i statystyka matematyczna Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
|
|
- Martyna Rutkowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1
2 Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 200. Wstęp do rachuu prawdopodobieństwa, W. Feller, PWN Zadaia z probabilistyi,. Plucińsa, E. Plucińsi, PWN Statystya dla fizyów, R.N. Nowa, PWN, Statystya dla fizyów. Ćwiczeia, R.N. Nowa, PWN, aliza daych, S. radt, PWN, Wstęp do aalizy błędu pomiarowego, R.J. Taylor, PWN, Ja aalizować wyii pomiarów, H. bramowicz, PWN Statistical Data alysis, G. Cowa, Oxford Uiv. Press, Wyład 1-21
3 Statystya - podstawowe pojęcia Statystya aua zajmująca się plaowaiem badań, a taże zbieraiem, orgaizacją, prezetacją i aalizą daych, oraz wyciągaiem wiosów i podejmowaiem decyzji a ich podstawie. Słowo statystya jest taże używae do oreśleia samych daych i wielości pochodych. Populacja zbiór wszystich przedstawicieli posiadających badaą cechę. Przyład: adaia demograficze - spis powszechy. Kotrola jaości zbiór wszystich urządzeń daego typu produowaych przez fabryę. Próba losowa reprezetatywa próba całej populacji, tz. taa, tóra odzwierciedla wszystie cechy i związi w iej występujące. Przyład: Próbami losowymi ie są p. sodaże wśród czyteliów dowolego z czasopism, wśród przechodiów a ulicy, głosowaia telewidzów w programach. Mówimy, że próba jest prosta jeśli rezultat wyboru jedego elemetu ie ma wpływu a rezultat wyboru iego elemetu. Przyład: Losując bez zwracaia ule z ury, tóra jest wypełioa sończoą liczbą ul białych i czarych, mamy do czyieia z próbą, tóra ie jest prosta. Wyład 1-31
4 w sobie iych zdarzeń elemetarych. Przyłady: Zdarzeia elemetare Zachowaie uładu, tórego ie możemy przewidzieć z całowitą pewością, azywamy przypadowym. Miarą przypadowości jest prawdopodobieństwo. Pojęcia pierwote rachuu prawdopodobieństwa to zdarzeie elemetare i przestrzeń zdarzeń elemetarych Ω. Dowoly podzbiór Ã Ω azywamy zdarzeiem losowym. Uwaga: Zdarzeia elemetare muszą być esluzywe dae zdarzeie elemetare ie zawiera jedoroty rzut moetą: orzeł (O) i resza (R) to dwa zdarzeia elemetare, tóre budują całą przestrzeń Ω {O, R} rzut dwoma moetami: Ω {(O,O), (O,R), (R,O), (R,R)} miesiąc urodzi: Ω {Sty, Lut, Mar, Kwi, Maj, Cze, Lip, Sie, Wrz, Paź, Lis, Gru} czas życia żarówi zdarzeia elemetare są dowolymi liczbami dodatimi, t>0, a przestrzeń jest iesończoa; ale może w oretym problemie lepiej wybrać Ω {1, 2, 3, } godziy/di/miesiące. liczba wypadów a srzyżowaiu w ciągu miesiąca: Ω {1,2,3, } a może Ω {1, 2, 3,, 1000} często prościej rozważyć iesończoy ciąg. jądro promieiotwórcze w olejych odstępach 1s może się rozpaść (R) lub ie (). Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest iesończoa: R, R, R, R, Wyład 1-41
5 Zdarzeia elemetare - przyłady rzut dwoma ostami do gry: Ω {x, y}, gdzie x 1,,6 oraz y 1,, (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (,2) (6,2) suma ocze wyrzucoych a dwóch ostach Ω {2, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} dwie osoby przy wadratowym stole iteresuje as zdarzeie : siedzą w rogu. (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (,4) (6,4) (1,) (2,) (3,) (4,) (,) (6,) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (,6) (6,6) przyłady różych wyborów przestrzei zdarzeń elemetarych: Wyład 1-1
6 Zdarzeia elemetare - przyłady Przyłady przestrzei zdarzeń elemetarych, w tórych możliwa jest tylo częściowa obserwacja zdarzeń elemetarych: Kadydat do pracy powiie charateryzować się pewymi zdolościami a poziomie z. Jeda dyspoujemy jedyie wyiiem x testu oceiajacego tę zdolość. Dyspoujemy jedyie ograiczoą zajomością przestrzei Ω {z, x} Chcemy zaleźć ryteria selecji z 0, x 0, taie aby stosując regułę aceptuj adydatów z wyiiem x > x 0 jedocześie masymalizować liczbę aceptowaych osób, tóre spełiają warue z > z 0 Uwaga: oiecza jest zajomość statystyczej relacji pomiędzy x i z. odpowiedzi radomizowae dotyczy aiet a tematy, a tóre pytai z reguły ie udzielają szczerej odpowiedzi lub ie chcą w ogóle odpowiadać (ses, arotyi, łamaie prawa, podati, ) ietoway rzuca dwoma ostmi: zieloą i białą, i tylo o za wyi rzutów. Następie odpowiada a jedo z dwóch pytań Czy jesteś osobą typu Q? lub Czy a białej ostce wypadła 1? w zależości od tego czy a zieloej ostce wypadła ieparzysta czy parzysta liczba ocze. Wyład 1-61
7 Pojęcie prawdopodobieństwa Pewii rachuu prawdopodobieństwa (Kolmogorov 1933): 1) Każdemu zdarzeiu losowemu Õ Ω przypisujemy liczbę P(), zwaą prawdopodobieństwem tego zdarzeia, taą że 0bP()b1. 2) P-two zdarzeia pewego jest rówe jedości P(Ω) 1. 3) P-two sumy esluzywych zdarzeń losowych i, czyli taich że «, jest rówe sumie p-tw tych zdarzeń P( ) P() + P() Klasycza defiicja prawdopodobieństwa: liczba zdarze elemetarych sprzyjajacych zdarzeiu P() liczba wszystich zdarze elemetarych Defiicja częstościowa prawdopodobieństwa: Miarą p-twa jest względa częstości występowaia zdarzeia iedy liczba obserwacji dąży do iesończoości. Prawdopodobieństwa subietywe: (przydate gdy mamy do czyieia ze zdarzeiami tóre są iepowtarzale, p. iepewości systematycze, p-two że istieje bozo Higgs a),, tratujemy jao hipotezy (tz. stwierdzeia tóre albo są prawdziwe albo fałszywe); P() miara aszej wiary w to, że jest prawdziwe Przyład: wybór pomiędzy otrzymaiem gotówi a udziałem w loterii Wyład 1-71
8 Zdarzeia elemetare - przyłady Przyład: Rozmieszczeie r 3 ul (rozróżialych) w 3 omórach: { abc } { a bc } { a bc} { abc } { b ac } { b ac} { abc} { c ab } { c ab} { ab c } { a bc} { a b c} { ac b } { b ac} { a c b} { bc a } { c ab} { b a c} { ab c} { ab c} { b c a} { ac b} { ac b} { c a b} { bc a} { bc a} { c b a} Zdarzeie : w jedej z omóre są co ajmiej dwie ule - zdarzeia el. 121 Zdarzeie : pierwsza omóra ie jest pusta - zdarzeia el. 1, 41, 2227 Zdarzeie C: zachodzi zarówo ja i - zdarzeia el. 1, 41 Zdarzeie D: zachodzi lub - zdarzeia el. 127 (cała przestrzeń) 1 P ( Ei ) 27 i 1,..., 27 Wyład 1-81
9 Zdarzeia elemetare - przyłady Przyłady zagadień typu r ul w omórach : Di urodzi: r osób, 36 di Wypadi: r wypadów, 7 di tygodia Strzelaie do celu: r trafień, celów Klasyfiacja elemetów (p. ludzi) wg. ategorii (wie): r elemetów, ategorii Opuszczaie widy przez ludzi: r pasażerów, pięter Rzuty ośćmi do gry: r ości (rzutów), 6 możliwych wyiów daego rzutu Przypade ul ierozróżialych: { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } P ( E ) P ( E ) P ( E ) 1 P ( E )... P ( E ) 1 P ( E ) P ( E i ) i 1,..., Przypade ierozróżialych zarówo ul ja i omóre: { } { } { } Wyład 1-91
10 Prawa de Morgaa: Przyład: Działaia aia a zbiorach Prawa rozdzielości dla dodawaia i możeia: ( C) ( ) ( C) ( C) ( ) ( C) Wiose z pewia (3): P( C) P( ( C)) P() + P( C) P( ( C)) P() + P() + P(C) -P( C) P(( ) ( C)) P() + P() + P(C) P( C) P( ) P( C) + P( C) Ω Mamy ( ) oraz ( ) ( ) P( ) P() + P( ) P() P( ) + P( ) Odejmując stroami dostajemy: P( ) P() + P() P( ) P-two zdarzeia przeciwego do zdarzeia : ( ) ( ) P 1 P Wyład
11 Elemety ombiatoryi Jeżeli przestrzeń zdarzeń elemetarych jest sończoa, to obliczaie prawdopodobieństw zdarzeń będących podzbiorami tej przestrzei ułatwiają pojęcia i twierdzeia z ombiatoryi. Reguła iloczyu: jeśli pewą czyość wyouje się w etapach, przy czym etap 1 moża wyoać a 1 sposobów, etap 2 a 2 sposobów,, wreszcie etap -ty a sposobów, to liczba N sposobów jaimi moża wyoać tę czyość wyosi: Rozróżiamy dwa typy losowań: N 1 2 bez powtórzeń raz wylosoway elemet ie wraca do populacji, z powtórzeiami wylosoway elemet wraca do populacji przed olejym losowaiem. Rozróżiamy dwa typy uporządowaia: olejość losowaych elemetów jest istota (wariacje, permutacje), olejość losowaych elemetów ie jest istota (ombiacje). Wyład
12 Wariacje z powtórzeiami Losujemy elemetów spośród elemetów przy czym wylosoway elemet za ażdym razem zwracamy do populacji (losowaie ze zwracaiem). Każdy z elemetów możemy wybrać a sposobów. Ozacza to, że liczba -wyrazowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego wyosi: Przyłady: W Rzucając oste do gry uzysamy jedą z 6 możliwych ofiguracji. Wśród ich w przypadach ie będzie ai jedej jedyi, atomiast w -1 przypadach wypadie doładie jeda jedya. Z cyfr 1, 2, 3, 4, moża utworzyć 3 trzycyfrowych liczb aturalych, w tórych ażda z cyfr może się powtarzać dowolą ilość razy. Jeśli w ażdej omórce może zaleźć się dowola liczba cząste, to rozróżialych cząste możemy rozmieścić w omórach a sposobów (rozład Maxwella-oltzmaa). Wyład
13 Wariacje bez powtórze rzeń Losujemy elemetów spośród elemetów przy czym wylosowaego elemetu ie zwracamy do populacji (losowaie bez zwracaia). Pierwszy elemet moża wybrać a sposobów, drugi już tylo a -1, trzeci a -2, atomiast -ty tylo a -+1 sposobów. Ozacza to, że liczba -wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru -elemetowego wyosi: Przyłady: V ( 1)( 2) ( + 1) ( ) Mając do dyspozycji sześć pioowych pasów o różych barwach możemy utworzyć 6/(63) trójolorowych flag. Z cyfr 1, 2, 3, 4, moża utworzyć /(3) trzycyfrowych liczb aturalych w tórych ażda z cyfr może wystąpić co ajwyżej jede raz. Jeżeli w ażdej omórce może zaleźć się tylo jeda ula, to ul (ule są marosopowe a więc rozróżiale) moża rozmieścić w ich a /() sposobów. (alogia: omóri piętra budyu, ule osoby w widzie) Wyład
14 Permutacje bez i z powtórzeiami Losujemy elemetów spośród elemetów bez zwracaia. Pierwszy elemet moża wybrać a sposobów, drugi już tylo a 1, trzeci a 2, atomiast przedostati tylo a 2 sposoby. Ozacza to, że liczba permutacji bez powtórzeń zbioru -elemetowego wyosi: Przyład: (statystya Maxwella-oltzmaa) cząste moża rozmieścić po jedej w ustaloych omórach a sposobów. P ( 1)( 2) 2 1 Jeśli wśród elemetów mamy różych elemetów, z tórych pierwszy powtarza się 1 razy, drugi 2 razy,, -ty razy ( ), to liczba rozróżialych losowań bez zwracaia, czyli liczba permutacji z powtórzeiami zbioru -elemetowego, w tórym poszczególe elemety powtarzają się odpowiedio 1, 2,, razy wyosi: (,,..., ) P Przyład: (statystya M-) w pierwszej omórce 1, w drugiej 2,, w -tej cząste moża rozmieścić a P ( 1, 2,, ) sposobów. Wyład
15 Kombiacje bez powtórze rzeń Losujemy elemetów spośród elemetów przy czym wylosowaego elemetu ie zwracamy do populacji (losowaie bez zwracaia). Nie iteresuje as rówież olejość wylosowaych elemetów. Mamy więc do czyieia z -elemetowymi podzbiorami zbioru -elemetowego. Liczba -elemetowych ombiacji bez powtórzeń z -elemetowego zbioru wyosi: Przyłady: C ( ) Z 10 osób możemy utworzyć trzy zespoły liczące odpowiedio po, 3 i 2 osoby a ( 10) ( ) 10 ( ) ( ) sposobów. Na ile sposobów moża rozmieścić 20 ul w trzech omórach, ta aby w pierwszej było ich 10, w drugiej 6, a w trzeciej 4? Odpowiedź: ( 20) ( 10) 10 6 Jeżeli w ażdej omórce może zaleźć się tylo jeda cząsta, to ierozróżialych cząste moża rozmieścić w r omórach a ( ) sposobów (rozład Fermiego Diraca). Wyład
16 Kombiacje z powtórzeiami Rozważmy elemety różych rodzajów. Elemety tego samego rodzaju tratujemy jao ierozróżiale. Każdy zbiór elemetowy ( ) gdy ażdy elemet ależy do jedego z tych rodzajów azywamy -elemetową ombiacją z powtórzeiami z rodzajów elemetów. Liczba -elemetowych ombiacji z powtórzeiami z elemetów rodzajów jest rówa: + 1 ( + 1) C C + 1 ( 1) Przyłady: Rozpatrzmy rozmieszczeie 8 ierozróżialych ul w 6 omórach - liczba rozróżialych rozmieszczeń wyosi ( ) 8 C ( ) ( ) Rzucając r ierozróżialych oste do gry, otrzymamy C r r + r r + 6 ierozróżialych ofiguracji (omóri to liczby ocze, ule to osti). Jeśli w ażdej omórce może zaleźć się dowola liczba cząste, to ierozróżialych cząste możemy rozmieścić w omórach a sposobów (rozład osego- C Eisteia). Wszystie omóri będą zajęte w przypadach. C Wyład
17 Przyład: mechaia statystycza Każdy możliwy sta uładu to put w przestrzei fazowej. Statystya M-(cząsti rozróżiale, dowola liczba cząste w omórce): W Statystya -E (cząsti ierozróżiale, dowola liczba cząste w omórce): C + 1 ( + 1) C + 1 ( 1) Statystya F-D (cząsti ierozróżiale, co ajwyżej jeda cząsta w omórce): C ( ) p-two rozmieszczeia cząste po jedej w ustaloych omórach: 1 ( 1) 1 ( ) M-: p -E: p F-D: p C ( + 1) C Statystya -E: + 1 ( 1) 1 - wszystie omóri zajęte: C ( ) ( ) doładie m cząste w ustaloej omórce: C + m 2 m 1 m - doładie m cząste w jedej z omóre: C m 1 Wyład
18 Prawdopodobieństwo - przyłady Przyład 1: Wida z 7 pasażerami jedzie przez 10 pięter. Jaa jest szasa, że ludzie będą wysiadali pojedyczo a piętrach? alogia: 7 ul tóre mamy rozmieścić w 10 omórach. Każdy przypade oddzielego wysiadaia odpowiada losowaiu bez zwracaia. Sytuację gdy po ilu pasażerów może wysiąść a jedym z pięter możemy opisać jao losowaie ze zwracaiem. Oczywiście pasażerowie są rozróżiali i jest istote to to wysiądzie a tórym piętrze. Szuae prawdopodobieństwo jest więc rówe: 7 V10 P 7 W Przyład 2: Wyciągamy art z talii 2 dobrze potasowaych art. Jaie jest p-two, że są wśród ich a) 4 asy, b) 4 asy i jede ról, c) trzy 10-ti i dwa walety, d) 9-ta, 10-ta, walet, rólowa i ról, e) trzy są tego samego oloru i dwie ie, f) co ajmiej jede as? a) P 4 1 C4 C48 C b) P 4 1 C4 C4 C d) P C4 C4 C4 C4 C4 C c) P 3 2 C4 C4 C e) P 3 2 4C13 3 C C f) C P 1 1 C Wyład
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach,
Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 2005. Wstęp do
Bardziej szczegółowoi statystyka matematyczna Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 200. Wstęp do
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie
Bardziej szczegółowoII. PEWNE SCHEMATY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
II EWNE SCHEMATY RACHUNKU RAWDOODOBIEŃSTWA 2 Zagadieie Beroulliego rzeprowadzamy doświadczeń w tai sposób, że prawdopodobieństwo sucesu w ażdym doświadczeiu jest stałe, iezależe od wyiów poprzedich i rówe
