Silnie i symbole Newtona

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część Silie i symbole Newtoa Adrzej Nowici Wydaie drugie, uzupełioe i rozszerzoe Olszty, Toruń, 202

2 SSN - 33(

3 Spis treści Wstęp Silie 5. Iformacje o cyfrach Fucja v p Liczba zer a ońcu Ostatia iezerowa cyfra Silie cyfr i ich suma Rówości z siliami Nierówości z siliami Wyzaczii z siliami Silie i część całowita Liczby! i liczby wadratowe Liczby! i liczby potęgowe Silia i relacja podzielości Pewe rozłady aoicze Twierdzeie Wilsoa i jego dowód Modyfiacje i osewecje twierdzeia Wilsoa Uogólieia twierdzeia Wilsoa Pewe zastosowaia twierdzeia Wilsoa Dzielii liczb! Dzielii liczb!± Dzielii liczb a(!± Liczby!+a +a Iloczy początowych liczb postaci! Iloczyy olejych liczb całowitych Róże faty i zadaia z siliami Fucja Smaradache a Defiicja i przyłady Podstawowe własości fucji Smaradache a Nierówości z fucją Smaradache a Rówości i rówaia z fucją Smaradache a Liczby S(+ - S( Graice i szeregi z fucją Smaradache a Róże faty i zadaia z fucją Smaradache a Wstępe iformacje o symbolach Newtoa Cyfry pewych symboli Newtoa Splot biomialy Przyłady fucji odwracalych względem splotu biomialego Biomiale prawo dualości Biomialy rozład liczby aturalej Wyzaczii z symbolami Newtoa Ciągi typu dwumiaowego i

4 5 Rówości i ierówości z symbolami Newtoa Elemetare rówości z symbolami Newtoa Sumy postaci ( =0 f( Sumy postaci ( =0 f(g( Sumy postaci ( =0 a+r Sumy z podwójymi symbolami Newtoa Liczby postaci ( 2 i rówości Róże rówości z sumami i symbolami Newtoa Rówaia diofatycze z symbolami Newtoa Szeregi z symbolami Newtoa Nierówości z symbolami ( Róże ierówości z symbolami Newtoa Dodatowe faty i zadaia z symbolami Newtoa Symbole Newtoa i podzielość Podzielość przez liczby pierwsze Fucje v p, s p i symbole Newtoa Symbole postaci ( p 6.4 Symbole postaci ( p (, p 2 (, p 3... i podzielość i podzielość Symbole ( p + p i podzielość Liczby postaci ( 2 i podzielość Nwd i ww Sumy z symbolami Newtoa i podzielość Iloczyy i symbole Newtoa Róże faty i zadaia o podzielości i symbolach Newtoa Całowitość pewych liczb wymierych Twierdzeie Lucasa i jego uogólieia 7. Kogruecja ( p ( pm m Twierdzeie Lucasa Zastosowaia twierdzeia Lucasa Ciągi spełiające warue Lucasa Trójąt Pascala modulo m 2 8. Trójąt Pascala modulo Trójąt Pascala modulo Trójąt Pascala modulo Trójąt Pascala modulo Trójąt Pascala modulo m, dla m Trójąt Pascala modulo p Trójąt Pascala modulo p s Podzielość liczby ( przez Liczby Apery ego i liczby Catalaa Liczby Apery ego Liczby Catalaa ii

5 0 Uogólioe symbole Newtoa Symbole i,i 2,...,i Uogólieia trójąta Pascala Symbole Newtoa stowarzyszoe z ciągami 47. Uogólioy współczyi dwumiaowy Beta ciągi Alfa ciągi Symbole Newtoa stowarzyszoe z liczbami Mersee a Symbole Newtoa stowarzyszoe z liczbami q Symbole Newtoa stowarzyszoe z liczbami a - b Symbole Newtoa stowarzyszoe z liczbami Fiboacciego Symbole Newtoa stowarzyszoe z liczbami trójątymi Symbole Newtoa, liczby tetraedrale i uogólieia Permutacje, ombiacje i dodatowe faty Permutacje zbiorów sończoych Permutacje i puty stałe Ijecje, surjecje i liczby Bella Kombiatorya Zadaia róże Spis cytowaej literatury 75 Sorowidz azwis 82 Sorowidz 86 iii

6

7 Wstęp Główym tematem prezetowaej serii siąże są liczby i ich przeróże własości. Autor od ajmłodszych lat zbierał wszelie faty i cieawosti dotyczące ajpierw liczb całowitych i wielomiaów o współczyiach całowitych, a astępie dotyczące rówież liczb wymierych, rzeczywistych, zespoloych oraz wielomiaów ad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo iteresującego materiału, tórego wybrae fragmety będą tu przedstawioe. Materiał pochodzi z wielu różych źródeł. Są tu zadaia i problemy, tóre zajdziemy w popularych czasopismach matematyczych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 894 rou (przeważie 0 umerów w rou The America Mathematical Mothly. Są wśród tych czasopism rówież: agielsie czasopismo Mathematical Gazette,, aadyjsie Crux Mathematicorum, rosyjsie Kwat, chińsie Mathematical Excalibur, itp. Godymi uwagi są rówież polsie czasopisma popularo-auowe: Delta, czasopismo dla auczycieli Matematya oraz ie. Istotą rolę w prezetowaym materiale odegrały zadaia z olimpiad i oursów matematyczych całego świata. Każdego rou pojawiają się opracowaia, siążi oraz artyuły dotyczące zadań z różych zawodów matematyczych. Wspomijmy tylo o prestiżowych seriach siąże z zawodów Iteratioal Mathematical Olympiad (IMO oraz Putam Mathematical Competitio. Sporo orygialych zadań zajduje się w opracowaiach dotyczących olimpiad matematyczych w Rosji lub w państwach byłego Związu Radzieciego. Polsa rówież ma wartościowe serie tego rodzaju siąże. Zebray materiał pochodzi rówież z różych starych oraz współczesych podręcziów i siąże z teorii liczb. Wyorzystao licze siążi popularo-auowe oraz prace auowe publiowae w różych czasopismach specjalistyczych. Są tu też pewe testy pochodzące z iteretu. Więszość prezetowaych fatów ma swoje odośii do odpowiediej literatury. Odośii te wsazują tylo wybrae miejsca, w tórych moża zaleźć albo iformacje o daym zagadieiu, albo rozwiązaie zadaia, albo odpowiedi dowód. Bardzo często omawiay temat jest powtarzay w różych pozycjach literatury i często trudo jest wsazać orygiale źródła. Jeśli przy daym zagadieiu ie ma żadego odośia do literatury, to ozacza to, że albo omawiay fat jest oczywisty i powszechie zay, albo jest to własy wymysł autora. Elemetara teoria liczb jest wspaiałym źródłem tematów zachęcających do pisaia własych programów omputerowych, dzięi tórym moża doładiej pozać badae problemy. Moża wyorzystać zae omputerowe paiety matematycze: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i ie. W prezetowaej serii siąże zajdziemy sporo wyiów i tabel uzysaych główie dzięi paietowi Maple. We wszystich siążach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jedolite ozaczeia. Załadamy, że zero ie jest liczbą aturalą i zbiór {, 2, 3,... }, wszystich liczb aturalych, ozaczamy przez N. Przez N 0 ozaczamy zbiór wszystich ieujemych liczb całowitych, czyli zbiór N wzbogacoy o zero. Zbiory liczb całowitych, wymierych, rzeczywistych i zespoloych ozaczamy odpowiedio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystich liczb pierwszych ozaczamy przez P. Najwięszy wspóly dzieli liczb całowitych a,..., a ozaczamy przez wd(a,..., a lub, w przypadach gdy to ie prowadzi do ieporozumieia, przez (a,..., a. Natomiast ajmiejszą wspólą wielorotość tych liczb ozaczamy przez ww(a,..., a lub [a,..., a ].

8 Zapis a b ozacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadu, gdy a ie dzieli b. Jeśli m jest liczbą aturalą, to ϕ(m jest liczbą wszystich liczb aturalych miejszych lub rówych m i względie pierwszych z liczbą m. Liczbę elemetów sończoego zbioru A ozaczamy przez A. Pewe zamieszczoe tutaj faty przedstawioe są wraz z ich dowodami. Począte dowodu ozaczoo przez D.. Pojawiają się rówież symbole R., U., W. oraz O. iformujące odpowiedio o początu rozwiązaia, uwagi, wsazówi i odpowiedzi. Wszystie tego rodzaju testy zaończoe są symbolem. Srót Odp. rówież ozacza odpowiedź. Spis cytowaej literatury zajduje się a ońcu tej siążi (przed sorowidzami. Liczby pomiędzy awiasami oraz, występujące w tym spisie, ozaczają stroy, a tórych daa pozycja jest cytowaa. W pewych podrozdziałach podao rówież literaturę dodatową lub uzupełiającą. Iformuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb słada się z piętastu astpujących siąże. 0. Liczby wymiere; 02. Cyfry liczb aturalych; 03. Liczby wadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Fucje arytmetycze; 06. Podzielość w zbiorze liczb całowitych; 07. Ciągi reurecyje; 08. Liczby Mersee a, Fermata i ie liczby; 09. Sześciay, biwadraty i wyższe potęgi; 0. Liczby i fucje rzeczywiste;. Silie i symbole Newtoa; 2. Wielomiay; 3. Nierówości; 4. Rówaie Pella; 5. Liczby, fucje, zbiory, geometria. Wszystie siążi z serii Podróże po Imperium Liczb apisao w edytorze L A TEX. Spisy treści tych siąże oraz pewe wybrae rozdziały moża zaleźć a iteretowej stroie autora: Wszystie siążi z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydae przez Wydawictwo Nauowe Olsztyńsiej Wyższej Szoły Iformatyi i Zarządzaia im. prof. Tadeusza Kotarbińsiego. Pierwsze wydaia tych siąże pojawiły się w latach Autor otrzymał sporo iteresujących listów z uwagami i ometarzami dotyczącymi omawiaych zagadień. Były też listy, w tórych wytięto szereg pomyłe, błędów i iedoładości. Autorom tych wszystich listów ależą się szczere i serdecze podzięowaia. Teraz, w tym drugim wydaiu siąże serii Podróże po Imperium Liczb, przesłae uwagi zostały uwzględioe. Naprawioo błędy, dołączoo pewe dowody oraz podao ową atualą literaturę. Wydaie to jest rozszerzoe, uzupełioe i wzbogacoe o pewe owe rozdziały lub podrozdziały. 2

9 o o o o o W jedeastej siążce z serii Podróże po Imperium Liczb, zajmujemy się liczbami postaci! i postaci (, gdzie i są ieujemymi liczbami całowitymi. Liczby te defiiuje się astępująco:! = {, gdy = 0, 2, gdy, =!, gdy,!(! 0, gdy >. Są to ieujeme liczby całowite. Pierwsza z tych liczb, czyli!, jest liczbą wszystich permutacji zbioru -elemetowego. Natomiast ( jest liczbą wszystich -elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego. Książa ta słada się z dwuastu rozdziałów. Trzy początowe rozdziały poświęcoe są liczbom postaci!. W rozdziale pierwszym zebrao iformacje o cyfrach liczb z siliami oraz podao szereg różych rówości, ierówości, fatów i problemów dotyczących tego rodzaju liczb. W rozdziale drugim zajmujemy się siliami i relacją podzielości. Istotą rolę w tym rozdziale odgrywa twierdzeie Wilsoa z 770 rou, mówiące o tym, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to liczba (p! + jest podziela przez p. Podajemy dowody tego twierdzeia oraz róże jego uogóliia i zastosowaia. Trzeci rozdział też dotyczy relacji podzielości i liczb postaci!. Przedstawiamy w im własości fucji Smaradache a S(. Jeśli jest liczbą aturalą, to przez S( ozaczamy ajmiejszą liczbę aturalą m taą, że dzieli m!. Symbole Newtoa, czyli liczby postaci (, zajmują całą pozostałą część tej siążi. W rozdziale piątym zebrao przeróże, zae i miej zae, tożsamości zachodzące dla symboli Newtoa. Wyazujemy, że pewe z tych tożsamości są atychmiastowymi osewecjami tzw. biomialego prawa dualości, o tórym doładiej, wraz z wszystimi potrzebymi dowodami, piszemy w rozdziale czwartym. Samo prawo dualości ma bardzo łatwy i róti dowód, ale do zrozumieia tego dowodu ależy wcześiej zazajomić się ze splotem biomialym, omówioym rówież w rozdziale czwartym. W trzech astępych rozdziałach (w rozdziałach 6,7 i 8 zajmujemy się główie własościami relacji podzielości dla symboli Newtoa. Zwracamy tu szczególą uwagę a astępujące lasycze twierdzeie Lucasa z dziewiętastego wieu. Niech m, będą liczbami aturalymi. Niech = ap + r, m = bp + s, gdzie a, b, r, s Z, 0 r < p i 0 s < p. Wtedy a r (mod p. m b s W rozdziale siódmym, oprócz dowodów i wiosów, zajdziemy pewe szczegółowe iformacje o lasach taich fucji, dla tórych rówież zachodzi własość wyrażoa w powyższym twierdzeiu Lucasa. W siążce, w różych miejscach, spotamy się z zastosowaiami twierdzeia Lucasa. Sporo taich zastosowań zajduje się w rozdziale dziewiątym, o trójątach Pascala w arytmetyach modulo m. W rozdziale dziesiątym przedstawiamy własości liczb Apery ego i liczb Catalaa. Są to liczby aturale, ozaczae odpowiedio przez A i C, tóre moża zdefiiować przy 3

10 pomocy symboli Newtoa. Jeśli jest liczbą aturalą, to A =, C = 2 = =0 Liczby postaci A pojawiły się w 978 rou w dowodzie iewymierości liczby = 3 podaym przez Apery ego a Kogresie Matematyczym w Helsiach. Natomiast liczby Catalaa C pojawiają się w różych miejscach i mają iteresujące iterpretacje. Moża wyazać, a przyład, że day -ąt wypuły (a płaszczyźie moża podzielić a trójąty ie przeciającymi się przeątymi doładie a C 2 sposobów. W dwóch astępych rozdziałach (0 i zajmujemy się uogólieiami symboli Newtoa. W rozdziale dziesiątym pojawiają się róże uogólieia trójątów Pascala oraz występują liczby aturale postaci i,..., i s = (i + i i s!, i!i 2!... i s! gdzie i,..., i s są ieujemymi liczbami całowitymi. Przypomijmy, że jeśli 0 są liczbami całowitymi, to symbol Newtoa (! defiiuje się przy pomocy ułama!(!. Ułame te jeda ta zawsze się posraca, że jest o liczbą aturalą. Oazuje się, że tę samą właściwość posiadają rówież ie ułami. Jeśli a = (a jest ciągiem liczb całowitych, to w tej siążce przez a ozaczamy iloczy a a 2 a. Przyjmujemy dodatowo, że a 0 =. Poadto stosujemy ozaczeie: [ ] = a a a, gdy, a 0, gdy <. Jeśli wszystie tego rodzaju liczby [ ] a są całowite, to mówimy, że (a jest β-ciągiem. Ważą lasą przyładów β-ciągów staowią ciągi, tóre azywać będziemy α-ciągami. Mówić będziemy, że day ciąg a = (a (o wyrazach aturalych jest α-ciągiem, jeśli dla dowolych liczb aturalych i m zachodzi rówość (a, a m = a (,m. Tutaj awiasy ozaczają ajwięszy wspóly dzieli. Oazuje się, że pewe zae lasycze ciągi (a przyład ciągi: liczb Fiboacciego, liczb Mersee a, liczb Gaussa, itp. posiadają omawiaą własość; są β-ciągami, a awet α-ciągami. Czytelia zaiteresowaego tego rodzaju zagadieiami zapraszamy do rozdziału jedeastego. W ostatim rozdziale, dwuastym, zajmujemy się permutacjami, ombiacjami, liczbami Bella oraz różymi dodatowymi zastosowaiami symboli Newtoa i liczb postaci!. 4

11 Silie! = 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 20 6! = 720 7! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! = ! =

12 6 Silie i symbole Newtoa. Silie. Iformacje o cyfrach... W tabelach podao liczby cyfr pewych liczb!. Ozaczeia: d = liczba wszystich cyfr, z = liczba zer a ońcu, 0 = liczba wszystich zer, = liczba jedye, 2 = liczba dwóje,..., 9 = liczba dziewiąte. (Maple. d z d z Najwięsze z przedziału [, 5 000] taie, że liczba! ie posiada cyfry. W awiasach wadratowych podao liczbę cyfr liczby!. (Maple. = 0, = 4, [2]. =, = 8, [6]. = 2, = 29, [3]. = 3, = 22, [22]. = 4, = 32, [36]. = 5, = 24, [24]. = 6, = 25, [26]. = 7, = 30, [33]. = 8, = 38, [45]. = 9, = 4, [50]...3. Jeśli 4 < 5 000, to liczba! posiada wszystie cyfry uładu dziesiętego. Czy to rówież zachodzi dla > 5 000? (Maple...4. Liczba 8! ma doładie 2009 cyfr. Nie ma taiej liczby aturalej, że liczba! ma doładie 200 cyfr. W przedziale [900, 200] liczbami cyfr liczb postaci! są astępujące liczby: 902, 905, 908, 9, 94, 97, 99, 922, 925, 928, 93, 934, 937, 940, 943, 945, 948, 95, 954, 957, 960, 963, 966, 969, 972, 974, 977, 980, 983, 986, 989, 992, 995, 998, 200, 2004, 2006, 2009, 202, 205, 208, 202, 2024, 2027, 2030, 2033, 2036, 2038, 204, 2044, 2047, 2050, 2053, 2056, 2059, 2062, 2065, 2068, 207, 2073, 2076, 2079, 2082, 2085, 2088, 209, 2094, 2097, 200. (Maple.

13 Silie i symbole Newtoa. Silie Niech d( ozacza liczbę wszystich cyfr liczby!. Przyłady: d(4 = 2, d(0 = 7, d(00 = 58, d(000 = 2568, d(0 000 = ( Jeśli d( = 2, to = 266, 267 lub 268, ([MM] 40(3( (2 Jeśli d( = 2 +, to = 269 lub 270. (3 Jeśli d( = 3, to = 272 lub 273. (4 Jeśli d( = 3 +, to = 274 lub 275. (5 Jeśli d( = 4 to = 2775 lub (6 Jeśli d( = 4 +, to = 2777, 2778 lub (Maple...6. Niech a będzie taą cyfrą systemu dziesiętego, że Zaleźć a. Odp. 9. ([DyM] 7. 35! = a Dla ażdej liczby aturalej m istieje taa liczba aturala, że początowe cyfry liczby! są odpowiedio rówe cyfrom liczby m. ([MM] 43(2( U. Iformacje a te temat zajdują się rówież w [N-2], [N-2a]. J. E. Maxfield, A ote o N!, [MM] 43(2( Fucja v p W pewych dowodach fatów związaych z siliami i symbolami Newtoa pojawiać się będą liczby ozaczae przez v p (a. W tym ozaczeiu p będzie zawsze jaąś liczbą pierwszą oraz a będzie liczbą całowitą. Załóżmy, że p jest ustaloą liczbą pierwszą. Jeżeli a jest iezerową liczbą całowitą to przez v p (a ozaczamy taą ieujemą liczbę całowitą, że Dodatowo przyjmujemy, że v p (0 =. p a oraz p + a. Mamy a przyład v 5 (50 = 2, gdyż liczba 50 jest podziela przez 5 2 i ie jest podziela przez 5 3. Natomiast v 7 (50 = 0, gdyż oraz Następe przyłady: v 2 (000 = 3, v 3 (8 = 4, v 5 (000 = 3, v 7 (40 =. Przy ustaloej liczbie pierwszej p, ażdej liczbie całowitej a przyporządowae jest doładie jedo v p (a, tóre jest albo liczbą całowitą albo. Mamy więc zdefiiowaą fucję v p : Z Z { }. Łatwo udowodić astępujące stwierdzeie, w tórym zawarte są podstawowe własości tej fucji.

14 8 Silie i symbole Newtoa. Silie.2.. Niech p P, a, b Z. Wtedy: ( v p (a = a = 0; (2 v p ( a = v p (a; (3 v p (ab = v p (a + v p (b; ( (4 v p (a + b mi v p (a, v p (b ; ( (5 jeżeli v p (a v p (b, to v p (a + b = mi v p (a, v p (b. W tym podrozdziale w szczególy sposób iteresować as będą liczby postaci v p (!, gdzie N. Rozpatrzmy jedą z taich liczb. Niech to będzie a przyład v 7 (000!. Ozaczmy to v 7 (000! przez. Wiemy, że jest taą liczbą całowitą, że 7 000! oraz !. Liczba 7 jest w tym przypadu masymalą potęgą siódemi dzielącą liczbę 000!. Iymi słowy, w rozładzie a iloczy liczb pierwszych liczby 000! liczba pierwsza 7 występuje doładie razy, albo iaczej: w rozładzie aoiczym liczby 000! liczba pierwsza 7 występuje z wyładiiem rówym. Chcemy to obliczyć. Ja to zrobić? Liczba 000! jest iloczyem olejych liczb, 2, 3,..., 999, 000. W tym ciągu liczb, co siódma liczba jest podziela przez 7, miaowicie: 7, 4, 2, 28, 35, 42, 49,..., 980, 987, 994. [ ], gdzie przez [x] ozaczamy w tej Taich liczb jest = 42. Zauważmy, że 42 = siążce część całowitą liczby x. Widzimy więc, że liczba 000! jest a pewo podziela przez Ale czy ta potęga siódemi jest ajwięszą z możliwych? W powyższym ciągu liczb podzielych przez 7 występują taie liczby ja: 49 = 7 2, 98 = 2 7 2, 47 = 3 7 2,..., 980 = Każda z ich jest podziela przez [ 7 2. Z ażdęj więc taiej liczby otrzymujemy dodatową siódemę. Taich liczb jest 20 = ]. Dodajemy: = 62. Liczba 000! jest więc a 2 pewo podziela przez Ale to jeszcze ie jest ajwięsza potęa siódemi o tej własości. W wypisaym ciągu 20 liczb podzielych przez 7 2 występują dwie liczby: [ 343 = 7 3 oraz 686 = Mamy więc jeszcze dwie dodatowe siódemi. Zauważmy, że 2 = ]. Poieważ 3 [ 000 ] 7 = 0, więc tego procesu możemy już ie otyuować. W te sposób wyazaliśmy, że 4 [ ] [ ] [ ] [ ] v 7 (000! = = = 64, Zatem, v 7 (000! = 64. W rozładzie aoiczym liczby 000! liczba pierwsza 7 występuje więc z wyładiiem rówym 64. W te sam sposób wyazujemy astępujące twierdzeie..2.2 (Legedre 808. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to dla dowolej liczby aturalej zachodzi rówość [ ] [ ] [ ] v p (! = + p p 2 + p 3 +.

15 Silie i symbole Newtoa. Silie 9 Powyższe twierdzeie Legedre a formułuje się często w trochę iej wersji. W tej iej wersji występuje liczba ozaczaa zwyle przez s p (. Jeśli = a m p m + + a p + a 0 jest p-adyczym przedstawieiem liczby aturalej (tz. przedstawieiem liczby w zapisie umeracji o podstawie p, to przez s p ( ozaczamy sumę liczb a 0, a,..., a m, czyli s p ( = a 0 + a + + a m. Niech a przyład = 000 oraz p = 7. Przedstawieiem 7-adyczym liczby 000 jest 000 = , a zatem s 7 (000 = = 6. Teraz możemy wysłowić wspomiaą wersję twierdzeia Legedre a:.2.3 (Legedre. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość v p (! = s p (. p D. Niech = a m p m + +a p +a 0 będzie przedstawieiem p-adyczym daej liczby aturalej. Mamy wtedy ciąg rówości: [/p] = a m p m + a m p m a 2 p + a, [ /p 2 ] = a m p m 2 + a m p m a 3 p + a 2, [ /p m ]. = a m p + a m, [/p m ] = a m. Dodajemy te wszystie rówości stroami do siebie i otrzymujemy ową rówość, tórej lewa stroa jest (a mocy twierdzeia.2.2 rówa v p (!. Po prawej atomiast stroie mamy: a m ( + p + p p m + a m ( + p + p p m a 2 ( + p + a p m = a m p + a p m p 2 m a 2 p p + a p p + a 0 p ( = am p m + a m p m + + a 2 p 2 + a p + a 0 (a m + a m + + a + a 0 p = p ( s p(. Zatem, v p (! = p ( s p(. Obliczmy jeszcze raz v 7 (000!, ale teraz za pomocą twierdzeia.2.3. Już wiemy, że s 7 (000 = 6. Mamy więc: v 7 (000! = 6 (000 6 = 984/6 = 64.

16 0 Silie i symbole Newtoa. Silie Z twierdzeń.2.2 i.2.3 otrzymujemy:.2.4. Dla ażdej liczby pierwszej p i dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość ([ ] [ ] [ ] s p ( = (p + p p 2 + p Jeśli p P oraz, m N, to D. Korzystamy z rówości podaej w.2.4: s p ( + m s p ( + s p (m. s p ( + s p (m s p ( + m = (p i ( + m + (p i ( [ + m = (p i = (p i [ ] p i + m (p [ ] m p i i [ ] + m p i ( [ p i + m p i ] i ] p i [ p i [ ] p i i ] [ ] m p i. [ ] m p i Dla dowolych [ liczb rzeczywistych x, y zachodzi oczywista ierówość [x + y] [x] + [y]. Każda więc liczba p i + m ] [ ] [ ] m p i p i p i jest ieujema. Zatem s p ( + s p (m s p ( + m v p ((m! v p (m!, dla, m N. ([Grif] 42. D. Zauważmy ajpierw, że z ierówości podaej w.2.5 wyia ierówość s p (m s p (m, dla wszystich, m N. Mamy więc: v p ((m! = p (m s p(m p (m s p(m = v p (m!. Dwa razy wyorzystaliśmy twierdzeie.2.3. v p (!.2.7. lim =, dla p P. ([IMO] Loglist 97. p s D. p ( Jest oczywiste, że lim = 0. Zatem, v p (! lim = lim Wyorzystaliśmy twierdzeie.2.3. (p ( s p( = p ( lim s p( = p.

17 Silie i symbole Newtoa. Silie Jeśli p = 2, to = i wtedy twierdzeie Legedre a.2.3 reduuje się do astępującego twierdzeia, w tórym występuje liczba s 2 (. Zauważmy, że s 2 ( jest liczbą jedye p w przedstawieiu biarym liczby aturalej Dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość ([Mo] 82(2(975 E2455, [Crux] 2000 s.83. v 2 (! = s 2 (. Zaotujmy ila iych obserwacji dotyczących przypadu p = Istieje iesończeie wiele liczb aturalych taich, że v 2 (! = 989. ([IMO] Loglist (K. Hirst, [MG] 498( ( v 2 ((2! = + v 2 (!. (2 v 2 ((2! = 2, ([Crux] 2000 s Niech h( = v 2 (!, dla N. Wtedy: ([Mo] 82(2(975 E2455. ( + x 2 = x h(. =0 =0.2.2 (Kuth [Mo]. Defiiujemy ciąg (x przyjmując x 0 = 0, x = + 2v 2 ( x. ( W ciągu tym występuje ażda dodatia liczba wymiera i to doładie raz. (2 x 2+ = x +, dla 0. (3 = +, dla, x 2 x (4 x >, gdy > jest liczbą ieparzystą. (5 x <, gdy > 0 jest liczbą parzystą. (6 x 2 =. (7 x 2 =. ([MOc] Następe stwierdzeia są dla p = Nie istieje N taie, że v 3 (! = 200. ([Grif] v 3 (0 3 = + 2. ([Kw] 2/2000 s Dla ażdego N istieje taie a N, że v 3 (a =. ([OM] Japoia 999.

18 2 Silie i symbole Newtoa. Silie.2.6. Fucję v p zdefiiowaliśmy w przypadu, gdy p jest liczbą pierwszą. Ta samo defiiujemy, gdy p jest liczbą złożoą. Jeśli N, to iech t = v 3 (! i iech c = v 4 (!. Wyazać, że istieje iesończeie wiele taich, że t > c. Wyazać, że rówież istieje iesończeie wiele taich, że t < c. ([Zw] D. Jeśli jest potęgą tróji, to t > c. Jeśli jest postaci 2 2m+, to t < c. Powyższą fucję v p : Z Z { } moża rozszerzyć do fucji, tórą też będziemy ozaczać przez v p, oreśloej a zbiorze Q, wszystich liczb wymierych. Jeśli x = a b, gdzie a, b Z, b 0, to przyjmujemy: v p (x = v p (a v p (b. Oreśleie to ie zależy od wyboru przedstawieia liczby wymierej x. Jeśli bowiem x = a b = c d (gdzie a, b, c, d Z, b 0, d 0, to ad = bc i wtedy: v p(ad = v p (bc, v p (a + v p (d = v p (b = v p (c i stąd v p (a = v p (b = v p (c v p (d. Mamy więc fucję v p : Q Z { }. Rozpatrzmy ową fucję d p : Q Q R, oreśloą wzorem d p (x, y = ( 2 vp (x y, dla wszystich x, y Q Powyższa fucja d p : Q Q R jest metryą zbioru Q, tz. jeśli x, y, z Q, to: ( d p (x, y = 0 x = y, (2 d p (x, y = d p (y, x, (3 d p (x, y d p (x, z + d p (z, y Przestrzeń metrycza (Q, d p ie jest zupeła. D. Niech a = + p + p p, 0. Ciąg (a spełia warue Cauchy ego i ie jest ciągiem zbieżym Rozpatrzmy przestrzeń metryczą (Q, d 2, gdzie d 2 jest metryą z.2.7 dla p = 2. ( Jeśli K i K 2 są ulami w (Q, d 2 o iepustym przeroju, to K K 2 lub K 2 K. (2 Każda ula o promieiu r zawiera iesończeie wiele parami rozłączych ul o promieiu r. (3 Ozaczmy: a = d 2 (a, 0, dla a Q. Jeśli x < oraz y <, to xy <. (4 Przy pomocy powyższych fatów moża wyazać, że wadratu ie moża podzielić a ieparzystą liczbę trójątów o rówych polach. ([Kw] 3/ H. Griffi, The highest power of a prime that is a factor of!, [Grif]

19 Silie i symbole Newtoa. Silie 3.3 Liczba zer a ońcu Niech z( ozacza liczbę zer występujących a ońcu w zapisie dziesiętym liczby!. Mamy a przyład z(5 = 3, gdyż 5! = Ie przyłady: z(0 = 2, z(00 = 24, z(000 = 249, z(0 000 = Dla dowolej liczby aturalej zachodzi rówość z( = [ ] [ ] [ ] D. Dla = jest to oczywiste. Niech dalej 2 i iech! = 2 a 5 b m, gdzie a i b są ieujemymi liczbami całowitymi oraz m jest liczbą aturalą względie pierwszą z 0. Jest jase, że z( = mi(a, b. Wiemy (patrz.2.2, że a = v 2 (! = [ 2 ] + [ 2 2 ] + Stąd łatwo wyia, że jeśli 2, to a > b. Zatem: i to ończy dowód. [ ] [ ] [ ] [ ] oraz b = v 5 (! = z( = mi(a, b = b = [ 5 ] + [ ] [ ] (Maple. ( Jeśli jest jedą z liczb: 7935, 7936, 7937, 7938, 7939, to z( = 98. ([KoM] Gy975. (2 Istieje liczba aturala taa, że z( = 993. ([OM] Idie 993. (3 Nie ma taiej liczby aturalej, że z( = (4 Jeśli jest jedą z liczb: 8050, 805, 8052, 8053, 8054, to z( = 200. (5 Wszystie liczby z przedziału [900, 200], tóre ie są postaci z( : 903, 904, 90, 96, 922, 928, 934, 935, 94, 947, 953, 959, 965, 966, 972, 978, 984, 990, 996, 997, 2003, 2009, 205, 202, 2027, 2028, 2029, 2035, 204, 2047, 2053, 2059, 2060, 2066, 2072, 2078, 2084, 2090, 209, Liczba (5 3! ma a ońcu doładie Liczba (3!!! ma poad 000 cyfr. Ile zer ma a ońcu? Odp. 78. ([Mat] 2/95 60, [B-zm] 55. zer. ([K-Me] z Ile zer ma a ońcu liczba 00! zapisaa w systemie umeracji o podstawie 6? Odp. 48. ([StaZ] 2. N. Lord, The umber of termiatig zeros of!, [MG] 88(52(

20 4 Silie i symbole Newtoa. Silie.4 Ostatia iezerowa cyfra Przez c( ozaczamy ostatią iezerową cyfrę liczby!. W poiższych tabelach podao przyłady liczb postaci c( dla pewych c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c(00 = 4, c(000 = 2, c(0 000 = 8. (Maple, [Adz] Jeśli 2, to c( jest liczbą parzystą. ([Mo] 4(2(934 E77. D. Niech! = 2 a 5 b m, gdzie a i b są ieujemymi liczbami całowitymi oraz m jest liczbą aturalą względie pierwszą z 0. Wiadomo (patrz.2.2, że a = v 2 (! = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] , b = v 5 (! = Stąd łatwo wyia, że jeśli 2, to a > b. Ostatia iezerowa cyfra liczby! jest idetycza z ostatią cyfrą liczby u =! 0 b. Ale liczba u dzieli się przez 2 a b, więc w szczególości dzieli się przez 2 (gdyż a b. Ostatia iezerowa cyfra liczy! jest więc parzysta Ciąg (c( ie jest oresowy. ([IMO] Shortlist 983, [Djmp] s.68.

21 Silie i symbole Newtoa. Silie Dla ażdej liczby aturalej zachodzi ogruecja ([Mo] 92(8(985 s.565. c(5 2 c( (mod 0. D. ([Mo]. Zachodzi oczywista rówość (5! = 0!M, gdzie M = =0 (5 + (5 + 2(5 + 3( Z rówości tej wyia, że c(5 Mc( (mod 0. Ostatią cyfrą ażdej liczby postaci jest 4. Jeśli bowiem i jest liczbą parzystą, to Jeśli atomiast i jest ieparzyste, to (5i + (5i + 2(5i + 3(5i + 4 (5i + (5i + 2(5i + 3(5i = 24 4 (mod 0. (5i + (5i + 2(5i + 3(5i (mod 0. Każda liczba postaci (5i + (5i + 2(5i + 3(5i + 4 jest poadto podziela przez 4. Stąd wyia, że dla wszystich i zachodzi ogruecja (5i + (5i + 2(5i + 3(5i Zatem c(5 Mc( 2 c( (mod 0. 2 (mod Dla ażdej liczby aturalej 2 zachodzi rówość ([Br] Least sigificat o-zero digit of!. c(625 = c(. D. Z.4.6 wyia, że modulo 0 zachodzą astępujące rówości c(625 = c(5 25 = 2 25 c(25 = c(25 = c( = 2 56 c(. Ale modulo 0 mamy rówież: 2 56 = ( = (6 39 = 6 39 = 6. Wiemy (patrz.4.4, że c( jest liczbą parzystą. Zatem: c(625 6c( = c( + 5c( c( (mod c(5 2 (mod 0. ([Mo] 92(8(985 s.565. D. Z oczywistej ogruecji (mod 0 wyia ogruecja 2 5m 2 (mod 0, zachodząca dla wszystich ieujemych liczb całowitych m. Stąd i z.4.6 otrzymujemy: Zatem c(5 2 c(5 = 2 (mod 0. c(5 = c( c(5 2c(5 (mod 0.

22 6 Silie i symbole Newtoa. Silie.4.9. Jeśli a,..., a są parami różymi ieujemymi liczbami całowitymi, to c (5 a + 5 a a 2 a +a 2 + +a (mod 0. ([Put] 984. D. ([Mo] 92(8(985 s.565. To jest oczywiste, gdy 5 a +5 a a =, gdyż c(5 0 = 2 0 =. Przypade. Załóżmy, że wszystie liczby a,..., a są więsze od zera. Wówczas, a mocy.4.6 i iducji, mamy modulo 0: c (5 a + 5 a a 2 5a + +5 a c ( 5 a a 2 2 (a + +(a (gdyż 2 5m 2 dla m 0 2 a+a2+ +a. Przypade 2. Załóżmy, że pewe a i jest rówe zero. Niech a = 0. Poieważ liczby a,..., a są parami róże, więc wszystie liczby a 2,..., a są więsze od zera, a zatem 5 a + 5 a a = + 5m, gdzie m jest sumą parami różych potęg piąti. Poieważ ( + 5m! = ( + 5m(5m!, więc c( + 5m ( + 5mc(5m (mod 0. Wiemy poadto, że liczba c(5m jest parzysta. Zatem ( + 5mc(5m c(5m (mod 0, czyli c( + 5m c(5m (mod 0. Ale 5m = 5 a2 + 5 a a więc, a mocy iducji, c(5m 2 a2+ +a (mod 0. W tym przypadu mamy więc: i to ończy dowód. c ( a a = c( + 5m c(5m 2 0+a 2+ +a (mod Ostatie iezerowe cyfry liczb (5! i 2! są idetycze. ([Crux] Ostatie iezerowe cyfry liczb (5 + 4! i 2! są idetycze. ([Crux] Liczba postaci! ie może się ończyć cyframi ([GaT] 6/76. D. Przypuśćmy, że taie istieje. Dzieląc! przez masymalą potęgę dziesiąti otrzymamy liczbę podzielą przez 2 s dla pewego s 4, w szczególości podzielą przez 6. Otrzymaa liczba jeda ie dzieli się przez 6, gdyż przez 6 ie dzieli się Czy istieją taie liczby aturale a i b, że zapis dziesięty liczby a! + b! ończy się cyframi 990? Odp. Nie. ([OM] Leigrad 990.

23 Silie i symbole Newtoa. Silie 7.5 Silie cyfr i ich suma =! + 4! + 5!. Nie ma iych trzycyfrowych liczb o tej własości. ([WyKM] 58-52, [Szu87] (L. James 964. ([Szu87] = 4! + 0! + 5! + 8! + 5! ([N-2], [N-2a]. Dla daej liczby aturalej przez f( ozaczamy sumę a! + a 2! + + a!, w tórej a,..., a są olejymi cyframi liczby. Przyład: f(003 =!+0!+0!+3!+! = 0. ( Istieją doładie cztery taie liczby aturale, że f( =. Są to:, 2, 45, (2 Istieją doładie cztery liczby aturale spełiające rówość f 2 ( = (przez f ozaczamy -rote złożeie fucji f. Są to: 87, 4536, 872 i Mamy tu: , (3 Istieją doładie trzy liczby aturale spełiające rówość f 3 ( = : (4 Dla dowolej liczby aturalej a w ciągu (f (a występuje zawsze jeda z liczb:, 2, 45, 40585, 87, 872, 69. S. Abbott, SFD chais ad factorio cycles, [MG] 88(52( S. S. Gupta, Sum of the factorials of the digits of itegers, [MG] 88(52( G. D. Poole, Itegers ad the sum of the factorials of their digits, [MM] 44( Rówości z siliami.6..! + 2 2! + 3 3! + +! = ( +! ( 2 +! + ( ! + ( ! + + ( 2 +! = ( +!. ([Uiuc] 4/ ! 5! = 6!, 6! 7! = 0!. ([S68] Z rówości! (!! = (!! wyia, że rówaie x! y! = z! ma iesończeie wiele rozwiązań w zbiorze liczb aturalych więszych od. ([Mat] 3/952 60, [S68] 06.

24 8 Silie i symbole Newtoa. Silie.6.5. Jeśli!(! = m!, to (, m = (,, (2, 2 lub (7, 0. ([Cmj] 983 s ! 5! 7! = 0!, 3! 5! 7! (0! = (0!!. ([S68] Rówaie x! y! z! = t! ma iesończeie wiele rozwiązań w zbiorze liczb aturalych więszych od. ([S68] 06. D. Każda czwóra (x, y, z, t = (,!, (!!, (!!, gdzie N, spełia to rówaie ([Gy04] 23. 9! = 7! 3! 3! 2!, 0! = 7! 6! = 7! 5! 3!, 6! = 4! 5! 2! Niech f( =! + 2! + +!. Wtedy dla ażdej liczby aturalej zachodzi rówość f( + 2 = P (f( + + Q(f(, gdzie P (x = x + 3, Q(x = x 2. ([Put] Nie istieją taie liczby aturale,, że! + 48 = 48( +. ([AuP] Niech a, b, c, d N, a b, c d. Jeśli a! + b! = c! + d!, to a = c i b = d. ([M-sj] Niech a, b, c, d N. Jeśli a! + b! + c! = d!, to a = b = c = 2 i c = 3. ([OM] Moswa 996/ =0 2 2 (2!((! 2 = (4!. ([MG] 87(50(2003 s.587. ((2! 2 ( + 2i( i!(i! = 0. ([MC] 7(( i=.6.5. = ( +! =. ([SavA] 4-5. ( +! D. Zauważmy, że (+! =! (+!. Mamy zatem: = ( +! =! 2! + 2! 3! + 3! 4! + +! ( +! = ( +!. Z powyższej rówości, zapisaej w postaci ( +! + = (+! wyia astępujące stwierdzeie o ułamach prostych. =,

25 Silie i symbole Newtoa. Silie Dla ażdej liczby aturalej 3 istieją taie parami róże dzielii aturale m,..., m liczby!, że = m m 2 m R. K. Guy, Factorial as the product of large, [Gy04] R. K. Guy, Equal products of factorials, [Gy04] 23. R. K. Guy, Sums of factorials, [Gy04] 53. J. Sador, O the diophatie equatio x! + x 2! + + x! = x +!, [Sad] J. Sador, O certai equatios ivolvig!, [Sad] Nierówości z siliami ! > 0! ([Dlt] 8/ ! ([MG] 83(496( ! > ([Mat] 2/950 53, 3/ >! > dla > 6. ([BaL] 469, [BoL] 62 s ! 2, dla > !. ([OM] Belgia 985/986, [MG] 83(496( D. ([K-Me] z.8. Wyia to z ierówości pomiędzy średią geometryczą i średią arytmetyczą: ( +! = = (2! < ( +, dla 2. ([Mo] 5(0( (2!. ([MG] 83(496( ! (m +! ( m! (m2 + m, gdy m. ([A-P] 996, [OMm] 997/ (2! (! 2 > 4. ([Sa2] 9, [Ko03] < (3!. ([BoL] 63 s.56, [Ko03].

26 20 Silie i symbole Newtoa. Silie.7.2. Dla ażdej liczby aturalej 2 zachodzi ierówość 3 2 < (3! (! 3 < 33. Jest to szczególy przypade astępującej ierówości: ( < (! (! <, dla. ([Cmj] 20(2( (3!. ([MG] 83(496( ( + ( (! 2, dla > 4. ([OM] Irladia 995, [Pa97] Ciąg a = ( +!! jest ieograiczoy. ([KoM] 2005 A ! < + ( +!. ([Jedr] B.4. ( 2! + ( +! (!, dla 2. ([Kw] 3/995 M ( 2! , dla 2. ([IMO] Loglist 967, [Djmp] s.43( (! 2 ( + < ( + ( + 2, dla 2. ([Ko03] ! + +2 ( + 2! < 2 + ( +!, dla. ([Crux] 992 s.8 z ! e. ([Dlt] 6/ e! e. ([Nath] 304. e e (!! > [(!]!, dla > ([Mo] 72(8(965 E86, rozw. 74(2(967 s (!! > [(!]!, dla 3 ([IMO] Loglist (m! (m! (! m, dla m, N. ([OM] Czechosłowacja 990/99, [Par] 998( (m +! m! < (m + m+ m m!, dla m, N. ([Put] 2004 B. ( m + D. (m + m+ > m m m = (m +! m m i stąd wyia teza. m!!

27 Silie i symbole Newtoa. Silie (2 <, dla 2. ([OM] Holadia 990, [Pa97]. D. ([Crux] 994 s.0. Wyia to z ierówości pomiędzy średią geometryczą i średią arytmetyczą: ( (2 < = 2 = (2 < 2, dla 2. ([Crux] 994 s ( + ( 2 + ( + 2!, dla N. ([OM] St Petersburg Jeśli a,..., a N i b = a + + a, to a!a 2! a! ([b]!. ([IMO] Loglist 969, [A-P] ([OM] Uraia ! + 2! + 3! + 4 2! + 3! + 4! ! + ( +! + ( + 2! <, dla N. 2.8 Wyzaczii z siliami.8.. ([Mo] 07(2000 s.560. (0 + 0! (0 +! (0 +! ( + 0! ( +! ( +! (2 + 0! (2 +! (2 +!... ( + 0! ( +! ( +!.8.2. Niech D = det[a ij ], gdzie a ij = ( D = ( ( /2!2! (!!( +! (2! ; (2 D + D = (! 2. ([NAvW] (2!.8.3. Wyzaczi macierzy [a ij ], gdzie a ij = rówy ([Mo] 4/980 E2747. = 0!! 2!!., i, j =, 2,...,. Wtedy: (i + j! ([S-g] ( ( /2 0!!2! (!!( +! (2! Wyzaczi macierzy [a ij ], gdzie a ij = ([Mo] 7(8( E645., 0 i, j, jest (i + j +! (i + j + r 2!, jest rówy. (i!(j + r!

28 22 Silie i symbole Newtoa. Silie.8.5. Wyzaczi macierzy [a ij ], gdzie a ij = (i + jj+, jest rówy (i +! ([MM] 23(4( = (!. ([JeL] x 0 x x 2... x 2 x x a a a a a ( +... ( +... (2 / /2... / /2 /3... /( +... / /( +... /( =! j=0 a j j! x j. ([JeL] (. = ( ( 2 (! ([JeL] ( 3!2! (! =. ([JeL] !( +! (2! =! 2!!. ([JeL] = (!(!, gdy są liczbami aturalymi ([JeL]

29 Silie i symbole Newtoa. Silie Defiiujemy reurecyjie ciąg (a przyjmując a 0 = a = a 2 = oraz a a + a +2 a +3 =! dla 3. Wyazać, że ażdy wyraz a jest liczbą całowitą. ([Put] 2004 A3. D. Niech v = ( gdy jest ieparzyste oraz v = 3 5 ( gdy jest parzyste. Wtedy a = v, dla 2..9 Silie i część całowita.9.. Część całowita liczby.9.2. Część całowita liczby (! ( + (!.9.3. Jeśli 5 i 2, to część całowita liczby ([DoC] 260, [LeH] z.a Jeśli < m < +2 i > 3, to liczba jest liczbą parzystą. ([Mo] 76(9(969 E238, [DoC] 259. jest liczbą parzystą. ([Mo] 75(9(968 E200. (! jest podziela przez. [ ]! m jest podziela przez m. ([OM] Australia Dla ażdej liczby rzeczywistej a > 0 istieje iesończeie wiele taich liczb aturalych, że 2 + dzieli [a]!. ([Kw] 2/ Liczba całowita ajbliższa liczbie!/e jest podziela przez. ([Mo] 52(2(945 E Liczby! i liczby wadratowe.0.. 4! + = 5 2 5! + = 2 7! + = 7 2 Czy są ie tego typu rówości? ([Gy04] Liczba! + jest wadratowa wtedy i tylo wtedy, gdy liczba! 8 ([Mo] 43((936 s.33, [S59] 328. jest trójąta..0.3 (Leech. { 5 2 2, 4! = ! = 2 2, , , = = , 6! = = = , = =

30 24 Silie i symbole Newtoa. Silie Dla 4 liczba tego typu przedstawień liczby! jest rówa! 2 τ, 4 gdzie τ(m ozacza liczbę aturalych dzieliów liczby m. W szczególości, 0! ma 05 taich przedstawień, a 00! taich przedstawień ma ([Gy04] ! = ([Crux] 997 s Niech p będzie liczbą pierwszą postaci Wtedy: ( liczba (p 2! + ie jest wadratowa; (2 liczba (p 3! + rówież ie jest wadratowa. ([S59] Istieje iesończeie wiele taich liczb aturalych, że liczba! + ie jest wadratowa. ([S59] 33. D. Wyia to z.0.5 i twierdzeia Dirichleta o liczbach pierwszych w post. arytmetyczym ! +. ([Mo] 44(3(937 str Jeśli jest taą ieparzystą liczbą aturalą, że 2 (!, to = 9 lub jest dowolą ieparzystą liczbą pierwszą. ([OM] ZSRR Istieją tylo trzy taie liczby aturale, że! jest sumą dwóch wadratów. Są to liczby, 2 i 6 :! = , 2! = 2 + 2, 6! = ([Mo] 72(7(965 z.538, rozw. 73(8(966 s Rozpatrzmy wszystie podzbiory zbioru {, 2,..., } ie zawierające dwóch sąsiedich liczb. Wyazać, że suma wadratów iloczyów liczb ażdego taiego podzbioru jest rówa ( +!. ([OM] Leigrad 990, [Fom] 46/90. R. K. Guy, Equatios ivolvig factorial, [Gy04] Liczby! i liczby potęgowe.. (Twierdzeie Liouville a. (2! + = 2, (3! + = 3, (5! + = 5 2. Jeśli p > 5 jest liczbą pierwszą, to dla ażdego N. ([S64] 03. (p! + p

31 Silie i symbole Newtoa. Silie Żada liczba postaci!, gdzie >, ie jest potęgą liczby aturalej o wyładiu więszym od jedyi. ([S50] 24, [S59] Jeśli, m, są liczbami aturalymi spełiającymi rówość! + 2! + +! = m, to (,, m jest jedą z tróje: (,,! + 2! + +!, ( 3,, lub (2, 3, 3. ([OM] Łotwa 994, [Crux] 998 s (Grudhöfer { 979. Niech 2, 2. } Jeśli liczba! + jest potęgą liczby pierwszej, to (, (2, 2, (3, 2, (3, 3, (4, 3, (5, 5. Mamy: 2! + 2 = 2 2, 3! + 2 = 2 3, 3! + 3 = 3 2, 4! + 3 = 3 3, 5! + 5 = 5 3. T. Grudhöfer, Über die Zahle der Form! +, [Arch] 33(

32 26 Silie i symbole Newtoa. Silie

33 2 Silia i relacja podzielości 2. Pewe rozłady aoicze 5! = , 6! = , 7! = , 8! = , 9! = , 0! = , 20! = , 30! = , , 40! = , 50! = ! = a, gdzie a jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [53, 97]. 200! = a 2 b, gdzie a jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [67, 97] oraz b jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [0, 99], 500! = a 3 b 2 c, gdzie a jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [27, 63] b jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [67, 24], oraz c jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [25, 499], 000! = a 3 b 2 c, gdzie a jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [25, 33] b jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [337, 499], oraz c jest iloczyem wszystich liczb pierwszych z przedziału [503, 997]. 27

34 28 Silie i symbole Newtoa 2. Silia i relacja podzielości 2.2 Twierdzeie Wilsoa i jego dowód (2! + = 2, (3! + = 3, (5! + = 5 5, (7! + = 7 03, (! + = 32989, (3! + = , (7! + = , (9! + = , (23! + = , (29! + = , (3! + = , (37! + = Po lewej stroie powyższych rówości występują liczby postaci (p! +, gdzie p jest liczbą pierwszą. Prawe stroy atomiast są iloczyami dwóch liczb aturalych, wśród tórych a początu jest p. Każda z występujących tu liczb (p! + jest podziela przez p. Twierdzeie Wilsoa mówi, że taa podzielość zachodzi dla ażdej liczby pierwszej p (Wilso 770. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to (p! (mod p. Przed dowodem tego twierdzeia udowodimy astępujące dwa lematy Niech p będzie liczbą pierwszą i iech A = {, 2,..., p }. Wówczas dla ażdej liczby x, ależącej do A, w zbiorze A istieje doładie jeda taa liczba y, że xy (mod p. D. Niech x A. Wtedy liczby x i p są względie pierwsze. Istieją zatem taie liczby całowite u i v, że = xu + pv. Ozaczmy przez y resztę z dzieleia u przez p. Mamy wtedy: u y (mod p. Zauważmy, że reszta y ie może być zerem (gdyż jeśli y = 0, to p u i wtedy p xu + pv =. Zatem y A oraz xy xu xu + pv = (mod p, a więc xy (mod p. Wyazałiśmy więc, że w zbiorze A istieje liczba y spełiająca ogruecję xy (mod p. Przypuśćmy, że są dwie taie liczby y. Niech y, y 2 A, xy (mod p, xy 2 (mod p. Wtedy y y (xy 2 = (y xy 2 y 2 (mod p Joh Wilso (74 793, matematy agielsi.

35 Silie i symbole Newtoa 2. Silia i relacja podzielości 29 i wobec tego y = y 2 ; omawiaa liczba y jest tylo jeda. Może się ta zdarzyć, że liczba y, o tórej mowa w powyższym lemacie, jest tą samą liczbą x. Ta jest zawsze, gdy x = i x = p. Mamy bowiem: (mod p oraz (p (p (mod p. Wyażemy teraz, że w pozostałych przypadach liczby x i y są róże Niech p będzie liczbą pierwszą i iech A = {, 2,..., p }. Niech poadto x i y będą taimi liczbami ze zbioru A, że xy (mod p. Wówczas x = y wtedy i tylo wtedy, gdy x = lub x = p. D. Impliację = wyjaśiliśmy już przed wysłowieiem tego lematu. Wyażemy impliację w przeciwym ieruu. Załóżmy, że x A i x 2 (mod p. Wtedy liczba pierwsza p dzieli liczbę x 2, czyli dzieli liczbę (x (x +. Co ajmiej jeda z liczb x i x + musi więc być podziela przez p. Zatem x (mod p lub x p (mod p i wobec tego x = lub x = p. Pierwszy dowód twierdzeia Wilsoa. W przypadach p = 2 i p = 3 twierdzeie jest oczywiste. Dalej załóżmy, że p 5 i rozpatrzmy zbiór A = {, 2,..., p }. Należy wyazać, że iloczy wszystich elemetów tego zbioru przystaje do modulo p. Zbadajmy ajpierw iloczy wszystich elemetów zbioru B = {2, 3,..., p 2} = A {, p }. Liczba elemtów zbioru B jest parzysta (jest rówa p 3. Z lematów i wyia, że wszystie elemety zbioru B moża połączyć w pary (x, y spełiające ogruecję xy (mod p. Jeśli więc b ozacza iloczy wszystich elemetów zbioru B, to b (mod p i wobec tego Zatem (p! (mod p. (p! = b (p (p = (p (mod p. Drugi dowód twierdzeia Wilsoa. Przez Z p ozaczamy ciało liczb całowitych modulo p (defiicję tego ciała zajdziemy a przyład w [N-3]. W pierścieiu wielomiaów Z p [x] rozpatrzmy wielomia f(x = x p. Z małego twierdzeia Fermata wyia, że ażdy elemet zbioru Z p {0} = {, 2,..., p } jest pierwiastiem tego wielomiau. W pierścieiu Z p [x] zachodzi więc rówość x p = (x (x 2 (x (p. Porówując w tej rówości wyrazy wole otrzymujemy tezę Jeśli p 2 jest liczą aturalą, to p jest liczbą pierwszą wtedy i tylo wtedy, gdy p (p! +. D. Już wiemy, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to p (p! + ; jest to twierdzeie Wilsoa. Załóżmy teraz, że 2 p N oraz p (p! + i przypuśćmy, że p ie jest liczbą pierwszą. Istieje wówczas taa liczba aturala a, że 2 a p i a p. Wtedy a (p! + oraz a (p! i wobec tego liczba a dzieli jedyę; sprzeczość. W. Feit, A group-theoretic proof of Wilso s theorem, [Mo] 65(2( H. Gupta, A theorem i combiatories ad Wilso s theorem, [Mo] 92(8( A. D. Woodall, Proof of the theorems of Fermat ad Wilso ad related results, [MG] 87 (50 ( W [AB] zajduje się ombiatoryczy dowód twierdzeia Wilsoa. Iy dowód twierdzeia Wilsoa jest w [N-] w rozdziale o Twierdzeiu Wolsteholme a i jego uogólieiach.