), jeżeli ie mają wspólych zdarzeń elemetarych, tj. gdy ich oiucja A B jest zdarzeiem iemożliwym, czyli A B. Mówimy, że zdarzeia A,A,..., A wyluczają się parami wtedy i tylo wtedy, gdy ażde dwa spośród ich są rozłącze, co ozacza, że Ai Aj, i, j,,...,, i j. Działaia a zdarzeiach mają prostą iterpretację geometryczą. Przestrzeń E zdarzeń elemetarych iterpretujemy jao prostoąt a płaszczyźie, puty tego prostoąta jao zdarzeia elemetare, wówczas mamy (rys. 9). A E B A B E A B E A A E B A E a) A B b) A B c) A B d) A' E A e) A B Rys. 9. Iterpretacja geometrycza działań a zdarzeiach Wśród wielu praw rachuu zdarzeń odotujemy astępujące: Przemieość oiucji zdarzeń: A B B A Przemieość alteratywy zdarzeń: A B B A Łączość oiucji zdarzeń: A ( B C) ( A B) C Łączość alteratywy zdarzeń: A ( B C) ( A B) C Rozdzielość oiucji zdarzeń względem alteratywy zdarzeń: A ( B C) ( A B) ( A C) Rozdzielość alteratywy zdarzeń względem oiucji zdarzeń: A ( B C) ( A B) ( A C) ( ) A B A B Prawa de Morgaa: ( A B) A B Prawa te mają swoje aalogie w rachuu zbiorów i prostą iterpretację geometryczą (podobie ja a rys. 9). 0

17 Zadaia Zad.... Doświadczeie losowe D ozacza trzyroty rzut moetą: a) oreśl przestrzeń zdarzeń elemetarych E, podaj liczebość zbioru E, b) opisz przebieg doświadczeia D przy pomocy drzewa, c) wyraź za pomocą zdarzeń elemetarych astępujące zdarzeia losowe, podaj ilość zdarzeń elemetarych sprzyjających tym zdarzeiom: A wypadły same orły, B wypadły same orły lub same reszi, C ai razu ie wypadł orzeł, D przyajmiej raz wypadł orzeł, F wypadło miej orłów iż resze, G w drugim rzucie wypadł orzeł. Odp. a) E {( O,O,O)(, O,O,R)(, O,R,O)(, R,O,O),( O,R,R),( R,O,R),( R,R,O)(, R,R,R) }, (E)8 c) A {( O,O,O) }, (A) B {( O,O,O ), ( R,R,R) }, ( B) C {( R,R,R) }, ( C) D E C {( O,O,O)(, O,O,R)(, O,R,O),( R,O,O),( O,R,R),( R,O,R)(, R,R,O) }, (D)7 F {( O,R,R)(, R,O,R)(, R,R,O )(, R,R,R) }, (F)4 G O,O,O, O,O,R, R,O,O, R,O,R, (G)4 {( )( )( )( )} Zad.... Iformaty obsługuje trzy omputery K, K, K w daym przedziale czasu. W tym czasie ażdy z omputerów jest sprawy albo wymaga iterwecji iformatya. Niech A j, j,,, ozacza zdarzeie: omputer K j wymaga iterwecji iformatya. a) oreślić przestrzeń zdarzeń elemetarych, podać liczebość zbioru E, b) opisać przebieg tego doświadczeia za pomocą drzewa, c) za pomocą działań (,,, - ) wyoaych a zdarzeiach A j, opisać astępujące zdarzeia: B zajście wszystich trzech zdarzeń A, A, A, B iezajście żadego ze zdarzeń A, A, A, B zajście tylo zdarzeia A, B 4 zajście tylo jedego spośród zdarzeń A, A, A, B 5 zajście co ajmiej jedego ze zdarzeń A, A, A, B 6 zajście tylo zdarzeń A, A,

18 B 7 zajście doładie dwóch zdarzeń spośród A, A, A, B 8 zajście co ajmiej dwóch zdarzeń spośród zdarzeń A, A, A, B 9 zajście co ajwyżej jedego zdarzeia spośród zdarzeń K, K, K, d) opisać oreśloe wyżej zdarzeia B j, j,,..., 9 za pomocą zdarzeń elemetarych. Odp. a) 0, gdy ty omputer ie wymaga iterwecji E e : e ( x,x,x ), x,,,, gdy ty omputer wymaga iterwecji ( E ) 8 c) A A A, B A ' A ' A ', B A ' A A ' B B B 4 ( A A' A ' ) ( A ' A A ' ) ( A ' A' A ) 5 A A A, B 6 A ' A A, B7 ( A A A ' ) ( A A' A ) ( A ' A A ) B8 ( A A A ) ( A A A ' ) ( A A' A ) ( A ' A A ) B9 ( A ' A' A ' ) ( A A' A ' ) ( A ' A A ) ( A ' A' A ) d) B {(,, )}, B {( 0,0,0 )}, B {( 0,,0 )}, B4 {(,0,0 ),( 0,,0 )(, 0,0, )} B 5 {(,, )(,,,0 )(,,0, )(, 0,, )(,,0,0 ),( 0,,0 ),( 0,0, )} B6 {( 0,, )}, B7 {(,,0 )(,,0, ),( 0,, )}, B8 {(,, ),(,,0 ),(,0, )(, 0,, )} B 9 {( 0,0,0 )(,,0,0 )(, 0,,0 )(, 0,0, )} Zad.... Doświadczeie losowe D polega a rzucaiu moetą do mometu pojawieia się po raz pierwszy orła. a) opisz przebieg doświadczeia D za pomocą drzewa, b) oreśl przestrzeń zdarzeń elemetarych E i podaj liczebość tego zbioru, c) przy pomocy zdarzeń elemetarych opisz astępujące zdarzeia losowe, podaj liczbę zdarzeń elemetarych sprzyjających tym zdarzeiom: A wypadły same orły, B orzeł wypadł przy trzecim rzucie, C orzeł wypadł ie wcześiej, iż przy trzecim rzucie, D doświadczeie zaończy się po parzystej liczbie rzutów, F doświadczeie zaończy się po ieparzystej liczbie rzutów, jeda ie wcześiej iż przy piątym rzucie, G doświadczeie zaończy się ajpóźiej w drugim rzucie; d) wsaż zależości między podaymi zdarzeiami losowymi.

19 Odp. b) E {( O )(, R,O )(, R,R,O )(, R,R,R,O ),( R,R,R,R,O ),...}, E zawiera iesończoą, ale przeliczalą ilość zdarzeń elemetarych; c) A {( O) }, B {( R,R,O) }, C {( R,R,O ),( R,R,R,O ),( R,R,R,R,O )...} iesończeie wiele zdarzeń elemetarych D {( R,O )(, R,R,R,O ),( R,R,R,R,R,O) } iesończeie wiele zdarzeń elemetarych F {( R,R,R,R,O )(, R,R,R,R,R,R,O)...} iesończeie wiele zdarzeń elemetarych G {( O )(, R,O) }; d) A G, A B, D F, G F, A G A. Zad...4. Rysue przedstawia schemat fragmetu sieci eletryczej: K K K K 4 Niech K i, i,,, 4 ozacza zdarzeie: elemet K i jest sprawy w czasie t. Za pomocą działań a zdarzeiach K, K, K, K4 opisz zdarzeia: A w czasie t przepływ prądu ie zostaie przerway, B w czasie t przepływ prądu zostaie przerway. K K K K, B K ' K ' K ' K ' Odp. [( ) ] [( ) ] A 4 4 Zad...5. Rzucamy jede raz ostą do gry taą, że dwie ściai są ozaczoe jedym ocziem, dwie ściai mają dwa ocza, dwie ściai mają trzy ocza: a) oreśl przestrzeń zdarzeń elemetarych E, podaj liczebość tego zbioru, b) oreśl, ile zdarzeń losowych moża oreślić a przestrzei E, c) wypisz te zdarzeia losowe. E,,, b) 8, c),,,,,,,,,,e Odp. a) { } { { } { } { } { } { } { } } Zad...6. Rzucamy jede raz ostą do gry. Ozaczmy zdarzeia: A wypadła parzysta liczba ocze B wypadła ieparzysta liczba ocze C wypadła ieparzysta liczba ocze miejsza od D wypadła liczba ocze iemiejsza iż 4 F wypadła szósta G wypadła liczba ocze miejsza od 6 a) oreśl przestrzeń zdarzeń elemetarych E, b) wsaż pary zdarzeń wyluczających się,

20 4 c) wsaż pary zdarzeń, z tórych jedo jest zawarte w drugim, d) wsaż pary zdarzeń rówych, e) wsaż pary zdarzeń przeciwych. E,,,4,5,6, b) A B, A C, B F o o c) F A, F D, B G, C B, e) ) F,G, ) A, B Odp. a) { } Zad...7. Niech ( x, y) C ( x, y) R, y x { R, x + y }, B {( x, y) R, x + 4} A y, { }. Zajdź zbiory: a) A B, A B C, b) A C, A B C c) A B, B A, A C, C A Zad...8. Wyzacz zdarzeie X, jeśli ( X A) ( X A ) B. Odp. X B Zad...9. Wiemy, że A B. Uzupełij zapis: a) A B..., b) A B..., c) A B..., d) A B C... Odp. a) A B B, b) A B A, c) A B, d) A B C A C Zad...0. Zapisz zdarzeie E w prostszej postaci, jeśli: a) E ( A B) ( A B), b) E ( A B) C ( B C) A ( C A) B c) E ( A B) ( B C), gdy A B C. Odp. a) E B, b) E ( A B) ( A C) ( B C), c) E B Zad.... Losujemy jedą artę z talii 5 art. Ozaczmy zdarzeia: A wylosowao pia, B wylosowao damę. Co ozaczają zdarzeia: A B, A B, A, B, A B, B A, A B, A B ( ) ( ). Zad.... Rzucamy jede raz parą oste do gry: a) oreśl przestrzeń zdarzeń elemetarych E, b) podaj przyład pary zdarzeń: b ) rozłączych, b ) przeciwych, b ) z tórych jedo jest zawarte w drugim, b 4 ) rówych, c) ile zdarzeń losowych moża oreślić a przestrzei E?

21 b Odp. a) E { e : e ( x, y), x, y {,,,4,5,6 } b ) A {(,)(,,)(,, )}, B {(,4 ),(,5 ),(,6 )}, A B ) C { e : e E, x + y 0}, D { e : e E, x + y 0}, D E C b ) G {(, )(,,)(,,) }, H {(, ),(,),(,),( 4,4 ),( 5,5 ),( 6,6 )}, G H K {(, )(,,)(,,)(, 4,4 )(, 5,5),( 6,6 )}, L { e : e E, x y 0}, K L ) b c) Asjomatycza defiicja prawdopodobieństwa Asjomatyczą defiicję prawdopodobieństwa sformułował w rou 9 A.N. Kołmogorow. Defiicja.. Niech E będzie przestrzeią zdarzeń elemetarych doświadczeia losowego D, Z - rodzią zdarzeń losowych. Prawdopodobieństwem azywamy fucję P przyporządowującą ażdemu zdarzeiu A Z liczbę P ( A) zgodie z astępującymi asjomatami: A. P( A) 0, dla dowolego zdarzeia A Z, A. P ( Ω) - asjomat uormowaia, A. Jeżeli A,A,..., A,... jest ciągiem parami rozłączych zdarzeń ze zbioru Z, to P( A A... A...) P( A ) + P( A ) P( A ) +..., A Z, i,,,...,,... i - asjomat przeliczalej addytywości. P, ozaczającą wartość fucji P dla daego zdarzeia A Z, azywamy prawdopodobieństwem zdarzeia A. Defiicja ta ie pozwala a bezpośredie obliczaie prawdopodobieństw zdarzeń losowych. W pratyce będziemy wyorzystywali twierdzeia wyiające z powyższego oreśleia prawdopodobieństwa. Liczbę ( A) Kołmogorow A.N. (90-987) matematy rosyjsi, autor wielu prac z teorii prawdopodobieństwa, teorii fucji rzeczywistych, logii matematyczej. 5

22 .4. Podstawowe własości prawdopodobieństwa Własości te wyiają z defiicji asjomatyczej prawdopodobieństwa oraz własości działań a zdarzeiach i w postaci symboliczej moża ująć je astępująco (załadamy, że występujące tu zdarzeia ależą do rodziy zdarzeń losowych Z): W. P ( ) 0 W. P( A), dla dowolego zdarzeia A Z W. Jeżeli A B to P( A) P( B) - mootoiczość prawdopodobieństwa W4. Jeżeli A B to P( B A) P( B) P( A) W5. P( A B) P( A) + P( B) P( A B), dla dowolych zdarzeń A,B Z W6. Jeżeli zdarzeia A, A,..., A są rozłącze parami, to P ( A A... A ) P( A ) + P( A ) P( A ) W7. P ( A) + P( A ) W8. (Klasycza defiicja prawdopodobieństwa Laplace a) Jeżeli: a) przestrzeń E słada się z zdarzeń elemetarych, czyli E { e, e,..., e } b) zdarzeia elemetare mają to samo prawdopodobieństwo, czyli P( { e }) P( { e} )... P( { e} ) A e e.,,, e, sładającego się, to prawdopodobieństwo dowolego zdarzeia { i i } z zdarzeń elemetarych, jest oreśloe rówością liczba zdarzeń elemetarych sprzyjających zdarzeiu A ( ) ( A) P A liczba wszystich zdarzeń elemetarych przestrzei E ( E) Własość ta, zwaa ze względów historyczych defiicją, jest dość często wyorzystywaa w rozwiązywaiu zadań. Przestrzeń E spełiającą warue a oraz b, azywamy lasyczą, a samo prawdopodobieństwo prawdopodobieństwem lasyczym. Przestrzeń zdarzeń elemetarych E wiąże się ściśle z pojęciem przestrzei probabilistyczej, tórą staowi uporządowaa trója (E, Z, P), będąca matematyczym modelem doświadczeia losowego D. Uwaga. Dla uproszczeia będziemy stosowali zapis P ( A) zamiast poprawego P A (pamiętając, że A jest zdarzeiem, czyli zbiorem). formalie ({ }) i 6

23 Zadaia Zad..4.. Uporząduj rosąco astępujące liczby: P ( A B C), P( ), P( A), P( A B), P( A B), P( Ω), jeżeli A, B, C są zdarzeiami oreśloymi a tej samej przestrzei zdarzeń elemetarych E. Odp. P( ), P( A B), P( A ), P( A B), P( A B C), P( Ω), Zad..4.. Rzucamy jede raz parą różoolorowych oste do gry. Ozaczmy zdarzeia: A suma ocze jest podziela przez, B suma ocze jest podziela przez, C suma ocze jest więsza od. Oblicz: P A, P B, P C, P A B, P A B, P A B, P A B Odp. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), P( C ). P( A ), [ A B )'] P ( P( B ) 5 6,, P(C)' P( C ) 6 5 6, P( A B ), P( A B ) 6, [ A B )'] P (, Zad..4.. W hurtowi jest 00 omputerów, wśród tórych 5 jest wadliwych. Odbiorca poddaje otroli 50 omputerów. Waruiem zaupu całej partii towaru jest, by wśród otrolowaych omputerów były co ajwyżej dwa wadliwe. Oblicz prawdopodobieństwo zaupu omputerów ( 50 ) + ( 49 )( ) + ( 48 )( ) Odp.: 00 ( ) 50 Zad Z partii N sztu towaru, wśród tórych M sztu jest zgodych z ormą, losujemy sztu: a) bez zwrotu, b) ze zwrotem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród ich zajdzie się sztu zgodych z ormą. ( M )( N M ) Odp.: a) N ( ), b) ( ) M N Zad Z cyfr 0,,,,...,9 uładamy wszystie możliwe liczby trzycyfrowe o różych cyfrach. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybraa jeda z tych liczb ma dwie cyfry parzyste i jedą ieparzystą. M N 7

24 60 Odp.: 0, 4 9! 9 7! Zad Ile oste do gry ależy rzucić, aby moża było oczeiwać z prawdopodobieństwem miejszym iż 0,, że a żadej ostce ie wypadie jedo oczo? Odp.: 5 < 0, 7 6 Zad W urie zajduje się 5 ul poumerowaych od do 5. Kolejo wyciągamy losowo ule (bez zwrotu). Zaleźć prawdopodobieństwo, że a) olejo pojawią się ule o umerach,,5 b) wylosowae ule będą miały umery,,5 (iezależie od olejości losowaia)!!! Odp.: a) b) 5! 60 5! 0 Zad Prawdopodobieństwo co ajmiej jedego trafieia do celu przy czterech strzałach jest rówe 0,9984. Zaleźć prawdopodobieństwo trafieia do celu przy jedym wystrzale. 4 Odp.: ( p) 0,9984, p 0, 8 Zad Z ury zawierającej ule ozaczoe cyframi,,...,9 losujemy bez zwracaia trzy ule. Oblicz prawdopodobieństwo, że a) suma, b) iloczy wylosowaych cyfr jest liczbą parzystą Odp.: a) 0, 5 b) 0, Zad Losowo ustawiamy w ciąg cyfry 0,,,...,9. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) i będą obo siebie i w tej olejości, b) i będą obo siebie, c) pomiędzy i będą stały dwie ie cyfry. 9 8! 9 8! Odp.: a), b), c) 0! 0 0! 0 7 8! 0!

25 Zad..4.. a) Zaleźć P ( A), jeżeli P ( A B) 0, 7 i P ( A B ) 0, 8 b) Zaleźć P ( A B ), jeżeli P ( A) a, P( B) b, P( A B) c Odp.: a) P ( A) 0, 7 + 0,8 0, 9 b) P( A B ) P( A B) c Zad..4.. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowaia główej agrody w totolota, jeżeli wypełimy tylo jede upo. 8 Odp.: Zad..4.. Z ury, w tórej zajduje się 0 ul czarych i ule białe losujemy olejo ul. Zaleźć ajmiejszą liczbę losowań taą, że prawdopodobieństwo wylosowaia chociaż raz białej uli jest więsze od 0,5, załadając, że losowaie uli odbywa się: a) ze zwrotem, b) bez zwrotu. Odp.: a) 0 0 < 0,5, 8 b) < 0,5, 7 Zad Z talii 5 art losujemy bez zwrotu arty. Jaie jest prawdopodobieństwo, że a) wszystie będą różych olorów, b) wszystie będą tego samego oloru, c) wśród ich będą pii i ier, d) wśród ich będzie ról i damy. 4 4 Odp.: a) 0, 4 b) 0, c) 0, d) 0,

26 Zad Rzucamy trzema symetryczymi moetami. Jaie jest prawdopodobieństwo, że wypadą: a) doładie dwa orły, b) co ajmiej dwa orły, c) przyajmiej jeda resza. Odp.: a) 0, 75 b) 4 0, 5 7 c) 0, Prawdopodobieństwo waruowe i iezależość zdarzeń Niech A, B będą zdarzeiami losowymi. Defiicja.5.. Prawdopodobieństwem waruowym zdarzeia A pod waruiem P A B oreśloą wzorem zdarzeia B azywamy liczbę ( ) P ( A B) P ( A B) P( B) ( B) > 0, A,B Z, P (.5.) Bezpośredio z tego wzoru otrzymujemy, że P ( A B) P( B) P( A B) P( B) > 0 lub P ( A B) P( A) P( B A) P( A) > 0, (.5.), (.5.) Jest to wzór a prawdopodobieństwo iloczyu dwóch zdarzeń A oraz B. Wzór te łatwo uogólić, stąd ( A B C) P( A) P( B A) P( C A B), gdy P( A B) 0 (.5.4) ( A A A...A ) P( A ) P( A A ) P( A A A )...P( A A A... A ), gdy P > P P ( A A... A ) 0,,,...,- (.5.5) > Prawdopodobieństwo waruowe spełia asjomaty A-A defiicji Kołmogorowa. Wyia stąd, że ie chodzi tu o owy rodzaj prawdopodobieństwa. P A B oreśla prawdopodobieństwo zdarzeia A, mającego ią wartość iż ( ) ( A) P pod wpływem iformacji o zdarzeiu B, (ie ma pojęcia zdarzeia waruowego). Z pojęciem prawdopodobieństwa waruowego wiąże się pojęcie iezależości zdarzeń, iezwyle waże w teorii prawdopodobieństwa. 0

27 Defiicja.5. Mówimy, że zdarzeia A, B Z są iezależe, gdy P A B P A P B (.5.6) ( ) ( ) ( ) Uwzględiając zależości (.5.), (.5.) oraz (.5.6) otrzymujemy, że ażda z rówości P A B P A, gdy P B > (.5.7) ( ) ( ) ( ) 0 ( B A) P( B), P( A) 0 P gdy > (.5.8) staowi warue oieczy i wystarczający iezależości zdarzeń A i B. Niezależość dwóch zdarzeń wyorzystujemy w oreślaiu iezależości parami zdarzeń. Defiicja.5. Mówimy, że zdarzeia A, A,..., A są iezależe parami, gdy dowole dwa róże zdarzeia A, A spośród ich są iezależe, czyli P ( A A ) P( A ) P( A ), i j, i, j, i j i j... i j (.5.9) Uogólieiem iezależości dwóch zdarzeń jest pojęcie iezależości zdarzeń. Defiicja.5.4 Mówimy, że zdarzeia, A,..., A A są iezależe (wzajemie iezależe, iezależe zespołowo), gdy prawdopodobieństwo łączego zajścia dowolych,, różych zdarzeń spośród ich jest rówe iloczyowi prawdopodobieństw tych zdarzeń, czyli P ( Ai Ai... Ai ) P( A ) ( ) ( ) i P Ai... P A i (.5.0) dla ażdego i ażdego -wyrazowego ciągu i, i,..., i wsaźiów spełiających warue i < i <... < i. W pratyce ozacza to, że badając iezależość zdarzeń ależy sprawdzić masymalie ( ) + ( ) + ( 4 ) ( ) + ( ) rówości postaci (.5.0). Oczywiście, zdarzeia wzajemie iezależe są iezależe parami, twierdzeie odwrote jest fałszywe. Przyład 8 Rozważmy jedoroty rzut ostą do gry. Ozaczmy zdarzeia: A wypadła parzysta liczba ocze,

28 B wypadła ieparzysta liczba ocze, C wypadła liczba ocze więsza iż. Zbadać iezależość parami i zespołową zdarzeń A, B, C. Rozwiązaie. Z oreśleia doświadczeia losowego wyia, że: Ω,,,4,5,6 { } {,4,6 }, P( A) A 6 B {,,5 }, P( B) 6 C { 4,5,6 }, P( C) 6 Wówczas: A B, P( A B) 0 A C { 4,6 }, P( A C) 6 B C {} 5, P( B C) 6 Otrzymujemy więc:. P( A B) 0 P( A) P( B). P( A C) P( A) P( C). P( B C) P( B) P( C) 6 co ozacza, że zdarzeia A, B, C są zależe parami i zależe zespołowo, ie ma potrzeby sprawdzaia czwartej zależości: P ( A B C) P( A) P( B) P( C) Zauważmy, że liczbę odpowiedich rówości otrzymujemy z zależości ( ) ( ) Zadaia Zad..5.. Rzucoo dwiema symetryczymi ostami do gry. Wiadomo, że suma ocze jest rówa 6 (zdarzeie A). Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczy wyrzucoych ocze jest więszy od 5 (zdarzeie B). Zbadaj iezależość zdarzeń A oraz B.

29 P, A, B zdarzeia zależe. 5 Odp.: ( B A) Zad..5.. Doświadczeie losowe polega a dwurotym rzucie ostą do gry. Rozważmy zdarzeie losowe: A w pierwszym rzucie wypadło, lub 4 ocza, B w drugim rzucie wypadło 4, 5 lub 6 ocze, C suma ocze w obu rzutach wyosi 9. Zbadaj iezależość parami i zespołowo zdarzeń A, B, C. Odp.: Są zależe parami i zależe zespołowo. Zad..5.. Rzucoo trzy ości do gry. Jaie jest prawdopodobieństwo tego, że a wybraej ości wypadie jedo oczo, jeżeli wiadomo, że a żadej z ości ie wypadie ta sama liczba ocze? W5 Odp.: W 6 6 Zad Z talii art wyjęto losowo jeda artę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowaia asa, jeżeli wiadomo, że wylosowaa arta jest piiem. Odp.: 8 Zad Z talii art losujemy jedą. Ozaczmy zdarzeia: A - wylosowao róla, B - wylosowao artę oloru czarego (pi lub trefl), C wylosowao figurę (walet, dama, ról). Zbadaj iezależość parami i zespołowo zdarzeń A, B, C. Odp.: Zdarzeia zależe parami i zespołowo. Zad Ura zawiera: a) 6 ul białych i 4 ule czare, b) b ul białych i c ul czarych. Losujemy z ury dwa razy bez zwrotu wylosowaej uli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowaia za drugim razem uli białej, jeżeli wiadomo, że za pierwszym razem wylosowao ulę czarą. b c c b + b Odp.: b) b + c c( b + c ) b + c

30 Zad W urie są cztery jedaowe ule ozaczoe umerami:,,,. Niech A i ( i,, ) ozacza zdarzeie polegające a tym, że wylosowaa ula ma umer zawierający a i-tym miejscu. Zbadaj iezależość parami i zespołowo zdarzeń A, A, A. Odp.: Niezależe parami, zależe zespołowo. Zad Rzucamy razy moetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że przy trzecim rzucie otrzymao reszę, jeśli wiadomo, że wyrzucoo co ajmiej dwa orły. Odp.: 0,5 losujemy jedą liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymaia liczby ieparzystej, jeśli wiadomo, że otrzymao liczbę więszą od 5. Odp.: 0,5 Zad Ze zbioru {,,,...,5} Zad W magazyie są wyroby dobre i wadliwe pochodzące z dwu różych fabry. Niech D ozacza zdarzeie: wylosoway wyrób jest dobry, F i, i, - ozacza zdarzeie: wylosowao wyrób pochodzący z i-tej fabryi, i,. Liczby wyrobów odpowiadające poszczególym zdarzeiom przedstawia tabela: D D Razem F a b a + b F c d c + d Razem a + c b + d a + b + c + d a) Oblicz: P D, P D, P F P ( ) ( ) ( ), P( F ), P( F D ), P( D F ), P( D F ), P( D F ) ( D F ), P( D F ), P( D F ), P( D F ) b) Zbadaj iezależość zdarzeń: ( D ) oraz ( ) i F D i F. a + c b + d a + b c + d a b c d a Odp.: a),,,,,,,, a + b, b a + b, c c + d, d c + d b) zdarzeia zależe, 4

31 Zad..5.. Dae dla 00 firm dotyczące czasu trwaia firmy i ich retowości są astępujące: Czas trwaia firmy Retowość poiżej powyżej 5-5 lat lat lat ta ie Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybraa firma: a) jest retowa, b) jest retowa, jeśli czas jej trwaia wyosi -5 lat, c) jest retowa, jeśli czas jej trwaia ie przeracza 5 lat, d) pracuje od -5 lat jeśli wiadomo, że jest retowa, e) pracuje powyżej 5 lat jeśli wiadomo, że ie jest retowa. 5 4 Odp.: a) 0,65, b), c), d), e) 7 Zad..5.. W pewym przedsiębiorstwie 95% wyrobów jest dobrych. Na 00 dobrych wyrobów 80 jest pierwszego gatuu. Zaleźć prawdopodobieństwo, że wylosoway wyrób tego przedsiębiorstwa jest gatuu I. Odp.: 0,96 0,80 0, 76 Zad..5.. Wyaż, że jeśli P ( A B) P( A B ), to zdarzeia A i B są iezależe. Zad Wyaż, że jeśli zdarzeia A i B są iezależe, to iezależe są taże astępujące pary zdarzeń: ) A i B ) A i B ) A i B Zad Z cyfr,,,4 tworzymy liczby czterocyfrowe. Niech A ozacza zdarzeie: cyfra poprzedza (tz. występuje wcześiej iż ) oraz B ozacza zdarzeie: poprzedza 4. Zbadaj iezależość zdarzeń A i B. 6 Odp.: Są iezależe. P ( A) P( B), P( A B) 4! 4! 4 Zad Z talii art losujemy 5 art. Niech: A zdarzeie polegające a wylosowaiu róli, B zdarzeie polegające a wylosowaiu co ajmiej róla, C - zdarzeie polegające a wylosowaiu róla czarego, D zdarzeie polegające a wylosowaiu róla pi. P A B, P AC, P A D. Zaleźć ( ) ( ) ( ) 5

32 P ( AC) 0, P ( A D) 0, 06 4 Odp.: P ( A B) 0, Twierdzeie o prawdopodobieństwie zupełym Twierdzeie Bayesa Z pojęciem prawdopodobieństwa waruowego wiążą się ściśle dwa iżej podae twierdzeia. Twierdzeie o prawdopodobieństwie zupełym (całowitym) Niech zdarzeia A, A,..., A staowią uład zupeły zdarzeń, tz.: o Ai Aj, i j, i, j,,..., o A A... A E (zdarzeia wyluczają się parami) (ich suma jest zdarzeiem pewym) oraz P( A i ) > 0, i,,...,. Jeżeli B jest dowolym zdarzeiem, ( B Z ), to: ( B) P( A ) P( B A ) P( A ) P( B A ) +... P( A ) P( B A ) (.6.) P + (.6.) Z podaych założeń wyia, że A, A,..., A są jedyymi, wyluczającymi się zdarzeiami, wywołującymi zajście zdarzeia B. Bayes T. (70-76) agielsi matematy, pastor. 6

33 Twierdzeie Bayesa Niech zdarzeia A,...,, A A staowią uład zupeły zdarzeń (zob..6.) oraz B jest dowolym zdarzeiem ( B Z ) P ( B) > 0. Wówczas: P ( A B) P( Ai ) P( B Ai ) P( A ) P( B A ) i, o dodatim prawdopodobieństwie,, i,,..., (.6.) (miaowi tego wyrażeia jest oreśloy wzorem (.6.)). Prawdopodobieństwo waruowe P( A i B) oreśloe wzorem (.6.) oreśla prawdopodobieństwo tego, że zdarzeie A i wywołało zajście zdarzeia B. Obydwa twierdzeia mają prostą iterpretację w termiologii przyczya-sute, gdzie A, A,..., A ozaczają przyczyy, zaś zdarzeie B sute (wywołay przez przyczyy). Twierdzeie o prawdopodobieństwie zupełym Jeżeli sute B zachodzi w wyiu jedej z przyczy A, A,..., A jedyie możliwych i wzajemie wyluczających się, to prawdopodobieństwo sutu B wyraża się rówością (.6.). Twierdzeie Bayesa A Jeżeli sute B został spowodoway w rezultacie zajścia jedej z przyczy A, A,...,, jedyie możliwych i wzajemie wyluczających się, to prawdopodobieństwo ( A B) P i tego, że przyczyą zajścia sutu B było A i, i,,..., wyraża się rówością (.6.). Typowym zadaiem ilustrującym zastosowaie pozaych w tym paragrafie twierdzeń jest przyład 9. Przyład 9 Mamy 4 ury typu U i 6 ur typu U. W ażdej z ur typu U jest 7 ul białych i ule czare, atomiast w ażdej z ur typu U zajdują się 4 ule białe i 6 ul czarych. Losujemy urę, a z iej ulę. a) Jaie jest prawdopodobieństwo zdarzeia A polegającego a wylosowaiu uli białej? b) Wylosowao białą ulę, jaie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi oa z ury typu U, ury typu U? Rozwiązaie. a) Ozaczamy zdarzeia: 7

34 U wylosowao urę typu U, U wylosowao urę typu U, B wylosowao ulę białą. Ozaczeie tym samym symbolem: zdarzeia i odpowiediej ury ie prowadzi w tym wypadu do ieporozumień (zwięsza czytelość rozwiązaia zadaia). Otrzymujemy więc: B ( U B) ( U B), Zdarzeia ( U B) i ( U B) są rozłącze, spełioe są więc założeia twierdzeia o prawdopodobieństwie całowitym (ie ma iych możliwości wylosowaia uli białej), a więc a podstawie (.6.) mamy: B P U P BU + P U P BU, czyli 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P( B) + 0, b) W treści zadaia, w tym pucie, występuje charaterystycze dla twierdzeia Bayesa sformułowaie: wylosowao białą ulę (a więc wcześiej zaszło zdarzeie B). Na podstawie (.6.) otrzymujemy: P( U) P ( ) ( BU) 0,4 0 7, 8 7 P U B P( B) 0,5 5 Aalogiczie: P( U ) P ( ) ( BU ) 06 0,4 4 6 P U B P B 0,5 5 ( ) Zauważmy, że ( U B) P( U B) P +. Zadaia Zad..6.. Mamy 4 ury typu A zawierające po 5 białych i 0 czarych ul oraz 6 ur typu B zawierających po 0 białych i 5 czarych ul. a) oblicz prawdopodobieństwo wylosowaia uli czarej, b) wylosowao ulę, tóra oazała się czarą. Oblicz prawdopodobieństwo, że pochodzi oa z ury typu A, typu B. Odp.: a ) , b ) , Zad..6.. W urie U są ule białe i czare, w urie U są 4 czare i biała. Rzucamy ostą do gry. Jeżeli wypadie lub ocza to losujemy ulę z ury U, jeżeli wypadie więcej iż ocza to losujemy ulę z ury U.

35 a) jaie jest prawdopodobieństwo wylosowaia uli białej, b) wylosowao białą ulę, jaie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi oa z ury U, ury U. 5 Odp.: a ) +, 5 5 b ), 5 Zad..6.. Do ury zawierającej ule wrzucoo ulę czarą, po czym z ury wyciągięto losowo jedą ulę. Zaleźć prawdopodobieństwo tego, że wyciągięta ula oaże się czara (wszystie przypuszczeia o początowym sładzie ul (wg olorów) są jedaowo prawdopodobe). Odp.: + + Zad Z talii art wyjęto losowo jedą artę i ie oglądając jej włożoo do drugiej talii 5 art: a) jaie jest prawdopodobieństwo wylosowaia róla z ta otrzymaego zbioru art? b) wylosowaa arta jest rólem, jaie jest prawdopodobieństwo, że arta wyjęta z talii art też była rólem? Odp.: a ) b ) 5 44 Zad Z talii art usuięto losowo dwie arty. Jaie jest prawdopodobieństwo wylosowaia asa z ta otrzymaego zbioru art? Odp.: + + 0, Zad % ogółu bezrobotych staowią obiety, poadto wśród bezrobotych obiet 9% uończyło 45 lat, a wśród bezrobotych mężczyz % uończyło 45 lat. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybraa osoba wśród bezrobotych uończyła 45 lat

36 b) Wylosowaa osoba spośród bezrobotych uończyła 45 lat, jaie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyza? 0,47 0, Odp.: a) 0,5 0,09 + 0,47 0, 0, 04 b) 0, 548 0,04 Zad Mamy maszyy typu A, 5 maszy typu B, maszyy typu C. Każda z ich produuje tę samą ilość towaru, przy czym dla maszy typu A mamy: 50% wyrobów I gatuu, 45% wyrobów gatuu II, reszta to brai; dla maszy typu B: 80% wyrobów gatuu I, 7% wyrobów gatuu II, reszta brai; dla maszy typu C mamy: 0% wyrobów gatuu I, 69% wyrobów gatuu II, % - brai: a) Wylosowao jedą sztuę towaru. Jaie jest prawdopodobieństwo, że jest oo gatuu I, II, braiem? b) Wylosoway wyrób jest braiem. Jaie jest prawdopodobieństwo, że został o wyproduoway przez maszyę typu A, B, C? c) Zilustruj zadaie za pomocą drzewa. Odp.: a) 0, 0,5 + 0,5 0,8 + 0, 0, 0, 6, 0, 0,45 + 0,5 0,7 + 0, 0,69 0,58 0,6 + 0,58 0, b) ( ) 0 0, 0,05 5, 0,0 0,5 0,0 0,0 5, 0, 0,0 0,0 Zad Na taśmę producyją trafiają świece samochodowe wytwarzae przez automaty. Stosue ilościowy producji automatów ształtuje się ja ::. Automat pierwszy produuje 85% świec gatuu I, automat drugi produuje 80% świec gatuu I, zaś automat trzeci 90% świec gatuu I. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wzięta z taśmy świeca samochodowa jest gatuu I. b) Wylosowaa świeca jest gatuu I. Oblicz prawdopodobieństwo, że została oa wyproduowaa przez automat pierwszy, drugi, trzeci. Odp.: a) 0,85 + 0,8 + 0,9 0, ,85 b) 5 0, , 5 0,8 5 0,84 84, 0, ,84 84 Zad Prawdopodobieństwo tego, że w czasie pracy zestawu omputerowego wystąpi awaria: omputera, moitora, druari są oreśloe stosuiem: ::5. Prawdopodobieństwa wyrycia awarii w tych urządzeiach odpowiedio wyoszą: 0,9; 0,8; 0,9. 40

37 a) Oblicz prawdopodobieństwo wyrycia uszodzeia w zestawie omputerowym b) Zestaw omputerowy uległ awarii. Jaie jest prawdopodobieństwo, że uszodzeiu uległ omputer, moitor, druara? c) Przedstaw rozwiązaie zadaia za pomocą drzewa. Odp.: a) 0, 0,9 + 0, 0,8 + 0,5 0,9 0, 88 0, 0,9 7 0, 0,8 6 0,5 0,9 45 b),, 0, , ,88 88 Zad Do szpitala zgłasza się średio 60% chorych a chorobę A, 0% - a chorobę B, 0% - a chorobę C. Prawdopodobieństwa pełego wyleczeia z choroby A, B, C odpowiedio wyoszą: 0,8; 0,7; 0,9. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że chory został wypisay ze szpitala, b) Wyleczoy pacjet opuścił szpital. Jaie jest prawdopodobieństwo, że chorował o a chorobę A? c) Zilustruj rozwiązaie zadaia za pomocą drzewa. Odp.: a) 0,6 0,8 + 0, 0 7, + 0, 0,9 0, 78 b) 0,6 0,8 0, 78 Zad..6.. Wiadomo, że 5 mężczyz a 00 oraz 5 obiet a 0000 to daltoiści. Oblicz prawdopodobieństwo, że pierwsza spotaa osoba, u tórej stwierdzoo daltoizm będzie mężczyzą, przy założeiu, że liczba mężczyz i obiet jest jedaowa. 0,05 0 Odp.: ( 0,05 + 0,005) Zad..6.. Wśród 5 oste do gry są prawidłowe, zaś mają: trzy ściai z jedym ocziem i trzy ściai z sześcioma oczami. Wylosowao jedą ostę i wyoao ią jede rzut. a) Jaie jest prawdopodobieństwo wypadięcia jedyi? b) Wypadła jedya. Jaie jest prawdopodobieństwo, że rzucaliśmy prawidłową ostą, ieprawidłową ostą? c) Przedstaw rozwiązaie zadaia za pomocą drzewa. Odp.: a) + 0, b) ,, 8 5 0, 4

38 Zad..6.. Stosue liczby studetów do liczby studete odwiedzających uczeliaą biblioteę wyosi :. Prawdopodobieństwo, że osoba odwiedzająca biblioteę wypożyczy siążę jest rówe 0,6 dla studetów i 0,8 dla studete. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba odwiedzająca biblioteę wypożyczy siążę, b) Osoba odwiedzająca biblioteę wypożyczyła siążę. Jaie jest prawdopodobieństwo, że jest to studet? Odp.: a) 0,6 + 0,8 0, 7 b) ,4 0,6 0, 7 Zad W hurtowi są trzy partie tego samego detalu pochodzące od trzech różych dostawców, liczące po 0 sztu. Liczby stadardowych detali w tych partiach odpowiedio wyoszą: 0, 5, 0. a) Oblicz prawdopodobieństwo zaupu detalu stadardowego, b) Zaupioy losowo detal jest stadardowy. Jaie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi o od trzeciego dostawcy? 5 0 Odp.: a) + +, b) Zad Z trzech iezależie pracujących elemetów zestawu omputerowego (omputer, moitor, druara) dwa uległy uszodzeiu. Zaleźć prawdopodobieństwo tego, że zepsuł się omputer i moitor, jeśli prawdopodobieństwo awarii: omputera, moitora, druari są odpowiedio rówe: p 0,, p 0,4, p 0,. 0, 0,4 0 7, Odp.: 0, 0, 0,4 0 7, + 0, 0, 0,6 + 0,4 0, 0,8.7. Drzewa Drzewo jest szczególym rodzajem grafu dobrze adającym się do opisu przebiegu doświadczeń tzw. wieloetapowych. Graf te słada się: - z putów zwaych węzłami, - rawędzi, odciów zorietowaych łączących węzły, - węzła startowego, będącego początiem drzewa. Każda rawędź grafu odpowiada iemu wyiowi doświadczeia a daym etapie. Węzły, z tórych ie wychodzi żada rawędź azywają się wierzchołami. Ciąg rawędzi łączących węzeł startowy z wierzchołiem azywamy gałęzią. Ciąg wyiów umieszczoych w ońcach olejych rawędzi daej gałęzi ilustruje ońcowy wyi doświadczeia.

39 Jeżeli ażdej rawędzi drzewa przypiszemy odpowiedie prawdopodobieństwo wiszącego a iej wyiu, to otrzymamy tzw. drzewo stochastycze. Wśród praw rządzących działaiami dla drzew wymieić ależy: I. sumę liczb przypisaych rawędziom o wspólym początu jest rówa, II. regułę możeia: prawdopodobieństwo wyiu wiszącego a gałęzi drzewa stochastyczego jest rówe iloczyowi prawdopodobieństw przypisaych rawędziom tworzących tę gałąź, III. regułę dodawaia: prawdopodobieństwo sumy wyiów wiszących a różych gałęziach jest rówe sumie prawdopodobieństw przypisaych tym gałęziom. Oczywiście teoria grafów jest zaczie obszeriejsza, w tym miejscu ograiczyliśmy się do iezbędego miimum wiadomości. Ilustracją wprowadzoych pojęć jest rysue 0. Etap Etap p A p D C E F S p P 4 p 5 p6 Rys. 0. Drzewo stochastycze B S - węzeł startowy C, D, E, F - wierzchołi grafu SA, SB, AC,... rawędzie grafu SAC, SAD,... gałęzie drzewa A, B, C, D, E, F wyii a poszczególych etapach p +p, p +p 4, p 5 +p 6 P( D) p p4, P( F ) p p6,... P D F P D + P F p p + p p ( ) ( ) ( ), Przedstawioe tu wiadomości o drzewach wyorzystamy do rozwiązaia zadaia opisaego w przyładzie 9, w tórym mówi się o doświadczeiu dwuetapowym: Etap I losowaie ury, wyiiem jest wylosowaie ury U albo U, Etap II losowaie uli z ury, wyiiem jest wylosowaie uli białej (zdarzeie B) albo czarej (zdarzeie C). Drzewo stochastycze opisujące to zadaie ma postać (rys. ): S 0,4 0,6 U U 0, 0,7 0,4 0,6 B C B C Rys. 4

40 Poieważ B ( U B) ( U B), to P( B ) P( U B) + P( U B) P( U ) P( BU ) + P( U ) P( BU ) 0,4 0 7, + 0,6 0,4 0, regula III regulaii regulaii Na rysuu pętlą objęto wyii sprzyjające zdarzeiu B: wylosowaie uli białej z ury U oraz wylosowaiu uli białej z ury U..8. Twierdzeie Beroulliego i jego modyfiacje Waże miejsce w teorii prawdopodobieństwa zajmuje twierdzeie Beroulliego wiążące się z tzw. schematem Beroulliego 4. Schemat te oreślamy jao ciąg powtórzeń pewego doświadczeia losowego D, tórego jedyie możliwymi wyiami, umowie azywaymi są: suces oraz poraża, zachodzące odpowiedio z prawdopodobieństwami: p, ( 0 < p < ) oraz q p. Powtarzaie doświadczeia D prowadzimy w te sposób, że: ) prawdopodobieństwo sucesu p w ażdym doświadczeiu jest stałe, ) wyii doświadczeń są iezależe od wyiów wcześiejszych. Twierdzeie Beroulliego P, tego, że a przeprowadzoych doświadczeń według schematu Beroulliego otrzymamy sucesów (w dowolej olejości), wyraża się wzorem P(, ) ( ) p q (.8.) gdzie: 0 < p <, q p, 0,,,...,. We wzorze (.8.) występują dwa symbole ozaczające prawdopodobieństwo: p oraz P (, ), jedaże ich zaczeie jest całowicie róże i symboli tych ie ależy mylić. Ze schematem Beroulliego wiąże się pojęcie ajbardziej prawdopodobej liczby sucesów w serii doświadczeń. Jest ią wartość 0, taa, że:, P,,,,...,,...,. Prawdopodobieństwo ( ) ( ) ( ) P 0 0 Jeżeli: º ( + )p jest liczbą całowitą, to istieją dwie ajbardziej prawdopodobe liczby sucesów 0 i 0 taie, że P,0 P,0. Wówczas: 4 Jaub Beroulli ( ) (brat Johaa, profesora matematyi), matematy i fizy szwajcarsi, stworzył podstawy teorii prawdopodobieństwa i rachuu wariacyjego. 44