Bardziej szczegółowoIV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce
IV Uiwersyteca Sobota Matematycza 4 wietia 208 Fucje tworzące w ombiatoryce Dla ciągu a 0 a a 2... defiiujemy fucję tworzącą: G(x) = a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0. Zajdź fucje tworzące dla poiższych
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoWiadowmości wstępne z rachunku prawdopodobieństwa
Biotechologia, Chemia, Chemia Budowlaa - Wydział Chemiczy - 1 Wiadowmości wstępe z rachuu prawdopodobieństwa Zdecydowaa więszość procesów fizyczych, techiczych, społeczych, eoomiczych itp, przebiega w
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości
Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości
Bardziej szczegółowoH brak zgodności rozkładu z zakładanym
WSPÓŁZALEŻNOŚĆ PROCESÓW MASOWYCH Test zgodości H : rozład jest zgody z załadaym 0 : H bra zgodości rozładu z załadaym statystya: p emp i p obszar rytyczy: K ;, i gdzie liczba ategorii p Przyład: Wyoujemy
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. . (odp. a)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 11 Rzucamy trzy razy monetą A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie Oreślić zbiór zdarzeń elementarnych Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoWykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowon k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
Bardziej szczegółowoWyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Bardziej szczegółowoStatystyka i rachunek prawdopodobieństwa
Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa Filip A. Wudarski 22 maja 2013 1 Wstęp Defiicja 1. Statystyka matematycza opisuje i aalizuje zjawiska masowe przy użyciu metod rachuku prawdopodobieństwa. Defiicja
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Prawdopodobieństwo
Wstęp Rachue prawdopodobieństwa (łac. probabilitis prawdopodoby) jest dziedzią matematyi, tóra współcześie zajduje szeroie zastosowaie zarówo w auce, ja i w pratyce. Jest dobrym arzędziem ostruowaia i
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń
Kombiowaie o ieskończoości.. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch marzec 208 Szybkie przypomieie z wykładu Prezetacja multimediala do wykładu. Permutacje,
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe techniki zliczania
Wy lad 1 Podstawowe techii zliczaia Wariacje bez powtórzeń Defiicja 1. Niech i bed a liczbami aturalymi taimi, że. Niech A bedzie dowolym zbiorem elemetowym. Każdy ciag różowartościowy a 1,..., a d lugości
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
Bardziej szczegółowoRozkład Poissona. I. Cel ćwiczenia. Obowiązujący zakres materiału. Podstawy teoretyczne. Opracował: Roman Szatanik
Opracował: Roma Szatai Rozład Poissoa I. Cel ćwiczeia Zapozaie ze statystyczym sposobem opisu zagadień związaych z promieiowaiem jądrowym oraz z rozładami statystyczymi stosowaymi w fizyce jądrowej. Pratycze
Bardziej szczegółowoP k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} =
Definicja.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Każdy -elementowy podzbiór zbioru A wybrany (w dowolnej olejności) bez zwracania nazywamy ombinacją bez powtórzeń. Twierdzenie.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Liczba
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoDwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowoWykład 3 : Podstawowe prawa, twierdzenia i reguły Teorii Obwodów
OBWODY SYNAŁY Wyład 3 : Podstawowe prawa, twierdzeia i reguły Teorii Obwodów 3. PODSTAWOWE PAWA TWEDZENA TEO OBWODÓW 3.. SCHEMAT DEOWY OBWOD Schematem ideowym obwodu (siecią) azywamy graficze przedstawieie
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoINDUKCJA MATEMATYCZNA
MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera malgorzata.stera@cs.put.poza.pl www.cs.put.poza.pl/mstera/ INDUKCJA MATEMATYCZNA Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoKombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera
Magazie Kombiacje, permutacje czyli ombiatorya dla testera Autor: Jace Oroje O autorze: Absolwet Wydziału Fizyi Techiczej, Iformatyi i Matematyi Stosowaej Politechii Łódziej, specjalizacja Sieci i Systemy
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoKombinatoryka - wyk lad z 28.XI (za notatkami prof.wojciecha Guzickiego)
Kombiatorya - wy lad z 28XI (za otatami profwojciecha Guziciego) Kombiatorya zajmuje sie sposobami zliczaia elemetów zbiorów sończoych Liczbe elemetów sończoego zbioru A be dziemy ozaczać symbolem A 1
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A
ĆWICZENIE Symulacja doświadczeń losowych Statystya opisowa Estymacja parametrycza i ieparametrycza T E O R I A Opracowała: Katarzya Stąpor Opis programu MS EXCEL. Iformacje ogóle Program Microsoft Excel
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Kombinatoryka
Matematya dysreta Kombiatorya Adrzej Szepietowsi 1 Ci agi Zastaówmy siȩ, ile ci agów d lugości moża utworzyć z elemetów zbioru zawieraj acego symboli. Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elemety: to moża
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowo1. Dany odcinek podzielić dwoma punktami na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych części da się zbudować trójkąt?
1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 15 Zadaia 1. Day odciek podzielić dwoma puktami a trzy części. Jakie jest prawdopodoieństwo, że z tych części da się zudować trójkąt? 2. Moetę o promieiu r rzucoo a parkiet
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 2 notatki
Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematya dysreta dla iformatyów Cz ± I: Elemety ombiatoryi Jerzy Jaworsi Zbigiew Pala Jerzy Szyma«si Uiwersytet im Adama Miciewicza Poza«2007 3 Schematy wyboru i tożsamości ombiatorycze 31 Wariacje z
Bardziej szczegółowoLiczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności
Liczby Stiriga I rodzaju - defiicja i własości Liczby Stiriga I rodzaju ozaczae symboem s(, ) moża defiiować jao współczyii w rozwiięciu x s(, )x, 0 (1) 0 gdzie x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoĆw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6
Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI
Piotr KOZIERSKI WYKORZYSTAIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDETYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI STRESZCZEIE W artyule przedstawioo sposób idetyfiacji parametryczej obietów ieliiowych zapisaych w przestrzei
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoProblem. Jak praktycznie badać jednostajną ciągłość funkcji?
EAIiIB-Iormatya - Wyład 3- dr Adam Ćmiel miel@.agh.edu.pl Ciągłość uji w puie e. Fuję : azywamy iągłą w puie jeżeli Heie Cauhy Uwaga: Put ale ie musi być putem supieia zbioru. Jeżeli jest putem izolowaym
Bardziej szczegółowo