Matematyka dyskretna Kombinatoryka
|
|
- Bernard Cichoń
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematya dysreta Kombiatorya Adrzej Szepietowsi 1 Ci agi Zastaówmy siȩ, ile ci agów d lugości moża utworzyć z elemetów zbioru zawieraj acego symboli. Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elemety: to moża utworzyć dwa ci agi d lugości jede: cztery ci agi d lugości dwa: a, b, (a), (b), (a, a), (a, b), (b, a), (b, b). Aby uzysać ci agi d lugości trzy, postȩpujemy w astȩpuj acy sposób: bierzemy cztery ci agi d lugości dwa i ajpierw do ażdego z ich dopisujemy a pocz atu a. Otrzymujemy w te sposób omplet: (a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b). Zauważmy, że s a to wszystie ci agi d lugości trzy z pierwsz a liter a a. Potem do tych samych czterech ci agów d lugości dwa dopisujemy a pocz atu symbol b i otrzymujemy omplet: (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b). Komplety te s a roz l acze i oba zawieraj a róże ci agi. d lugości trzy: Razem tworz a zbiór wszystich ci agów (a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b). Postȩpuj ac podobie, możemy otrzymać szesaście ci agów d lugości cztery. Twierdzeie 1 Liczba ci agów d lugości o elemetach ze zbioru {a, b} wyosi 2. Dowód przez iducjȩ. Ja już poazao, s a dwa ci agi d lugości jede. Za lóżmy teraz, że liczba ci agów d lugości wyosi 2 i zauważmy, że wszystich ci agów d lugości + 1 jest dwa razy wiȩcej. Jest 2 ci agów z pierwszym elemetem a i 2 ci agów z pierwszym elemetem b. Razem mamy 2 2 = 2 +1 ci agów d lugości + 1. Jeżeli zbiór symboli zawiera elemetów, to powtarzaj ac powyższe rozumowaie, możemy siȩ przeoać, że istieje ci agów d lugości jede, 2 ci agów d lugości dwa i ogólie ci agów d lugości + 1 jest razy wiȩcej iż ci agów d lugości. Zachodzi zatem twierdzeie. Twierdzeie 2 Liczba ci agów d lugości o elemetach ze zbioru -elemetowego wyosi. 1
2 2 Fucje Policzmy teraz, ile jest fucji ze zbioru A w zbiór B. Przypuśćmy, że zbiór A zawiera elemetów: 1,...,. Każd a fucjȩ f z A w B moża przedstawić jao ci ag (f(1), f(2),..., f()). Ci ag te jest d lugości, a jego elemety s a wziȩte ze zbioru B. odpowiada jede ci ag, i a odwrót, ażdy ci ag Zauważmy, że ażdej fucji (b 1, b 2,..., b ) opisuje jed a fucjȩ. Miaowicie fucjȩ, tóra dla ażdego i przypisuje wartość f(i) = b i. Na przy lad, jeżeli A s lada siȩ z czterech elemetów: a B s lada siȩ z trzech elemetów: to ci ag A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3}, (2, 2, 2, 2) opisuje fucjȩ sta l a (tóra w ca lej swojej dziedziie przyjmuje wartość 2), a ci ag (1, 2, 3, 3) opisuje fucjȩ f, tóra przyjmuje astȩpuj ace wartości: f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 3. Z powyższego wyia, że fucji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo co ci agów d lugości = A z elemetami ze zbioru B. Udowodiliśmy wiȩc poiższe twierdzeie. Twierdzeie 3 Jeżeli zbiór A zawiera elemetów, a zbiór B zawiera elemetów, to liczba fucji ze zbioru A w zbiór B wyosi. 3 Ci agi bez powtórzeń Policzmy teraz, ile jest ci agów bez powtórzeń, czyli ci agów różowartościowych. Jeżeli elemety bierzemy ze zbioru trzyelemetowego {1, 2, 3}, to możemy utworzyć trzy ci agi jedoelemetowe: (1), (2), (3), 2
3 sześć różowartościowych ci agów dwuelemetowych: oraz sześć ci agów trójelemetowych: (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Nie ma, oczywiście, d luższych ci agów różowartościowych utworzoych z elemetów zbioru {1, 2, 3}. Twierdzeie 4 Jeżeli elemety wybieramy ze zbioru -elemetowego A, to liczba ci agów -elemetowych bez powtórzeń, tóre moża wybrać z tego zbioru, wyosi: ( 1) ( + 1). W tym wyrażeiu mamy iloczy olejych liczb, poczyaj ac od ( + 1), a ończ ac a. Dowód. Jeżeli budujemy ci ag bez powtórzeń, to a pierwszy elemet ci agu możemy wybrać ażdy z elemetów zbioru A, a drug a pozycjȩ w ci agu możemy wybrać już tylo jede z 1 elemetów (wszystie poza tym, tóry zosta l wybray a pierwszy elemet ci agu) i ta dalej, a ażd a olej a pozycjȩ mamy o jede elemet do wyboru miej. Zauważmy, że jeżeli >, to: ( 1)... ( + 1) = 0, co jest zgode z tym, że w taim przypadu ie moża utworzyć żadego -elemetowego ci agu bez powtórzeń z elemetami ze zbioru A. 4 Permutacje Permutacje to ci agi bez powtórzeń d lugości, wybierae ze zbioru -elemetowego. Na przy lad, mamy dwie permutacje dwuelemetowe: oraz sześć permutacji trzyelemetowych: (1, 2), (2, 1), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Zgodie z twierdzeiem 4 liczba permutacji w zbiorze -elemetowym wyosi: ( 1)( 2)... 1, czyli jest rówa!. Fucja silia! oreśloa jest a zbiorze liczb aturalych w astȩpuj acy sposób: 0! = 1, 3
4 Z oreśleia tego otrzymujemy: ( + 1)! = ( + 1)! 1! = 1, 2! = 2 1 = 2, 3! = 3 2 = 6, 4! = 4 6 = 24. Wartości fucji silia szybo ros a, a przy lad: 5! = 120, 10! = , 20! Dla przybliżoego obliczaia sili orzysta siȩ ze wzoru Stirliga: Dla ażdego zachodz a rówież astȩpuj ace oszacowaia: 2π! 2π e! e 2π. (1) ( e ) e 12. (2) Dowody wzoru Stirliga oraz powyższych oszacowań wychodz a poza zares tego podrȩczia. Czasami używa siȩ iej defiicji permutacji. Miaowicie permutacja -elemetowa to dowola fucja różowartościowa ze zbioru {1, 2,..., } a te sam zbiór. Na ozaczeie permutacji π używa siȩ zapisu: π(1) π(2)... π() Na przy lad, permutacja: π = ( jest fucj a, tóra przyjmuje astȩpuj ace wartości: π(1) = 2, π(2) = 1, π(3) = 4, π(4) = 3. Dwie permutacje -elemetowe moża s ladać ta, ja s lada siȩ fucje. Z lożeie π 1 π 2 permutacji π 1 i π 2 oreśloe jest wzorem: Na przy lad: ( Zbiór wszystich permutacji a zbiorze ) π 1 π 2 (x) = π 1 (π 2 (x)). ) = z dzia laiem z lożeia ma astȩpuj ace w lasości: {1,..., } ( Z lożeie permutacji jest l acze. To zaczy, dla ażdych trzech permutacji π, ρ, σ: π (ρ σ) = (π ρ) σ. ). 4
5 Wśród permutacji istieje idetyczość id, czyli permutacja, tóra ażdemu x z dziedziy przypisuje wartość id(x) = x. Idetyczość jest elemetem eutralym s ladaia permutacji, poieważ dla ażdej permutacji π: id π = π id = π. Dla ażdej permutacji π istieje permutacja odwrota (fucja odwrota) π 1, spe liaj aca warue: π π 1 = π 1 π = id. Powyższe zależości ozaczaj a, że zbiór wszystich permutacji a zbiorze {1,..., } z dzia laiem s ladaia permutacji staowi grupȩ. 5 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma sończoy zbiór -elemetowy. Jeżeli zbiór s lada siȩ z trzech elemetów: {a, b, c}, to możemy latwo wypisać wszystie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Tych podzbiorów jest osiem. Każdy zbiór trzyelemetowy posiada osiem podzbiorów, poieważ ie ma zaczeia, ja azywaj a siȩ elemety zbioru. Zbiór pusty ma tylo jede podzbiór: zbiór pusty. Jeżeli zbiór zawiera jede elemet {a}, to ma dwa podzbiory:, {a}, a jeżeli zbiór zawiera dwa elemety {a, b}, to ma cztery podzbiory: Rozważmy teraz ogólie podzbiory zbioru Z ażdym podzbiorem, {a}, {b}, {a, b}. {1, 2, 3,..., }. A {1, 2, 3,..., } jest zwi azaa jego fucja charaterystycza, oreśloa astȩpuj acym wzorem: { 1, gdy i A, χ A (i) = 0, gdy i / A. Dziedzi a fucji χ A jest zbiór {1,..., }, a przeciwdziedzi a zbiór {0, 1}. Zauważmy, że ażdemu podzbiorowi odpowiada jeda fucja charaterystycza, i a odwrót, jeżeli weźmiemy dowol a fucjȩ: χ : {1,..., } {0, 1}, 5
6 to wyzacza oa zbiór: A = {i χ(i) = 1}. Na przy lad, dla = 5 fucja charaterystycza χ A zbioru A = {2, 3, 5} jest opisaa przez astȩpuj acy ci ag: a ci ag: opisuje fucjȩ charaterystycz a zbioru: (0, 1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1, 0) {1, 3, 4}. Z powyższych rozważań wyia, że liczba podzbiorów zbioru -elemetowego jest rówa liczbie fucji ze zbioru {1,..., } w zbiór {0, 1}. Czyli a podstawie twierdzeia 3 mamy twierdzeie poiższe. Twierdzeie 5 Każdy zbiór -elemetowy ma 2 podzbiorów. 6 Podzbiory -elemetowe Zastaówmy siȩ teraz ad podzbiorami oreśloej mocy. zawiera elemetów. Dla zbioru czteroelemetowego Mówimy, że zbiór jest mocy, jeżeli {1, 2, 3, 4}, mamy jede podzbiór pusty (zeroelemetowy), cztery podzbiory jedoelemetowe: sześć podzbiorów dwuelemetowych: cztery podzbiory trzyelemetowe: i jede podzbiór czteroelemetowy: {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. Liczbȩ podzbiorów -elemetowych zbioru -elemetowego ozacza siȩ przez. 6
7 Jest to ta zway symbol Newtoa. Iaczej, ( ) jest rówe liczbie sposobów a jaie moża wybrać elemetów ze zbioru elemetowego. W laśie poazaliśmy, że: = 1, = 4, = 6, = 4, = Z defiicji wyia, że jeżeli >, to ( ) = 0. Zachodz a dwa wzory: =, + 1 = +. (3) 1 Pierwszy wzór bierze siȩ z prostej obserwacji, że wybraie elemetów, tóre ależ a do podzbioru A, jest rówoważe wybraiu elemetów, tóre do A ie ależ a. Aby uzasadić rówość 3, rozważmy -elemetowe podzbiory zbioru {1,...,, + 1}. Policzmy osobo te podzbiory, tóre zawieraj a elemet + 1, i osobo te, tóre go ie zawieraj a. Podzbiorów ie zawieraj acych + 1 jest ( ), bo wszystie elemetów trzeba wybrać ze zbioru {1,..., }. Podzbiorów zawieraj acych + 1 jest ( 1), bo 1 elemetów trzeba wybrać ze zbioru {1,..., }. Razem wszystich -elemetowych podzbiorów zbioru {1,...,, + 1} jest ( ) ( + 1). Korzystaj ac z rówości 3, możemy obliczać symbole Newtoa reurecyjie. Najpierw mamy ( 0 ) 0 = 1, poieważ jest jede zeroelemetowy (pusty) podzbiór zbioru zeroelemetowego (pustego). Jeżeli mamy już policzoe symbole Newtoa dla, to możemy liczyć, ile jest podzbiorów zbioru (+1)-elemetowego. Zaczyamy od ( +1) ( +1 = 1 oraz +1 ) 0 = 1, a astȩpie orzystamy z rówaia 3. Metodȩ tȩ ilustruje ta zway trój at Pascala: W -tym wierszu (wiersze umerowae s a od = 0) zajduj a siȩ symbole Newtoa: Na sraju zajduj a siȩ jedyi, poieważ ( ( 0) = ) = 1. -ty elemet w -tym wierszu dla 1 1 jest sum a dwóch elemetów stoj acych bezpośredio ad im: 1 1 =
8 Jeżeli 0, to symbol Newtoa moża też obliczyć ze wzoru: ( 1) ( + 1) =! (4) lub =!!( )! Oto uzasadieie wzoru 4: Aby wybrać podzbiór -elemetowy ze zbioru {1,..., }, wybieramy - elemetowy ci ag bez powtórzeń i bierzemy do podzbioru elemety tego ci agu igoruj ac ich olejość. Poieważ ażdemu -elemetowemu podzbiorowi odpowiada! ci agów o tych samych elemetach, wiȩc podozbiorów jest! razy miej iż -elemetowych ci agów bez powtórzeń. Wzór 4 wyia teraz z twierdzeia 4, a wzór 5 bezpośredio ze wzoru 4. Wzór 4 pozwala wyprowadzić oszacowaia a wartość symbolu Newtoa, dla 1 : ( 1) ( + 1) = =. ( 1) Poieważ, ja latwo sprawdzić i i dla ażdego 1 i 1. Korzystaj ac z ierówości! ( e ) wyprowadzoej ze wzoru Stirliga (2), otrzymujemy góre ograiczeie: 7 Dwumia Newtoa ( 1) ( + 1) =!! Symbole Newtoa wystȩpuj a w zaym twierdzeiu Newtoa. e. Twierdzeie 6 (dwumia Newtoa) Dla ażdej liczby rzeczywistej t oraz liczby ca lowitej 0 zachodzi: (1 + t) = t. Pierwszy dowód. (1 + t) jest wielomiaem stopia. Policzmy wspó lczyi tego wielomiau stoj acy przy t. Rozważmy iloczy: =0 (1 + t)(1 + t)... (1 + t). }{{} razy Przy rozwijaiu tego wyrażeia wybieramy z ażdego czyia 1 lub t, potem wymażamy wybrae elemety i sumujemy ta utworzoe iloczyy. W iloczyie otrzymamy t wtedy, gdy t wybierzemy razy oraz 1 wybierzemy razy. Moża to zrobić a ( ) sposobów, ta wiȩc wspó lczyi przy t wyosi ( ). (5) 8
9 Drugi dowód przez iducjȩ. Wzór jest oczywisty dla = 0. Za lóżmy teraz, że jest prawdziwy dla. Mamy: ( (1 + t) +1 = (1 + t) (1 + t) = )t (1 + t). Wspó lczyi przy t po prawej stroie wyosi: + 1 =0. Pierwszy s ladi pochodzi od iloczyu: t 1 t, 1 a drugi od iloczyu: Ze wzoru 3 mamy teraz: t 1. + = Jeżeli do wzoru Newtoa podstawimy t = a b, a potem pomożymy obie stroy przez a, to otrzymamy i a za a wersjȩ wzoru Newtoa. Wiose 7 Dla dowolych liczb rzeczywistych a i b i dowolej liczby ca lowitej 0: (a + b) = a b. Jeżeli podstawimy t = 1 do wzoru z twierdzeia 6, to otrzymamy: 2 =, =0 =0 co potwierdza jeszcze raz, że wszystich podzbiorów zbioru -elemetowego jest 2. Zobaczymy teraz, że wśród wszystich podzbiorów zbioru {1,..., } jest tyle samo podzbiorów mocy parzystej (o parzystej liczbie elemetów) i podzbiorów mocy ieparzystej (o ieparzystej liczbie elemetów). Twierdzeie 8 Dla ażdego zbioru zawieraj acego elemetów, liczba podzbiorów parzystej mocy jest rówa liczbie podzbiorów ieparzystej mocy. 9
10 Pierwszy dowód. Jeżeli podstawimy t = 1 do wzoru Newtoa, to otrzymamy: 0 = ( 1). =0 Zauważmy, że w sumie po prawej stroie z plusem wystȩpuj a symbole Newtoa ( ) dla parzystych, a z miusem dla ieparzystych. Ta wiȩc z plusem mamy liczbȩ podzbiorów parzystej mocy, a z miusem liczbȩ podzbiorów ieparzystej mocy. Z powyższego wzoru wyia, że podzbiorów parzystej mocy jest tyle samo co podzbiorów mocy ieparzystej. Drugi dowód. Rozważmy fucjȩ f, tóra ażdemu podzbiorowi przyporz aduje podzbiór A {1, 2,..., } f(a) = A {} = (A {}) ({} A), czyli różicȩ symetrycz a zbioru A i zbioru jedoelemetowego {}. Zauważmy, że fucja f l aczy podzbiory w pary, poieważ jeżeli f(a) = B, to f(b) = A. Rzeczywiście, jeżeli A zawiera, to B = A {} i B {} = A. Jeżeli atomiast A ie zawiera, to B = A {} i rówież B {} = A. Pozostaje zauważyć, że z pary zbiorów A i f(a) jede jest mocy parzystej i jede ieparzystej. 8 Zasada sumy W ajprostszej postaci zasada sumy, mówi że moc sumy dwóch zbiorów A i B jest rówa A B = A + B A B. Wyobraźmy sobie, że obliczaj ac praw a stroȩ tej rówości liczymy po olei elemety zbioru A i dla ażdego elemetu dodajemy +1 do ogólej sumy, astȩpie liczymy elemety zbiorów B i dla ażdego dodajemy +1, a a ońcu liczymy elemety przeroju A B i dla ażdego dodajemy 1. Zastaówmy siȩ teraz jai jest udzia l poszczególych elemetów w ta powsta lej sumie. Jeżeli jaiś elemet wystȩpuje tylo w A lub tylo w B, to jego udzia l wyosi 1. Ale taże, jeżeli ależy do obu zbiorów A i B to jego udzia l wyosi 1 = Dlatego a ońcu wyi bȩdzie rówy liczbie elemetów, tóre ależ a do jedego lub drugiego zbioru. 10
11 Przy lad Policzmy ile spośród liczb od 1 do 30 jest podzielych przez 2 lub 3. Niech A 2 ozacza zbiór liczb z tego przedzia lu podzielych przez 2, a A 3 zbiór liczb podzielych przez 3. Liczby podziele przez 2 lub 3 tworz a zbiór A 2 A 3. Mamy A 2 = 15, A 3 = 10 oraz A 2 A 3 = 5. A 2 A 3 zawiera liczby podziele przez 2 i 3, czyli podziele przez 6. Ze wzoru a sumȩ otrzymujemy: A 2 A 3 = = 20. Podobie możemy uzasadić wzór a sumȩ trzech zbiorów: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C. Jeżeli zastosujemy podobe liczeie, to udzia l elemetów, tóre ależ a tylo do jedego zbioru, wyosi 1, tych, tóre ależ a do dwóch (ale ie do trzech araz), wyosi = 1, a tych, tóre ależ a do wszystich trzech zbiorów, = 1. Przy lad Policzmy ile spośród liczb od 1 do 30 jest podzielych przez 2, 3, lub 5. Niech A 2 ozacza zbiór liczb podzielych przez 2, A 3 zbiór liczb podzielych przez 3, a A 5 podzielych przez 5. Mamy A 2 = 15, A 3 = 10, A 5 = 6, A 2 A 3 = 5, A 2 A 5 = 3, A 3 A 5 = 2, A 2 A 3 A 5 = 1. Ze wzoru a sumȩ otrzymujemy: A 2 A 3 A 5 = = 22. Ja z tego widać, tylo osiem liczb miejszych od 30 ie jest podzielych przez 2, 3 lub 5; s a to: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. W astȩpym rozdziale poażemy ja moża obliczyć sumy dowolej sończoej lasy zbiorów. 9 Zasada w l aczaia i wy l aczaia Zaczijmy od przy ladu. W grupie 100 studetów 45 uprawia oszyówȩ, 53 p lywaie, a 28 jedo i drugie. Pytaie: ilu studetów ie uprawia ai oszyówi, ai p lywaia? Zadaie to moża rozwi azać,,a palcach. 17 = studetów uprawia tylo oszyówȩ, a 25 = studetów uprawia tylo p lywaie. Zatem 70 = studetów uprawia jede z dwóch sportów, a 30 = ie uprawia ai oszyówi, ai p lywaia. Na rysuu 1.1 zilustrowao te przy lad. Jest to ta zway diagram Vea. Przypuśćmy teraz, że s a taże studeci graj acy w szachy. Graj acych w szachy jest 55. Taich, tórzy graj a w oszyówȩ i szachy, jest 32, taich, tórzy graj a w szachy i p lywaj a, jest 35, a taich, tórzy uprawiaj a wszystie trzy sporty, jest 20. To zadaie też moża rozwi azać za pomoc a diagramu Vea (rysue 1.2). Na przy lad, 8 studetów uprawia oszyówȩ i p lywaie, ale ie gra w szachy, a 22 studetów ie uprawia żadego sportu. Zasada w l aczaia i wy l aczaia pozwala rozwi azywać tego typu zadaia bez diagramów Vea. 11
12 Figure 1: Diagram Vea pywaie oszywa Niech X bȩdzie aszym uiwersum, A 1,..., A jego podzbiorami. Dla ażdego podzbioru I zbioru idesów I {1,..., } defiiujemy zbiór: A I = i I A i, przyjmujemy przy tym A = X. W aszym przy ladzie X to zbiór wszystich studetów, A 1 to uprawiaj acy oszyówȩ, A 2 p lywaie, a A 3 szachy: A {1,2} = A 1 A 2 A {1,3} = A 1 A 3 A {2,3} = A 2 A 3 to uprawiaj acy oszyówȩ i p lywaie, to uprawiaj acy oszyówȩ i szachy, to uprawiaj acy p lywaie i szachy, A {1,2,3} = A 1 A 2 A 3 to uprawiaj acy wszystie trzy sporty. 12
13 Figure 2: Diagram Vea pywaie szachy oszywa Twierdzeie 9 (zasada w l aczaia i wy l aczaia) Liczba elemetów uiwersum X, tóre ie ależ a do żadego podzbioru A i, wyosi: ( 1) I A I. (6) I {1,...,} Sumujemy tutaj po wszystich podzbiorach I zbioru {1,..., }. Dowód. Podobie ja w poprzedim rozdziale, żeby obliczyć sumȩ 6, liczymy elemety poszczególych zbiorów A I, i dla ażdego elemetu dodajemy ( 1) I do sumy (+1, gdy I jest parzyste, lub 1, gdy I jest ieparzyste). Każdy elemet x X może być liczoy ila razy. Udzia l pojedyczego elemetu x jest rówy sumie wspó lczyiów ( 1) I dla tych podzbiorów I {1,..., }, dla tórych x A I. Jeżeli x ie ależy do żadego z podzbiorów A i, to x jest liczoy tylo raz, w zbiorze A, i jego udzia l w sumie 6 wyosi 1. Przypuśćmy teraz, że x ależy do jaiś podzbiorów i iech J = {i {1,..., } : x A i }, czyli J to idesy tych podzbiorów, tóre zawieraj a x. Zauważmy teraz, że x A I wtedy i tylo wtedy, gdy I J. Rzeczywiście x A I = i I A i wtedy i tylo wtedy, gdy x A i, dla ażdego 13
14 i I, czyli gdy I J. Ta wiȩc udzia l elemetu x w sumie 6 wyosi: ( 1) J. I J Jest to suma po podzbiorach zbioru J. Uporz adujmy teraz s ladii tej sumy wed lug mocy podzbiorów I. Mamy ( j i) podzbiorów mocy i, gdzie j = J, wiȩc: j j ( 1) J = ( 1) i = (1 1) j = 0. i I J i=0 Przedostatia rówość wyia ze wzoru Newtoa. Ta wiȩc w lady elemetów, tóre ie ależ a do żadego A i, wyosz a po 1, a w lady tych elemetów, tóre ależ a do jaiegoś A i, wyosz a po 0. A zatem suma 6 zlicza elemety ie ależ ace do żadego A i. Stosuj ac zasadȩ w l aczaia i wy l aczaia do przy ladu ze studetami możemy teraz policzyć studetów, tórzy ie uprawiaj a żadego sportu: A A 1 A 2 A 3 + A {1,2} + A {1,3} + A {2,3} A {1,2,3} = X A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 + A 1 A 3 + A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 = =22. Aby policzyć moc sumy zbiorów A i i=1 możemy wyorzystać wzór 6, przy za lożeiu, że Mamy wtedy Twierdzeie Przestawieia A i = i=1 X = A i. i=1 I {1,...,} I ( 1) I A I. Przestawieiem bȩdziemy azywać permutacjȩ bez putu sta lego, czyli ta a permutacjȩ, w tórej żade elemet ie stoi a swoim miejscu. Wyorzystamy teraz zasadȩ w l aczaia i wy l aczaia, do policzeia liczby przestawień w zbiorze -elemetowym. Twierdzeie 11 Liczba przestawień (permutacji bez putów sta lych) w zbiorze -elemetowym wyosi: ( 1) i!. i! i=0 14
15 Dowód. Niech X bȩdzie zbiorem wszystich permutacji a zbiorze {1,..., }, a A i zbiorem permutacji, w tórych i jest putem sta lym, to zaczy π(i) = i. Moc zbioru A i wyosi: A i = ( 1)!, poieważ w zbiorze A i s a te permutacje, tóre permutuj a wszystie 1 elemetów oprócz i-tego. Podobie moc zbioru A I wyosi: A I = A i = ( I )!, i I bo teraz w A I permutujemy i elemetów oprócz tych, tóre ależ a do I. Permutacje bez putów sta lych to te permutacje, tóre ie ależ a do żadego ze zbiorów A i. Z zasady w l aczaia i wy l aczaia ich liczba wyosi: ( 1) I ( I )!. I {1,...,} Pogrupujmy teraz s ladii wed lug mocy zbiorów I. Mamy ( i) podzbiorów mocy i. Dla ażdego z ich s ladi sumy wyosi ( 1) i ( i)!, ta wiȩc liczba przestawień wyosi: ( 1) i ( i)!. i i=0 Twierdzeie wyia teraz z rówości: ( i)! =! i i!. 11 Zadaia 1. Ile umerów rejestracyjych samochodów moża utworzyć, jeżeli ażdy umer s lada siȩ z trzech liter i czterech cyfr? Ile umerów rejestracyjych moża utworzyć, jeżeli bȩdziemy dodatowo wymagać, aby ażdy umer zaczya l siȩ od spó lg losi? 2. W grupie jest piȩć dziewcz at i piȩciu ch lopców. Na ile sposobów moża wybrać podgrupȩ s ladaj ac a siȩ z dwóch dziewcz at i dwóch ch lopców? Na ile sposobów moża utworzyć w tej grupie piȩć par, z jedym ch lopcem i jed a dziewczy a w ażdej parze? 3. Zaa jest zabawa dla dzieci s ladaj aca siȩ z dwuastu sześcieych loców z alejoymi a ściaach fragmetami obrazów. Na ile sposobów moża u lożyć te loci w prosto at (trzy rzȩdy po cztery loci w rzȩdzie)? 15
16 4. Ile s lów moża utworzyć z liter s lowa ULICA (litery ie mog a siȩ powtarzać)? Ile s lów moża utworzyć z liter s lowa MATMA (litery M i A mog a wyst apić po dwa razy)? 5. Udowodij wzór: 1 =. 1 Wsazówa. Policz a dwa róże sposoby, ile -elemetowych druży z apitaem moża utworzyć ze zbioru sportowców. 6. Udowodij wzór: =1 2 = 2. Wsazówa. Policz a dwa róże sposoby, ile -elemetowych grup moża utworzyć w lasie z lożoej z ch lopców i dziewcz at. 7. Udowodij, że ( ) jest ajwiȩsze dla = 2 i = Udowodij, że: 2 9. Rozwiń wielomia (1 + t) Przedstaw wzór a sumȩ czterech zbiorów A, B, C i D. 11. Wyzacz liczbȩ elemetów A B C oraz C, wiedz ac, że A = 10, B = 9, A B = 3, A C = 1, B C = 1 oraz A B C = Oblicz ile liczb miejszych od 100 jest podzielych przez 2, 3 lub Oblicz ile liczb miejszych od 100 ie jest podzielych przez 2, 3, 5 lub 7. Udowodij, że wszystie te liczby oprócz 1 s a pierwsze. Ile jest liczb pierwszych miejszych od 100? 14. -elemetowe ombiacje z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego s a to -elemetowe wybory elemetów zbioru -elemetowego, w tórych elemety mog a siȩ powtarzać i w tórych ie jest istota olejość wybieraych elemetów. Na przy lad, mamy cztery trzyelemetowe ombiacje z powtórzeiami ze zbioru dwuelemetowego {1, 2}; oto oe: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 2, 2). Udowodij, że liczba -elemetowych ombiacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego wyosi ( + 1). 15. Udowodij, że liczba przestawień (permutacji bez putów sta lych) w zbiorze -elemetowym jest rówa zaor agleiu liczby! e do ajbliższej liczby aturalej; e jest podstaw a logarytmu aturalego. 16
17 Wsazówa. Sorzystaj z twierdzeia 11, z rozwiiȩcia: e 1 ( 1) i = i! i=0 oraz z oszacowaia: ( 1) i i! 1 i=+1 ( + 1)!. 16. Udowodij, że liczba surjecji (fucji a ca l a przeciwdziedziȩ) ze zbioru -elemetowego a zbiór -elemetowy wyosi: ( 1) i ( i). i i=0 Wsazówa. Sorzystaj z zasady w l aczaia i wy l aczaia dla zbioru wszystich fucji ze zbioru {1,..., } w zbiór {1,..., }. Zbiór A i to fucje, tóre ie maj a elemetu i w obrazie. 17
tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe techniki zliczania
Wy lad 1 Podstawowe techii zliczaia Wariacje bez powtórzeń Defiicja 1. Niech i bed a liczbami aturalymi taimi, że. Niech A bedzie dowolym zbiorem elemetowym. Każdy ciag różowartościowy a 1,..., a d lugości
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Kombinatoryka 11 Ci agi Zastanówmy siȩ, ile ci agów długości można utworzyć z elementów zbioru zawieraj acego symboli Jeżeli zbiór
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 2 notatki
Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoWykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
Bardziej szczegółowoDwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Bardziej szczegółowoIV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce
IV Uiwersyteca Sobota Matematycza 4 wietia 208 Fucje tworzące w ombiatoryce Dla ciągu a 0 a a 2... defiiujemy fucję tworzącą: G(x) = a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0. Zajdź fucje tworzące dla poiższych
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013
Aaliza Fukcjoala WPPT IIIr. semestr leti 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013 NiechX ozaczaprzestrzeńbaacha,ax jejdual a(czyliprzestrzeńfukcjoa lów ograiczoych
Bardziej szczegółowoCiągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska
Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA ZADANIA
KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca 2017 1 Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoKombinatoryka - wyk lad z 28.XI (za notatkami prof.wojciecha Guzickiego)
Kombiatorya - wy lad z 28XI (za otatami profwojciecha Guziciego) Kombiatorya zajmuje sie sposobami zliczaia elemetów zbiorów sończoych Liczbe elemetów sończoego zbioru A be dziemy ozaczać symbolem A 1
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowoKombinatorycznie o tożsamościach kombinatorycznych
Kombiatoryczie o tożsamościach ombiatoryczych Beata Bogdańsa, Szczeci Odczyt zawiera propozycję dydatyczą usystematyzowaej i samowystarczalej prezetacji tematu: Tożsamości dotyczace symbolu dwumieego.
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombinatoryczna teoria zbiorów
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 11 Kombiatorycza teoria zbiorów 23 maja 2012 Wyk lad poświe coy jest w lasościom rodzi podzbiorów skończoego zbioru. Rozpoczya go poje cie systemu różych reprezetatów wraz ze s
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych
Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoLiczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności
Liczby Stiriga I rodzaju - defiicja i własości Liczby Stiriga I rodzaju ozaczae symboem s(, ) moża defiiować jao współczyii w rozwiięciu x s(, )x, 0 (1) 0 gdzie x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoINDUKCJA MATEMATYCZNA
MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera malgorzata.stera@cs.put.poza.pl www.cs.put.poza.pl/mstera/ INDUKCJA MATEMATYCZNA Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
Bardziej szczegółowoKombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera
Magazie Kombiacje, permutacje czyli ombiatorya dla testera Autor: Jace Oroje O autorze: Absolwet Wydziału Fizyi Techiczej, Iformatyi i Matematyi Stosowaej Politechii Łódziej, specjalizacja Sieci i Systemy
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń
Kombiowaie o ieskończoości.. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch marzec 208 Szybkie przypomieie z wykładu Prezetacja multimediala do wykładu. Permutacje,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Oznaczenia
Matematyka dyskretna Oznaczenia Andrzej Szepietowski W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny dla każdego. oznacza kwantyfikator szczegó lowy istnieje. 1 Sumy i iloczyny
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Karolina Lewalska 23 marca 2017
Kombiatoryka Karolia Lewalska 23 marca 2017 Zadaie 1 Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? Ile istieje liczb sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 9 10 10 10 10 10 Pierwszą cyfrę
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie o sumach cyfr poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 1 Popatrzmy a astępujące trzy zadaia: Zadaie 1. Ile jest liczb dwudziestocyfrowych o sumie cyfr rówej 5? Zadaie. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 17 marca 2003 roku
Matematya Dysretna Andrzej Szepietowsi 17 marca 2003 rou Rozdział 1 Kombinatorya 1.1 Zasada podwójnego zliczania Zasada podwójnego zliczania jest bardzo prosta. Oto ona: Jeżeli elementy jaiegoś zbioru
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematya dysreta dla iformatyów Cz ± I: Elemety ombiatoryi Jerzy Jaworsi Zbigiew Pala Jerzy Szyma«si Uiwersytet im Adama Miciewicza Poza«2007 3 Schematy wyboru i tożsamości ombiatorycze 31 Wariacje z
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.
15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowo5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a
5. Szeregi liczbowe Niech będzie day iesończoy ciąg liczbowy {a }. Ciąg A = azywamy ciągiem sum częściowych ciągu {a }. Jeżeli ciąg {A } jest zbieży, mówimy, że ciąg {a } jest sumowaly, a graicę a A =
Bardziej szczegółowoKrótkie i dość swobodne wprowadzenie do liczb Stirlinga. Jakub Kamiński
Krótie i dość swobode wprowadzeie do liczb Stirliga Jaub Kamińsi 9 styczia 27 LICZBY STIRLINGA PIERWSZEGO RODZAJU Liczby Stirliga pierwszego rodzaju Liczby Stirliga zawdzięczają swoją azwę szociemu matematyowi
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoSilnie i symbole Newtona
Podróże po Imperium Liczb Część Silie i symbole Newtoa Adrzej Nowici Wydaie drugie, uzupełioe i rozszerzoe Olszty, Toruń, 202 SSN - 33(080-2.05.202 Spis treści Wstęp Silie 5. Iformacje o cyfrach................................
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoPodstawowe cechy podzielności liczb.
Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się
Bardziej szczegółowoWykład 2. Kombinacje. Twierdzenie. (Liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego) C(n,k) =, gdzie symbol oznacza liczbę i n k.
Wykład 2. Krzyś wiedział a pewo, Ŝe to miejsce jest zaczarowae, bo igdy ikt ie mógł się doliczyć, ile rosło tam drzew, sześćdziesiąt trzy czy sześćdziesiąt cztery, awet kiedy po przeliczeiu przywiązywało
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoWykład 3 : Podstawowe prawa, twierdzenia i reguły Teorii Obwodów
OBWODY SYNAŁY Wyład 3 : Podstawowe prawa, twierdzeia i reguły Teorii Obwodów 3. PODSTAWOWE PAWA TWEDZENA TEO OBWODÓW 3.. SCHEMAT DEOWY OBWOD Schematem ideowym obwodu (siecią) azywamy graficze przedstawieie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowo