ĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A

Transkrypt

1 ĆWICZENIE Symulacja doświadczeń losowych Statystya opisowa Estymacja parametrycza i ieparametrycza T E O R I A Opracowała: Katarzya Stąpor

2 Opis programu MS EXCEL. Iformacje ogóle Program Microsoft Excel oferuje po uruchomieiu możliwość pracy z wyorzystaiem tzw. zeszytu, tóry jest stadardowym doumetem (typem pliu z rozszerzeiem.xls)i słada się z aruszy. Nazwa arusza zajduje się w lewym dolym rogu, jede z Aruszy jest tzw. aruszem atywym i jego azwa wyróżioa jest białym tłem. Pase meu Adres atywej omóri Pasi arzędzi Pase formuł y Nazwa arusz a Rys.. Arusz alulacyjy EXCEL bezpośredio po uruchomieiu Arusz ma struturę tablicy, słada się z omóre widoczych jao białe prostoąty, umiejscowioe a przecięciu olum i wierszy ozaczoych odpowiedio literami ( od A do IV, 56 olum) oraz liczbami ( 65536). Ozaczeie olum i wierszy pozwala a zloalizowaie omóri za pomocą tzw. adresu, p. omóra N3 (a przecięciu olumy N i wiersza 3). W górej części oa, powyżej arusza widocze są (Rys..): pase meu (wraz z dostępymi opcjami), pasi arzędzi (zawierające tzw. przycisi, tóre uatywiae za pomocą myszy pozwalają a przyspieszoe użycie dostępych tą drogą poleceń) oraz pase formuły, tóry jest ściśle powiązay z omórą atywą (wyróżioa za pomocą pogrubioej rami), bowiem zawiera o zawsze zapis zajdujący się w omórce.

3 Rys.. Pase formuły z zapisem daych w omórce A i widocza zawartość tej omóri Poruszaie się po aruszu (zmiaa atywej omóri) może odbywać a róże sposoby. Najbardziej aturalym jest użycie strzałe (lawiszy ozaczoych strzałami), jeda powoduje to tylo ruch o jedą omórę w pioie lub poziomie, o ile tai ruch jest możliwy. W przypadu potrzeby wyoaia sou do pewej dalszej, ale oretej omóri, p. AB46 ależy jej adres wpisać w oieu w lewym górym rogu (obo pasa formuły) i oczywiście zatwierdzić lawiszem [ENTER]. Prócz tego możliwe jest rówież użycie lawiszy [HOME] (so do początu wiersza), [END] +[->] (so do ońca wiersza, moża użyć ombiacji z ią strzałą w celu przemieszczeia się do ońcowych omóre pioie lub poziomie), a taże [Page Up], [Page Dow] samodzielie lub jao ombiacje z [Alt] lub [Ctrl].. Wprowadzaie daych Do omóre arusza moża wprowadzać dae w postaci liczb, testów i formuł obliczeiowych. Wprowadzae dae widocze są zarówo w omórce atywej, ja i a pasu formuły. Zatwierdzeie daych astępuje poprzez aciśięcie [Eter] lub dowolej strzałi. Przez formułę obliczeiową ależy rozumieć zapis, tóry przy spełieiu pewych wymogów formalych pozwala otrzymać w wybraej omórce wyi obliczeń zrealizowaych zgodie z procedurą rachuową wprowadzoa przez użytowia. Procedura działa wyorzystując wartości liczbowe, tóre mogą być podae w sposób jawy (jao stałe) lub występować jao adresy omóre, w tórych zostały umieszczoe wartości liczbowe. Zapis formuły w aruszu rozpoczya się zaiem rówości =, atomiast dalszy zapis powiie uwzględiać poprawość matematyczą wzoru, a taże zgodość ze sładią rozumiaą przez program. 3

4 Na rysuu Rys. moża zauważyć przyład prostej formuły (=+5+7). Zastosowao tam operator dodawaia (+). Możliwe jest rówież użycie operatorów odejmowaia ( ), możeia (*), dzieleia (/) oraz potęgowaia (^). Warto przy tym podreślić fat, że dla poprawej iterpretacji wyrażeia a ogół potrzebe jest stosowaia awiasów, p.: 3 formuła =5+*3/5*7 0^ jest rówoważa zapisowi: , 5 3 atomiast =(5+)*3/(5*7) 0^ jest rówoważa ( 5 + ) Na poiższym rysuu zajduje się przyład formuły wyorzystującej zawartości omóre, tórych adresy występują w formule: Rys.3. Pase formuły z zapisem daych w omórce B4 i widocza zawartość tej omóri Przy oazji ależy zwrócić uwagę, że w przypadu dowolej zatwierdzoej zmiay w wartościach omóre B, B lub B3 dooywaa jest automatyczie atualizacja daych w pozostałych omórach arusza związaych ze zmieiaymi, co w powyższym przyładzie byłoby widocze jao zmiaa wartości wyświetlaej w omórce B4. 3. Adresacja omóre i procedura przeciągaia Rozważmy astępujący przyład: obliczyć wartości zmieej zależej y wyorzystując fucję liiową y = a x+b. Obliczeia przeprowadzić dla x z zaresu liczb aturalych od do 5, dla a=3 i b=7. Na olejych rysuach przedstawioo oleje etapy rozwiązaia tego zadaia: 4

5 Rys.4.a Rys.4.b Na rysuu Rys.4.a. widoczy jest zazaczoy obszar D:D3, aby uzysać efet przeciągaia widoczy a Rys.4.b po zazaczeiu obszaru D:D3 ależy ustawić ursor myszy w prawym dolym rogu obszaru wyróżioym a rysuu Rys.4.a i acisając lewy przycis myszy przeciągąć w dół (podczas przeciągaia będą pojawiały się oleje wartości obo zazaczoych omóre ja a Rys.4.b. Po zwolieiu przycisu myszy w omórach D:D6 pojawią się oleje wartości od do 5, gdyż podczas przeciągaia wyliczae są oleje wartości ciągu arytmetyczego o dwóch pierwszych wyrazach taich ja zazaczoy obszar. W przypadu gdy wartości w zazaczoym obszarze ie mogą utworzyć ciągu arytmetyczego, podczas opisaej powyżej procedury przeciągaia wartości zazaczoego obszaru będą powielae. Rys.4.c Rys.4.d Rysue Rys.4.c poazuje dalszy to postępowaia polegający a poprawym wpisaiu do omóri E formuły obliczeiowej. W zapisie formuły moża zauważyć użycie zaów $ przy adresach omóre, do tórych odoszą się odwołaia. Zastosowao tu bowiem tzw. adresację bezwzględą, oieczą przy orzystaiu z arzędzia przeciągaia w przypadu formuł. Za $ umieszczoy bezpośredio przed azwą olumy lub wiersza iejao zamraża tę azwę podczas przeciągaia, gdy doouje się automatycza zmiaa adresów omóre występujących w formule. Moża zauważyć, że adresy omóri B i B zostały wyorzystae w postaci $B$ oraz $B$, gdyż waże jest aby adresy tych omóre 5

6 ie zmieiły się podczas przeciągaia (utrwaloa została zarówo azwa wiersza ja i olumy). Natomiast w adresie omóri D zastosowao jedyie zamrożeie azwy olumy w postaci $D, aby podczas przeciągaia mogły zmieiać się azwy wierszy występujących w formule. Należy jeda zauważyć, że podczas przeciągaia w dół zmieiają się tylo azwy wierszy, więc gdyby ie został użyty za $ przed azwą olumy adresu omóri D, wyi formuły po przeciągięciu adal byłby poprawy (byłby o iezbędy jedyie w przypadu przeciągaia w prawo ). Na rysuu Rys.4.d widocze jest rozwiązaie zadaia, tz. wyświetloe są wartości zmieej y w zależości od wartości zmieej x. Gdyby spojrzeć a formułę zawartą w omórce, p. E6 wyglądałaby oa astępująco: =$B$*$D6+$B$. 6

7 Podstawy języa Visual Basic dla Apliacji (VBA) W programie MS Ecel, oprócz szeregu wbudowaych fucji, w aruszu moża stosować fucje i procedury zdefiiowae przez użytowia. Aby pisać włase fucje trzeba zać podstawy języa VBA, poieważ to w tym języu piszemy fucje i procedury w Excelu.. Zmiee, typy W Visual Basicu ie ma obowiązu delarowaia zmieych prostych, jedaże jest to zalecae. Stadardowym typem daych jest typ wariatowy (Variat). W celu oreśleia specyficzego typu zmieej ależy użyć istrucji Dim, delaracja zmieej ma postać: Dim azwa_zmieej As typ_daych Gdzie proste typy daych to a) Iteger - - bajtowa liczba całowita, a) Log - 4- bajtowa liczba całowita, b) Sigle - 4- bajtowa liczba zmieoprzeciowa, c) Double - 8- bajtowa liczba zmieoprzeciowa, d) Currecy - 8- bajtowa liczba stałoprzeciowa, e) Strig - łańcuch zaów (do 64B). Jeżeli chce się przechowywać wartości z poprzedich wywołań procedury, zamiast słowa Dim ależy użyć Static.. Podstawowe istrucje Istrucja podstawieia, tóra zmieej Zmiea przypisuje wartość wyrażeie ma postać: Zmiea = wyrażeie Istrucja waruowa: jeżeli wyrażeie jest prawdą wyoywaa jest istrucja przyjmuje w języu VBA postać: If wyrażeie The istrucja lub jeżeli prawdziwe jest wyrażeie wyoywae są Istrucje, w przeciwym wypadu wyoywae są Istrucje. If wyrażeie The Istrucje Else Istrucje Ed If Pętla For, istrucje wyoywae są do mometu, gdy zmiea osiągie wartość ońcową. For zmiea = wartośćpoczątowa To wartośćkońcowa istrucje Next zmiea lub For zmiea = wartośćp To wartośćk Step ro istrucje Next zmiea w powyższym przypadu Step ozacza o ile ma się zmieiać wartość zmieej między olejymi iteracjami. Pętla Do Loop występuje w dwóch postaciach, w tórych: 7

8 a) istrucje wyoywae są do mometu, w tórym warue staie się prawdziwy jest postaci: Do While warue istrucje Loop b) istrucje wyoywae są do mometu, w tórym warue staie się prawdziwy. Do istrucje Loop Util warue 3. Uwagi Koiucję dwóch waruów realizuje słowo Ad a alteratywę Or. Języ VBA w odróżieiu p. do C++ ie rozróżia wielości liter. Kometarze piszemy po zau apostrofa. Włase fucje w Excelu Aby pisać włase fucje i procedury ależy w Excelu z meu Narzędzia wybrać opcję Mara i dalej Edytor Visual Basic. otworzymy w te sposób astępujące oo: w tórym po wybraiu opcji Module z meu Isert zobaczymy oo umożliwiające wpisaie odu fucji. Delaracja fucji odbywa się poprzez słowo luczowe Fuctio a procedury Sub. Peła postać delaracji fucji jest postaci: 8

9 Fuctio azwa_fucji(parametry) As typ_zwracaej_wartości Dla przyładu wpiszmy od fucji, tóra może być użyta do symulacji rzutów moetą, zwrócoą przez ią wartość 0 możemy iterpretować jao orła, a wartość jao reszę. Fucja ie ma a wejściu żadych argumetów a a wyjściu liczbę całowitą (0 lub ). Fuctio rzut() As Iteger Dim l As Double 'delaracja zmieej l = Rd() 'za l podstawiamy wylosowaą liczbę If l <= 0.5 The rzut = 0 Else rzut = Ed If Ed Fuctio Fucja może orzystać z wywołań iych apisaych wcześiej fucji, czy z wywołań samej siebie (reurecja). Poiższy przyład ilustruje od fucji zwracającej ilość orłów w (argumet wejściowy fucji) rzutach moetą. Fuctio Ile_orlow( As Log) As Log Dim i, ile As Log ile = 0 For i = To If rzut() = 0 The ile = ile + Next i Ile_orlow = ile Ed Fuctio Napisaliśmy dwie fucje ale ja z ich sorzystać? Po wpisaiu ich odu wracamy do oa Excela, wpisaej fucji możemy użyć liając w ioę Wlej fucję stadardowego pasa arzędzi. Otworzymy oo: W ategorii fucji Użytowia wybierzmy zdefiiowaą azwę fucji ile_orlow i aciśijmy OK. Zazaczmy omórę zawierającą oceę (lub wpiszmy odpowiedi adres omóri) i aciśijmy Eter. Kopiując formułę do odpowiediego zaresu otrzymamy uzysaą liczbę orłów dla wpisaych wartości. Uwaga. Sposób przeazywaia argumetów oreśloy jest w delaracji fucji. Argumety mogą być przeazywae poprzez referecję (domyślie, ja a przyład w aszej fucji 9

10 ile_orlow), lub poprzez wartość (azwę argumetu w delaracji fucji ależy poprzedzić słowem ByVal). Jeśli argumety przeazywae są poprzez wartość, to pobieraa jest opia daych przeazywaych jao argumety wejściowe. Podstawowe defiicje i schematy rachuu prawdopodobieństwa Kombiatorya Niech Z będzie zbiorem sończoym, Z =. Permutacją zbioru Z azywamy ażdy ciąg elemetowy utworzoy z elemetów zbioru Z. Permutacji zbioru -elemetowego jest!. Kombiacją elemetową zbioru elemetowego azywamy ażdy elemetowy! podzbiór zbioru Z. Jest ich =.!( )! elemetową wariacją bez powtórzeń azywamy ażdy wyrazowy ciąg utworzoy! z elemetów zbioru Z, tórego elemety są róże. Jest ich V =. ( )! elemetową wariacją z powtórzeiami azywamy ażdy wyrazowy ciąg utworzoy z elemetów zbioru Z. Jest ich W =. Prawdopodobieństwo waruowe, iezależość zdarzeń Prawdopodobieństwem zdarzeia A pod waruiem zajścia zdarzeia B azywamy P liczbę ( ) ( A B) P A B =, o ile P ( B) > 0. P( B) Zdarzeia A, B tej samej przestrzei probabilistyczej azywamy iezależymi gdy P( A B) = P( A) P( B). Prawdopodobieństwo całowite. Niech A, B,..., B Ω, P ( B i ) > 0 i =,...,, B... B = Ω, B i B j = φ. Wtedy P ( A) = P( A B ) P( B ) +... P( A B ) P( ). + Schemat Beroulliego B Próbą Beroulliego azywamy doświadczeie ończące się jedym z dwóch wyiów suces z prawdopodobieństwem p, poraża z prawdopodobieństwem p. Schematem prób Beroulliego azywamy ciąg iezależych powtórzeń próby Beroulliego. Prawdopodobieństwo, że w próbach Beroulliego uzysamy sucesów wyosi: ć P ( S = ) = p ( p ) č ř 0

11 Zagadieie Bayesa Niech dae będą zdarzeia A, B,..., B tej samej przestrzei probabilistyczej Ω, taie, że P ( B i ) > 0 i =,...,, B... B = Ω, B i B j = φ. Wiadomo że zdarzeie A zaszło. W zagadieiu Bayesa iteresuje as prawdopodobieństwo waruowe zajścia zdarzeia B i pod waruiem zajścia zdarzeia A, tz. prawdopodobieństwo ( ) P B A, i =,...,. Prawdopodobieństwo to wyosi: P i ( B A) P( A B ) P( B ) ( A B ) P( B ) +... P( A B ) P( B ) =. P + Symulacja doświadczeń losowych Symulacja rzutów moetą Do symulacji rzutów moetą wyorzystać możemy geerator liczb losowych z rozładu U 0,. Geerator te działa w tai sposób, że wylosowaie ażdej liczby jedostajego ( ) z przedziału ( 0, ) jest jedaowo prawdopodobe, a oleje losowaia są iezależe. Wylosowaie zatem liczby więszej od 0,5 jest jedaowo prawdopodobe co wylosowaie liczby miejszej od 0,5. Przyjmując zatem a przyład że wylosowaie liczby miejszej od 0,5 odpowiada wyrzuceiu reszi a więszej od 0,5 wyrzuceiu orła otrzymujemy sposób a symulację rzutów moetą. Symulacja rzutów ostą Aby symulować rzuty symetryczą ostą do gry wystarczy proste uogólieie fatu opisaego przy oazji rzucaia moetą. Przedział ( 0, ) dzielimy a sześć rówych części i ażdej z ich przypisujemy jede z możliwych wyiów: a przyład od 0 do /6 jedo oczo, od /6-/6 - ocza itd.. Miary położeia Statystya opisowa Średia arytmetycza Średia arytmetycza ieważoa to suma wartości cechy wszystich jedoste badaej zbiorowości podzieloa przez liczbę tych jedoste: x = x i i= x i wariaty cechy mierzalej, liczebość zbiorowości. Jeżeli wariaty cechy występują z różą częstotliwością to oblicza się średią arytmetyczą ważoą. Wagami są liczebości odpowiadające poszczególym wariatom. Dla szeregów rozdzielczych putowych: x = x i i i= i dla i=,..., liczebości odpowiadające poszczególym wariatom cechy,

12 Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: o xi x i= środi przedziałów Domiata Taa wartość cechy, tóra w daym rozładzie empiryczym występuje ajczęściej, tz. odpowiada jej ajwięsza liczebość. W szeregach przedziałowych moża oreślić tylo przedział, w tórym zajduje się domiata jest to przedział o ajwięszej liczebości. Dla przybliżoego wyzaczeia domiaty stosuje się wzór iterpolacyjy: x D D, D, D+ h D x o i i D D D = xd + hd ( D D ) + ( D D+ ) dola graica lasy w tórej zajduje się domiata liczebości przedziału domiaty, poprzedzającego i astępującego rozpiętość przedziału domiaty Kwatyle Kwartyl pierwszy Q dzieli zbiorowość uporządowaą a dwie części w te sposób, że 5% jedoste ma wartości cechy iższe, a 75% wyższe od wartyla pierwszego. Kwartyl drugi ( mediaa) Q (Me) dzieli zbiorowość uporządowaą a dwie części w te sposób, że 50% jedoste ma wartości cechy iższe, a 50% wyższe od mediay. Kwartyl trzeci Q 3 dzieli zbiorowość uporządowaą a dwie części w te sposób, że 75% jedoste ma wartości cechy iższe, a 5% wyższe od wartyla trzeciego. W szeregach szczegółowych (i rozdzielczych putowych) mediaę oblicza się ze wzoru: x( + ) ieparzyste Me = ( x / + x / + ) parzyste Kwartyl pierwszy i trzeci to wariaty cechy odpowiadające jedostom (+)/4 (zaorąglamy w górę) oraz 3(+)/4 (zaorąglamy w dół). W przypadu szeregów rozdzielczych przedziałowych wartyle wyzaczamy stosując wzór iterpolacyjy: p [ p F x ] K = x ) 0 p + ( 0 p p rząd watyla, x 0p dola graica przedziału, w tórym zajduje się wartość watyla rzędu p, F (x 0p ) sumulowaa częstość względa dla dolej graicy przedziału watyla rzędu p, h p, w p rozpiętość i częstość przedziału watyla rzędu p Obliczeń doouje się a szeregu sumulowaych częstości (dystrybuaty empiryczej). Należy ajpierw wyzaczyć pozycję watyla w szeregu: jest to te przedział, w tórym po raz pierwszy zostaje przeroczoa wartość 0.5, 0,50 lub 0,75, odpowiedio dla watyla rzędu ¼, ½, ¾... Miary rozproszeia (Zares) Rozstęp Jest różicą między ajwięszą i ajmiejszą wartością cechy w badaej zbiorowości: R= x max x mi h w p p

13 Rozstęp międzywartylowy Jest różicą wartości wartyla trzeciego i pierwszego: R m = Q 3 Q Odchyleie przecięte Oreśla o ile wszystie jedosti daej zbiorowości różią się średio ze względu a wartość cechy od średiej arytmetyczej tej cechy. Dla szeregu szczegółowego (daych idywidualych): d = x i x i = Dla szeregu rozdzielczego putowego: d = xi x i i = Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: o d = xi x i i = Odchyleie ćwiartowe Q 3 Q Q = Mierzy poziom zróżicowaia części jedoste badaej zbiorowości, pozostałej po odrzuceiu 5% jedoste o wartościach ajiższych oraz 5% jedoste o wartościach ajwyższych. Wariacja Dla daych idywidualych: s = ( x i x) i = Dla szeregu rozdzielczego putowego: s = ( xi x) i i = Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: o s ( xi x) i i = Odchyleie stadardowe Oreśla o ile wszystie jedosti daej zbiorowości różią się średio od średiej arytmetyczej badaej cechy: s = s Stadaryzacja cechy Cechy mogą być przeształcoe z użyciem średiej arytmetyczej i odchyleia stadardowego do postaci stadaryzowaej: x x u = s Wielość stadaryzowaa u daej wielości x wsazuje o ile odchyleń stadardowych s różi się wartość cechy od średiej arytmetyczej tej cechy. Patrz put estymacja parametrycza 3

14 Współczyi zmieości Pozwala a porówywaie zmieości cechy w ilu zbiorowościach będących a różym poziomie, oreśloym p. średią arytmetyczą lub mediaą. Jest to iloraz bezwzględej miary dyspersji i odpowiedich wartości średich i wyrażoy jest w procetach. V s = s d 00 V d = 00 x x lasycze współczyii zmieości V Q = Q Q3 Q 00 V Q Q 3 = 00 Me Q3 + Q pozycyje współczyii zmieości 3. Miary asymetrii Współczyi asymetrii (sośość) m3 As = 3 s m 3 momet cetraly 3-go rzędu Dla szeregu rozdzielczego putowego: 3 m3 = ( xi x) i i = Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: o 3 m3 ( xi x) i i = Rówy 0 dla rozładu symetryczego, dodati dla symetrii prawostroej, ujemy dla lewostroej. Przybiera wartości zawarte w przedziale,. Pozycyjy współczyi asymetrii As = Q3 + Q Q Me 4. Miary ocetracji m 4 momet cetraly 4-go rzędu. Dla szeregu rozdzielczego putowego: m Kurtoza m4 a 4 = 4 s 4 4 = ( xi x) i = Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego: o 4 m4 ( xi x) i i = Dla rozładu ormalego a 4 = 3, zaś dla bardziej spłaszczoego a 4 < 3, dla bardziej wysmułego a 4 >3. Przy porówywaiu zbiorowości jedomodalych stosuje się rówież miarę escesem: e = a 4 3 Esces iformuje więc o tym, czy ocetracja wartości zmieej woół średiej jest miejsza, więsza iż w zbiorowości o rozładzie ormalym. i 4

15 Estymacja. Estymacja parametrycza. Estymacja putowa Nieobciążoym i zgodym estymatorem wartości oczeiwaej jest średia wartość próby. X = X i Gdy wartość oczeiwaa rozładu ie jest zaa ieobciążoym i zgodym estymatorem wariacji jest statystya opisaa wzorem: Sˆ = ( X i X ) i= Jao estymator odchyleia stadardowego przyjmuje się pierwiaste z wartości estymatora wariacji.. Estymacja przedziałowa Przedziałem ufości dla parametru θ a poziomie ufości α ( 0 < α < ) azywa się przedział θ, ), tórego ońce są fucjami próby losowej i ie zależą od szacowaego ( θ parametru, atomiast prawdopodobieństwo porycia przez te przedział iezaego parametru θ wyosi α. Liczbę α azywa się współczyiiem ufości. Przedział ufości dla wartości oczeiwaej w przypadu rozładu ormalego o iezaej wariacji moża zapisać wzorem: S S X t α, X + t α (, ) (, ), gdzie S ozacza ieobciążoy estymator odchyleia stadardowego, zaś t α (, ) watyl rozładu studeta. Przedział ufości dla wartości oczeiwaej w przypadu dowolego rozładu o iezaej, ale sończoej wariacji dla próby o dużej liczości ( > 0) moża zapisać wzorem: S S X u, X + u α α, gdzie u α jest watylem rzędu α zmieej losowej o rozładzie N(0,). i= Przedział ufości dla wariacji w przypadu rozładu ormalego o iezaej wartości oczeiwaej moża zapisać wzorem: ( ) S ( ) S,, χ α χ α (, ) (, ) gdzie S ozacza ieobciążoy estymator odchyleia stadardowego, zaś χ α watyl rozładu chi wadrat. (, ) 5

16 Przedział ufości dla odchyleia stadardowego w przypadu dowolego rozładu o iezaej wartości oczeiwaej dla próby o dużej liczości ( > 0) moża zapisać wzorem: S S,, u α u α + gdzie u α jest watylem rzędu α zmieej losowej o rozładzie N(0,).. Estymacja ieparametrycza Estymatorem jądrowym fucji gęstości f (x) azywamy fucję postaci: a f( x; a ) = K ( a ( x X i )), i= gdzie: jest rozmiarem próbi, X i ozacza oleje wartości próbi, ( a ) jest ciągiem N dodatich liczb rozbieżym do iesończoości taim, że a = o(), tz. lim = 0 K (x) jest fucją spełiającą warue: + K( x) dx = Dowodzi się, że błąd średiowadratowy + ( ) E f ( x; a) f ( x) dx jest zbieży do zera przy, co uzasadia przyjęcie fucji f ( x; a ) za estymator gęstości f (x). Z przedstawioej defiicji estymatora jądrowego gęstości wyia, że zależy o od wyboru postaci fucji jądra K (x) i wyboru ciągu ( a) N. W przypadu, gdy szeregu rozdzielczego putowego estymator jądrowy może być oreśloy zależością a f ( x; a ) = i K ( a ( x X i )), gdzie i ozacza liczebości pomiarów o wartości X i, a liczbę różych wartości. i = a oraz Przyładowe pytaia sprawdzające przygotowaie do zajęć. Podaj defiicję dystrybuaty.. Podaj defiicję fucji gęstości prawdopodobieństwa. 3. Wyjaśij pojęcia: permutacja, ombiacja oraz wariacja. Podaj wzór a liczbę elemetowych ombiacji zbioru elemetowego. 4. Podaj wzór a prawdopodobieństwo całowite i wyjaśij zaczeie symboli. 5. Co to jest próba i schemat Beroulliego? Podaj wzór a prawdopodobieństwo, że w próbach Beroulliego uzysa się sucesów. 6. Wyjaśij co to jest zagadieie Bayesa. Jai stąd wyia wzór a prawdopodobieństwo? 6

17 7. Podaj wzory a wyzaczaie średiej arytmetyczej. 8. Co to jest domiata? Podaj wzór a wyzaczaie przybliżoej wartości domiaty, gdy dyspoujemy szeregiem rozdzielczym przedziałowym. 9. Wyjaśij pojęcia: watyl, percetyl i awrtyle. 0. Podaj wzór a wyzaczaie watyla rzędu p, gdy dyspoujemy szeregiem rozdzielczym przedziałowym.. Podaj przyłady miar rozproszeia.. Podaj przyłady miar asymetrii. 3. Podaj przyłady miar ocetracji. 4. Wyjaśij pojęcia: estymator zgody, estymator ieobciążoy, estymator asymptotyczie ieobciążoy, estymator ajefetywiejszy. 5. Podaj wzór a ieobciążoy estymator wariacji. 6. Podaj wzory a graice przedziału ufości dla wartości oczeiwaej w przypadu rozładu ormalego o iezaej wariacji. 7. Podaj wzory a graice przedziału ufości dla wartości oczeiwaej w przypadu dowolego rozładu o iezaej, ale sończoej wariacji dla próby o dużej liczości. 8. Podaj wzory a graice przedziału ufości dla wariacji w przypadu rozładu ormalego o iezaej wartości przeciętej. 9. Podaj wzór a przedział ufości dla odchyleia stadardowego w przypadu dowolego rozładu o iezaej wartości oczeiwaej dla próby o dużej liczości. 0. Wyjaśij pojęcie i podaj wzór a estymator jądrowym fucji gęstości f(x). 7