1.3. Przestrzeni. Odwzorowania. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera- Capellego
|
|
- Władysława Niewiadomska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁD 4 3 Przestrzei Odwzorowaia Rząd acierzy Twierdzeie Croecera- Capellego 3 Przestrzeń Przestrzeń wetorowa Baza przestrzei wetorowej 78 (Przestrzeń ) Niech ozacza zbiór wszystich ciągów -eleetowych o wyrazach ależących do, to jest zbiór uporządowaych -e liczb rzeczywistych Ciągi taie będziey zapisywali w oluach X x (to jest = ) i azywali wetorai (oluowyi) Wtedy j ij działaia z wetorai (dodawaie wetorów, ożeie przez liczbę (salar)) są zdefiiowae ta sao ja odpowiedie działaia z acierzai: x x2 X X 2 [ xi xi 2], X [ x i ] x x 2 Zbiór z ta zdefiiowayi działaiai azyway przestrzeią liiową lub wetorową (-wyiarową) Eleet X oże być utożsaiay z pute w przestrzei czyli z wetore o początu w zerze i ońcu w ty właśie pucie (jest to wetor wodzący tego putu) Przestrzeń azyway płaszczyzą (liczbową) +B79 (Defiicja) Przestrzeią wetorową ad ciałe F azyway zespół złożoy z dowolego zbioru, z ciała F i dwu działań: dodawaia (wewętrzego) oreśloego w zbiorze i ożeia przez liczbę ze zbioru F (zewętrzego) spełiających astępujące postulaty: 79) dodawaie wetorów jest działaie przeiey: x+y=y+x i łączy: ( x y) z x ( y z) dla dowolych x, y, z ; 792) istieje eleet zerowy 0: x0 x dla dowolego x; 793) dla ażdego eleetu x istieje eleet x przeciwy (odwroty): x ( x) 0; 794) ożeie przez liczbę jest rozdziele względe dodawaia w zbiorze : ( x y) x y ( F; x, y) i względe dodawaia w zbiorze F: ( )x x x (, F; x); 795) ( x) ( ) x (, F; x); 2
2 796) w F istieje eleet jedostowy tai, że x x, x Eleety azyway wtedy wetorai +B+C80 (Przyłady) 80) jest przestrzeią wetorową ad (tz ad sobą); 802) zbiór wetorów jao sierowaych odciów a płaszczyźie ze stadardowyi działaiai dodawaia i ożeia przez liczbę ad współrzędyi; 803) jest przestrzeią wetorową ad ; 804) zbiór wszystich acierzy o wyiaru ad ; 805) zbiór ciągów zbieżych; 806) zbiór C[0,] wszystich ciągłych fucji oreśloych w zbiorze [0,] itd 8 (Defiicja) Niech j j j ij ; x, x x dla j,2,, Wyrażeie x 2x2 x azyway obiacją liiową wetorów x, x2, x ze współczyiai, 2, Jeżeli 2 0, to obiacja jest trywiala, w przeciwy przypadu obiację azyway ietrywialą 82 (Defiicja) Wetory x, x2, x azyway liiowo zależyi, jeżeli istieje ich ietrywiala liiowa obiacja zerowa, to jest jeżeli istieją liczby, 2,, ie wszystie rówe 0, taie że x 2x2 x 0 () W przeciwy przypadu: x 2x2 x wetory x, x2, x azyway liiowo iezależyi Zauważy, że wetory x, x2, x są liiowo iezależe wtedy i tylo wtedy gdy uład () rówań xi xi 0 ( i,2,, ) a tylo jedo rozwiązaie (zerowe) +B83 (Twierdzeie) Wetory x, x2, x są liiowo iezależe wtedy i tylo wtedy, gdy det xij 0, gdzie xj xi j dla j,2,, (to zaczy wyzaczi eleetai tórego są współrzede tych wetorów jest róży od zera) +B84 (Twierdzeie) Wetory x, x2, x są liiowo zależe wtedy i tylo wtedy, gdy co ajiej jede z ich oża wyrazić przez obiację liiową pozostałych wetorów
3 85 (Defiicja) Bazą przestrzei liiowej liiowo iezależych wetorów tej przestrzei będziey azywali zbiór +B86 (Defiicja) Bazą przestrzei liiowej azyway tai zbiór liiowo iezależych wetorów, że dowoly wetor tej przestrzei oża wyrazić przez obiację liiową wetorów bazy Przestrzeń wetorową posiadającą bazę sończoą azyway przestrzeią sończeie wyiarową Wtedy ilość eleetów bazy azyway wyiare przestrzei i ozaczay sybole di Przestrzeń ieposiadającą bazy sończoej azyway przestrzeią iesończeie wyiarową Wtedydi Dla przestrzei sończeie wyiarowej bazę tworzy zbiór wetorów złożoy z ajwięszej liczby liiowo iezależych wetorów tej przestrzei Wtedy bazą przestrzei liiowej będzie zbiór liiowo iezależych wetorów tej przestrzei +B+C87 (Ćwiczeie) Zbadać, tóre przestrzeie z +B+C80 są sończeie wyiarowe i zaleźć ich bazę +B88 (Defiicja) Niepusty podzbiór M przestrzei wetorowej ad ciałe F azyway podprzestrzeią przestrzei, jeżeli 88) x, ym x ym, 882) F; x M xm (dodawaie i ożeie przez liczbę ie wywodzi z M ) Zbiór M jest wtedy sa przestrzeią wetorową ad ciałe F 89 (Defiicja) Wetory e, e2,, e tworzą bazę stadardową (aoiczą), jeżeli acierz eij jest jedostowa, gdzie e j ei j dla j=,, +B90 (Twierdzeie) Każdy wetor przestrzei oża zapisać jao obiację liiową wetorów bazy Współczyii tej obiacji (to jest rozwiięcia wetora w tej bazie) dla daego wetora są wyzaczoe jedozaczie i azywa się współrzędyi tego wetora w tej bazie Niech wetory e, e2,, e i e', e' 2,, e' tworzą dwie róże bazy w Biorąc dowoly wetor x xe xe x' e' x' e' o współrzędych x, x2, x w starej bazie e, e2,, e i x ',, x ' w owej bazie
4 e',, e ' w przestrzei j=,,), otrzyujey: x x e x ' e' x ' e e ( e x ' ) e i i j j j ij i ij j i i j j i i j (w szczególości, e' e e e e dla j j j Z powyższego oraz z jedozaczości współrzędych (+B90) wyia, że x e x ' dla i=,, Wtedy i i j j j x x x x ' +B9 (Twierdzeie: ziaa bazy) Niech i x ' będą x ' wetorai współrzędych wetora x w odpowiedio (starej) bazie e, e2,, e i w (owej) bazie e ',, e ' w przestrzei Wtedy ożey zapisać relację iędzy staryi x, x2, x i owyi x', x' 2, x ' współrzędyi: x Ex', x' E x, (2) gdzie acierz ij E e azyway acierzą ziay bazy W (2) olua acierzy E jest oluą współrzędych j -go wetora e ' j owej bazy w starej bazie 92 (Defiicja) Baza v,, v przestrzei jest bazą własą acierzy, jeśli ażdy wetor bazy jest wetore własy acierzy Jeżeli baza własa istieje, acierz azyway acierzą prostej strutury +B93 (Twierdzeie) Niech będzie acierzą strutury prostej o wyiaru i v,, v jej bazą własą, S v,, v jest acierzą ziay bazy (baza własa jest ową bazą) Wtedy acierz S S diag,, 0 0 jest acierzą diagoalą, gdzie,, są wartościai własyi acierzy 32 Odwzorowaie liiowe Jądro i obraz przeształceia liiowego 94 (Defiicja) Odwzorowaie f : azyway liiowy, jeśli spełia oo astępujące własości: 94) x, y : f ( x y) f ( x) f ( y) (addytywość); j -a
5 942) x, : f ( x) f ( x) (jedorodość) 95 (Przyład) Odwzorowaie f ( x) x, gdzie a i j, x, jest liiowe ( f : ) Oazuje się, że przyład 95 opisuje wszystie taie odwzorowaia liiowe ( ) +B96 (Twierdzeie) Każde odwzorowaie liiowe f : a postać f ( x) x dla pewej acierzy Dowód (B) Niech wetory e, e2, e i e', e' 2, e' tworzą bazę w i odpowiedio i f ( e ),, f ( e ), gdzie f ( ej) ei je' i (3) Wtedy i i f ( x) f ( x e x e ) x f ( e ) x e e' ( e x ) e' y e' y i Stąd ay i y i i j j j j j (3) j ij i ij j i j j i i j e x dla i,, czyli y x f () x, gdzie x y x, y x y Macierz f ( e ),, f ( e ) azyway reprezetacją acierzową odwzorowaia f : odpowiedio w bazach e, e2, e w i e', e' 2, e ' w B+C97 (Fat) Wszystie przestrzeie wetorowe jedego wyiaru ad jedy ciałe są izoorficze iędzy sobą i są izoorficze przestrzei F (przestrzeń ciągów x,, x eleetów ciała F ) 98 (Defiicja) Odwzorowaie liiowe : T M przestrzei wetorowych i M azyway przeształceie liiowy tych przestrzei (ietórzy autorzy uważają, że M) Wtedy jądre KerT przeształceia liiowego T
6 azyway zbiór wetorów przestrzei przechodzących w wetor zerowy przestrzei M Syboliczie KerT x: T( x) 0 igdy ie jest zbiore pusty, ay zawsze 0 KerT Obraze przeształceia liiowego T : M azyway zbiór wetorów przestrzei M, w tórych T przeprowadza wetory przestrzei Syboliczie I T ym : y T( x), x ie jest igdy zbiore pusty (wetor zerowy przestrzei M jest zawsze eleete tego zbioru) KerT IT I T 99 (Przyład) Niech T : M będzie przeształceie liiowy Wtedy istieje acierz [ a ij ] taa, że T() x x May zate: KerT Ker jest zbiore rozwiązań uładu jedorodego T jest zbiore wetorów b, dla tórych uład iejedorody x b a rozwiązaie x 0, a I I +B00 (Twierdzeie) Niech przeształceia liiowego T :, a S będzie acierzą ziay bazy w Wtedy acierz S S jest reprezetacją acierzową tego przeształceia w owej bazie Dowód May: x S x', y S y', y T( x) x Stąd wyia: y' S y S x S S x będzie reprezetacją acierzową ' B0 (Twierdzeie) Jądro przeształceia liiowego T : M jest podprzestrzeią przestrzei, a obraz T jest podprzestrzeią przestrzei M +B+C02 (Ćwiczeie) 02 Sprawdzić liiową zależość wetorów: a) abc,, ; b) b, c, d ; jeżeli a, b 2, c, d 3 ; oraz zaleźć współrzęde wetora d w bazie abc,, Sprawdzić, czy wetor d jest obiacją liiową wetorów b i c 022 W jai sposób oża zbadać, czy podae wetory tworzą bazę przestrzei 023 Zaleźć wartości i wetory włase acierzy oraz reprezetację acierzową przeształceia liiowego y x w bazie własej 024 W jai sposób oża sprawdzić liiowość daego odwzorowaia i przedstawić w postaci acierzowej
7 x 025 Zbadać, czy zbiór y 3 : x y z będzie podprzestrzeią z przestrzei, zaleźć bazę Niech ozacza zbiór wieloiaów stopia s, s, i f : P P : 2 p( x) a x a x a ( ) ( ) x a f p a x a x a Zaleźć reprezetację acierzową odwzorowaia f P Rząd acierzy Twierdzeie Croecera-Capellego def Niech a ij a,, a będzie acierzą o wierszach i oluach ad zbiore (ciałe pozio C) liczb rzeczywistych Każda j-ta olua acierzy jest ciągie eleetów a,, a (ciała ) i oże być a j tratowaa jao eleet (wetor) przestrzei Wtedy ówiy, że oluy acierzy są liiowo zależe, jeżeli istieją ie wszystie rówe zeru liczby rzeczywiste,, taie, że ai 0 ai W przeciwy przypadu tz jeżeli ai 0 ai to 2 0, ówiy, że oluy są liiowo iezależe Podobie defiiujey liiową zależość, iezależość wierszy a,, i a i 03 (Defiicja) Rzęde (oluowy) acierzy azyway ajwięszą liczbę olu acierzy liiowo iezależych Na ozaczeie tej liczby używay sybolu ra lub rz Doładiej: rz p, jeżeli istieje wśród olu acierzy olu liiowo iezależych i jeżeli ażde p olu są liiowo zależe B+C04 (Twierdzeie) Niech Wtedy rząd oluowy acierzy jest rówy wyiarowi podprzestrzei przestrzei geerowaej przez oluy acierzy, to jest rz di{ a a : i ; i,, } ; wyiare przestrzei wetorowej azyway ajwięszą liczbę liiowo iezależych wetorów tej przestrzei B05 (Uwaga) Przestrzeń jest -wyiarowa, a acierz a olu Ty say wyiar przestrzei geerowaej przez oluy acierzy ie oże przeraczać ai liczby, ai liczby Zate rz i{, } j j p
8 +B06 (Uwaga) Macirzy przy dowolie ustaloych bazach e,, e e',, e ' przestrzei i odpowiada przeształceie liiowe T :, T( x) x Rzęde azyway wyiar przestrzei I Eleetai j-ej oluy acierzy są przy ty współrzęde względe bazy e ',, e ' wetora Masyala ilość liiowo iezależych wetorów T( e ),, T( e ) jest ty say rówa rzędowi acierzy Z drugiej stroy liczba ta jest rówa wyiarowi przestrzei Zate rzt rz di I i to iezależie od wyboru baz przestrzei IT i T rzt przeształceia liiowego T ( e ) +B07 (Twierdzeie: operacje eleetare a oluach) Rzędu oluowego acierzy ie zieia żada z trzech astępujących operacji: 07) przestawieie dwu dowolych olu, 072) poożeie przez liczbę różą od zera tórejolwie oluy, 073) dodaie do tórejś oluy iej oluy poożoej przez dowolą liczbę ciała Scheat dowodu Dla 07): wetory a,, ai,, a j,, a są liiowo iezależe (wetory a,, a j,, ai,, a są liiowo iezależe); dla 872): wetory a,, a są liiowo iezależe ( a i ai iai iai a 0 i i i 0) ( a ia i i ( ai ) iai i a 0 i i 0) wetory a,, ai, ai, ai,, a są liiowo iezależe( 0) ; dla 873): a,, a,, a,, a są liiowo iezależe a,, a,, a a a,, a są i j liiowo iezależe B j T i j i +B08 (Uwaga) W podoby sposób oża zdefiiować (oreślić) rząd wierszowy rzw acierzy jao ajwięszą liczbę wierszy liiowo iezależych, jeżeli będziey tratować ciągi eleetów ai,, a i ( i,, ) jao wetory (o współrzędych a,, a ) przestrzei Rzędu wierszowego i acierzy ie zieia żada z trzech astępujących operacji (azyway je operacjai eleetaryi a wierszach): 08) przestawieie dwu dowolych wierszy, 082) poożeie tóregoolwie wiersza przez dowoly eleet ciała róży od zera, 083) dodaie do tóregoolwie wiersza iego wiersza poożoego przez dowoly eleet ciała i i
9 09 (Defiicja) Rzęde acierzy azyway podwyzaczi (ior) tej acierzy ajwięszego stopia róży od zera i ozaczay jao rz ra lub +C0 (Twierdzeie: rząd acierzy) Rząd oluowy i rząd wierszowy acierzy są rówe iędzy sobą i są rówe rzędowi acierzy, to jest ra rz rz w (Uwaga: obliczeie rzędu) Operacje eleetare a wierszach oża powtarzać oraz łączyć ze sobą i z aalogiczyi operacjai a oluach dowolą ilość razy Otrzyae a tej drodze owe acierze ają zawsze te sa rząd, co acierz Moża wyazać (+B), że za poocą operacji I 0 eleetarych ażda acierz jest sprowadzala do postaci E r 0 0, gdzie ozacza acierz jedostową stopia r, a zera wsazują, że wszystie I r eleety tej acierzy są zerai, to jest eij 0 dla i j, gdzie E e ij Wtedy obliczeie rzędu acierzy ie sprawia już żadych trudości: ra ra E r B2 (Uwaga) Macierz ij a azyway rówoważą acierzy ij B b, jeżeli istieją acierze (wadratowe) ieosobliwe P i Q taie, że =PBQ Wtedy dwie acierze o wierszach i oluach są rówoważe wtedy i tylo wtedy gdy ich rzędy są rówe, w szczególości acierz E jest I 0 rówoważą acierzy : PQ E r 0 0 jeżeli r ra +B3 (Własości rzędu) Niech jest acierzą o wierszach i oluach 3 Rząd dowolej acierzy jest rówy rzędowi jej acierzy T T traspoowaej, to jest ra ra 32 Macierz wadratowa stopia jest ieosobliwa wtedy i tylo wtedy gdy jej rząd wyosi Rząd acierzy odwrotej rówież rówy jest 33 Dla dowolych dwu acierzy i B, dla tórych oreśloy jest iloczy B, zachodzi ierówość ra( B) i{ ra, rab} Jeżeli jest acierzą wadratową ieosobliwą, to ra( B) ra B, a jeżeli B jest acierzą wadratową ieosobliwą, to ra( B) ra
10 B+C4 (Własości rzędu) Niech jest acierzą o wierszach i oluach, a T : R R jest przeształceie liiowy: T ( x) x Wtedy 4) ra rz rzw rat diit i{, } ; 42) ra di KerT ; gdzie KerT Ker jest zbiore (jądro przeształceia jedorodego T jest zbiore (obraz przeształceia wetorów b x 0, a I I, dla tórych uład iejedorody x b T ) rozwiązań uładu T ) a rozwiązaie B+C5 (Uwaga) W sposób podoby 03, +B08, 09 oża oreślić rząd acierzy ad ciałe liczb zespoloych i w ogólości ad dowoly ciałe F Wracay teraz do uładów rówań liiowych: a x a x a x b, 2 2 a x a x a x b, a x a x a x b 2 2 czyli w postaci acierzowej x b, (4) gdzie x b aij, x, b x b Macierz o wierszach i + oluach def [ b, ] a a b a a b powstającą z acierzy współczyiów uładu (4) przez dołączeie oluy wyrazów wolych azyway acierzą uzupełioą uładu (4) Stąd ay ryteriu rozwiązalości uładu (4) +B6 (Twierdzeie Kroeeera-Capellego) Uład rówań liiowych (4) a co ajiej jedo rozwiązaie wtedy i tylo wtedy, gdy rząd acierzy tego uładu rówy jest rzędowi acierzy uzupełioej, to zaczy
11 ra[, b] ra (5) Scheat dowodu Niech [ a a ], gdzie wetory ozaczają oleje oluy acierzy współczyiów W przyjętych ozaczeiach uład () jest rówoważy rówaiu x a xa b (6) Uład (6) posiada więc co ajiej jedo rozwiązaie wtedy i tylo wtedy, gdy wetor b daje się przedstawić, jao obiacja liiowa wetorów a,, a, a to właśie ozacza, że rzędy acierzy uładu i acierzy uzupełioej są rówe a,, a +B7 (Wiose) by uład rówań liiowych (4) dla dowolych wyrazów wolych posiadał co ajiej jedo rozwiązaie, potrzeba i wystarczy, by rząd acierzy uładu był rówy ilości rówań (wierszów): ra B8 (Uwaga) Warue (5) jest rówoważy waruowi +B58 eliiacji Gaussa ' br 0 w etodzie B+C9 (Uwaga) Twierdzeie Kroeeera-Capellego pozostaje prawdziwe dla uładów rówań liiowych ad dowoly ciałe F +B+C20 (Ćwiczeia) 20 Macierz azyway podobą do acierzy B jeżeli istieje ieosobliwa acierz wadratowa T taa, że T BT Macierze i B są podobe wtedy i tylo wtedy, gdy reprezetują jedo przeształceie liiowe przestrzei w różych bazach 202 Niech [ a ij ], gdzie i ra Sprawdzić T wtedy że acierz jest ieosobliwa 203 Sprawdzić liiowość odwzorowaia, tóre ożey opisać geoetryczie jao obrót o ąt doooła putu (0, 0) Zaleźć reprezetację acierzową tego odwzorowaia oraz reprezetację acierzową w bazie własej +B2 (Ćwiczeia) Obliczyć rząd acierzy Dla jaich wartości paraetru p uład rówań
12 ( p) x x2 x3 x4 a( a ) 2x 2x2 2x3 2x4 2 4 x (6 p) x2 4x3 4x4 4 6x 6x2 6x3 px4 6 a) a rozwiązaie, b) a tylo jedo rozwiązaie?
Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.
15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowoSformułowanie zagadnienia aproksymacji w sensie najmniejszych kwadratów
WYKŁAD APROKSYMACJA WIELOMIANOWA I ZAGADNIENIE NAJMNIEJSZYCH KWADRAÓW Sforułowaie zagadieia aprosyaci w sesie aieszych wadratów Rozważy zbiór putów (węzłów) a płaszczyźie {( x y ), 0,.., }, W typowy zadaiu
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoDwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoWyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Bardziej szczegółowon k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoLiczby Stirlinga II rodzaju - definicja i własności
Liczby Stirliga II rodzaju - defiicja i własości Liczby Stirliga II rodzaju ozaczae sybole S(, ) lub { oża defiiować jao współczyii w rozwiięciu gdzie { x x, 0 (1) 0 x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 2 notatki
Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 2.1
Ekoomia matematycza - 2.1 Przestrzeń produkcyja Zakładamy,że w gospodarce występuje towarów, każdy jako akład ( surowiec ) lub wyik ( produkt ) w procesach produkcji. Kokrety proces produkcji jest reprezetoway
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoVI. OBLICZANIE WYZNACZNIKA I ODWRACANIE MACIERZY
VI OBLICZANIE WYZNACZNIKA I ODWRACANIE MACIERZY Metody obliczaia wyzaczików, które polegaą a rozwiaiu względe koluy lub wiersza są praktyczie bezużytecze, gdy korzystay z koputera Na przykład, przy rozwiaiu
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI
CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE PODSAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUOMAYKI Do podstawowych form opisu dyamii elemetów automatyi (oprócz rówań różiczowych zaliczamy trasmitację operatorową s oraz trasmitację
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie sygnałów
Przestrzeiesygałów Przestrzeń metrycza Przestrzeie Rozważmy dowoly zbiór P oraz dowole elemety p, p, p3 P Jeżeli a parach elemetów zbioru P moża zdefiiować fucję (fucjoał) ρ, tai,że ( ) ( ) ρ p, p 0, ρ
Bardziej szczegółowoMatematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4
Mtemty wyre zgdiei List r 4 Zdie Jeżeli ułd wetorów v, v przestrzei liiowej V ie jest liiowo iezleży, to mówimy, że wetory v, v są liiowo zleże Udowodić stępujące twierdzeie: Ułd wetorów v, v ( ) jest
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowo( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił
3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI
Piotr KOZIERSKI WYKORZYSTAIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDETYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI STRESZCZEIE W artyule przedstawioo sposób idetyfiacji parametryczej obietów ieliiowych zapisaych w przestrzei
Bardziej szczegółowoINDUKCJA MATEMATYCZNA
MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera malgorzata.stera@cs.put.poza.pl www.cs.put.poza.pl/mstera/ INDUKCJA MATEMATYCZNA Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia
Bardziej szczegółowoMACIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI.
MAIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI. k { 1,,..., k} Definicja 1. Macierzą nazyway każde odwzorowanie określone na iloczynie kartezjański.wartość tego odwzorowania na parze (i,j) k j oznaczay aij
Bardziej szczegółowoMetoda najszybszego spadku
Metody Gradietowe W tym rozdziale bdziemy rozwaa metody poszuiwaia dla fucji z przestrzei R o wartociach rzeczywistych Metody te wyorzystuj radiet fucji ja rówie wartoci fucji Przypomijmy, czym jest zbiór
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoZmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoRównania rekurencyjne
Rówaa reurecyje Ja stosować do przelczaa obetów obatoryczych? zaleźć zwąze reurecyjy, oblczyć la początowych wartośc, odgadąć ogóly wzór, tóry astępe udowaday stosując ducję ateatyczą. W etórych przypadach,
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoPrzykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony
Przykładowy arkusz z rozwiązaiai Arkusz II pozio rozszerzoy ( pkt) Pukt A( -, -) jest wierzchołkie robu, którego jede z boków zawiera się w prostej k o rówaiu x - y - 0 Środkie syetrii tego robu jest pukt
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowo