WYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Transkrypt

1 WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady

2 Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk populacji geeralej a podstawie daych częściowych = metody rachuku prawdopodobieństwa statystyka opisowa statystyka matematycza

3 Defiicja prawdopodobieństwa (klasycza) Laplace'a (8) Prawdopodobieństwem zajścia zdarzeia A azywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeiu A do liczby wszystkich możliwych przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki wzajemie się wykluczają i są jedakowo możliwe. Jeda kostka do gry Pierre Simo de Laplace (749-87) Prawdopodobieństwo wyrzuceia 6 oczek? P(6)=/6

4 Defiicja prawdopodobieństwa częstościowa (statystycza) R.vo Mises a (93) p. rzut moetą W długiej serii doświadczeń obserwuje się pojawieie się zdarzeia A. Jeśli częstość zdarzeia A wyzaczoą jako iloraz k(a) i przy wzrastaiu długości serii zbliża się do pewej liczby p oscylując wokół tej liczby i jeśli wahaia częstości zdarzeia A przejawiają tedecję malejącą przy wzrastającym, to liczba p azywa się prawdopodobieństwem zdarzeia A.

5 ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA Def., Zmieą losową jest zmiea, która przyjmuje róże wartości liczbowe, wyzaczoe przez los. (A.D. Aczel ) Def. Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elemetarych daego doświadczeia. Fukcję X(ω) przyporządkowującą każdemu zdarzeiu elemetaremu ω Ω jedą i tylko jedą liczbę X(ω)=x azywamy zmieą losową. (J. Jóźwiak, J.Podgórski)

6 TYPY ZMIENNEJ LOSOWEJ X skokowe (dyskrete) czyli przyjmujące skończoą lub co ajwyżej przeliczalą liczbę wartości ciągłe czyli: wartości rzeczywiste z pewego przedziału

7 Rozkład zmieej losowej skokowej = fukcja prawdopodobieństwa to uporządkoway zbiór wszystkich wartości zmieej xi wraz z przyporządkowaymi im prawdopodobieństwami p, p, p...p. 3, Fukcja prawdopodobieństwa: p i = P(X = x i ), gdzie i p i gdy zmiea losowa X przyjmuje skończoą liczbę wartości, lub i p i gdy zmiea losowa X przyjmuje ieskończoą liczbę wartości, ()

8 Rozkład prawdopodobieństwa Rozkład dystrybuaty x i 0 3 F(x) /8 4/8 7/8 Dystrybuata zmieej losowej X jest to fukcja F(x) określoa a zbiorze liczb rzeczywistych F(x) = P(X x), czyli jest to prawdopodobieństwo, że zmiea losowa X przyjmie wartość ie większą od wartości x. Dla zmieej losowej X skokowej, która przyjmuje wartości x, x,... z prawdopodobieństwami p, p,..., dystrybuata ma postać: F x PX x i pi x x i x x i x

9 Własości dystrybuaty: F dla x, 0 x, lim Fx 0 x oraz lim Fx, x F x jest fukcją iemalejącą (dla x<x zachodzi x F ) F i przedziałami stałą, x F x jest fukcją prawostroie ciągłą. P(a < X b) = F(b) F(a)

10 Rozkład prawdopodobieństwa P(0<X )=? Rozkład dystrybuaty x i 0 3 F(x) /8 4/8 7/8 P(0<X )=P(X=)+P(X=)=3/8+3/8=6/8 P(a < X b) = F(b) F(a) P(0<X )=F() - F(0)=7/8 -/8=6/8

11 ROZKŁAD DWUPUNKTOWY Zmiea losowa p. rzut moetą: reszka=0; orzeł=, Założeie: przeprowadzamy doświadczeie, którego rezultatem mogą być dwa wzajemie wykluczające się zdarzeia losowe A oraz A prawdopodobieństwo realizacji zdarzeia A wyosi p, przy czym 0<p<, prawdopodobieństwo zdarzeia A wyosi q=-p, przyporządkowując zdarzeiu A liczbę oraz zdarzeiu A liczbę 0, otrzymujemy zmieą losową X, której fukcja prawdopodobieństwa ma postać: Fukcja prawdopodobieństwa, p. P X p, PX p 0 ; 0 p

12 ROZKŁAD DWUMIANOWY Założeie Jacob Beroulli ( ) zmiea losowa X jest liczbą sukcesów zaobserwowaych w eksperymecie przeprowadzoym zgodie ze schematem Beroulliego, Schemat Beroulliego wykoujemy doświadczeie, którego rezultatem może być zdarzeie A (sukces) z prawdopodobieństwem p lub zdarzeie przeciwe (porażka) A z prawdopodobieństwem q=-p, doświadczeie powtarzamy -krotie w sposób iezależy co ozacza, że prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje w pojedyczych próbach stałe i rówe p, liczba sukcesów jaką zaobserwujemy w wyiku -krotego powtórzeia doświadczeia, może być rówa k=0,,,...,.

13 ROZKŁAD DWUMIANOWY Zmiea losowa X ma rozkład dwumiaowy, jeśli przyjmuje wartości k= 0,,, z prawdopodobieństwami określoymi wzorem Liczbę doświadczeń oraz prawdopodobieństwo sukcesu p azywamy parametrami tego rozkładu

14 Rozkład zmieej losowej ciągłej opisay jest przez fukcją gęstości prawdopodobieństwa f(x), określoą a zbiorze liczb rzeczywistych jako: f x lim x0 P x X x x x

15 f(x) f(x) Rozkład ormaly zmieej X ~ N(m, σ) rozkład Gaussa f x xm e krzywa Gaussa Własości Jest symetrycza względem prostej x=m Osiąga maksimum rówe m x Jej ramioa mają pukty przegięcia dla x=m-σ i x=m+σ

16 Rozkład ormaly Reguła 3 sigm Prawdopodobieństwo tego, że zmiea losowa X o rozkładzie ormalym N(m, σ) przyjmie wartość różiącą się od średie o:

17 Rozkład ormaly Stadaryzacja zmieej losowej X~ N(m,σ)

18 Parametry zmieej losowej Momety zwykłe rzędu k (k=,, ) zmieej losowej X azywamy wartość oczekiwaą k-tej potęgi tej zmieej, tz.: - zmiea losowa skokowa - zmiea losowa ciągła

19 Parametry zmieej losowej Średia zmieej losowej= wartość oczekiwaa zmieej losowej= adzieja matematycza= momet zwykły pierwszego rzędu Def. Wartością oczekiwaej zmieej losowej X azywamy wyrażeie: E X i xf x i p x i dx dla zmieej losowej skokowej dla zmieej losowej ciąglej gdzie pi ozaczają wartości fukcję fukcji prawdopodobieństwa zmieej losowej X przyjmującej wartości xi (i=,,...), atomiast f(x) jest fukcją gęstości prawdopodobieństwa.

20 Parametry zmieej losowej Właściwości E(X) E(b) = b E(aX) = ae(x) E E(aX+b) = ae(x)+b Jeśli Y = X - E(X) to E(Y) = 0 E(X±Y) = E(X)±E(Y) E(XY) = E(X)*E(Y) jeśli X i Y są iezależe

21 Parametry zmieej losowej Momety cetraly rzędu k (k=,, ) zmieej losowej X azywamy wartość k oczekiwaą fukcji g(x)=[x-e(x)] tej zmieej, tz.: - zmiea losowa skokowa - zmiea losowa ciągła

22 Parametry zmieej losowej Wariacja zmieej losowej = momet cetraly drugiego rzędu

23 Wartość oczekiwaa i wariacja, p X E X E X E i i i i. p p X D X D X D i i i i ROZKŁAD DWUMIANOWY Parametry zmieej losowej

24 Parametry zmieej losowej Właściwości D²(X)=E[X-E(X)]² D²(b) = 0 D²(X+b) = D²(X) D²(aX) = a²d²(x) D²(aX+b) = a²d²(x) Jeśli to D²(Y) = Jeśli c E(X) to D²(X) < E(X-c)² D²(X±Y) = D²(X) + D²(Y) jeśli X i Y są ieskorelowae

25 PRÓBA LOSOWA Próbą losową prostą azywamy ciąg -zmieych losowych iezależych i posiadających jedakowe rozkłady takie jak rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej Populacja geerala Próba losowa

26 STATYSTYKI Z PRÓBY STATYSTYKA (z próby) Statystyką (z próby) azywamy zmieą losową Z będącą fukcją zmieych losowych X, X, X staowiących próbę losową Przykłady: wyzaczoe z daych z próby losowej p.: średia arytmetycza, częstość względa, wariacja

27 STATYSTYKI Z PRÓBY STATYSTYKA (z próby) Statystyka jako fukcja zmieych losowych sama jest zmieą losową, która posiada pewie rozkład Rozkład statystyki Z =z(x, X, X3, X) azywa się rozkładem z próby Rozkład statystyki z próby zależy od: rozkładu zmieej losowej X w populacji geeralej liczebości próby

28 STATYSTYKI Z PRÓBY STATYSTYKA (z próby) Rozkład statystyki z próby przy ustaloym azywamy dokładym rozkładem statystyki. Rozkłady dokłade są wykorzystywae w przypadku tzw. małych prób. Rozkład graiczy statystyki (o ile taki istieje) jest wykorzystyway, gdy ie moża zaleźć dokładego rozkładu statystyki z próby. Wymaga to tzw. dużej próby.

29 STATYSTYKI Z PRÓBY ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY DLA POPULACJI NORMALNEJ ZE ZNANYM ODCHYLENIEM STANDARDOWYM ROZKŁAD DOKŁADNY Założeia X ma rozkład N(m,σ) Pobieramy -elemetową próbę losową prostą (X, X, X) Średia arytmetycza z próby posiada rozkład ormaly o stadardowym i odchyleiu

30 f(x) STATYSTYKI Z PRÓBY ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY DLA POPULACJI NORMALNEJ ZE ZNANYM ODCHYLENIEM STANDARDOWYM ROZKŁAD DOKŁADNY X:N(5;) X:N(5;0,) =00

31 STATYSTYKI Z PRÓBY ROZKŁAD ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ Z PRÓBY DLA POPULACJI NORMALNEJ Z NIEZNANYM ODCHYLENIEM STANDARDOWYM ROZKŁAD mała DOKŁADNY próba W.S.Gosset odkrył w 908r rozkład statystyczy zależy od pomiarów x i, a iezależy od wariacji => rozkład t-studeta. Założeia: Cecha X ma w populacji rozkład ormaly ze średia m i William Sealy Gosset ( ). odchyleiem stadardowym σ, Z populacji pobieramy -elemetową losową próbą (X, X,, X ) Do wioskowaia o średiej korzystamy ze statystyki t-studeta:

32 STATYSTYKI Z PRÓBY Liczba stopi swobody v liczba iezależych wyików obserwacji pomiejszoa o liczbę iezależych związków, które łączą te wyiki ze sobą. Liczbę stopi swobody moża utożsamiać z liczbą iezależych zmieych losowych, które wpływają a wyik. X

33 STATYSTYKI Z PRÓBY Rozkład t-studeta 30

34 TWIERDZENIA GRANICZNE W twierdzeiach tych rozpatruje się ciągi zmieych losowych {X}, których rozkłady przy wzroście wskaźika do ieskończoości mogą być zbieże do pewego rozkładu. Taki rozkład jest azyway rozkładem graiczym (asymptotyczym) ciągu zmieych losowych {X}. Twierdzeia graicze formułują waruki, przy zachowaiu, których dla ciągu zmieych losowych istieje asymptotyczy rozkład oraz określają, jaka jest postać tego rozkładu.

35 TWIERDZENIA GRANICZNE Wyróżiamy dwa rodzaje twierdzeń graiczych: twierdzeia lokale dotyczą zbieżości ciągu fukcji prawdopodobieństw zmieych losowych typu skokowego lub zbieżości ciągu fukcji gęstości zmieych losowych typu ciągłego twierdzeia itegrale dotyczą zbieżości ciągu dystrybuat zmieych losowych

36 TWIERDZENIA GRANICZNE Wśród twierdzeń graiczych ważą rolę odgrywają twierdzeia o rozkładach graiczych sum iezależych zmieych losowych, w tym o zbieżości dystrybuat stadaryzowaych sum iezależych zmieych losowych do dystrybuaty rozkładu ormalego. Poza twierdzeiami o zbieżości do rozkładu ormalego istote zaczeie mają tzw. prawa wielkich liczb, w których rozkładem graiczym jest rozkład jedopuktowy.

37 Abraham de Moivre ( ) TWIERDZENIA GRANICZNE Itegrale twierdzeie graicze twierdzeie mówiące o zbieżości ciągu dystrybuat Twierdzeie de Moivre`a - Laplace`a Pierre Simo de Laplace (749-87) Niech {X } będzie ciągiem zmieych losowych o rozkładzie dwumiaowym z parametrami i 0<p< oraz iech {U } będzie ciągiem stadaryzowaych zmieych X : X p U, pq Wtedy dla ciągu dystrybuat {F (u)} zmieych losowych U zachodzi dla każdej wartości u

38 Wiosek Ciąg zmieych losowych {X } o rozkładzie dwumiaowym z parametrami i p (iestadaryzowaych) jest zbieży do rozkładu ormalego N p; pq Wiosek Jeśli rozpatrzymy ciąg zmieych, to z twierdzeia de Moivre'a-Laplace'a wyika, że zmiea ta ma asymptotyczy rozkład ormaly TWIERDZENIA GRANICZNE Twierdzeie de Moivre`a - Laplace`a N p, pq X

39 J.W.Lideberg (876-93) Itegrale twierdzeie graicze twierdzeie mówiące o zbieżości ciągu dystrybuat Cetrale twierdzeie graicze Lideberga-Levy`ego Paul Levy (886-97) Jeśli {Xk} jest ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowych rozkładach (idetyczych wartościach oczekiwaych E(Xk)=E(X) oraz skończoych wariacjach D²(Xk)=D²(X), to ciąg dystrybuat {F(t)} zmieych losowych T określoych wzorem spełia: TWIERDZENIA GRANICZNE T Z E( X ) D( X ) Dla każdej wartości t

40 TWIERDZENIA GRANICZNE Cetrale twierdzeie graicze Lideberga-Levy`ego Wiosek Zmiea losowa Z określoa wzorem ma asymptotyczy rozkład ormaly Wiosek Jeśli dla określoych wyżej zmieych losowych Z rozpatrzymy zmieą i wariacji o wartości oczekiwaej to z twierdzeia L-L otrzymujemy, że ciąg zmieych {V} jest zbieży do rozkładu ormalego

41 STATYSTYKI Z PRÓBY Zmiea Statystyka Stadaryzacja Rozkład X~ N(m, σ) średia X~ N(m,?) mała próba 30 X~ iezay rozkład duża próba > 30 X~ dwumiaowy duża próba 00 średia średia częstość X : Nm ; x X : Nm; X : Nm; W X U U U X m X m W p p( p) N(0; ) t-studet v=- N(0; ) N(0; )

42 STATYSTYKI Z PRÓBY x Zmiea Statystyka Stadaryzacja Rozkład X~ N(m, σ) X~ N(m, σ) różica dwóch średich N(0; ) X~ N(m, σ) X~ N(m, σ) mała próba 30 różica dwóch średich t-studet X, X ~ iezae rozkłady duża próba + > 30 różica dwóch średich, N(0; ) X, X ~ dwumiaowe rozkłady duża próba + 00 różica dwóch częstości, N(0; ), : m m N X X m m X X U s m m X X t p, : m m N X X m m X X U ; : p p p p p p N W W ) ( ) ( ) ( ) ( p p p p p p W W U v=+-