L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. . (odp. a)

Transkrypt

1 ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 11 Rzucamy trzy razy monetą A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie Oreślić zbiór zdarzeń elementarnych Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom A i Zapisać za pomocą działań na zdarzeniach A i następujące zdarzenia: a) wyrzucono doładnie jednego orła, b) wyrzucono co najmniej jednego orła, c) wyrzucono orła tylo w pierwszym rzucie, d) wyrzucono orła dwurotnie, e) wyrzucono liczbę orłów więszą od liczby resze f) nie wyrzucono orła ani razu Zadanie 11b A, B,C dane zdarzenia losowe Zapisać w prostszej postaci zdarzenia: a) ( A B) ( B C), b) ( A B) ( A B' ) c) ( A B) ( A B' ) ( A' B) (odp a) B A C, b) A, c) A B ) Zadanie 12 W urnie znajduje się 5 białych i 3 czarne ule Z urny wyciągamy losowo jednocześnie dwie ule Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: a) wylosowano ule białe b) wylosowano ule jednaowego oloru, c) wylosowano ule różnoolorowe (odp a) 20/56, b) 26/56, c) 30/56) Zadanie 12a W urnie znajduje się 10 białych, 8 czarnych i 6 zielonych ul Z urny wyciągamy losowo jednocześnie trzy ule Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich będą jednoolorowe Wsazówa: rozpatrz zdarzenie przeciwne 1

2 Zadanie 13 Sześciu mężczyzn i dwie obiety losowo ustawiło się w olejce do asy w banu Jaie jest prawdopodobieństwo, że panie będą stały obo siebie? (odp 0,25) Zadanie 13a Rzucamy dwiema ostami do gry Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy 8 ocze na obu ostach (odp 5/12) Zadanie 13b Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że 12 przypadowych osób może mieć urodziny w różnych miesiącach rou (odp ooło 0,0005) Zadanie 13c Do trzech wagonów metra wsiada losowo 9 pasażerów Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że do pierwszego wagonu wsiądzie trzech pasażerów Zadanie 14 W pewnym mieście 80% rodzin ma pralę automatyczną, 50% zmywarę, a 40% pralę automatyczną, i zmywarę Jaie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina w tym mieście będzie miała przynajmniej jedno z tych urządzeń? (odp 0,9) Zadanie 15 Na płaszczyźnie znajdują się dwa współśrodowe oła o promieniu 2 i 4 cm Losowo wybieramy punt z oła o promieniu 4 cm Jaie jest prawdopodobieństwo, że wybrany punt nie będzie należał do oła o promieniu 2 cm? (odp 0,75) Zadanie 16 Z przedziału [ -300, 300] wybrano losowo liczby b, c Obliczyć prawdopodobieństwo, że równanie 75x 2 + bx + c = 0 ma pierwiasti rzeczywiste 2

3 Zadanie 16b Z przedziału [ -2, 2] wybrano losowo liczby x, y Obliczyć 2 prawdopodobieństwo zdarzenia x y + 2 (odp 2/3) Zadanie 17 Niech P(A B) = 0,75, P(A B) = 0,5 Ponadto P(A-B) = P(B-A) Obliczyć P(A) i P(B-A) (odp 5/8, 1/8) Zadanie 18 Niech P(A) = 0,35, P(B) = 0,4, P(A B) = 0,45 Oblicz: a) P( A B), b) P( A B), c) P ( A B ), d) P( A B), e) P ( A B ) (odp 0,3; 0,1; 0,55; 0,95; 0,7) Zadanie 19 Rzucamy dwiema ostami do gry A wypadła co najmniej jedna szósta, B co najmniej jeden wyni jest parzysty Zbadać czy A, B są niezależne (odp zależne) Zadanie 19a Rzucamy dwiema ostami do gry Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia więcej niż 3 ocze na pierwszej ostce, jeśli wiadomo, że suma ocze na obu ostach jest mniejsza od 5 (odp 0) Zadanie 19b Rzucamy dwiema ostami do gry Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia więcej niż 3 ocze na pierwszej ostce, jeśli wiadomo, że suma ocze na obu ostach jest mniejsza od 6 (odp 0,1) Zadanie % studiujących w pewnej uczelni to panie Wiadomo, że 9% pań i 12% panów nie zaliczyło sesji w tej uczelni Obliczyć prawdopodobieństwo, ze losowo wybrany student z tej uczelni nie zaliczył sesji 3

4 (odp 0,1041) Zadanie 111 Każda z trzech urn zawiera 6 czerwonych i 4 białe ule Z pierwszej urny losowo wybieramy jedną ulę i przeładamy do drugiej urny Następnie z drugiej urny losujemy jedną ulę i przeładamy do trzeciej urny Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania z trzeciej urny uli białej (odp 0,4) Zadanie 112 W srzyni jest 12 detali wyproduowanych w załadzie A, 20 detali wyproduowanych w załadzie B i 18 detali wyproduowanych w załadzie C Wadliwość producji poszczególnych załadów wynosi odpowiednio: 10%, 40% i 10% a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany detal oaże się dobry, b) Wylosowany detal oazał się wadliwy Jaie jest prawdopodobieństwo, że wyproduował go załad B? (odp a) 0,78; b) 0,73) Zadanie 113a Udowodnij, że jeśli zdarzenia A, B, C, D są niezależne to zdarzenia: a) A, B b) A, B c) A, B d) A B, C e) A B, C D też są niezależne Zadanie 113 Dwie osoby rzucają olejno monetą Wygrywa ta osoba, tóra pierwsza wyrzuci orła Obliczyć prawdopodobieństwo wygrania dla ażdego z graczy (odp 2/3, 1/3) Zadanie 114 Obwód ontrolujący temperaturę adłuba wahadłowca Columbia ma niezawodność 0,9 Ile taich obwodów działających niezależnie należy zainstalować, aby niezawodność ontroli temperatury przez tai system (tzn aby działał przynajmniej jeden obwód) była równa przynajmniej 0,9999? (odp 4) 4

5 Zadanie 115 Oblicz niezawodność poniższych uładów, jeśli elementy R i pracują niezależnie i mają niezawodności równe 0,3 a) b) R 2 R 2 R 4 R 1 R 3 Zadanie 116 A i B - zdarzenia niezależne Wiedząc, że P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 obliczyć P( A B) (odp 0,7) R 1 R 3 Zadanie 116b A, B,C - zdarzenia niezależne Wiedząc, że P(A) = 0,5; P(B) = 1/3; P(C) = 0,25, obliczyć P( A B C), P( ( A C) B) (odp 0,75; 5/12) Zadanie 117 W pudełu jest 15 sztu pewnego towaru, wśród nich jest 5 braów Z pudeła wybieramy losowo 3 sztui Jaie jest prawdopodobieństwo, że wylosowano 2 brai? (odp 20/91) Zadanie 118 Rzucono dwa razy ostą Jaie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych ocze jest więsza od 8, gdy a) w dowolnym rzucie wypadnie 5 ocze, b) w pierwszym rzucie wypadnie 5 ocze (odp a) 5/11, b) 1/2) Zadanie 119 Trzy maszyny rozpoczęły pracę (pracują niezależnie) i psują się w ciągu zmiany z prawdopodobieństwem odpowiednio: 0,4; 0,3; 0,2 Obliczyć prawdopodobieństwo, że na oniec zmiany będzie pracować: a) doładnie jedna maszyna, b) dwie maszyny, c) wszystie maszyny 5

6 d) trzecia maszyna, e) pierwsza i trzecia maszyna (odp a) 0,188; b) 0,452; c) 0,336) Zadanie 120 Czy jest możliwe, aby dwa zdarzenia były niezależne i rozłączne? (odp ta) Zadanie 121 Czy jest możliwe, aby zdarzenie A było niezależne od samego siebie? (odp ta) Zadanie 122 Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany losowo punt oła 2 2 x + y 4 leży na zewnątrz wadratu x 1, y 1 (odp 1-1/π) Zadanie 123 (omputer) Z przedziału [0, 1] wybrano losowo liczby x, y 2 2 Niech A zdarzenie polegające na tym, że x + y 1, Niech B zdarzenie polegające na tym, że x < y Czy A i B są niezależne? (Wygeneruj 1000 par liczb z przedziału (0, 1) Wyznaczając przybliżenia odpowiednich prawdopodobieństw, sprawdź empirycznie powyższą niezależność) (odp ta) Zadanie 123b (omputer) Z przedziału [-1, 1] wybrano losowo liczby x, y 2 Niech A zdarzenie polegające na tym, że x y, Niech B zdarzenie polegające na tym, że x y Czy A i B są niezależne? (Wygeneruj 1000 par liczb z przedziału (0, 1) Wyznaczając przybliżenia odpowiednich prawdopodobieństw, sprawdź empirycznie powyższą niezależność) Zadanie 124 omputer Z przedziału [0, 1] wybrano losowo liczby x, y 2 2 Niech A zdarzenie polegające na tym, że x + y 1 Oblicz P(A) Wygeneruj par liczb z przedziału (0, 1), niech liczba par sprzyjających zdarzeniu A Iloraz /10000 jest przybliżeniem P(A) 6

7 Ile wynosi błąd względny tego przybliżenia? Na podstawie powyższego przybliżenia wyznacz przybliżoną wartość liczby π (odp P(A) = π/4) Zadanie 125a Jaie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród (1 < < 366) studentów, tórzy uczestniczą w wyładzie z rachunu prawdopodobieństwa są co najmniej dwie osoby, tóre obchodzą urodziny tego samego dnia? Przyjąć, że ro ma 365 dni 365! (odp 1 ) 365 Zadanie 125b omputer 365! Wyznacz w tablicy wartości funcji P( ) = 1 z poprzedniego 365 zadania (2 60) Ilu studentów powinno być na wyładzie aby szansa spotania się co najmniej dwóch osób, tóre obchodzą urodziny tego samego dnia wynosiła a) co najmniej 50%, b) co najmniej 95%, (odp a) > 22; b) > 47) Zadanie 126 Dane sa zdarzenia A,B,C Zapisać za pomocą działań na zdarzeniach A, B, C następujące zdarzenia: a) zachodzi tylo zdarzenie A, b) zachodzi doładnie jedno ze zdarzeń A, B, C c) zachodzą doładnie dwa spośród zdarzeń A, B, C, d) zachodzą co najmniej dwa spośród zdarzeń A, B, C, e) nie zachodzi żadne spośród zdarzeń A, B, C,