Krótkie i dość swobodne wprowadzenie do liczb Stirlinga. Jakub Kamiński

Transkrypt

1 Krótie i dość swobode wprowadzeie do liczb Stirliga Jaub Kamińsi 9 styczia 27

2 LICZBY STIRLINGA PIERWSZEGO RODZAJU Liczby Stirliga pierwszego rodzaju Liczby Stirliga zawdzięczają swoją azwę szociemu matematyowi Jamesowi Stirligowi , z tórego życiorysem moża zapozać się p. tutaj. Pomimo sporych zastosowań główie ombiatoryczych liczby te ie posiadają jedej stadardowej otacji, a do ich zapisu używa się symboli: s; S S ; [ ] Najwięszą popularością cieszy się jeda ostatia otacja, zapropoowaa przez J. Karamatę i osewetie propagowaa przez D. Kutha.. Nieformale wprowadzeie Zae twierdzeie o permutacjach mówi, że dowola permutacja jest rówoważa zbiorowi rozłączych cyli. Rozważmy astępujący problem ombiatoryczy: wyzaczmy empiryczie ilość sposobów stworzeia jedego cylu z czterech elemetów. Mamy: Zajdźmy teraz ilość sposobów stworzeia dwóch cyli z czterech elemetów. Mamy: Uwaga.. Cyle i są rówoważe. Zajdowaie wartości [ ] dla = 5 i = ; :::; 5 ilustruje poiższy diagram:

3 LICZBY STIRLINGA PIERWSZEGO RODZAJU , Diagram czytamy astępująco: pierwsza łamaa ilustruje cyl druga , itd. Podobe diagramy moża sporządzić rówież dla dowolych ; 2 N;.2 Uogólieie Uogólijmy teraz ieco problem budowy cyli. Dla ażdego -elemetowego zbioru moża utworzyć! =! różych -cyli, o ile >. Poadto dla dowolego iepustego zbioru ie moża utworzyć cyli, wyjątowo [ ] = oraz dla ażdego iepustego zbioru istieje jede podział a -cyle. Aby wyprowadzić wzór reurecyjy dla [ ] ależy zauważyć, że ażde ustawieie obietów w cyli albo umieszcza ostati obiet w -cylu a [ ] sposobów albo wstawia te obiet w jede z [ ] cyli ustawień pierwszych obietów, co moża zrobić a sposobów. Przyjmijmy dodatowo, że [ ] =, o ile >. Wzór reurecyjy przedstawia się zatem astępująco: = ; co w połączeiu z waruami brzegowymi = = ; 6=

4 LICZBY STIRLINGA PIERWSZEGO RODZAJU 3 pozwala wyzaczyć wartość dowolej liczby Stirliga. Ze względu a sompliowaą postać tej reurecji, ie jest zay wzór jawy, jeda dla ustaloego moża uzysać pewe iteresujące wyii, p. = 2 Lemat.. = 2 3 = ::: = =! dla. 2 i= i = 2 = 2 Dowód. Każda permutacja zbioru sończoego o mocy A = jest rówoważa iloczyowi cyli, tórych może być coajwyżej dla permutacji 2 3 : : : idetyczościowej i coajmiej, p.. Suma : : : uwzględia wszystie permutacje, bo ie moża utworzyć permutacji o więcej iż cylach dla zbioru -elemetowego, a rząd grupy permutacji zbioru -elemetowego jest rówy!. Liczby Stirliga, podobie ja współczyii dwumiaowe moża ustawić w trójątą tablicę:! = ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: Początowe wiersze tablicy wsazują od razu, że ie ma oa chociażby własości symetrii, co różi ją od tablicy współczyiów dwumiaowych.

5 2 LICZBY STIRLINGA DRUGIEGO RODZAJU 4 2 Liczby Stirliga drugiego rodzaju Podobie ja w przypadu liczb pierwszego rodzaju, rówież liczby Stirliga drugiego rodzaju zapisuje się za pomocą ilu otacji: S; S 2 ; f g 2. Nieformale wprowadzeie Liczby Stirliga drugiego rodzaju pojawiają się częściej iż liczby pierwszego rodzaju, zatem warto im poświęcić ieco więszą uwagę. Kombiatoryczie moża ziterpretować ich użycie w ilości sposobów podziału zbioru -elemetowego a -iepustych podzbiorów. Przyład 2.. Istieją trzy sposoby podziału zbioru trójelemetowego a dwie części: fg [ f2; 3g f2g [ f; 3g f3g [ f2; g Zajdźmy teraz ilość sposobów stworzeia dwóch dwóch iepustych podzbiorów ze zbioru czteroelemetowego. Mamy: f; 2; 3g [ f4g f; 2; 4g [ f3g f; 3; 4g [ f2g f2; 3; 4g [ fg f; 2g [ f3; 4g f; 3g [ f2; 4g f; 4g [ f2; 3g Zajdowaie wartości f g dla = 4 i = ; :::; 4 ilustruje poiższy diagram:

6 2 LICZBY STIRLINGA DRUGIEGO RODZAJU 5 Każda łamaa ilustruje jede podzbiór, puty staowią podzbiory jedoelemetowe. Podobe diagramy moża sporządzić rówież dla dowolych ; 2 N; 2.2 Uogólieie Spróbujmy teraz rozszerzyć powyższe obserwacje a dowole 2 N; <. Rozmieszczeie -elemetów w jedym iepustym zbiorze jest możliwe tylo a jede sposób, zatem f g =. Poieważ iepustego zbioru ie moża podzielić a zero iepustych podzbiorów, zatem f g =, o ile >, z wyjątiem =, dla tórego mamy f g =. Przyjmijmy jeszcze f g =, jeśli <. Rozważmy problem dla dowolego ; >, 2. Dzieląc zbiór > obietów a iepustych części ostati obiet umieszczamy w zbiorze jedoelemetowym a f g sposobów, albo umieszczamy go razem z jaimś iepustym podzbiorem pierwszych obietów, a co istieje f g możliwości, gdyż ażdy z f g sposobów a rozłożeie pierwszych obietów a iepustych części daje podzbiorów, do tórych moża dołożyć -ty obiet. Uzysujemy wzór reurecyjy = ; a po dodaiu waruów brzegowych = = ; 6= możemy wyliczyć wartość dowolego wyrażeia Stirliga drugiego rodzaju. Moża taże sporządzić tablicę początowych współczyiów: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::

7 3 LICZBY STIRLINGA A POTĘGI KROCZĄCE 6 3 Liczby Stirliga a potęgi roczące W celu wyprowadzeia pewych iteresujących własości liczb Stirliga zdefiiujemy ajpierw potęgi roczące: Defiicja 3.. Symbol x czyta się jao x do -tej przyrastającej i ozacza wielomia w postaci x = xx : : : x ; 2 N. Defiicja 3.2. Symbol x czyta się jao x do -tej ubywającej i ozacza wielomia w postaci x = xx : : : x ; 2 N. Uwaga 3.. Potęgi roczące bywają rówież azywae ad- i podsiliami. Spróbujmy obliczyć ila początowych wartości x. Mamy: x = x = x = x x 2 = xx = x x 2 x 3 = xx x 2 = 2x 3x 2 x 3 x 4 = xx x 2x 3 = 6x x 2 6x 3 x 4 Współczyii uzysiwaych wielomiaów wyglądają podejrzaie zajomo. Kiedy przyjrzeć się im bliżej, widać, że geerują oe oleje wiersze w tabeli liczb Stirliga pierwszego rzędu. Twierdzeie 3.. Prawdziwa jest rówość: = x = x dla. Dowód. Stosujemy zasadę iducji matematyczej. Dla = rówość jest prawdziwa. Załóżmy teraz prawdziwość rówości dla pewego i rozważmy = = = = = x x. Mamy: x = = = x x x! = = x x = = x = x = x = = x = Widzimy zatem, że twierdzeie jest prawdziwe. = x x! x!! = = x = x x = x x = x = x =

8 3 LICZBY STIRLINGA A POTĘGI KROCZĄCE 7 Zastaówmy się teraz, czy istieje sposób wyrażaia zwyłych potęg za pomocą tóregoś z rodzajów potęg roczących. Odpowiedź a to pytaie daje astępujące twierdzeie, co więcej, wsazuje oo związe rozwiązaia z liczbami Stirliga. Twierdzeie 3.2. Prawdziwa jest rówość: x = = x dla. Dowód. Zauważmy ajpierw, że x x = x x, bo x = x x. Dla = wyjściowy wzór jest prawdziwy. Załóżmy teraz prawdziwość dla pewego i weźmy x. Mamy: x = x x = x = = x = = = x = x = = = x = = x = x = x. Zatem twierdzeie jest prawdziwe. =! x x = x = = x x = = = x x x

9 4 WZÓR PRAWIE JAWNY 8 4 Wzór prawie jawy Uwaga 4.. Poiższy problem dotyczy tylo liczb Stirliga drugiego rodzaju. Ja wcześiej wspomiao, ze względu a złożoość problemu podziałów zbioru, ie zalezioo dotychczas wzoru jawego dla liczb Stirliga drugiego rodzaju, jeda pewe przeształceia pozwalają a wyzaczeie wzorów P prawie jawych, tz. taich, tóre w postaci zwiiętej zawierają za. Zastaówmy się ad astępującym problemem: rozmieszczamy osób przy m stoliach > m, ta aby żade stoli ie był pusty. Moża to zrobić p. ta: dzielimy osoby a m iepustych grup a f m g sposobów, a astępie ażdej grupie adajemy dowoly stoli a m! sposobów, co daje wyi f m gm!. Spróbujmy teraz iaczej obliczyć te wyi. Wszystich rozmieszczeń osób w m poojach jest m, ale zajdują się w tej liczbie taże rozmieszczeia z poojami pustymi. Trzeba zatem odjąć te rozmieszczeia, w tórych -ty = ; : : : ; m stoli jest pusty. Jest ich m m, jeda tym sposobem odejmiemy dwurotie rozsadzeia, w tórych -ty i i-ty stoli są puste. Należy zatem dodać 2 m m 2, co jeda powoduje dalszą oieczość poprawiaia wyiu. Kotyuując taie postępowaie, zae pod azwą wzoru włączeń i wyłączeń, otrzymujemy ostateczy wyi:!!! m m m m 2 Przyrówujemy do f m gm!: m = m! m r= r m r m 2 : : : m m m! m r = m r= m m m r r r!m r! A teraz ieco bardziej sformalizowae podejście do problemu: opiszmy go w języu fucji tworzących. Wychodzimy od reurecji: S; = S ; S ; Zastosowaliśmy ią otację w celu uproszczeia zapisu oraz dooaliśmy podstawieia :=. Możymy stroami przez x i sumujemy po wszystich. S; x = S ; x Przyjmujemy jao fucję tworzącą G x = S ; x S; x. G x = x S ; x x S ; x

10 4 WZÓR PRAWIE JAWNY 9 G x = xg x xg x G x = x x G x, przy czym oraz G x =. Powyższą prostą reurecję moża rozwiązać iducyjym sposobem, zaym z pierwszych zajęć: G x = x x x 2x : : : x x = x x 2x : : : x Rozładamy a ułami proste wyciągając uprzedio x : x 2x : : : x = i= A r rx Możymy przez rx, przy czym r 2 f; : : : ; g. rx x 2x : : : x = i= A r ix rx A r rx = A r ix i=;i6=r Upraszczajamy lewą stroę przez rx i podstawiamy x := r : r 2 r : : : r r r r : : : r = A r Ostateczie zwijamy do: A r = r r r! r! Szuamy teraz wpółczyiów przy x w rozwiięciu fucji G x x x 2x : : : x co moża sprowadzić do poszuiwaia współczyiów przy x fucji x 2x : : : x z uwagi a wystąpieie x w licziu. Bardziej formalie: x [x ] x 2x : : : x = [x ] x 2x : : : x

11 4 WZÓR PRAWIE JAWNY [x ] r= A r rx = [x ] r= r r r! r! rx Poszuujemy współczyia przy zmieej x, zatem r= r r r! r! [x ] rx Pamiętając, że [x ] ix = i wiemy, iż [x ] ix = i. Wstawiamy do wzoru: r= r r r! r! [x ] rx = r= r r r! r! r Upraszczamy domażamy liczi i miaowi przez r. Ostateczie: r= r r r! r!

12 5 PROCEDURY W MAPLE 5 Procedury w Maple Liczby Stirliga drugiego rodzaju: S2:=proc, if = ad = the RETURN else if > ad = or < the RETURN else RETURN*S2-,S2-,- fi fi; ed; Liczby Stirliga pierwszego rodzaju: S:=proc, if = ad = the RETURN else if > ad = or < the RETURN else RETURN-*S-,S-,- fi fi; ed; Literatura R. Graham, D. Kuth, O. Patashi Matematya oreta 2 D. Braso Stirlig umbers ad Bell umbers: their role i combiatorics ad probability Math. Scietist 25, M. Abramowitz, I. Stegu Hadboo of Mathematical Fuctios 4 geeratigfuctioology 5 Stirlig Number of the First Kid 6 Stirlig Number of the Secod Kid Uwaga: Pozycje 2 6 są dostępe w sieci.