σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

Transkrypt

1 Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia losowego, tzn. zdarzenie losowe, tórego nie da się rozłożyć na zdarzenia prostsze. Ω - zbiór wszystich zdarzeń elementarnych w danym doświadczeniu lub obserwacji. Uwaga. Gdy przestrzeń Ω ma sończoną lub przeliczalną liczbę elementów, wówczas ażdy podzbiór zbioru Ω jest zdarzeniem losowym. Ta być nie musi, gdy Ω nie jest przeliczalne. Zdarzenia losowe Niech A, B Ω. A B - suma zdarzeń A i B ( zaszło A lub B") A B - iloczyn zdarzeń A i B ( zaszło A i B") A \ B - różnica zdarzeń A i B ( zaszło A i nie zaszło B") A - zdarzenie przeciwne do A ( nie zaszło A") - zdarzenie niemożliwe Ω - zdarzenie pewne σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą waruni: Ω F; jeśli A F, to A F; jeśli A 1, A 2, A 3, F, to A i F. Rodzinę F podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-ciałem zdarzeń, a elementy tej rodziny nazywamy zdarzeniami losowymi. Rzut monetą. Ω = {O, R} zbiór zdarzeń elementarnych jest sończony F = {, {O}, {R}, {O, R} } Przyład Zbiory borelowsie Jeżeli Ω = R, to ważnym σ-ciałem zdarzeń jest σ-ciało B zbiorów borelowsich. B najmniejsze σ-ciało zawierające wszystie odcini Zbiory borelowsie na prostej: (, ), (, a, (, a), b, ), (b, ), (a, b), a, b), (a, b, a, b, {a},,... Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Jeżeli zbiór Ω słada się z n jednaowo możliwych zdarzeń elementarnych i wśród nich jest doładnie zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzenia A, to liczbę P (A) = nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia n A. Piszemy również P (A) = n(a) n(ω), gdzie n(a) oznacza liczbę zdarzeń elementarnych w podzbiorze A, zaś n(ω) oznacza liczbę zdarzeń elementarnych w zbiorze Ω. Asjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, zaś F będzie σ-ciałem zdarzeń losowych. 1

2 Prawdopodobieństwem nazywamy funcję P : F R, tóra spełnia następujące waruni: dla ażdego A F zachodzi 0 P (A) 1; P (Ω) = 1; jeśli zdarzenia A i, gdzie i {1, 2,... }, wyluczają się parami (tzn. A i A j = dla i j; i, j {1, 2,... }), to ( ) P A i = P (A i ). Tróję (Ω, F, P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną. Niech A, B F. P ( ) = 0; P (A ) = 1 P (A); jeśli A B, to P (A) P (B); P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Własności prawdopodobieństwa Zmienna losowa Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową nazywamy ażdą funcję X oreśloną na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω, przyjmującą wartości rzeczywiste, taą, że dla ażdej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych ω spełniających warune X(ω) < x jest zdarzeniem losowym, tzn. należy do rodziny F. Tzn. X : Ω R nazywamy zmienną losową, jeżeli {ω Ω: X(ω) < x} F x R Przyład Rzut monetą: Ω = {O, R}, F = {, {O}, {R}, {O, R} }. Niech funcja X : Ω R będzie oreślona następująco: X({O}) = 2, X({R}) = 2. Mamy wtedy {ω : X(ω) < x} = Zatem dla dowolnego x R mamy {ω : X(ω) < x} F. Wniose: funcja X jest zmienną losową. dla x 2, {R} dla 2 < x 2, Ω dla x > 2. Dystrybuanta zmiennej losowej Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funcję P ({ω Ω: X(ω) < x}), x R; tzn. P (X < x). F jest funcją niemalejącą, tzn. jeżeli x 1 < x 2, to F (x 1 ) F (x 2 ) F jest funcją lewostronnie ciągłą, tzn. dla ażdego a R lim F (a) x a lim 0, lim 1 x x + jeżeli a < b, to P (a X < b) = F (b) F (a) Własności dystrybuanty 2

3 jeżeli x jest liczbą sończoną, to P (X x) = 1 F (x) Rodzaje zmiennych losowych Wyróżniamy dwa podstawowe rodzaje zmiennych losowych: zmienne losowe typu soowego (z.l. dysretne) - gdy zbiór wartości funcji X(ω) jest zbiorem sończonym lub przeliczalnym; zmienne losowe typu ciągłego - gdy zbiór wartości funcji X(ω) zawiera pewien przedział właściwy lub niewłaściwy. Zmienna losowa typu soowego Niech {x 1, x 2,..., x,... } będzie sończonym lub przeliczalnym zbiorem wartości zmiennej losowej X typu soowego. Funcję p i = P (X = x i ) = P ({ω : X(ω) = x i }) przyporządowującą wartościom x 1, x 2,..., x,... zmiennej losowej X odpowiednie prawdopodobieństwa p 1, p 2,..., p,... nazywamy funcją prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu soowego. Mamy przy tym p i = 1. i Zmienna losowa typu soowego Wartości x 1, x 2,..., x,... zmiennej losowej X nazywamy puntami soowymi, a ich prawdopodobieństwa p 1, p 2,..., p,... soami. Dystrybuanta zmiennej losowej typu soowego ma postać: p i. {i : x i<x} P (X = x i ) = x i<x Zmienna losowa typu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dystrybuancie F nazywa się zmienną losową typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna i całowalna funcja f taa, że dla ażdej liczby rzeczywistej x zachodzi x f(t)dt. Funcję f nazywamy gęstością prawdopodobieństwa lub gęstością zmiennej losowej X. Własności gęstości prawdopodobieństwa f(x) 0 dla ażdego x R + f(x)dx = 1 f(x) = F (x), jeżeli dystrybuanta F jest funcją różniczowalną Zmienna losowa typu ciągłego Zauważmy, że dla zmiennej losowej X typu ciągłego mamy: P (X = a) = 0 dla ażdego a R; P (a X < b) = P (a X b) = P (a < X b) = b = P (a < X < b) = f(x)dx = F (b) F (a). a 3

4 Rozład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Mówimy, że dany jest rozład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, jeśli dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X, względnie gdy dana jest funcja prawdopodobieństwa w przypadu zmiennej losowej soowej lub gęstość prawdopodobieństwa w przypadu zmiennej losowej ciągłej. rozład jednopuntowy rozład dwupuntowy rozład Bernoulliego (dwumianowy) rozład Poissona Podstawowe rozłady soowe Rozład jednopuntowy P (X = a) = 1 Jest to rozład zdegenerowany, a jego dystrybuanta ma postać: { 0 dla x a, 1 dla x > a. Rozład dwupuntowy P (X = a) = p, P (X = b) = q, przy czym p + q = 1 Dla a = 1, b = 0 otrzymujemy rozład zero-jedynowy: P (X = 1) = p, P (X = 0) = q, przy czym p + q = 1. Dystrybuanta rozładu zero-jedynowego ma postać: 0 dla x 0, q dla 0 < x 1, 1 dla x > 1. Rozład Bernoulliego (dwumianowy) ( ) n P (X = ) = p q n, gdzie {0, 1, 2,..., n}, n N, 0 < p < 1, q = 1 p Dystrybuanta ma postać: ( ) n p q n. <x P (X = ) = λ! e λ, gdzie {0, 1, 2,... } Rozład Poissona z parametrem λ > 0 Dystrybuanta rozładu Poissona ma postać: e λ <x Rozład Poissona jest stablicowany. λ!. Związe rozł. Poissona z rozł. Bernoulliego 4

5 Twierdzenie. Niech X n, n {1, 2,... }, będzie ciągiem zmiennych losowych mających rozłady Bernoulliego z parametrami n i p n, tzn. P (X n = ) = ( ) n p n qn n, gdzie q n = 1 p n. Jeżeli lim n np n = λ > 0, to dla ażdego całowitego 0 zachodzi równość lim P (X n = ) = λ n! e λ. Uwaga. Rozład Poissona jest rozładem granicznym rozładu Bernoulliego. Im więsze n oraz mniejsze p, tym rozład Poissona lepiej przybliża rozład Bernoulliego. Przybliżenie jest dostatecznie dobre, gdy p 0.1, n 100 oraz λ 0.1; 10. 5