Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7"

Transkrypt

1 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej

2 Metody probabilistycze i statystyka 20. Estymacja puktowa Estymacja puktowa metoda szacowaia pewego iezaego parametru rozkładu zmieej losowej X (cechy populacji), p. EX, D 2 X, a podstawie wyików próby losowej dla zmieej X (tj. a podstawie wartości pewej kokretej próbki) Estymator parametru θ rozkładu zmieej X to dowola statystyka T = T (X 1,, X ), której wartości przyjmujemy za oceę wielkości parametru θ (20.1) Uwagi a) Jeśli (x 1,, x ) jest dowolą próbką dla cechy X i t = T (x 1,, x ), to θ t b) Dla dowolego parametru θ moża określić wiele estymatorów (p. dla θ = EX moża rozważaćśredią arytmetyczą, geometryczą, harmoiczą, mediaę z próbki), ale zależy am, aby estymator spełiał pewe własości gwaratujące jego jakość Opracowała Joaa Baaś

3 Metody probabilistycze i statystyka Wykład 6 Estymatory zgode Estymator T to estymator zgody parametru θ, jeśli (20.2) ε> 0 ε> 0 ( T ) lim P θ ε = 0 ( T ) lim P θ < ε = 1 (20.3) Uwagi a) Zbieżość z waruków (20.2) jest zbieżością według prawdopodobieństwa lub zbieżością stochastyczą b) Dla estymatora zgodego ze wzrostem liczebości próbki wzrasta dokładość oszacowaia parametru θ c) Dla daego parametru θ moża utworzyć wiele estymatorów zgodych Opracowała Joaa Baaś

4 Metody probabilistycze i statystyka Wykład 6 Estymatory obciążoe i ieobciążoe Estymator T to estymator ieobciążoy parametru θ, jeśli (20.4) E( T ) = θ dla każdego N (20.5) Uwaga Estymator ieobciążoy szacuje parametr θ bez błędu systematyczego Jeżeli E(T ) istieje, ale E(T ) θ, to T azywamy estymatorem obciążoym parametru θ, zaś różicę E(T ) θ azywamy obciążeiem estymatora Estymator T to estymator asymptotyczie ieobciążoy parametru θ, jeśli (20.6) lim E( T ) θ = 0 Opracowała Joaa Baaś

5 Metody probabilistycze i statystyka Wykład 6 Estymatory efektywe Kolejym kryterium, umożliwiającym oceę estymatorów jest wariacja, która powia być jak ajmiejsza (20.7) Twierdzeie Jeśli estymator T parametru θ jest (asymptotyczie) ieobciążoy oraz 2 lim D ( T ) = 0, to T jest estymatorem zgodym T i T * dwa estymatory ieobciążoe parametru θ, mające skończoe wariacje D 2 (T ) i D 2 (T * ) Estymator T (20.8) jest estymatorem efektywiejszym iż estymator T *, jeśli D ( T ) < D ( T ) 2 2 * Estymator ajefektywiejszy (efektywy) estymator ieobciążoy T daego parametru θ, który ma ajmiejszą wariację spośród wszystkich ieobciążoych estymatorów parametru θ Opracowała Joaa Baaś

6 Metody probabilistycze i statystyka Wykład 6 Nierówość Rao-Cramera Dla prawie wszystkich rozkładów zmieych losowych (za wyjątkiem rozkładu jedostajego) wariacja dowolego ieobciążoego estymatora T parametru θ spełia tzw. ierówość Rao-Cramera: 2 1 (20.9) D ( T ) 2 E[ θ l f ( X, θ )] gdzie f jest gęstością zmieej losowej X typu ciągłego lub rozkładem prawdopodobieństwa zmieej losowej X typu skokowego E [ l f ( X, θ) ] 2 θ (20.10) Wiosek iformacja Fishera, zawarta w próbce Jeśli dla pewego estymatora ieobciążoego T parametru θ w waruku (20.9) zachodzi rówość, to estymator te jest ajefektywiejszy Opracowała Joaa Baaś

7 Metody probabilistycze i statystyka 21. Estymacja podstawowych parametrów rozkładu (21.1) Twierdzeie Jeśli istieje wartość oczekiwaa m = EX zmieej losowej X (cechy w populacji), to średia z próby 1 X = X 1 + X X ( ) jest zgodym i ieobciążoym estymatorem wartości oczekiwaej m = EX (21.2) Twierdzeie Jeśli zmiea losowa X ma rozkład ormaly N(m,σ) o zaej wartości σ, to średia z próby X jest ajefektywiejszym estymatorem wartości oczekiwaej m = EX (21.3) Uwaga Jeśli chcemy oszacować wartość oczekiwaą m cechy X w pewej populacji o iezaym rozkładzie, to a podstawie -elemetowej próbki (x 1,, x ) 1 obliczamy średią arytmetyczą x = ( x1 + x x ) i przyjmujemy m x Opracowała Joaa Baaś

8 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja wariacji (21.4) Twierdzeie Jeśli istieje skończoa wariacja σ 2 = D 2 X zmieej losowej X, to statystyka 1 gdzie X = X 1 + X X, jest zgodym i asymptotyczie ieobciążoym estymatorem wariacji σ 2 (21.5) Twierdzeie Estymator 2 1 i=1 ( ) 2 i S = X X ( ) Sˆ = S = X X i= 1 ( ) 2 i jest estymatorem zgodym i ieobciążoym wariacji σ 2 Opracowała Joaa Baaś

9 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja wariacji (21.6) Twierdzeie Jeżeli wartość oczekiwaa m = EX zmieej losowej X jest zaa, to statystyka 2 1 * i=1 ( ) 2 i S = X m jest estymatorem zgodym i ieobciążoym wariacji σ 2 (21.7) Twierdzeie Jeśli zmiea losowa X ma rozkład ormaly N(m,σ) 2 i m jest zae, to S * jest estymatorem ajefektywiejszym wariacji σ 2 Opracowała Joaa Baaś

10 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja wskaźika struktury X ma charakter iemierzaly podstawowym parametrem populacji jest frakcja p elemetów wyróżioych przez tą cechę w populacji, zwaa wskaźikiem struktury badaej cechy populacji (częstość względa) Jeśli populacja jest -elemetowa, zaś m jej elemetów posiada badaą cechę, to p = m Jeśli w próbce -elemetowej z populacji, m elemetów posiada badaą cechę, to p m Opracowała Joaa Baaś

11 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja wskaźika struktury Aby utworzyć model matematyczy rozkładu cechę jakościową zamieia się a ilościową dla dowolego elemetu populacji ω: Tak zdefiiowaa zmiea losowa ma rozkład 0-1 z parametrem p, tj. P (X = 1) = p, P ( X = 0) = q = 1 p Jeśli (x 1,, x ) jest próbką dla zmieej losowej X, odpowiadającą próbce elemetów (ω 1,, ω ), w której m elemetów ma wyróżioą cechę, to w ciągu tym jest m jedyek, a zatem x x = m W rezultacie 1 gdy ω posiada wyróżioą cechę X ( ω ) = 0 gdy ω ie posiada wyróżioej cechy p ( x... x ) Opracowała Joaa Baaś

12 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja wskaźika struktury (21.8) Twierdzeie Średia arytmetycza z próby M 1 (... ) = X X jest zgodym, ieobciążoym i ajefektywiejszym estymatorem parametru p rozkładu 0-1 zmieej losowej X, tj. P (X = 1) = p, P ( X = 0) = q = 1 p Opracowała Joaa Baaś

13 Metody probabilistycze i statystyka Zestawieie estymatorów Tablica Podstawowe estymatory Parametr Estymator Własości estymatora Wartość oczekiwaa m = EX Wariacja σ 2 = D 2 X Wskaźik struktury p Współczyik zmieości ( 1... ) X X X 1 = + + mediaa z próby 2 1 * i=1 ( ) 2 i S = X m 2 1 i=1 ( ) 2 i S = X X M Sˆ 2 2 = 1 S 1 (... ) V = S X = X X zgody, ieobciążoy zgody, asymptotyczie ieobciążoy zgody, ieobciążoy zgody, asymptotyczie ieobciążoy zgody, ieobciążoy zgody, ieobciążoy ajefektywiejszy zgody Klasy rozkładów dla N(m,σ) estymator ajefektywiejszy dowoly dla N(m,σ) estymator ajefektywiejszy dowoly dowoly 0-1 dowoly Opracowała Joaa Baaś

14 Metody probabilistycze i statystyka Dziękuję za uwagę Opracowała Joaa Baaś

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2. Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie

Bardziej szczegółowo

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby.

Pojcie estymacji. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 9: Estymacja punktowa. Własnoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Pojcie estymacji Metody probabilistycze i statystyka Wykład 9: Estymacja puktowa. Własoci estymatorów. Rozkłady statystyk z próby. Szacowaie wartoci parametrów lub rozkładu zmieej losowej w populacji geeralej

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowaie daych Podstawy wioskowaia statystyczego. Prawo wielkich liczb. Cetrale twierdzeie graicze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Jeśli S

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Wnioskowanie statystyczne. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachek rawdoodobieństwa i statystyka Wioskowaie statystycze. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, ok407 ada@agh.ed.l Estymacja arametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego arametr jest estymator

Bardziej szczegółowo

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej

Bardziej szczegółowo

Modele probabilistyczne zjawisk losowych

Modele probabilistyczne zjawisk losowych Statystyka-matematycza-II Wykład Modele probabilistycze zjawisk losowych Pojęcia podstawowe: Zdarzeia elemetare: ajprostsze zdarzeie mogące być wyróżioe dla daego doświadczeia losowego. Ω - zbiór zdarzeń

Bardziej szczegółowo

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)

Bardziej szczegółowo

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o 1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych W3: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych W3: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowaie daych W3: Wprowadzeie do statystyczej aalizy daych Podstawy wioskowaia statystyczego. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Podstawowe cele

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna. Skrypt. Spis treści. SKN Matematyki Stosowanej. s k n. m s 23 kwietnia Oznaczenia i definicje 3

Statystyka Matematyczna. Skrypt. Spis treści. SKN Matematyki Stosowanej. s k n. m s 23 kwietnia Oznaczenia i definicje 3 Spis treści Ozaczeia i defiicje 3 Wioskowaie statystycze 3. Statystyki dostatecze................................................. 3.. Rodzia rozkładów wykładiczych......................................

Bardziej szczegółowo

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej). Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś 1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.

Bardziej szczegółowo

0.1 Statystyczne Podstawy Modelu Regresji

0.1 Statystyczne Podstawy Modelu Regresji 0.1 Statystycze Podstawy Modelu Regresji iech daa będzie przestrzeń probabilistycza (Ω, F, P ). Fukcję X : Ω R, określoą a przestrzei zdarzeń elemetarych Ω, o wartościach rzeczywistych, takich że x R {ω

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna. Skrypt. Spis treści. SKN Matematyki Stosowanej. s k n. m s 11 czerwca Oznaczenia i definicje 4

Statystyka Matematyczna. Skrypt. Spis treści. SKN Matematyki Stosowanej. s k n. m s 11 czerwca Oznaczenia i definicje 4 Spis treści Ozaczeia i defiicje 4 Wioskowaie statystycze 4. Statystyki dostatecze................................................. 4.. Rodzia rozkładów wykładiczych......................................

Bardziej szczegółowo

d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem

d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)

Bardziej szczegółowo

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne. Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau

Bardziej szczegółowo

ZSTA LMO Zadania na ćwiczenia

ZSTA LMO Zadania na ćwiczenia ZSTA LMO Zadaia a ćwiczeia Efektywość estymatorów ieobciążoych Zadaie 1. Zakładamy, że badaa cecha X populacji ma rozkład Poissoa πλ, gdzie λ > 0 jest parametrem. Poadto, iech X = X 1, X,..., X będzie

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,

Bardziej szczegółowo

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna. Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią

Bardziej szczegółowo

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1. Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy

Bardziej szczegółowo

1) Jakie są różnice pomiędzy analiza danych a wnioskowaniem statystycznym?

1) Jakie są różnice pomiędzy analiza danych a wnioskowaniem statystycznym? Plaowaie Eksperymetów 1) Jakie są różice pomiędzy aaliza daych a wioskowaiem statystyczym? Celem aalizy daych jest prezetacja kokretego zbioru daych, w sposób ukazujący jego właściwości, w szczególości

Bardziej szczegółowo

Wykład nr 2. Statystyka opisowa część 2. Plan wykładu

Wykład nr 2. Statystyka opisowa część 2. Plan wykładu Wykład r 2 Statystyka opisowa część 2 Pla wykładu 1. Uwagi wstępe 2. Miary tedecji cetralej 2.1. Wartości średie 2.2. Miary pozycyje 2.3. Domiata 3. Miary rozproszeia 4. Miary asymetrii 5. Miary kocetracji

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii. TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:

oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że: Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:

Bardziej szczegółowo

Planowanie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocnicze

Planowanie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocnicze Plaowaie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocicze Układ bloków kompletie zradomizowaych Założeia: (a) Z jedostek doświadczalych tworzymy rówolicze grupy zwae blokami (b bloków) w taki sposób, aby jedostki

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.

1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n. Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny (Gaussa) Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności Estymacja rzedziałowa - rzedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej arametrami ( x, s, s ). SłuŜą oe do ocey wartości iezaych arametrów oulacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami uktowymi iezaych

Bardziej szczegółowo

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów

1 Testy statystyczne. 2 Rodzaje testów 1 Testy statystycze Podczas sprawdzaia hipotez statystyczych moga¾ wystapić ¾ dwa rodzaje b ¾edów. Prawdopodobieństwo b ¾edu polegajacego ¾ a odrzuceiu hipotezy zerowej (H 0 ), gdy jest oa prawdziwa, czyli

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa

Bardziej szczegółowo

Punktowe procesy niejednorodne

Punktowe procesy niejednorodne Modelowaie i Aaliza Daych Przestrzeych Wykład 5 Adrzej Leśiak Katedra Geoiformatyki i Iformatyki Stosowaej Akademia Góriczo-Huticza w Krakowie Puktowe procesy iejedorode Jak wcześiej wspomiao, dla procesów

Bardziej szczegółowo

Analiza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych

Analiza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. L. Baachowski, K. Diks, W. Rytter Algorytmy i struktury daych.

Bardziej szczegółowo

Parametryczne Testy Istotności

Parametryczne Testy Istotności Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk Statystyka powtórzeie (I semestr) Rafał M. Frąk TEORIA Statystyka Statystyka zajmuje się badaiem procesu zbieraia oraz iterpretacji daych liczbowych lub jakościowych. Przedmiotem statystyki są metody badaia

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału

Bardziej szczegółowo

Statystyka Wzory I. Analiza struktury

Statystyka Wzory I. Analiza struktury Uiwersytet Ekooiczy w Katowicach Wzory I. Aaliza struktury 1. Miary tedecji cetralej (średie, przecięte Średia arytetycza Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010 STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 14 18 stycznia 2010 Model statystyczny ROZKŁAD DWUMIANOWY ( ) {0, 1,, n}, {P θ, θ (0, 1)}, n ustalone P θ {K = k} = ( ) n θ k (1 θ) n k, k k = 0, 1,, n Geneza: Rozkład Bernoulliego

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Fraktale - ciąg g dalszy

Fraktale - ciąg g dalszy Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ X 1,..., X n - próbka z rozkładu P θ, θ Θ, θ jest nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie P θ. Definicja. Estymatorem

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIV, 06.06.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA CD. Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej

Bardziej szczegółowo

8. Udowodnić, że: a) macierz X X jest macierzą symetryczną; b) jeśli M jest macierzą idempotentną, o wyznaczniku różnym od 0, to M = I;

8. Udowodnić, że: a) macierz X X jest macierzą symetryczną; b) jeśli M jest macierzą idempotentną, o wyznaczniku różnym od 0, to M = I; Powtórzeie z algebry, rachuku prawdopodobieństwa i statystyki Zadaia. Pokazać, że dla dowolego odwracalego A,.. Pokazać z defiicji, że macierz jest ieujemie określoa. 3. Pokazać (z defiicji liiowej iezależości),

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

Analiza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych.

Analiza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych. Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. A. V. Aho, J.E. Hopcroft, J. D. Ullma - Projektowaie i aaliza

Bardziej szczegółowo

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne. gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: x = 1 STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału Domiata (moda Liczba ajczęściej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo