Kombinacje, permutacje czyli kombinatoryka dla testera
|
|
- Urszula Podgórska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Magazie Kombiacje, permutacje czyli ombiatorya dla testera Autor: Jace Oroje O autorze: Absolwet Wydziału Fizyi Techiczej, Iformatyi i Matematyi Stosowaej Politechii Łódziej, specjalizacja Sieci i Systemy Teleiformatycze. Tester, test leader, freelace developer, od poad 6 lat zajmuje się testowaiem i tworzeiem oprogramowaia w raju i za graicą w firmie Ericpol Telecom i jao iezależy osultat. Uczesticzył i adzorował testy a poziomie podstawowym, fucyjym, itegracyjym i systemowym, prowadził szoleia z zaresu testowaia oprogramowaia. Kotat: jace.oroje@gmail.com Itermediate Level Sformatowao: Polsi (Polsa) 5 Magazie Number Testowaie oprogramowaia Sectio i the magazie Wprowadzeie W poiższym teście zgromadziłem podstawowe iformacje z zaresu ombiatoryi, przydate przy plaowaiu i tworzeiu przypadów testowych. Supiłem się a przedstawieiu wygodych i prostych w zastosowaiu algorytmów oraz pratyczym zastosowaia ażdego z ich. Implemetacje algorytmów przedstawioe są w języu Java, ale zamieszczoe opisy pomogą wyorzystad je też w iych języach programowaia.
2 Istieje ila bibliote i arzędzi, tóre mogą pomóc testerom przy tworzeiu przypadów testowych, szczególie gdy istieje duża liczba parametrów wejściowych dla testowaych systemów. Nie zawsze możemy z ich sorzystad w aszym środowisu testowym lub ie do ooca spełiają oe asze wymagaia, dlatego uważam, iż warto przypomied sobie i poszerzyd wiedzę z zaresu ombiatoryi. Wyorzystaie jej przy automatyzacji testów pomoże am zaoszczędzid czas. Żmude sprawdzaie czy ie przeoczyliśmy jedej z możliwości jaa mogłaby zaistied ie jest zajęciem pasjoującym. Lepiej pozostawid to maszyom i zająd się bardziej iteresującymi zadaiami. Permutacje Do ilustracji tego pojęcia posłużę się przyładem fucji wyorzystywaej w teleomuiacji. Przy zestawiaiu połączeia fucja ta oreśla, jai rodzaj odowaia będzie używay przy trasmisji. Wyorzystuje przy tym listę odeów obsługiwaych przez adawcę, a olejośd elemetów a liście oreśla priorytet sposobu odowaia. Sposób odowaia o iższym idesie ma wyższy priorytet, czyli jest bardziej preferoway iż te o idesie wyższym. Mamy tu do czyieia z uporządowaiem elemetów. Oto przyładowa tablica z daymi wejściowymi dla aszej fucji: Ides tablicy (priorytet) Idetyfiator sposobu odowaia Sposoby odowaia 0 16bps 1 8bps 2 22bps Uszeregowae dae w taiej tablicy (może to byd taże lista) moglibyśmy azwad permutacją bez powtórzeo sposobów odowaia (oreśloy sposób odowaia może pojawid się w tablicy tylo raz). Zgodie z defiicją, permutacją bez powtórzeo zbioru złożoego z -różych elemetów azywamy ażdy -wyrazowy ciąg utworzoy ze wszystich wyrazów zbioru.
3 Gdyby asz przyładowy system obsługiwał tylo 3 sposoby odowaia, łatwo przewidzied, iż istieje tylo 6 możliwości ustawieia elemetów w tablicy. Przyporządowując sposobom odowaia liczbowe idetyfiatory wszystie możliwości przedstawioe są a przyładzie 1. Przyład 1 {0, 1, 2 {0, 2, 1 {1, 0, 2 {1, 2, 0 { 2, 0, 1 {2, 1, 0 Dla iewielu elemetów oreśleie wszystich permutacji jest proste, jeda ile jest możliwych tablic i ja oe wyglądają, gdy sposobów odowaia jest 9? Oreśleie, ile jest wszystich możliwości, czyli ilości permutacji bez powtórzeo sprowadza się do wyzaczeia wartości fucji silia (ag. factorial). Przypomę jej matematyczą defiicję: P! 1! * ( 1)!! Ja widzimy fucję silia możemy zdefiiowad a dwa sposoby: reurecyjy i iteracyjy. Mimo, że implemetacja obu defiicji wydaje się prosta, ależy zwrócid uwagę a ila szczegółów. Podstawowym ograiczeiem, tórego trzeba byd świadomym jest masymala wartośd typu zmieej, tórą wyorzystamy w obliczeiach. Przepełieie zmieej moża łatwo przeoczyd. Korzystając z poiższej iteracyjej implemetacji dla = 25 otrzymamy wyi Proszę zerąd do odu astępej propoowaej implemetacji by sprawdzid czy wartośd ta jest poprawa. Problemem dodatowym przy reurecyjej implemetacji jest dośd trude do przewidzeia zachowaie systemu przy zagieżdżoym wywoływaiu fucji dla dużych. public static it factorial(it m){ it as = 1; for (it i = m; i >= 1; --i){ as = as * i; retur as;
4 Przy małych wartościach, rozsądym i zarazem ajbardziej efetywym rozwiązaiem oazuje się proste wpisaie wartości do tablicy: private static log[] factorials = ew log[] { 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, , , , , L, L, L, L, L, L, L, L ; public static log factorial(it ) throws IllegalArgumetExceptio{ retur factorials[]; Ja poradzid sobie z problemem geerowaia wszystich możliwych permutacji dla więszych zbiorów? Poażę dwa spośród wielu możliwych algorytmów. Geerowaie permutacji w porządu lesyograficzym Porząde lesyograficzy jest ajprostszym i ajbardziej ituicyjym sposobem, w jaim możemy przedstawid olejo wszystie permutacje. Uładając ciągi w porządu lesyograficzym aalizujemy ich oleje elemety. Więszy jest te ciąg, tórego pierwszy ierówy elemet jest więszy. Tratując oleje permutacje jao ilucyfrowe liczby pouładamy je więc w porządu rosącym. Właśie w taim porządu przedstawioe były permutacje w przyładzie 1. W przedstawioym poiżej algorytmie olejo będziemy geerowad permutacje. Pierwszą (ajmiejszą) permutację, sładającą się z olejych cyfr od 0 do uszeregowaych rosąco wygeerujemy w ostrutorze: public Permutatio(it order){ elemet = ew it[order]; for (it i = 0; i< order;i++)
5 elemet[i] = i; this.order = order; private Permutatio(it[] elemet) { this.elemet = ew it[elemet.legth]; System.arraycopy(elemet, 0, this.elemet, 0, elemet.legth); order = elemet.legth; public Permutatio successor() { Permutatio result = ew Permutatio(this.elemet); it left, right; left = result.order - 2; while ((result.elemet[left] > (result.elemet[left + 1])) && (left >= 1)){ --left; if ((left == 0) && (this.elemet[left] > (this.elemet[left + 1]))) { retur ull; right = result.order - 1; while (result.elemet[left] > (result.elemet[right])){ --right; it temp = result.elemet[left]; result.elemet[left] = result.elemet[right]; result.elemet[right] = temp; it i = left + 1; it j = result.order - 1;
6 while (i < j){ temp = result.elemet[i]; result.elemet[i++] = result.elemet[j]; result.elemet[j--] = temp; retur result; W celu wygeerowaia astępej permutacji modyfiujemy ostatio wygeeroway ciąg w astępujący sposób; zajdujemy lewy ides przeszuując tablice od przedostatiego prawego elemetu i zmiejszamy ides do mometu, aż elemet po prawo (elemet o idesie więszym o 1) jest miejszy od elemetu pod atualym idesem. W przyładzie poiżej będziemy poruszad się aż do elemetu o idesie 1. Prawy ides zajdziemy rozpoczyając poszuiwaia od srajie prawego elemetu. Tym razem zmiejszamy ides do mometu, w tórym elemet pod atualym idesem będzie więszy od elemetu pod idesem lewym. W tym przypadu będzie to ides 3. Następie zamieiamy miejscami elemety pod lewym i prawym idesem i odwracamy olejośd elemetów a prawo od idesu lewego. Przyład 2 Kro 1 { 1, 3, 5, 4, 2, 0 => lewy ides = 1, prawy ides = 3 Kro 2 { 1, 4, 5, 3, 2, 0 => zamiaa miejscami elemetów Kro 3 { 1, 4, 0, 2, 3, 5 => odwracamy olejośd elemetów a prawo od idesu 1 Poday algorytm ma pewą wadę - permutacje musimy geerowad olejo. Przy ich dużej liczbie może to byd operacja czasochłoa i często iepotrzeba. Możemy tego uiąd orzystając z iego sposobu. Geerowaie permutacji wyorzystując system factoradic Przetestowaie tylo ietórych, wybraych permutacji zapewi am często wystarczającą jaośd. Istieje ila strategii, jeśli chodzi o wybór przypadów do testowaia. Dośd sutecze jest testowaie losowe. Należy przy tym jeda pamiętad by losowo wygeerowae przypadi zacząco się od siebie różiły. W celu geerowaia losowych permutacji możemy wyorzystad właściwości zapisu liczb aturalych w systemie factoradic. W systemie dziesiętym podstawą pozycji są oleje potęgi liczby tz.
7 wartości olejych pozycjach możymy przez liczbę 10 podiesioej do olejej potęgi. System factoradic to system, w tórym możymy wartości olejych pozycji przez wartości fucji silia dla olejych liczb aturalych. Ilustruje to poiższy przyład. Przyład 3 System dziesięty 1 * * * 10 0 = 1 * * * 1= 199 System factoradic 1 * 5! + 2 * 4! + 3 * 3! + 4 * 2! + 5 * 1! = 1 * * * * 2 + 5* 1 = 199 Wyorzystamy jedozacze odwzorowaie liczby zapisaej w systemie factoradic a odpowiadającą permutację. Ozacza to, że liczbę zapisaą w systemie factoradic będziemy zamieiad a odpowiadającą jej doładie jeda permutację. Przyład 4 ides zapis factoradic odpowiadająca permutacja 0 { 0, 0, 0 { 0, 1, 2 1 { 0, 1, 0 { 0, 2, 1 2 { 1, 0, 0 { 1, 0, 2 3 { 1, 1, 0 { 1, 2, 0 4 { 2, 0, 0 { 2, 0, 1 5 { 2, 1, 0 { 2, 1, 0 Do zamiay wyorzystamy astępującą procedurę: początowo do liczby zapisaej w systemie factoradic dopisujemy a oocu 0 i opiujemy ją do pomociczej tablicy. Następie zwięszamy ażdy elemet tej tablicy. Do tablicy wyiowej wpisujemy jao ostati elemet wartośd 1. Rozpoczyając od elemetu o przedostatim idesie opiujemy elemet z tablicy pomociczej do tablicy
8 wyiowej zwięszając o 1 wszystie elemety, tóre są więsze lub rówe sopiowaemu elemetowi. W te sposób postępujemy opiując oleje elemety o coraz miejszych idesach. Fialie, po sopiowaiu wszystich pól zmiejszamy wartości elemetów w wyiowej tablicy o 1. public Permutatio getkpermutatio(it ){ it[] factoradic = ew it[order]; for (it j = 1; j <= order; ++j){ factoradic[order-j] = % j; /= j; it[] temp = ew it[order]; for (it i = 0; i < order; ++i){ temp[i] = ++factoradic[i]; this.elemet[order-1] = 1; for (it i = order-2; i >= 0; --i){ this.elemet[i] = temp[i]; for (it j = i+1; j < order; ++j){ if (this.elemet[j] >= this.elemet[i]) ++this.elemet[j]; for (it i = 0; i < order; ++i){ --this.elemet[i]; retur ew Permutatio(elemet);
9 Kombiacje Zgodie z defiicją, ombiacją -elemetową zbioru elemetowego A, azywa się ażdy - elemetowy podzbiór zbioru A (0 ). Istotą iformacją jest to, że w ombiacji ie ma zaczeia porząde (olejośd) elemetów. Często mamy z ią do czyieia w różych grach. Grając w poera ie ma zaczeia, w jaiej olejości ułożymy arty, waże jest atomiast, jaie są to arty. Gdyby w aszej przyładowej fucji olejośd elemetów ie miała zaczeia, musielibyśmy przetestowad tylo jedą ombiację (istieje tylo jeda ombiacja 3-elemetowa z 3 - elemetowego zbioru). Jai wymiar miałoby zwięszeie liczby sposobów odowaia do 5 przy stałym rozmiarze tablicy wejściowej? Ilośd możliwości, jaie powiiśmy wówczas przetestowad wyosi 10 i możemy je obliczyd orzystając z poiższych wzorów: C *( 1) *( 2) *...*( 1) C! C C!!*( )! Wyorzystując drugi wzór ie będziemy musieli wyliczad wartości fucji silia dla dużych argumetów i zmiejszymy wartośd miaowia. Trzeciego wzoru warto użyd iedy -<. public static log c(log, log ) { if ( < ) retur 0; if ( == ) retur 1; log delta, imax; if ( < -){ delta = -; imax = ; else { delta = ;
10 imax = -; log as = delta + 1; for (log i = 2; i <= imax; ++i){ as = (as * (delta + i)) / i; retur as; Chcąc pozad liczbę ombiacji możemy rówież wyorzystad trójąt Pascala i jego właściwości. Pozostaje jeszcze problem geerowaia ombiacji. Najlepiej robid to w zaym am porządu lesyograficzym. Tym razem rówież będziemy modyfiowad ostatio wygeerowaą ombiację. Zaczyamy od ostatiego jej elemetu i poszuujemy elemetu rówego - poruszając się w lewo. Następie zwięszamy o 1 zalezioy elemet i elemety o idesach wyższych. public Combiatio successor(){ if (this.elemet.legth == 0 this.elemet[0] == this. - this.) retur ull; Combiatio as = ew Combiatio(this., this.); it i; for (i = 0; i < this.; ++i) as.elemet[i] = this.elemet[i]; for (i = this. - 1; i > 0 && as.elemet[i] == this. - this. + i; --i) ; ++as.elemet[i];
11 for (it j = i; j < this. - 1; ++j) as.elemet[j+1] = as.elemet[j] + 1; retur as; Wariacje Zając już pojęcie permutacji i ombiacji możemy przejśd do wariacji. Wariacją bez powtórzeo - wyrazową zbioru -elemetowego A azywamy ażdy -wyrazowy ciąg różych elemetów tego zbioru. Zgodie z defiicją mamy tu do czyieia z ciągami, istota jest więc olejośd elemetów. Zwródmy uwagę, że gdy =, wariację bez powtórzeo azywa się permutacją. Przy wyliczaiu liczby wariacji możemy sorzystad z poiższych wzorów i tu rówież lepiej wyorzystad drugi wzór z powodów opisaych powyżej: V V! ( )! *( 1) *...*( ) Wracając do pierwszej wersji aszej przyładowej fucji przy 5 sposobach odowaia i 3 elemetowej tablicy liczba wszystich możliwości wyosiłaby: 3 5! V 5 5* 4*3 60 (5 3)! Przy geerowaiu wariacji możemy wyorzystad cieawą zależośd: V C P
12 Ozacza to, że w pierwszym etapie możemy wygeerowad ombiację i zaleźd dla iej wszystie możliwe permutacje. Implemetacja z wyorzystaiem przedstawioych wyżej fucji jest już prosta i pozostawię ją czyteliowi. Powtórzeia elemetów Do tej pory załadaliśmy, iż elemety w geerowaych ciągach ie będą się powtarzad. Co zrobid gdy asz system dopuszcza taą możliwośd? Geerowaie wariacji z powtórzeiami ie przysparza łopotów. Koleje przypadi geerowad moża w zagieżdżoych pętlach przebiegających po wszystich elemetach zbiorów. for (it i; i < ; i++){... for (it j; j < ; j++){ elemet[i] = i;... elemet[j] = j; Ilośd możliwości, jaich możemy się spodziewad przedstawioa jest poiżej i jest to ajwięsza liczba spośród prezetowaych. V Ograiczeia jaie posiada asz system mogą spowodowad zmiejszeie liczby możliwości. Moża w taim wypadu zastosowad zabieg geerujący iteresujący as zbiór. Gdybyśmy dopuścili możliwośd, by odowaie 16bps mogło wystąpid w tablicy parametrów wejściowych aszej przyładowej fucji dwa razy, ależy dla potrzeb geerowaia przypadów przypisad mu drugi, pomociczy idetyfiator p. 3. W te sposób zwięszamy asz zbiór elemetów i geerujemy permutacje bądź ombiacje ja dla przypadu bez powtórzeo. Po wygeerowaiu zbioru pozostaje zamiaa pomociczego idetyfiatora a właściwy. Należy pamiętad, że dopuszczając powtórzeia zwięsza się liczba możliwości, tóra wyosi dla permutacji i ombiacji odpowiedio:
13 ! P!*!*...*! 1 2 gdzie i ozacza ilośd wystąpieo -tego elemetu zbioru. C ( 1)!!*( 1)! Jeśli użyjemy przedstawioego powyżej sposobu, otrzymamy iestety więszą liczbę ciągów. Uważam jeda, iż prostota rozwiązaia reompesuje tą iedogodośd i w więszości przypadów może byd o stosoway. Podsumowaie Testowaie oprogramowaia jest dziedzią, tóra opiera się formalizacji i bardzo trudo zaleźd w iej uiwersale rozwiązaia. Mam adzieję, że przedstawioe iformacje pomogą osobom rozpoczyającym przygodę z testowaiem oprogramowaia w wypracowaiu własych, dostosowaych do idywidualych potrzeb, metod. W codzieej pratyce testera problemy związae z testowaiem oprogramowaia są zaczie bardziej sompliowae iż te przedstawioe w artyule. Często jeda wyorzystaie taich metod, ja podział a lasy rówoważości, pozwala sprowadzid je do postaci, w tórej moża wyorzystad prezetowae sposoby. Mogą oe też posłużyd do wstępego oszacowaia liczby przypadów testowych i stworzeia ich bazy. Podobie bardziej sompliowae strutury ja grafy czy tablice wielowymiarowe moża uprościd do postaci tablic jedowymiarowych.
KOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 2 notatki
Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoWykład 8: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona. Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Rachue rawdoodobieństwa MAP064 Wydział Eletroii, ro aad. 008/09, sem. leti Wyładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wyład 8: Zmiee losowe dysrete. Rozłady Beroulliego (dwumiaowy), Pascala, Poissoa. Przybliżeie
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład dr Adam Ćmiel cmiel@agh.edu.pl Rachue różiczowy fucji wielu zmieych W olejych wyładach uogólimy pojęcia rachuu różiczowego i całowego fucji jedej zmieej a przypade fucji
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 1 Symulacja doświadczeń losowych Statystyka opisowa Estymacja parametryczna i nieparametryczna T E O R I A
ĆWICZENIE Symulacja doświadczeń losowych Statystya opisowa Estymacja parametrycza i ieparametrycza T E O R I A Opracowała: Katarzya Stąpor Opis programu MS EXCEL. Iformacje ogóle Program Microsoft Excel
Bardziej szczegółowoLICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY
LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę
Bardziej szczegółowoIV Uniwersytecka Sobota Matematyczna 14 kwietnia Funkcje tworzące w kombinatoryce
IV Uiwersyteca Sobota Matematycza 4 wietia 208 Fucje tworzące w ombiatoryce Dla ciągu a 0 a a 2... defiiujemy fucję tworzącą: G(x) = a x = a 0 + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + =0. Zajdź fucje tworzące dla poiższych
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości
Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoDwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoWykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r
Wyład 6 Przestrzeie etrycze ośrodowe i zupełe. Przypoiay, że zbiór azyway przeliczaly, jeśli jest o rówoliczy ze zbiore wszystich liczb aturalych N, a co ajwyżej przeliczaly, jeśli jest o przeliczaly lub
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDENTYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI
Piotr KOZIERSKI WYKORZYSTAIE FILTRU CZĄSTECZKOWEGO W PROBLEMIE IDETYFIKACJI UKŁADÓW AUTOMATYKI STRESZCZEIE W artyule przedstawioo sposób idetyfiacji parametryczej obietów ieliiowych zapisaych w przestrzei
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoAPROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne
APROKSYMACJA I INTERPOLACJA Przybliżeie fucji f(x) przez ią fucję g(x) fucja f jest zbyt sompliowaa; użycie f w dalszej aalizie problemu jest trude fucja f jest zaa tylo tabelaryczie; wymagaa jest zajomość
Bardziej szczegółowoINDUKCJA MATEMATYCZNA
MATEMATYKA DYSKRETNA (4/5) dr hab. iż. Małgorzata Stera malgorzata.stera@cs.put.poza.pl www.cs.put.poza.pl/mstera/ INDUKCJA MATEMATYCZNA Matematya Dysreta Małgorzata Stera FUNKCJA SILNIA dla, fucja silia
Bardziej szczegółowoH brak zgodności rozkładu z zakładanym
WSPÓŁZALEŻNOŚĆ PROCESÓW MASOWYCH Test zgodości H : rozład jest zgody z załadaym 0 : H bra zgodości rozładu z załadaym statystya: p emp i p obszar rytyczy: K ;, i gdzie liczba ategorii p Przyład: Wyoujemy
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a,, a będą dowolymi liczbami Sumę a + a + + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od do a ) Za Σ to duża greca litera sigma,
Bardziej szczegółowoi statystyka matematyczna Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 200. Wstęp do
Bardziej szczegółowoKrótkie i dość swobodne wprowadzenie do liczb Stirlinga. Jakub Kamiński
Krótie i dość swobode wprowadzeie do liczb Stirliga Jaub Kamińsi 9 styczia 27 LICZBY STIRLINGA PIERWSZEGO RODZAJU Liczby Stirliga pierwszego rodzaju Liczby Stirliga zawdzięczają swoją azwę szociemu matematyowi
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY
Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY
Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna Kombinatoryka
Matematya dysreta Kombiatorya Adrzej Szepietowsi 1 Ci agi Zastaówmy siȩ, ile ci agów d lugości moża utworzyć z elemetów zbioru zawieraj acego symboli. Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elemety: to moża
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe techniki zliczania
Wy lad 1 Podstawowe techii zliczaia Wariacje bez powtórzeń Defiicja 1. Niech i bed a liczbami aturalymi taimi, że. Niech A bedzie dowolym zbiorem elemetowym. Każdy ciag różowartościowy a 1,..., a d lugości
Bardziej szczegółowoOptymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowo5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a
5. Szeregi liczbowe Niech będzie day iesończoy ciąg liczbowy {a }. Ciąg A = azywamy ciągiem sum częściowych ciągu {a }. Jeżeli ciąg {A } jest zbieży, mówimy, że ciąg {a } jest sumowaly, a graicę a A =
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoTeoria obliczeń: ciągi, notacja 0. Wykład 7
Teoria obliczeń: ciągi, otacja 0 Wykład 7 Ο( log ) Σ Ciąg to fukcja określoa a zbiorze liczb aturalych N a, a,..., a 1, a, a 1,... N Ciąg opisuje się jako listę: 1 + w której dla każdej liczby aturalej
Bardziej szczegółowoMetoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
Bardziej szczegółowoWykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja
Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoMetody Podejmowania Decyzji
Metody Podejmowaia Decyzji Wzrost liczby absolwetów w Politechice Wrocławsiej a ieruach o luczowym zaczeiu dla gospodari opartej a wiedzy r UDA-POKL.04.0.0-00-065/09-0 Recezet: Prof. dr hab. iż. Ja Iżyowsi
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach,
Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 2005. Wstęp do
Bardziej szczegółowoHarmonogramowanie linii montażowej jako element projektowania cyfrowej fabryki
52 Sławomir Herma Sławomir HERMA atedra Iżyierii Produkcji, ATH w Bielsku-Białej E mail: slawomir.herma@gmail.com Harmoogramowaie liii motażowej jako elemet projektowaia cyfrowej fabryki Streszczeie: W
Bardziej szczegółowoMODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH
MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoLiczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności
Liczby Stiriga I rodzaju - defiicja i własości Liczby Stiriga I rodzaju ozaczae symboem s(, ) moża defiiować jao współczyii w rozwiięciu x s(, )x, 0 (1) 0 gdzie x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały
Bardziej szczegółowoWyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Bardziej szczegółowon k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoOptymalizacja harmonogramów budowlanych - problem szeregowania zadań
Mieczysław OŁOŃSI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Szoła Główna Gospodarstwa Wiejsiego, Warszawa, ul. Nowoursynowsa 159 e-mail: mieczyslaw_polonsi@sggw.pl Założenia Optymalizacja harmonogramów
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoP k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} =
Definicja.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Każdy -elementowy podzbiór zbioru A wybrany (w dowolnej olejności) bez zwracania nazywamy ombinacją bez powtórzeń. Twierdzenie.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Liczba
Bardziej szczegółowo1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767
Egzami maturaly z iformatyki Zadaie. (0 pkt) Każdy z puktów tego zadaia zawiera stwierdzeie lub pytaie. Zazacz (otaczając odpowiedią literę kółkiem) właściwą kotyuację zdaia lub poprawą odpowiedź. W każdym
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia
Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoWykład 3 : Podstawowe prawa, twierdzenia i reguły Teorii Obwodów
OBWODY SYNAŁY Wyład 3 : Podstawowe prawa, twierdzeia i reguły Teorii Obwodów 3. PODSTAWOWE PAWA TWEDZENA TEO OBWODÓW 3.. SCHEMAT DEOWY OBWOD Schematem ideowym obwodu (siecią) azywamy graficze przedstawieie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoi statystyka matematyczna Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 200. Wstęp do
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoSilnie i symbole Newtona
Podróże po Imperium Liczb Część Silie i symbole Newtoa Adrzej Nowici Wydaie drugie, uzupełioe i rozszerzoe Olszty, Toruń, 202 SSN - 33(080-2.05.202 Spis treści Wstęp Silie 5. Iformacje o cyfrach................................
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoInstalacje i Urządzenia Elektryczne Automatyki Przemysłowej. Modernizacja systemu chłodzenia Ciągu Technologicznego-II część elektroenergetyczna
stalacje i Urządzeia Eletrycze Automatyi Przemysłowej Moderizacja systemu chłodzeia Ciągu echologiczego- część eletroeergetycza Wyoali: Sebastia Marczyci Maciej Wasiuta Wydział Eletryczy Politechii Szczecińsiej
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa - dodatek
Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej
Bardziej szczegółowoProblemy niezawodnościowo-eksploatacyjne. dotyczące układów zasilających. elektronicznego systemu bezpieczeństwa.
aua Problemy iezawodościowo-esploatacyje uładów zasilających eletroicze systemy bezpieczeństwa Waldemar Szulc Wyższa Szoła Meedżersa w Warszawie, Wydział Iformatyi Stosowaej i Techi Bezpieczeństwa Streszczeie:
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Inducja matematyczna Inducja jest taą metodą rozumowania, za pomocą tórej od tezy szczegółowej dochodzimy do tezy ogólnej. Przyład 1 (o zanurzaniu ciał w wodzie) 1. Kawałe żelaza, tóry zanurzyłem w wodzie,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoLiczby pierwsze o szczególnym. rozmieszczeniu cyfr:
Liczby pierwsze o szczególym rozmieszczeiu cyfr Adrzej Nowicki Wydział Matematyki i Iformatyki, Uiwersytetu M. Koperika w Toruiu. (aow @ mat.ui.toru.pl) 30 paździerika 1999 M. Szurek w książce [4] podaje
Bardziej szczegółowoJak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne
K Stowarzyszeie Kosumetów Polskich Jak skuteczie reklamować towary kosumpcyje HALO, KONSUMENT! Chcesz pozać swoje praw a? Szukasz pomoc y? ZADZWOŃ DO INFOLINII KONSUMENCKIEJ BEZPŁATNY TELEFON 0 800 800
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowotek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze
R o z d z i a l III RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE WYŻSZYCH RZE DÓW 12. Rówaie różiczowe liiowe -tego rze du Na pocza te zauważmy, że podobie ja w dziedziie rzeczywistej wprowadzamy dla fucji zespoloych
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch
Bardziej szczegółowo