Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa"

Transkrypt

1 Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja 2. Populacja (zbiorowość) geerala - zbiór Z elemetów podlegających badaiu ze względu a jedą lub więcej cech. Elemety tego zbioru mają przyajmiej jedą cechę wspólą i jedą cechę, która je różi od siebie. Defiicja 3. Próbka - skończoy podzbiór Z 1 zbioru Z (Z 1 Z), który badamy ze względu a iteresującą as cechę. Próbka powia staowić reprezetację populacji Z, tz. częstość występowaia w próbce badaych cech ie powia w zaczym stopiu różić się od częstości występowaia tych cech w populacji geeralej. W celu osiągięcia tego elemety próbki zwykle losujemy spośród elemetów zbioru Z. Otrzymujemy w te sposób zbiór azywamy próbką losową. Próbka losowa prosta -elemetowa - jest to próbka wylosowaa z populacji w taki sposób, że przed jej pobraiem każdy podzbiór składający się z elemetów populacji geeralej ma takie same szase (to samo prawdopodobieństwo) wylosowaia. Defiicja 4. Statystyka opisowa zajmuje się wstępym opracowywaiem próbki bez posługiwaia się rachukiem prawdopodobieństwa. 2 Szereg rozdzielczy, histogram, łamaa częstości Niech będzie -elemetową próbką losową. x 1,..., x (2.1) Defiicja 5. Rozstęp badaej cechy X w próbce (??) azywamy różicę R = x max x mi, (2.2) gdzie x max, x mi ozaczają ajwiększą i ajmiejszą liczbę ciągu (??). 1

2 Defiicja 6. Klasa - Przedziały (ajczęściej jedakowej długości), w których zakłada się, że wszystkie wartości posiadają tę samą wartość. W klasy grupujemy wyrazy dla próbek o większej ilości elemetów (powyżej 30). Klasy ustalmy zwykle a podstawie wzorów: k 5 l, k = l, k =. Moża korzystać z tabeli Liczba pomiarów Liczba klas k Długość klasy określamy wzorem b R k, (2.3) tak aby br k (przybliżamy ją z admiarem). Pukty graicze klas ustalmy z dokładością do 1 α, gdzie α ozacza dokładość z jaką wyzaczoa jest wartość w próbce. 2 Liczebość (liczość) i-tej próbki - liczba wartości próbki w i-tej klasie, ozaczamy i. Wiadomo, że k = i (2.4) Jeżeli liczość próbki kwalifikuje ją do podziału a klasy to otrzymujemy szereg rozdzielczy, który staowią pary liczb: środki klas x i oraz ich liczość i. Zadaie 1. Z pewej populacji wybrao próbkę = 50-elemetową i przebadao ze względu a pewą cechę X. Otrzymae wyiki: 3.6, 5.0, 4.0, 4.7, 5.2, 5.9, 4.5, 5.3, 5.5, 3.9, 5.6, 3.5, 5.4, 5.2, 4.1, 5.0, 3.1, 5.8, 4.8, 4.4, 4.6, 5.1, 4.7, 3.0, 5.5, 6.1, 3.8, 4.9, 5.6, 6.1, 5.9, 4.2, 6.4, 5.3, 4.5, 4.9, 4.0, 5.2, 3.3, 5.4, 4.7, 6.4, 5.1, 3.4, 5.2, 6.2, 4.4, 4.3, 5.8, 3.7 Sporządź histogram i szereg rozdzielczy. Rozwiązaie: Przyjmujemy, że liczba klas wyosi k = 7 (z tabeli). Liczba elemetów = 50, x max = 6.4, x mi = 3.0, stąd rozstęp R = x max x mi = = 3.4 (2.5) R = b (2.6) k dokładość w tym przypadku wyosi α = 0.1, więc dola graica wyosi x mi 0.05 =

3 Nr klasy i Klasy Grupowaie wartości próbki środki klas x i Liczebość klas i IIII IIIII IIIII II IIIII IIII IIIII IIIII II IIIII III IIIII Histogram w zeszycie (z odłożoymi liczością i, częstością (frekwecją) w i = i (wyrażoe w procetach), lub w v i = w i (pole rówe 1)). b Łącząc pukty o współrzędych ( x 1 b, 0), ( x i, v i ), (i = 1, 2,..., k), ( x k + b, 0) otrzymujemy tzw. łamaą częstości, pole rówież jest rówe 1. 3 Mediaa i moda Defiicja 7. Mediaa (wartość środkowa) m e próbki x 1,..., x - środkowa liczba w uporządkowaej iemalejąco próbce. m e = { 1 2 x (1) x (2)... x () (3.1) ( x (+1)/2 ) dla ieparzystego (3.2) x( 2 ) + x ( 2 +1) dla parzystego Defiicja 8. Moda (wartość modala, domiata) m 0 próbki x 1,..., x o powtarzających się wartościach (ajczęściej powtarzające się wartości, o ile istieje) ie będąca x mi ai x max. 4 Średie klasycze Defiicja 9. Średia arytmetycza x liczb x 1,..., x Defiicja 10. Średia arytmetycza ważoa x = 1 x i (4.1) x = 1 k x i i (4.2) (w próbce wyik pomiaru x i wystąpił i razy, gdzie i = 1, 2,..., k i k i i = ). Iterpretacja: współrzęde środka masy puktów materialych o masach i. 3

4 Defiicja 11. Średia geometrycza ḡ liczb x 1,..., x 0 ḡ = x i (4.3) Jeśli wszystkie liczby x i > 0, to log ḡ = 1 log x i (4.4) Defiicja 12. Średia geometrycza ważoa ḡ = x x k k, = Defiicja 13. Średia harmoicza h liczb x 1,..., x 0 k i (4.5) h = ( 1 1 x i ) 1 Defiicja 14. Średia harmoicza ważoa, 1 x i 0 (4.6) h = ( 1 k i x i ) 1 (4.7) Defiicja 15. Średia potęgowa rzędu r dodatich liczba x 1,..., x, którą ozaczamy p (r), azywamy p (r) = 1 r x r i (4.8) Między średimi x, ḡ, h, p (r) dodatich liczb x 1,..., x zachodzą astępujące związki: p ( 1) = h, p (1) = x, lim r 0 p (r) = ḡ (4.9) Średie dla szeregu rozdzielczego oblicza się, stosując odpowiedie wzory a średie ważoe. 5 Miary rozproszeia Miary rozproszeia (rozrzutu, rozsiaia) próbki x 1,..., x. (Najprostrza to rozrzut). 4

5 Defiicja 16. Wariacja (dyspersja) s 2 próbki x 1,..., x azywamy średią arytmetyczą kwadratów odchyleia poszczególych wartości x i od średiej arytmetyczej x próbki lub (rówoważie) s 2 = 1 x 2 i x 2 lub s 2 = 1 s 2 = 1 (x i x) 2 (5.1) (x i a) 2 ( x a) 2 (5.2) przy dowolym a. Jeżeli w próbce x i występuje i razy (i = 1, 2,..., k) k i = to mamy s 2 = 1 k i x) (x 2 i = 1 k i x 2 i x 2 (5.3) taka wariacja określa am momet bezwładości układu mas puktowych względem środka masy tego układu. Defiicja 17. Odchyleie stadardowe pierwiastek z wariacji s = s 2 = 1 (x i x) 2 (5.4) Defiicja 18. Odchyleie przecięte d 1 od wartości średiej x próbki x 1,..., x d 1 = 1 x i x (5.5) Defiicja 19. Odchyleie przecięte d 2 od mediay m e próbki x 1,..., x d 2 = 1 x i m e (5.6) Defiicja 20. Niech x (1) x (2)... x () ozacza uporządkowaą próbkę x 1, x 2,..., x. Wartości w uporządkowaej próbce dzielimy a dwie grupy: do pierwszej zaliczamy wszystkie wartości miejsze od mediay i mediaę, do drugiej wszystkie wartości większe od mediay. Kwartyle Q 1 próbki x 1,..., x azywamy mediaę pierwszej grupy, a kwartylem górym Q 3 mediaę drugiej próbki. Odchyleie ćwiartkowe jest zdefiiowae jako połowa różic między górym i dolym kwartylem: Q = Q 3 Q (5.7)

6 Mamy jakąś próbkę, z której pobieramy r próbek, dla których moża wyzaczyć odpowiedie charakterystyki. Jeżeli mamy dae N i, x i, s 2 i dla i = 1, 2,..., r, gdzie N i liczość i-tej próbki, x i średia próbki i-tej i s 2 i wariacja i-tej próbki. Wtedy wariacja s 2, średia arytmetycza x połączoych r próbek wyosi. gdzie N = r N i. x = 1 r x i N i N (5.8) s 2 = 1 r s 2 i N i + 1 r ( x i x) 2 N i N N }{{}}{{} (5.9) war. wew. war. zew. 6 Momety i ie charakterystyki Defiicja 21. Momet zwykły m l rzędu l próbki x 1,..., x azywamy średią arytmetyczą l-tych potęg wartości x i m l = 1 x l i, l Defiicja 22. Momet cetraly M l rzędu l próbki x 1,..., x azywamy średią arytmetyczą l-tych potęg odchyleń wartości x i od średiej arytmetyczej x próbki M l = 1 (x i x) l, l Pierwszy momet cetraly jest dla każdej próbki rówy zero. Defiicja 23. Momet absoluty zwykły rzędu l próbki x 1,..., x wyraża się wzorem Defiicja 24. Momet absoluty cetraly b l rzędu l a l = 1 x i l (6.1) b l = 1 x i x l (6.2) Jeżeli wartości próbki pogrupowae są w k klasach o środkach x i i liczościach i, i = 1,..., k, to momety wyrażają się wzorami: momet zwykły rzędu l (grupowy) m l = 1 k x l i i (6.3) 6

7 momet cetraly rzędu l (grupowy) M l = 1 k ( x i x) l i (6.4) absoluty momet zwykły rzędu l (grupowy) a l = 1 k x i l i (6.5) absoluty momet cetraly rzędu l (grupowy) b l = 1 k x i x l i (6.6) Dla rozkładów symetryczych wszystkie momety rzędów ieparzystych są rówe zero. Defiicja 25. Skośość (współczyik asymetrii zdefiiowy jest jako gdzie s jest odchyleiem stadardowym. g 1 = M 3 s 3 (6.7) Defiicja 26. Współczyik kocetracji (skupieia) (kurtoza) Defiicja 27. Zmieość (współczyik zmieości) K = M 4 s 4 (6.8) v = s x 100% (6.9) Noerówomierość (współczyik ierówomierości) d 1 - odchyleie przecięte od średiej. H = d 1 x 100% (6.10) 7

8 7 Zdarzeia losowe Ω - przestrzeń zdarzeń elemetarych Defiicja 28. Zdarzeie elemetare ω Ω - poszczególe wyiki doświadczeia losowego. Defiicja 29. Doświadczeie losowe - realizacja określoego zespołu waruków, wraz z góry określoym zbiorem wyików Defiicja 30. Przeliczalie addytywym ciałem zdarzeń (σ - ciałem zdarzeń) przestrzei Ω azywamy iepustą klasę Z jej podzbiorów spełiających: i) Ω Z : cała przestrzeń zdarzeń elemetarych ależy do tej klasy ii) A Z A A c Z : dopełieie dowolego zbioru A (czyli A = Ω \ A) ależącego do klasy Z jest elemetem tej klasy. iii) A 1,..., A,... Z (A 1... A...) Z. Suma co ajwyżej przeliczalej liczby zbiorów ależących do klasy Z rówież ależy do tej klasy. Rzucamy kostką: zdarzeiami losowymi mogą być: 1, 2, 3, 4, 5, 6 liczby parzyste liczby ieparzyste itd. Ω = { {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} } (7.1) Defiicja 31. Zdarzeie losowe (zdarzeie) to każdy zbiór ależący do addytywego ciała Z. Zdarzeie pewe to cały zbiór Ω, zdarzeie iemożliwe to. A to zdarzeie przeciwe do zdarzeia A. 7.1 Działaie a zdarzeiach Działaia a zdarzeiach jest aalogicze do działań a zbiorach. Defiicja 32. Koiukcja (iloczy) dwóch zdarzeń A, B Z azywamy zdarzeie A B (ozaczae krócej AB), składające się z tych zdarzeń elemetarych, które ależą zarówo do zdarzeia A jak i do zdarzeia B. Dla przeliczalie wielu zdarzeń i T A i, jest to zdarzeie ależące do każdego zdarzeie A i. 8

9 Defiicja 33. Alteratywa (suma) zdarzeń A, B Z azywamy zdarzeie A B, składające się ze zdarzeń elemetarych ω, które ależą co ajmiej do jedego ze zdarzeń A, B. Dla przeliczalie wielu zdarzeń i T A i to zdarzeie, które ależy do co ajmiej jedego zdarzeia A i. Defiicja 34. Różica A \ B (ozaczaa A B) zdarzeń A, B Z azywamy zdarzeie składające się z tych zdarzeń elemetarych ω, które ależą do zdarzeia A, ale ie ależą do zdarzeia B. W szczególości różica Ω \ A jest zdarzeiem przeciwym do A. Defiicja 35. Mówimy, że zdarzeie A pociąga zdarzeie B (albo, zdarzeie B jest astępstwem zdarzeia A), co zapisujemy A B, jeśli każde zdarzeie elemetare ω ależące do zdarzeia A - rówież ależy do zdarzeia B. Jeżeli A B i B A, to mówimy, że zdarzeia są rówe i zapisujemy A = B. Defiicja 36. Mówimy, że zdarzeia A, B Z wykluczają się (albo: wyłączają się), jeśli ie mają wspólych zdarzeń elemetarych, tj. gdy ich koiukcja jest zdarzeiem iemożliwym AB =. Mówimy, że zdarzeia A 1,..., A,... wykluczają się parami, jeśli każde dwa spośród ich wykluczają się, czyli A i A j =, gdy i j. Własości działań a zdarzeiach: a) A B = B A przemieość koiukcji zdarzeń b) A B = B A przemieość alteratywy zdarzeń c) A (B C) = (A B) C łączość koiukcji zdarzeń d) A (B C) = (A B) C) łączość alteratywy zdarzeń e) A (B C) = A B A C A ( i T A i ) = i T (A A i ) rozdzielość koiukcji zdarzeń względem alteratywy zdarzeń f) A (B C) = (A B) (A C) A ( i T A i ) = i T (A A t ) rozdzielość alteratywy zdarzeń względem koiukcji zdarzeń g) (A B) = A B ( i T A i ) = i t A i (A B) = A B ( i T A i ) = i T A i Prawa De Morgaa 9

10 8 Kombiatoryka Defiicja 37. Permutacje bez powtórzeń. A dowoly zbiór złożoy z -elemetów A = {a 1, a 2,..., a } (8.1) Permutacją bez powtórzeń elemetowego zbioru A (permutacja bez powtórzeń różyych elemetów) - azywamy każdy wyrazowy ciąg, w którym każdy elemet zbioru A występuje dokładie raz. (Jest to po prostu uporządkowaie elemetów daego zbioru wg jakiegoś kryterium) P =! (8.2) Liczba możliwych permutacji. Defiicja 38. Permutacje z powtórzeiami. A zbiór k-różych elemetów: A = {a 1,..., a k }. Permutacją elemetową z powtórzeiami, w której elemet a 1 powtarza się 1 razy,..., elemet a k powtarza się k razy oraz k =, azywamy -wyrazowy ciąg, w którym poszczególe elemety zbioru A powtarzają się wskazaą liczbę razy. P 1,..., k =! 1!... k! (8.3) Defiicja 39. Wariacja bez powtórzeń. Niech A będzie zbiorem różych elemetów. Każdy k wyrazowy ciąg k różych elemetów tego zbioru (k ) azywamy k-wyrazową wariacją bez powtórzeń z -elemetowego zbioru A. V k = ( 1)( 2)... ( k + 1) [k], k (8.4) Defiicja 40. Wariacja z powtórzeiami. A zbiór elemetowy. Każdy k-wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elemetów tego zbioru, k, azywamy k-wyrazową wariacją z powtórzeiami z -elemetowego zbioru A. V k = k (8.5) Defiicja 41. Kombiacje z powtórzeiami. A zbiór elemetowy (róże). Każdy k- elemetowy (k ) podzbiór zbioru A azywamy k-elemetową kombiacją bez powtórzeń -elemetowego zbioru A (lub kombiacją z elemetów po k elemetów). Np. {a, c} {a, b, c, d} jest 2-elemetową kombiacją 4-elemetowego zbioru (kolejość ie jest istota). C k = ( ) = k! k!( k)! = [k] k! (8.6) 10

11 Defiicja 42. Kombiacje z powtórzeiami. Mamy elemety różych rodzajów. Elemety tego samego rodzaju traktujemy jako idetycze. Każdy zbiór (zestaw) składający się z k elemetów (k ), gdy każdy elemet ależy do jedego z tych rodzajów, azywamy k-elemetową kombiacją z powtórzeiami z rodzajów elemetów. Np. Z elemetów 3 radzajów (=3) (ozaczmy je jako a, b, c) moża utworzyć astępujące 2-elemetowe kombiacje 9 Prawdopodobieństwo {a, a}, {b, b}, {c, c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} (8.7) ( ) + k 1 C k = C+k 1 k = = k ( + k 1)! k!( 1)! Defiicja 43. Aksjomatycza defiicja prawdopodobieństwa. Ω przestrzeń zdarzeń elemetarych doświadczeia losowego D Z zbiór zdarzeń elemeatrych Prawdopodobieństwo fukcja P przyporządkowującą każdemu zdarzeiu A Z liczbę P (A) spełiającą 1. P (A) 0 dla każdego zdarzeia A Z 2. P (Ω) = 1, (uormowaie) (8.8) 3. Jeżeli A 1,..., A,... jest dowolym ciągiem parami rozłączych zdarzeń ze zbioru Z, to P (A 1 A 2... A...) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A ) +... (przeliczala addytywość) Własości 1. P ( ) = 0 2. Jeżeli A pociąg zdarzeie B, A B P (A) P (B) oraz P (B \ A) = P (B) P (A) 3. P (A) 1, A dowole 4. P (A) + P (A ) = 1 5. prawdopodobieństwo alteratywy dwóch dowolych zdarzeń (czyli prawdopodobieństwo zajścia co ajmiej jedego z tych zdarzeń) jest rówe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń zmiejszoej o prawdopodobieństwo ich koiukcji, czyli P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 11

12 6. Klasycza defiicja prawdopodobieństwa. Przestrzeń Ω składa się z zdarzeń elemetarych, czyli (Ω) = zdarzeia jedoelemetowa {ω i } są jedakowo prawdopodobe, czyli P ({ω 1 }) = P ({ω 2 }) =... = P ({ω }) = 1 Defiicja 44. Prawdopodobieństwo warukowe P (A B) = P (A B) P (B) P (B) > 0 jest to prawdopodobieństwo zdarzeia A obliczoe przy założeiu, że zaszło zdarzeie B. Stąd wyika wzór a prawdopodobieństwo koiukcji (łączego zajścia) zdarzeń P (AB) = P (A)P (B A) P (A) > 0 (9.1) P (AB) = P (B)P (A B) P (B) > 0 (9.2) Defiicja 45. Prawdopodobieństwo koiukcji zdarzeń. Dla = 3 jest dae wzorem dla zdarzeń P (ABC) = P (A)P (B A)P (C AB) P (AB) > 0 P (A 1 A 2... A ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 2 A 1 )... P (A A 1 A 2... A 1 ) gdy P (A 1 A 2... A 1 ) > 0 Defiicja 46. Niezależość dwóch zdarzeń. Mówimy, że zdarzeia A, B Z są iezależe, gdy P (AB) = P (A)P (B) rówość ta ie wyklucza sytuacji, gdy P (A) = 0 lub P (B) = 0. Gdy oba są róże od zera wtedy P (A B) = P (A) P (B A) = P (B) 10 Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa Twierdzeie 47 (O prawdopodobieństwie całkowitym). B - dowole zdarzeie, zdarzeia A 1,..., A spełiają waruki 1. wykluczają się parami A i A j = dla i j 2. ich alteratywa jest zdarzeiem pewym, czyli A 1 A 2... A = Ω 12

13 3. moją dodatie prawdopodobieństwa P (A i ) > 0 dla i = 1,..., to prawdopodobieństwo zdarzeia B wyraża się rówością P (B) = P (A 1 )P (B A 1 ) P (A )P (B A ) (10.1) zwaą wzorem a prawdopodobieństwo całkowite (zupełe) Twierdzeie 48 (Bayesa). Jeżeli B jest dowolym zdarzeiem o dodatim prawdopodobieństwie P (B) > 0, zdarzeia A 1,..., A zaś spełiają waruki 1,2,3 twierdzeia o prawdopodobieństwie całkowitym, to prawdopodobieństwa warukowe P (A k B) zdarzeń A k przy waruku B, k = 1,..., wyrażają się rówościami P (A k B) = P (A k)p (B A k ), k = 1,..., (10.2) P (A i )P (B A i ) 11 Zmiea losowa - jedowymiarowa Defiicja 49. Zmiea losowa. Ujęcie ituicyje. Zmiea losowa - przyjmuje wartość liczbową zależą od przypadku, a więc ie dającą się ustalić przed przeprowadzeiem doświadczeia. Ujęcie matematycze. (Ω, Z, P ) - przestrzeń probabilistycza. Zmiea losowa - dowola fukcja X, określoa a przestrzei zdarzeń elemetarych Ω o wartościach ze zbioru R mająca własości: dla dowolej, ustaloej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elemetarych ω, dla których spełioa jest ierówość X(ω) < x, jest zdarzeiem, czyli {ω : X(ω) < x} Z x R (11.1) Defiicja 50. Prawdopodobieństwo P (X A) przyjęcia przez zmieą losową X wartości ze zbioru A, A R, określamy rówością P (X A) = P ( {ω : X(ω) A} ) (11.2) gdzie A jest dowolym zbiorem a prostej, p.: A = {x 0 }, A = [a, b], A = (x 0, + ) itd. Dla A = [a, b) mamy P (X A) = P (a X < b) = P ( {ω : a X(ω) < b} ) (11.3) Defiicja 51. Dystrybuata zmieej losowej F (x) (lub F X (x)) F X (x) = P (X < x) x R (11.4) Dystrybuatą zmieej losowej X azywamy fukcję F X określoą a całym R. Dystrybuata F dowolej zmieej losowej ma własości 13

14 1. 0 F (x) 1 dla każdego x R 2. lim x F (x) F ( ) = 0 oraz lim x F (x) F ( ) = 1 3. F jest iemalejąca 4. jest fukcją (co ajmiej) lewostroie ciągłą, czyli lim x x 0 F (x) = F (x 0) 5. prawdopodobieństwo P (a X < b) przyjęcia przez zmieą losową X wartości z przedziału [a, b) jest rówe przyrostowi dystrybuaty F między puktami a, b, czyli P (a X < b) = F (b) F (a) 6. prawdopodobieństwo P (X = x 0 ) przyjęcia przez zmieą losową X dowolej, ustaloej wartości x wyraża się za pomocą dystrybuaty F rówością: P (X = x 0 ) = lim x x + F (x) 0 F (x 0 ) 7. Jeżeli G jest dowolą fukcją o wartościach rzeczywistych mającą własości 2,3,4, to fukcja G jest dystrybuatą zmieej losowej Zmiea losowa typu skokowego Defiicja 52. Zmiea losowa X jest typu skokowego (dyskretego) jeżeli istieje skończoy albo przeliczaly zbiór W x = {x 1,..., x,...} jej wartości x 1,..., x,... taki, że P (X = x i ) = p 1 > 0 i p i = 1 Defiicja 53. Fukcja rozkładu prawdopodobieństwa. Fukcję p określoą a zbiorze W x rówością p(x i ) = P (X = x i ) p i x i W x (11.5) lub przedstawioe przy pomocy dwuwierszowej tablicy x i x 1 x 2... x... p i p 1 p 2... p... spełiającą waruek uormowaia ( i p i = 1) azywamy fukcją rozkładu prawdopodobieństwa (lub fukcją prawdopodobieństwa) zmieej losowej X Defiicja 54. Dystrybuata zmieej losowej typu skokowego: prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmiea losową X wartości ze zbioru A P (X A) = x i A p i w szczególości P (a < X < b) = a<x i <b p i gdy a = możemy wyzaczyć dystrybuatę F skokowej zmieej losowej X: F (x) = P (X < x) = <x i <x p i 14

15 11.2 Zmiea losowa typu ciągłego Defiicja 55. Zmiea losowa X przyjmująca wszystkie wartości z pewego przedziału (albo przedziałów), dla której istieje ieujema fukcja f taka, że dystrybuatę F zmieej losowej X moża przedstawić w postaci: F (x) = x f(t)dt x R (11.6) azywamy zmieą losową absolutie ciągłą (zmieą losową ciągłą, typu ciągłego), a fukcję f jej gęstością. Pole obszaru ograiczoego wykresem gęstości f i osią Ox jest rówe 1. Jeżeli gęstość zmieej losowej X f(t) 0 tylko w (a, b) to rozkład jest skocetroway a przedziale (a, b). Własości zmieej losowej typu ciągłego: jeżeli x jest puktem ciągłości gęstości f, to F (x) = f(x), + f(t)dt = 1 P (a x < b) = b a f(x)dx 15

Elementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)

Elementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I) Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki 1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae

Bardziej szczegółowo

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2. Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,

Bardziej szczegółowo

Statystyczny opis danych - parametry

Statystyczny opis danych - parametry Statystyczy opis daych - parametry Ozaczeia żółty owe pojęcie czerwoy, podkreśleie uwaga * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW Zagadieia. Idea

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste

Statystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk

Bardziej szczegółowo

d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem

d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej). Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej

Bardziej szczegółowo

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa

Bardziej szczegółowo

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.

Miary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy. MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,

Bardziej szczegółowo

Wybrane litery alfabetu greckiego

Wybrane litery alfabetu greckiego Wybrae litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilo η eta Θ θ theta κ kappa Λ λ lambda µ mi ν i ξ ksi π pi ρ, ϱ ro σ sigma τ tau Φ φ, ϕ fi χ chi Ψ ψ psi Ω ω omega Ozaczeia a i

Bardziej szczegółowo

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II

STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia. Próba losowa. Badanie próby losowej

Podstawowe pojęcia. Próba losowa. Badanie próby losowej METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA WYKŁAD 8: STATYSTYKA OPISOWA. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYSTĘPUJĄCE W STATYSTYCE. Małgorzata Krętowska Wydział Iforatyki Politechika Białostocka Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1. Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy

Bardziej szczegółowo

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk Statystyka powtórzeie (I semestr) Rafał M. Frąk TEORIA Statystyka Statystyka zajmuje się badaiem procesu zbieraia oraz iterpretacji daych liczbowych lub jakościowych. Przedmiotem statystyki są metody badaia

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8 Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

Lista 6. Estymacja punktowa

Lista 6. Estymacja punktowa Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?

Bardziej szczegółowo

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)

Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności) IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie

Bardziej szczegółowo

Histogram: Dystrybuanta:

Histogram: Dystrybuanta: Zadaie. Szereg rozdzielczy (przyjmujemy przedziały klasowe o długości 0): x0 xi i środek i*środek i_sk częstości częstości skumulowae 5 5 8 0 60 8 0,6 0,6 5 5 9 0 70 7 0,8 0, 5 5 5 0 600 0, 0,6 5 55 8

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny (Gaussa)

Rozkład normalny (Gaussa) Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest

Bardziej szczegółowo

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb

Bardziej szczegółowo

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej

3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału

Bardziej szczegółowo

Wykład nr 2. Statystyka opisowa część 2. Plan wykładu

Wykład nr 2. Statystyka opisowa część 2. Plan wykładu Wykład r 2 Statystyka opisowa część 2 Pla wykładu 1. Uwagi wstępe 2. Miary tedecji cetralej 2.1. Wartości średie 2.2. Miary pozycyje 2.3. Domiata 3. Miary rozproszeia 4. Miary asymetrii 5. Miary kocetracji

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa - dodatek

Statystyka opisowa - dodatek Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej

Bardziej szczegółowo

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska

Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH Kieruek: Fiase i rachukowość Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 Projekt: Badaie statystycze cey baryłki ropy aftowej i wartości dolara

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: x = 1 STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału Domiata (moda Liczba ajczęściej

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1 Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.

Bardziej szczegółowo

16 Przedziały ufności

16 Przedziały ufności 16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości

Scenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia graniczne:

Twierdzenia graniczne: Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są

Bardziej szczegółowo

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.

Bardziej szczegółowo

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204. Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych

Bardziej szczegółowo

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE. ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą

Bardziej szczegółowo

ZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych.

ZDARZENIE ELEMENTARNE to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych. STATYSTYKA to auka, której przedmiotem zaiteresowaia są metody pozyskiwaia i prezetacji, a przede wszystkim aalizy daych opisujących zjawiska masowe. Metody statystycze oparte są a rachuku prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś 1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona

Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów populacji

Estymacja parametrów populacji Estymacja parametrów populacji Estymacja parametrów populacji Estymacja polega a szacowaiu wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu zmieej losowej, a podstawie próby statystyczej. Estymacje

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4

ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

1. Dany odcinek podzielić dwoma punktami na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych części da się zbudować trójkąt?

1. Dany odcinek podzielić dwoma punktami na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych części da się zbudować trójkąt? 1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 15 Zadaia 1. Day odciek podzielić dwoma puktami a trzy części. Jakie jest prawdopodoieństwo, że z tych części da się zudować trójkąt? 2. Moetę o promieiu r rzucoo a parkiet

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza danych doświadczalnych

Komputerowa analiza danych doświadczalnych Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech

Bardziej szczegółowo

Statystyka w rozumieniu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaniu, prezentacji, analizie danych.

Statystyka w rozumieniu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaniu, prezentacji, analizie danych. Statystyka w rozumieiu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaiu, prezetacji, aalizie daych. Celem geeralym stosowaia tych metod, jest otrzymywaie, a podstawie daych, użyteczych uogólioych iformacji

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej 3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że

Bardziej szczegółowo