Kombinatorycznie o tożsamościach kombinatorycznych
|
|
- Paulina Zych
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kombiatoryczie o tożsamościach ombiatoryczych Beata Bogdańsa, Szczeci Odczyt zawiera propozycję dydatyczą usystematyzowaej i samowystarczalej prezetacji tematu: Tożsamości dotyczace symbolu dwumieego. 1. Ozaczeia i faty podstawowe Symbolem ozaczamy zbiór {1, 2,..., }. Przez F, ozaczamy zbiór wszystich fucji. Moc = ilość elemetów zbioru sończoego X ozaczamy symbolem X. W szczególości F, =. Dla daego zbioru X, symbolem PX ozaczamy zbiór potęgowy zbioru X, czyli rodzię wszystich łączie z pustym i całym X podzbiorów zbioru X, a symbolem P X, rodzię wszystich podzbiorów -elemetowych zbioru X. Pierwszym twierdzeiem z ombiatoryi, z jaim powiie zapozać się ażdy studiujący, jest twierdzeie o mocy zbioru potęgowego PX daego zbioru sończoego: TWIERDZENIE 1 Jeżeli zbiór X jest zbiorem sończoym i ma elemetów, to zbiór PX ma 2 elemetów. D o w ó d. Każdy podzbiór A X utożsamiamy wzajemie jedozaczie z fucją χ A : X {0, 1} oreśloą astępująco { 1, gdy x A, χ A x = 0, gdy x / A. Fucja χ A azywa się fucja charaterystycza zbioru A. Wszystich taich fucji jest doładie F, 2, czyli 2,. O Z N A C Z E N I E. Moc zbioru P wszystich -elemetowych podzbiorów zbioru lub dowolego zbioru -elemetowego ozaczamy: P =. Czytamy: e po a. Nazywamy zaś symbolem lub współczyiiem dwumieym. 1
2 2 Jase, że = 0, gdy > ale 0 = 1. Wiosiem z T1 jest astępująca rówość: j=0 = j = 2. 1 Symbol dwumiey pojawia się w matematyce szolej przy oazji dowodu twierdzeia o dwumiaie, czyli rówości: α β = =0 α β 2 dla dowolych liczb α, β i N. Każdy, moim zdaiem, powiie ta długo oglądać tę rówość, aż dojrzy jej ieuchroość. Zwyły dowód iducyjy rówości 2 poazujemy ucziowi dopiero dużo późiej. Rówież sugestia dowodu rówości 1 przez podstawieie α = β = 1 w rówości 2, jest mało pouczająca. 2. Iterpretacje symbolu dwumieego Warto mieć przed oczyma rozmaite iterpretacje symbolu dwumieego. Najprostszej iterpretacji dostarczają ta zwae ciągi biare: Defiicja 1 Ciąg sończoy a 1, a 2,... a azywa się ciagiem biarym, gdy jego wyrazy są elemetami pewego zbioru dwuelemetowego, zazwyczaj {0, 1} choć zbiór {, } jest gorszy tylo z powodów lesyograficzych. Udowodimy teraz twierdzeie, tóre opisuje sześć typów zbiorów sończoych, tórych moc daa jest w postaci s t. TWIERDZENIE 2 Niech, będą liczbami aturalymi. Wówczas: 1. Niech B, będzie zbiorem wszystich ciągów biarych długości, w tórych a miejscach występuje 1, a a pozostałych miejscach występuje 0. Wtedy B, = Niech R, F, będzie zbiorem wszystich fucji ściśle rosacych. Wtedy R, =, 4 3. Niech R, F, będzie zbiorem wszystich fucji iemalejacych. Wtedy 1 R, =, 5
3 4. Niech D, będzie zbiorem wszystich ajrótszych dróg ratowych łączących put A = 0, 0 z putem Z =,. Wtedy D, =, 5. Niech T, będzie zbiorem wszystich rozwiązań w liczbach całowitych ieujemych rówaia x 1 x 2 x 3 x =. Wtedy 1 T, =, 7 1. Niech T, będzie zbiorem wszystich rozwiązań w liczbach aturalych rówaia x 1 x 2 x 3 x =. Wtedy T, = D o w ó d. 1. Wypiszmy wszystie elemety zbioru, a pod spodem ciąg biary: a 1 a 2 a 3... a Ciąg biary wybiera ze zbioru {1, 2, 3,..., } te elemety, pod tórymi stoi 1. W te sposób zbudowaliśmy bijecję między zbiorem B, a zbiorem P. 2. Jeżeli f : jest fucją ściśle rosącą, to zbiór f := {f1, f2,..., f}, wartości fucji f jest -elemetowym podzbiorem zbioru. Odwrotie, ażdy -elemetowy podzbiór {x 1, x 2,..., x } zbioru, tórego elemety ustawiliśmy w ciąg rosący x 1 < x 2 <... < x, wyzacza doładie jedą fucję rosącą f : wzorem fi = x i. Stąd widać, że liczba R, rówa jest ilości -elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego. 3. Jeżeli f : jest fucją iemalejącą, to fucja g : 1 daa wzorem gi = fi i 1 jest, ja łatwo sprawdzić, fucją ściśle rosącą. Czyteli zechce sprawdzić, że w te sposób oreśloa została bijecja między zbiorami R, i R, 1. Stąd, a mocy rówości 4, dostajemy rówość Droga ratowa azywamy tu łamaą o wierzchołach w putach ratowych i ażdym bou będącym odciiem jedostowym rówoległym do osi odciętych lub do osi rzędych. 3
4 4 Z Jase, że ajrótszymi są te drogi ratowe, tóre prowadzą tylo w prawo i/lub w górę. Będziemy azywać taie drogi EN-drogami. Dowolej ajrótszej drodze ratowej odpowiada wzajemie jedozaczie ciąg biary długości o wyrazach E, N, w tórym litera E występuje razy, a litera N występuje razy. Tu, E ozacza elemetary ruch a wschód, a N elemetary ruch a półoc. Na przyład, A drodze a rysuu obo, odpowiada ciąg biary Rys. 1 E E N E N N N E N N E. Wiemy, zob. T2.1, że ciągów biarych spełiających powyższe warui jest doładie. 5. Każdemu rozwiązaiu a 1, a 2,..., a w liczbach ieujemych całowitych rówaia x 1 x 2... x = przyporządujemy wzajemie jedozaczie czyli bijetywie ciąg biary... }{{} a 1... }{{} a 2... }{{} a 3... }{{}......, }{{} a 4 a w tórym rombii, w ilości 1, oddzielają oleje grupy gwiazde. W i-tej grupie występuje a i gwiazde. Jeżeli a i = 0 to, oczywiście, odpowiedie rombii stoją obo siebie. Gwiazde jest. Na przyład, elemetowi 0, 1, 0, 0, 7 zbioru T 5, 8 odpowiada ciąg biary. Z istieia opisaej bijecji wyia, że liczba T, rówa jest liczbie gwiazdoworombiowych ciągów biarych długości 1 zawierających doładie 1 rombiów. Stąd, a mocy T2.1, rówość 7.. Każdemu elemetowi a 1, a 2,..., a T, przyporządujmy bijetywie rozwiązaie a 1 1, a 2 1,..., a 1 rówaia x 1 x 2 x 3 x = w liczbach całowitych ieujemych. To przyporządowaie jest bijecją zbioru T, a zbiór T,. Stąd 1 T, = T, = = 1 To ończy dowód twierdzeia W dalszym ciągu będziemy wyorzystywać wiose z części 4. powyższego twierdzeia:
5 5 A Rys. 2 1 Rys. 2 0 WNIOSEK. Dróg idących w prawo i w górę po liiach całowitoliczbowej siati łączących węzeł 0, 0 z jaimś węzłem leżącym a prostej o rówaiu x y =, gdzie N, jest doładie 2. D o w ó d. Na rysuu obo widzimy przypade =. Zgodie z T2.4, dróg w prawo i/lub w górę zaczyających się w A = 0, 0 a ończących w węźle j, j jest dołądie j. Zatem wszystich rozważaych dróg jest 2, patrz rówość 1. Na rysuu, przy ażdym węźle leżącym a prostej xy =, zazaczyliśmy ilość dróg ończących się w tym węźle. 3. Ile to aprawdę jest? Istieje moim zdaiem iedobry zwyczaj, zgodie z tórym rówość! =!! 9 jest srótem lub defiicja. W rzeczywistości jest to twierdzeie: TWIERDZENIE 3 Dae są liczby 0. Wówczas, zachodzi rówość 9. Pamiętamy o umowie: 0! = 1. D o w ó d. Ciągów różowartościowych długości o wyrazach ależących do zbioru jest To jest jase, bo pierwszy wyraz moża wybrać a sposobów, drugi a 1 sposobów itd., zaś -ty wyraz a 1 sposobów. Poieważ elemety dowolego zbioru -elemetowego mogą być ustawioe a! sposobów w ciąg różowartościowy, więc widzimy, że =. 10! Stąd, domażając liczi i miaowi przez!, dostajemy rówość Podstawowe własości współczyiów dwumieych Najważiejsze własości współczyiów dwumieych dae są przez tożsamość symetrii 11, tożsamość Pascala 12 i tożsamość pochłaiaia 13. Z A D A N I E 1 Udowodić prawdziwość astępującej tożsamości symetrii: =, 11 dla dowolych 0.
6 z a i e. Dowód z wyorzystaiem rówości 9 lub 10 jest mało pouczający. Staramy się więc przeoać uczia, aby za rówością 11 dostrzegał bijecję P A A c P albo bijecję polegającą a zamiaie zer a jedyi i odwrotie w ciągach biarych, albo bijecję między drogami ratowymi zadaą przez odbicie w dwusieczej pierwszej ćwiarti. Podobie ma się sprawa z rówością ostytuującą trójąt Pascala: Z A D A N I E 2 Udowodić, że zachodzi astępująca tożsamość Pascala 1 =, dla dowolych liczb całowitych 0. z a i e. S p o s ó b 1. Tożsamość Pascala bardzo łatwo wywiosować z 9 lub 10. Propoujemy jeda ucziom rozumowaie uczciwe. Rozważmy miaowicie dowoly 1-elemetowy zbiór X i ustalmy jede jego elemet a. Wówczas, 1- elemetowe podzbiory zbioru X są jedego z dwóch typów: do pierwszego typu ależą taie, tóre zawierają elemet a, a do drugiego taie, tóre elemetu a ie zawierają. Zbiorów pierwszego typu jest tyle samo, co -elemetowych podzbiorów zbioru X {a}, czyli, a zbiory drugiego typu staowią rodzię 1-elemetowych podzbiorów zbioru X {a}, jest ich więc 1. Stąd rówość 12. S p o s ó b 2. Moża też rozumować astępująco: Zbiór wszystich ajrótszych dróg ratowych łączących 0, 0 z, 1 jest sumą dwóch rozłączych podzbiorów: 1 zbioru dróg przechodzących przez put,, tych jest i 2 zbioru dróg przechodzących przez put 1, 1 tych jest 1. Wszystich rozważaych dróg jest 1 1, stąd rówość 12 Z A D A N I E 3 Udowodić astępujące tożsamości pochłaiaia: 1 =, = 1, = z a i e. Obie stroy rówości 13 iterpretujemy jao ilość możliwych wyborów -elemetowych zespołów z liderem. Każdy tai zespół możemy utworzyć w astępujący sposób: ajpierw wybrać osób spośród osób, a astępie spośród ich lidera albo ajpierw wybrać lidera spośród osób, a astępie spośród 1 osób wybrać zespół 1 osób. Postępowaie pierwszego typu daje am sposobów, a postępowaie drugiego typu daje am 1 1 sposobów. Sposób liczeia ie jest istoty więc mamy rówość.
7 Obie stroy rówości 14 iterpretujemy jao ilość możliwych wyborów -elemetowych zespołów z dowódcą i, różym od iego, jego zastępcą. Rówość 15 jest sumą 13 i 14. Ma rówież astępującą iterpretację ombiatoryczą: ozacza ilość możliwych wyborów -elemetowych zespołów z dowódcą i zastępcą dowódcy, przy czym dowódca może być swoim zastępcą. Z A D A N I E 4 Udowodić, wsazując odpowiedią iterpretację ombiatoryczą, że m =, 1 m m dla wszystich całowitych 0 m. z a i e. Rozważmy zbiór -osobowy. Obie stroy rówości 1 ozaczają ilość wszystich, wybraych z tego zbioru, m-osobowych zespołów z -osobowym zarządem. Przy czym, liczba z lewej stroy ozacza ilość wyborów -osobowych zarządów w ażdym z, uprzedio wybraych, m-osobowych zespołów. Liczba z prawej stroy ozacza ilość możliwych doooptowań m człoów zespołu, do uprzedio wybraych -osobowych zarządów. Z A D A N I E 5 Udowodić, wsazując odpowiedią iterpretację ombiatoryczą, że 1 2 =, dla wszystich N. z a i e. Jase, że F2, = R2, M 2,, gdzie przez M, ozaczyliśmy zbiór wszystich fucji ierosących ze zbioru do zbioru. Czyteli z łatwością wsaże bijecję R, M,. Stąd 2 = F2, = R2, R 2, = a mocy rówości 4 i 5. Kamyczowy dowód moża zobaczyć a rysuu. Zachęcamy do dostateczie wiliwego wpatrywaia się w te rysue., 7. Sumy o wyrazach dodatich Poażemy teraz parę zadań z sumami zawierającymi współczyii dwumiee. Z A D A N I E Uzasadić, że = =0
8 8 z a i e. Łatwo to udowodić orzystając z tożsamości pochłaiaia 13 i rówości 1. Jeżeli jeda, patrz dowód tożsamości pochłaiaia 13, uświadomimy sobie, że -ty sładi sumy ozacza ilość -osobowych zespołów z liderem, to całą sumę z lewej stroy możemy ziterpretować jao ilość wszystich możliwych zespołów z liderem wybraych z grupy osób. Ziterpretowaie prawej stroy rówości 18 w te sam sposób jest atychmiastowe. Tym razem, ajpierw wybieramy a sposobów lidera, a potem spośród pozostałych 1 osób dobieramy resztę zespołu a 2 1 sposobów. Z A D A N I E 7 Udowodić, że dla dowolych liczb aturalych, m i zachodzi ta zwaa tożsamość Cauchy ego: j=0 m = j j m. 19 z a i e. Poażemy dwa sposoby rozumowaia. Nie są oe w jaiś zasadiczy sposób róże, drugi moża też uzać za ilustrację geometryczą pierwszego. S p o s ó b 1. Wyobraźmy sobie, że pewa grupa ucziów słada się chłopców i m dziewcząt. Na ile sposobów możemy z tej grupy wybrać zespół liczący osób? Z jedej stroy, możemy to zrobić a m sposobów. Z drugiej stroy, ażdy z zespołów jest jedego z astępujących typów: w sładzie zespołu ie ma chłopców, w sładzie zespołu jest doładie 1 chłopiec, jest doładie 2 chłopców itd., w sładzie zespołu jest chłopców. Ilość zespołów wszystich typów jest rówa m 0 m 1 1 S p o s ó b 2. Prawa stroa rówości 19 ozacza, patrz T2.4, ilość wszystich ajrótszych dróg ratowych łączących put A = 0, 0 z putem Z = m,. Każda rozważaa droga musi przejść przez jede i tylo jede put ratowy leżący a prostej o rówaiu x y =. Sładi m j j sumy z lewej stroy rówości 19 ozacza ilość tych z rozważaych dróg, tóre przechodzą przez put J = j, j. Czyi j ozacza ilość m 0 = j=0 m. j j Rys. 3 A m _ dróg między A a J, a czyi m j, ilość dróg między J a Z. Jase, że w te sposób asze zadaie zostało rozwiązae. Z A D A N I E 8 Udowodić astępujące twierdzeie o hau: Dla dowolych liczb aturalych zachodzi rówość = J Z
9 9 Przyładowy ha w trójącie Pascala poazujemy poiżej: z a i e. Dowód przez iducję jest prostym wyorzystaiem tożsamości Pascala 12. Nie będziemy się im zajmować. Wsażemy za to trzy cieawsze rozumowaia. S p o s ó b 1. Pierwsze rozumowaie ombiatorycze Prawa stroa aszej tożsamości ozacza ilość wszystich 1-elemetowych podzbiorów zbioru 1-elemetowego. Wybierając 1-elemetowe podzbiory zbioru 1 możemy ajpierw wybierać elemet ajwięszy dowódcę, a astępie -elemetowy podzbiór drużyę. Jase, że w te sposób dostaiemy lewą stroę tożsamości. S p o s ó b 2. Drugie rozumowaie ombiatorycze Poażemy teraz iterpretację geometrycza: Zbiór wszystich ENdróg ratowych łączących put A = 0, 0 z putem Z =, 1 roz- 2 łada się a sumę rozłączą zbiorów A j, j = 0, 1,...,, gdzie A j ozacza zbiór tych spośród rozważaych dróg, tóre przechodzą przez odcie JJ o ońcach j,, j, 1, i astępie ie mając już iego wyboru prowadzą cały czas a wschód aż do putu Z. Wiemy dosoale, że A j = j. Patrz rysue! To ończy rozumowaie. 1 A J J Rys. 4 S p o s ó b 3. Trzecie rozumowaie ombiatorycze Iej iterpretacji rówości 20 dostarcza twierdzeie 2.5. Z udowodioej tam rówości 7 wiosujemy, że Z - = T 1, Wobec tego haowa rówość 20 ma postać: T 1, 0 T 1, 1... T 1, = T 2,,
10 10 a ta rówość jest łatwa do udowodieia: zbiór T 2, wszystich rozwiązań w liczbach całowitych ieujemych rówaia może być rozbity a rozłącze podzbiory x 1 x 2... x 1 x 2 = A i = {x 1, x 2,..., x 1, x 2 : x 2 = i}, gdzie i = 0, 1,...,. Jase, że A i = T 1, i. Cieawe zadaie zaleźć moża w [3], zadaie 7.2. Porówaj też [4], stroa 247. Zadaie to w pozostawia W. Guzici w [5] do samodzielego rozwiązaia czyteliowi. Z A D A N I E 9 Udowodić tożsamość = Rys. 5 z a i e. Wiemy, że 2 2 ozacza ilość wszystich EN-dróg łączących węzeł początowy 0, 0 z tórymś z węzłów leżących a prostej o rówaiu x y = 2. Ogół tych wszystich dróg rozbijemy a rozłącze zbiory A 0, A 1,..., A 1, C, B 0, B 1,..., B 1, gdzie A j słada się ze wszystich dróg, tórych częścia jest odcie o ońcach, j, 1, j, zbiór C słada się ze wszystich dróg o ońcach 0, 0 i,, a zbiór B j słada się ze wszystich dróg, 2 tórych częścia jest odcie o ońcach j, 2, j, 1. Zobacz rysue obo. Z twierdzeia T2.4 i wiosu z iego wiemy, że C = 2, oraz j A j = B j = 2 j 1. j Wobec tego To ończy rozwiązaie. 2 2 = 2 A 0 2 A A 1 C = =
11 11 7. Sumy aprzemiee A jeżeli odróżiamy parzyste od ieparzystego, to co? Z A D A N I E 10 Udowodić, że dla dowolej liczby aturalej zachodzi rówość: 1 j =... 1 = j j=0 z a i e. S p o s ó b 1. Rówość tę otrzymujemy atychmiast, podstawiając α = 1, β = 1 w tożsamości 2. Spróbujmy jeda przydać jej zaczeie ombiatorycze. Zauważmy w tym celu, że moża ją zapisać w postaci: = , 24 5 co ozacza, że rodzia P ev podzbiorów zbioru mających parzysta ilość elemetów jest rówolicza z rodzią P odd podzbiorów zbioru mających ieparzysta ilość elemetów. Aby udowodić, że to jest prawda, rozważmy fucję f : P ev P odd daą przez: { A {1}, gdy 1 A, fa = A {1}, gdy 1 / A. Chwila zastaowieia wystarcza dla sprawdzeia, że fucja f przeprowadza bijetywie rodzię P ev a rodzię P odd. U w a g a. Prostszą bijecję P ev P odd moża wsazać w przypadu, gdy jest liczbą ieparzystą. Miaowicie, w taim przypadu: dopełieie zbioru A mającego parzystą ilość elemetów ma ieparzystą ilość elemetów i odwrotie. Wobec tego A A c jest żądaą bijecją. S p o s ó b 2. Patrz [8] Policzymy a dwa sposoby ile jest NES-dróg prowadzących od putu 1 do putu, w taiej ratce ja a rysuu. Rys Pierwszy sposób liczeie pioowe polega a patrzeiu a szczebeli pioowe. Poieważ wejście drogi a poziom wyższy jest asowae przez poowe zejście a dół,
12 12 więc widzimy, że ażda NES-droga wyzaczoa jest jedozaczie przez parzystoelemetowy podzbiór -elemetowego zbioru szczebelów. Zatem, łączie dróg taich jest Drugi sposób liczeie poziome polega a patrzeiu a odcii poziome dróg a poziomie dolym. Zauważamy, że ażdą NES-drogę jedozaczie wyzacza dowolie wybray podzbiór rówież pusty! 1-elemetowego zbioru jedostowych odciów poziomych z poziomu dolego. Badaych dróg jest więc tyle samo co podzbiorów zbioru 1- elemetowego. Stąd rówość = Porówując to z rówością 1, dostajemy rówość 24. Sumę 23 moża domażać przez miaowii występujących tam symboli Newtoa: Z A D A N I E 11 Udowodić, wsazując odpowiedią iterpretację ombiatoryczą: = 0 dla > z a i e. Pamiętamy, że wyraża ilość -elemetowych zespołów z liderem, wybraych spośród daych osób. Rówość 2 może więc być zapisaa astępująco: P = N, gdzie P = {Z, l : Z, l Z, Z 0 mod 2}, N = {Z, l : Z, l Z, Z 1 mod 2}. Dla zaończeia rozwiązaia wystarczy wsazać bijecję między zbiorami P, N. Oto oa: Z {1}, l, gdy 1 Z i l 1, Z {1}, l, gdy 1 / Z, fz, l = Z {2}, 1, gdy l = 1 i 2 Z, Z {2}, 1, gdy l = 1 i 2 / Z. Sprawdzeie, że w te sposób rzeczywiście zdefiiowaliśmy bijecję f : P N pozostawiamy Czyteliowi. Oto asze ostatie zadaie z sumami aprzemieymi: Z A D A N I E 12 Niech c, d Z 0 i 0 c < d. Udowodić, że c1 d d c 1 = c 1 =0
13 z a i e. Niech daych będzie d dziewcząt i c chłopców. Tworzymy spośród ich zespoły c 1-osobowe z wyróżioą grupą liderów, być może pustą, ale sładającą się wyłączie z dziewcząt. Zespołów mających liderów, c 1, jest, oczywiście, d d c. c 1 Wobec tego rówość 27 ozacza, że ilość zespołów z parzystą grupą liderów rówa jest ilości zespołów z ieparzystą grupą liderów. Aby się przeoać, że to jest prawda, ozaczmy przez Z ilość zespołów c 1-osobowych, w tórych jest dziewcząt. W ażdym z taich Z zespołów możemy a = 2 1 sposobów wybrać parzystą grupę dowódców i a = 2 1 sposobów ieparzystą grupę liderów, zobacz 24 i 25. Ostateczie, widzimy, że parzystoliderowych zespołów jest c1 2 1 Z =1 i tyleż jest zespołów ieparzystoliderowych Jeda ierówość Jeżeli istieje fucja różowartościowa ijecja f : X Y ze zbioru sończoego X do zbioru sończoego Y, to X Y. To oczywiste spostrzeżeie może służyć do ombiatoryczego uzasadiaia ierówości. Z A D A N I E 13 Udowodić, że dla ażdego 2 ciąg 0, 1,..., s 1, s, gdzie s = /2 jest ciągiem ściśle rosącym. z a i e. Wyorzystujący 9 lub 10 dowód rachuowy jest atychmiastowy. Warto się jeda zapozać z dowodem za pomocą EN-dróg, poieważ wyorzystuje o zasadę odbicia, tóra przydaje się i w iych sytuacjach. 1 W Z Załóżmy, że 0 < /2. Mamy uzasadić, że <. 1 J Sostruujemy ijecję f : DA, Z DA, W A Rys. 7 - zbioru DA, Z EN-dróg łączących put A z putem Z w zbiór DA, W EN-dróg łączących put A z putem W. Istieie taiej ijecji, 2
14 14 a mocy uczyioej wyżej uwagi, wystarczy, bo DA, Z = oraz DA, W = 1. Aby oreślić tę ijecję rozważmy symetralą p odcia W Z. Założeie < /2 impliuje, że puty A i Z leżą po różych stroach tej symetralej. Wobec tego, ażda droga łącząca puty A i Z przebija prostą p. Dla daej EN-drogi d DA, Z ozaczmy przez J ostati jej put wspóly z prostą p. Niech d AJ będzie fragmetem drogi d między putami A i J, d JZ będzie fragmetem drogi d między putami J i Z. Niech d będzie odbiciem d JZ w prostej p. Kładziemy fd = d AJ d. Sprawdzeie, że ta oreśloa fucja f jest fucją różowartościową, jest atychmiastowe. 9. Zwiaze z ciagiem Fiboacci ego Rys. 8 Przypomijmy, że lasyczy ciag Fiboacci ego f zaday jest przez warui poczatowe f 1 = 1, f 2 = 1 i rówaie reurecyje: f 2 = f 1 f, 28 dla ażdego = 1, 2, 3,.... TWIERDZENIE 4 Liczba f, 1 ozacza, a ile sposobów piechur startujący z putu 1 osi liczbowej może dotrzeć do putu tej osi, jeżeli potrafi stawiać roi długości 1 i/lub 2 do przodu. D o w ó d. Ozaczmy ilość tych sposobów przez p. Jase jest, że p 1 = 1 bo piechur po prostu ic ie robi, a icierobić moża a jede tylo sposób. Podobie jest jase, że p 2 = 1 piechur wyouje jede ro długości 1. Natomiast do putu 3 może dojść a dwa sposoby: albo robiąc jede ro długości 2, albo robiąc dwa roi długości 1. Zatem p 3 = 2. Rozważmy teraz dowolą liczbę 3. Istieją dwa róże typy marszrut piechura od putu 1 do putu : do pierwszego typu ależą te marszruty, w czasie tórych adepął o a liczbę 1, a do drugiego pozostałe. Pierwszych marszrut jest tyle a ile sposobów mógł o dotrzeć do putu 1 potem robi o już tylo oczywisty i jedozaczy ro długości 1 i ończy drogę w pucie, czyli p 1. W czasie wyoywaia marszrut drugiego typu piechur musi adepąć a liczbę 2 a astępie wyoać ro długości 2. Ostateczie dostajemy p = p 1 p 2. Wobec tego, poieważ ciągi p i f spełiają te same warui początowe i to samo rówaie reurecyje, porywają się i exteso.
15 Opisaą przez to twierdzeie iterpretację wyrazów ciągu Fiboacci ego azywamy iterpretacja piechura, zobacz rysue 8. Dzięi tej iterpretacji z łatwością rozwiążemy ostatie zadaie: Z A D A N I E 14 Udowodić tożsamość = f 1, gdzie f 1 ozacza 1-szy wyraz ciągu Fiboacci ego. z a i e. Ozaczmy przez M zbiór tych marszrut od putu 1 do putu 1, w czasie tórych piechur wyouje doładie roów długich roów długości 2. Wtedy, zbiór wszystich możliwych marszrut rozłada się a sumę podzbiorów rozłączych Seuda zastaowieia wystarcza do astępującej oluzji: M =. M = M 0 M 1 M Ta rówość, twierdzeie T4 i rówość 30 pozwalają zaończyć rozwiązaie Zadaia do samodzielego rozwiazaia Z A D A N I E 15 Udowodić, przydając iterpretację ombiatoryczą: 1 = =0 Z A D A N I E 1 Nie orzystając z 15, wyzaczyć wartość sumy =0 2. Wymyślić odpowiedią iterpretację ombiatoryczą. Z A D A N I E 17 Udowodić, przydając iterpretację ombiatoryczą: =0 2 = 3. W s a z ó w a. Iloczy 2 ozacza ilość wszystich taich par A, B, że A B i B =. A co może ozaczać 3?
16 1 Z A D A N I E 18 Uzasadić, przydając iterpretację ombiatoryczą: = 2 Z A D A N I E 19 Udowodić, że = 0 2. Z A D A N I E 20 Udowodić, że = 2 1. Z A D A N I E 21 Udowodić, że zachodzą rówości: m m m m = 2 m =0 =0 dla m, 0. Z A D A N I E 22 Udowodić, że Literatura 1 = 1. [1] B. Bogdańsa, A. Neugebauer Matematya Olimpijsa. Kombiatorya volumia.pl Szczeci [2] V. Bryat Aspety ombiatoryi Wyd. Nauowo-Techicze, Warszawa [3] M. Bryńsi Zadaia z olimpiad matematyczych, tom 7 Wydawictwa Szole i Pedagogicze, Warszawa [4] R. L. Graham, D. E. Kuth, O. Patashi Matematya oreta PWN, Warszawa 200. [5] W. Guzici Kaci olimpijsi Delta 1995 [] A. Neugebauer Matematya Olimpijsa. Algebra i Teoria Liczb volumia.pl Szczeci [7] N. J. Wilei - Kombiatorya - Państwowe Wydawictwo Nauowe, Warszawa [8] M. Zarzewsi Kombiatorya a liczby zespoloe Matematya LXII, [9] M. Zarzewsi, T. Ża Kombiatorya prawdopodobieństwo i zdrowy rozs ade Quadrivium, Wrocław 1998.
Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoDwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoWykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 2 notatki
Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoLiczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności
Liczby Stiriga I rodzaju - defiicja i własości Liczby Stiriga I rodzaju ozaczae symboem s(, ) moża defiiować jao współczyii w rozwiięciu x s(, )x, 0 (1) 0 gdzie x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoINDUKCJA MATEMATYCZNA
MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera malgorzata.stera@cs.put.poza.pl www.cs.put.poza.pl/mstera/ INDUKCJA MATEMATYCZNA Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoIV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce
IV Uiwersyteca Sobota Matematycza 4 wietia 208 Fucje tworzące w ombiatoryce Dla ciągu a 0 a a 2... defiiujemy fucję tworzącą: G(x) = a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0. Zajdź fucje tworzące dla poiższych
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoKombinatoryka - wyk lad z 28.XI (za notatkami prof.wojciecha Guzickiego)
Kombiatorya - wy lad z 28XI (za otatami profwojciecha Guziciego) Kombiatorya zajmuje sie sposobami zliczaia elemetów zbiorów sończoych Liczbe elemetów sończoego zbioru A be dziemy ozaczać symbolem A 1
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe techniki zliczania
Wy lad 1 Podstawowe techii zliczaia Wariacje bez powtórzeń Defiicja 1. Niech i bed a liczbami aturalymi taimi, że. Niech A bedzie dowolym zbiorem elemetowym. Każdy ciag różowartościowy a 1,..., a d lugości
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoKrótkie i dość swobodne wprowadzenie do liczb Stirlinga. Jakub Kamiński
Krótie i dość swobode wprowadzeie do liczb Stirliga Jaub Kamińsi 9 styczia 27 LICZBY STIRLINGA PIERWSZEGO RODZAJU Liczby Stirliga pierwszego rodzaju Liczby Stirliga zawdzięczają swoją azwę szociemu matematyowi
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoMARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty
MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji
Bardziej szczegółowoBardzo lekkie wprowadzenie do metod zliczania
Bardzo leie wprowadzeie do metod zliczaia Ryszard Rębowsi 12 listopada 2016 1 Wstęp Zacziemy od przedstawieia podstawowe metodologii wspomagaące proces zliczaia (MPZ). Poieważ celem tego procesu est stwierdzeie
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Kombinatoryka
Matematya dysreta Kombiatorya Adrzej Szepietowsi 1 Ci agi Zastaówmy siȩ, ile ci agów d lugości moża utworzyć z elemetów zbioru zawieraj acego symboli. Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elemety: to moża
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowoTytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała
Szkoła Odkrywców Taletów Tytuł zajęć: Fukcja liiowa zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Opis zajęć: Ucziowie w gimazjum dobrze pozają własości fukcji Ucziowie przygotowujący
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoSilnie i symbole Newtona
Podróże po Imperium Liczb Część Silie i symbole Newtoa Adrzej Nowici Wydaie drugie, uzupełioe i rozszerzoe Olszty, Toruń, 202 SSN - 33(080-2.05.202 Spis treści Wstęp Silie 5. Iformacje o cyfrach................................
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowo5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a
5. Szeregi liczbowe Niech będzie day iesończoy ciąg liczbowy {a }. Ciąg A = azywamy ciągiem sum częściowych ciągu {a }. Jeżeli ciąg {A } jest zbieży, mówimy, że ciąg {a } jest sumowaly, a graicę a A =
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie o sumach cyfr poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 1 Popatrzmy a astępujące trzy zadaia: Zadaie 1. Ile jest liczb dwudziestocyfrowych o sumie cyfr rówej 5? Zadaie. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematya dysreta dla iformatyów Cz ± I: Elemety ombiatoryi Jerzy Jaworsi Zbigiew Pala Jerzy Szyma«si Uiwersytet im Adama Miciewicza Poza«2007 3 Schematy wyboru i tożsamości ombiatorycze 31 Wariacje z
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21
SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 15.3 (o postaci elementów rozszerzenia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałem oraz A F pewnym zbiorem. Niech L<F.
15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoPodstawowe cechy podzielności liczb.
Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowo7. Różniczkowanie. x x. f (x 0 ) = df(x). dx x=x0 Pierwsze oznaczenie pochodzi od Lagrange a, a drugie od Leibniza.
7 Różiczowaie Niech będzie daa fucja f oreśloa w pewym otoczeiu putu x 0 R Mówimy, że f jest różiczowala w x 0 (ma w x 0 pochodą), jeśli iloraz różicowy x f(x) f(x 0) x x 0 ma w pucie x 0 graicę Ozaczamy
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoLiczby Stirlinga II rodzaju - definicja i własności
Liczby Stirliga II rodzaju - defiicja i własości Liczby Stirliga II rodzaju ozaczae sybole S(, ) lub { oża defiiować jao współczyii w rozwiięciu gdzie { x x, 0 (1) 0 x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały
Bardziej szczegółowoWykład 2. Kombinacje. Twierdzenie. (Liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego) C(n,k) =, gdzie symbol oznacza liczbę i n k.
Wykład 2. Krzyś wiedział a pewo, Ŝe to miejsce jest zaczarowae, bo igdy ikt ie mógł się doliczyć, ile rosło tam drzew, sześćdziesiąt trzy czy sześćdziesiąt cztery, awet kiedy po przeliczeiu przywiązywało
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych
Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowo