Rozkład Poissona. I. Cel ćwiczenia. Obowiązujący zakres materiału. Podstawy teoretyczne. Opracował: Roman Szatanik

Transkrypt

1 Opracował: Roma Szatai Rozład Poissoa I. Cel ćwiczeia Zapozaie ze statystyczym sposobem opisu zagadień związaych z promieiowaiem jądrowym oraz z rozładami statystyczymi stosowaymi w fizyce jądrowej. Pratycze zastosowaie rozładu Poissoa w statystyczym opracowaiu wyiów pomiarów rejestracji promieiowaia jądrowego. II. Obowiązujący zares materiału. Statystyczy sposób opisu zagadień związaych z promieiowaiem jądrowym 2. Rozłady statystycze: dwumiaowy, Poissoa, Gaussa. 3. Warue przejścia rozładu Poissoa w rozład Gaussa 4. Defiicje: zmieej losowej, dyspersji, odchyleia stadardowego III. Literatura. K. Małuszyńsa, M. Przytuła, Laboratorium fizyi jądrowej PWN, Łódź T. Hilczer, Ćwiczeia z fizyi jądrowej UAM Pozań J. M. Massalsi, Detecja promieiowaia jądrowego, PWN, Warszawa W.I. Goldasi, Statystya pomiarów przy rejestracji promieiowaia jądrowego PWN, Warszawa W. J. Price, Detecja promieiowaia Jądrowego PWT, Warszawa G.E. Pustowałow, Fizya Jądrowa i atomowa PWN, Warszawa Sz. Szczeiowsi, cz. VI Fizya Doświadczala. Fizya jądra i cząste elemetarych PWN, Warszawa 974. IV. Podstawy teoretycze. Wstęp Wyii pomiarów dowolej wielości fizyczej, ze względu p. a bardzo dużą liczbę ieotrolowaych i różorodych oddziaływań, mogą mieć charater statystyczy z możliwością wystąpieia flutuacji wielości mierzoej. W przypadu pomiarów wielości lub zjawis mirosopowych taich ja p. rozpady promieiotwórcze jąder - flutuacje wyiów pomiarów związae są główie z istotą zjawisa i flutuacji podlega sama mierzoa wielość atomiast przyrząd pomiarowy możemy uzać za a tyle dołady, że ie wosi dodatowych iepewości. Wówczas, jeżeli w wielorotych pomiarach taj samej wielości X otrzymujemy szereg różych, wartości: x, x 2,,x i to flutuują oe ie woół wartości prawdziwej bo taiej w przypadu pomiarów zdarzeń statystyczych ie ma, lecz woół wartości średiej arytmetyczej x poszczególych pomiarów: x i x Ta średia wartość jest dobrym przybliżeiem lub iaczej estymatorem mierzoej prawdziwej wielości. Ja dobrym jest to przybliżeie oreśla am odchyleie od wartości średiej. Wielość odchyleia (tzw. rozrzut wyiów od wartości średiej) oreśla się za pomocą dyspersji lub odchyleia stadardowego

2 (średi błąd wadratowy). Dyspersję D defiiuje się jao wartość średią wadratów różic między wartością średią a wartościami wyiów pomiarów: 2 D {x i x) (2) atomiast pierwiaste wadratowy dyspersji: 2 σ D {x i x) (3) azywamy - zaym z teorii iepewości pomiarowych średim błędem wadratowym (Wielość ta jest estymatorem odchyleia stadardowego w tzw. rozładzie Gaussa). Jeżeli wartości jaiejś zmieej oreśloe są przypadowo to mówimy, że zmiea ta jest zmieą losową. Zmiea losowa jest to wielość, tóra w wyiu pomiaru przyjmuje jedą i tylo jedą wartość ze zbioru wszystich wartości, jaie może ta zmiea przyjmować, przy czym wartości tej ie moża przewidzieć przed wyoaiem pomiaru. Zmiee losowe mogą mieć charater ciągły lub dysrety (ieciągły). Jeżeli ażdej wartości x, x 2, x i dysretej doświadczalie otrzymaej zmieej losowej X przyporządowae jest pewe prawdopodobieństwo p, p 2, p i to prawdopodobieństwa te moża tratować jao fucję oreśloą a zbiorze wartości x i. Wówczas: rozładem zmieej losowej X azywa się prawdopodobieństwo tego, że zmiea ta przybiera wartości x i.: P(X x i ) p i, (i,2, ) Prawdopodobieństwo tego, że zmiea losowa X przyjmie jaąolwie wartość ze zbioru wszystich wartości, tóre może przyjąć jest rówe jedości: p i (4) Rozład wyiów, wielorotie powtarzaych pomiarów dla procesów przypadowych daje się opisać fucją zwaą rozładem Poissoa tóry jest graiczym przypadiem tzw. rozładu dwumiaowego. Niech iteresującym as zdarzeiem będą aty rozpadu promieiotwórczego w uładzie jąder. Mają oe ja ajbardziej charater statystyczy, tz. mogą być oreśloe tylo z pewym prawdopodobieństwem, poieważ ze względu a ogromą ilość jąder podlegających rozpadowi ie moża przewidzieć, iedy astąpi rozpad oretego jądra. Dodatowo samo zjawiso emisji z jądra fotou (przemiaa γ), eletrou (przemiaa β - ) lub pozytou (przemiaa β + ) ma też charater statystyczy, tj, możemy je opisać podając jedyie prawdopodobieństwo jego zajścia. Rozpad jąder atomowych jest więc zdarzeiem przypadowym iezależym od obecości i stau iych jąder. Mierzoą wielością może być ilość rejestrowaych przez liczi promieiowaia cząste pochodzących z tego rozpadu, ilość ta będzie zmieą losową. Ze względu a statystyczy charater tych zjawis, w ciągu rówych oresów czasu liczi będzie rejestrował różą ilość cząste. Jeżeli przez ozaczymy liczbę jąder, tóre już uległy rozpadowi to - ozaczać będzie liczbę jąder tóre jeszcze ie rozpadły się. Z olei, jeżeli prawdopodobieństwo rozpadu dowolego, pojedyczego jądra w daym przedziale czasu jest rówe p to prawdopodobieństwo, że jądro to ie ulegie rozpadowi w tym czasie jest rówe q ( - p). W rozpatrywaym zjawisu mamy do czyieia ze zdarzeiem złożoym jądro ulegie rozpadowi lub ie. W taim razie zgodie z twierdzeiem o iloczyie prawdopodobieństw stosowaym w przypadu zdarzeń złożoych, prawdopodobieństwo rozpadu jąder i prawdopodobieństwo, że jąder jeszcze ie rozpadło się moża zapisać w postaci iloczyu: p q - p ( p) - (5) Poieważ rozpad jąder jest zjawisiem statystyczym to jest wszysto jedo, tóre z jąder z ich ogólej liczby ulegie rozpadowi i zdarzeie polegające a rozpadzie jąder może być zrealizowae a sposobów gdzie: jest symbolem Newtoa.! ( )! 2 (6)

3 Całowite prawdopodobieństwo zajścia w oreśloym przedziale czasu rozpadów w uładzie jąder jest rówe: lub po uwzględieiu (6): Poieważ wyrażeie W p q, (7)! W p ( p), (8)! ( )! ( )( 2)...[ ( + )], (9) ( )! jest rówe współczyiowi -tego człou dwumiau Newtoa -tego stopia wyrażaia (7) i (8) azywae są rozładem dwumiaowym tóry opisuje prawdopodobieństwo rozpadu spośród jąder w daym przedziale czasu. Ozaczmy przez średią liczbę jąder rozpadających się w tym samym czasie, zatem prawdopodobieństwo p rozpadu dowolego jądra w oreśloym przedziale czasu moża oreślić jao iloraz: p. (0) Wówczas rozład dwumiaowy (8) moża zapisać astępująco:! W, () ( )! a po uwzględieiu rówaia (9) otrzymamy: W ( ) ( ) ( ) ( )!! ( )( 2)...[ ( + )] ( )( 2)...[ ( + )]... ( ) ( )( 2)...[ ( + )] (2) 3

4 W graicy dla bardzo dużych wartości wyrażeie lim e, ta więc moża apisać ostateczie:... dąży do, atomiast ( ) lim W p e. (3) ( ) Wyrażeie: p e osi azwę rozładu Poissoa i w aszym przypadu oreśla oo prawdopodobieństwo tego, że w zadaym przedziale czasu liczi zarejestruje zliczeń, gdy średia liczba wszystich zliczeń jest rówa. Rozład te jest rozładem jedoparametrowym (zależym tylo od wartości średiej p ) stosowaym przy iewieliej liczbie pomiarów. Oczywiście z powodu wystąpieia flutuacji zachodzących procesów, prawdopodobieństwo to będzie duże dla liczby blisiej średiej a małe dla zaczie różiącej się od średiej, tóra jedozaczie oreśla rozrzut liczby zliczeń. Z rozważań teoretyczych odośie rozładu Poissoa wyia, że wartość flutuacji wielości woół wartości średiej czyli dyspersja D - jest rówa: D teor (4) Zależość prawdopodobieństwa p od wartości (rozład Poissoa) dla różych przedstawia rys.. Rys.. Zależość prawdopodobieństwa uzysaia zliczeń dla różych Należy zwrócić uwagę, że dla małych wartości ( <0) rozład Poissoa jest asymetryczy. Z wyresu widać, że ie wszystie wartości występują z taą samą częstością. Jeśli jest blisie wartości średiej prawdopodobieństwo p jest duże, w przeciwym przypadu jest małe. Dla >0 rozład jest już bardziej symetryczy względem wartości średiej. Wówczas wygodiej jest dla 4

5 charateryzowaia rozładu wyiów pomiarów zastosować rozład ormaly (Gaussa). W rozładzie tym przy dooywaiu wielorotego pomiaru daej wielości, otrzymae wartości (przy bardzo dużej liczbie pomiarów) mają ciągły rozład, symetryczy względem wartości średiej. Rozład te jest charateryzoway przez dwa parametry: wartość średią i odchyleie stadardowe σ: 2 ( ) p exp. (5) σ 2π 2 2σ Rozład te jest szeroo stosoway do opisu daych doświadczalych ie tylo rozpadów promieiotwórczych. σ oblicza się zgodie ze wzorem (3) a wzorem (). V. Część doświadczala Schemat bloowy uładu pomiarowego. Dome ołowiay 2. Preparat promieiotwórczy 3. Liczi G-M. 4. Przedwzmaciacz 5. Zasilacz wysoiego apięcia 6. Zasilacz przedwzmaciacza 7. Przeliczi Rys.. Schemat bloowy uładu pomiarowego Wyoaie ćwiczeia. W obecości prowadzącego zajęcia lub opieua pracowi włączyć przyrządy uładu pomiarowego i dobrać taie wartości apięcia pracy liczia G-M i czas pojedyczego pomiaru aby liczba zliczeń impulsów pochodzących od tła była rówa o Dla ustaloego przedziału czasu zmierzyć co ajmiej 300 razy liczbę impulsów tła. Wyii zapisać w tabeli. Opracowaie wyiów. Obliczyć ilość N pomiarów w tórych otrzymao zliczeń. 2. Oreślić tzw. doświadczale prawdopodobieństwo (doświadczaly rozład Poissoa) wystąpieia zliczeń w pojedyczym pomiarze orzystając ze wzoru: gdzie jest liczbą pomiarów. N p esp (6) 0 N 5

6 3. Na podstawie daych doświadczalych wyliczyć średią liczbę zliczeń a podstawie wzoru: N 0 (7) 0 N 4. Na wspólym rysuu sporządzić wyres słupowy doświadczalego rozładu prawdopodobieństwa uzysaia zliczeń w pojedyczym pomiarze (wzór (6)) oraz wyres słupowy teoretyczego rozładu prawdopodobieństwa obliczoego a podstawie wzoru (3). Przyładowy wyres poazao a rys Korzystając z daych doświadczalych obliczyć: dyspersję D (wzór (2)) gdzie x i i oraz x ) i odchyleie stadardowe σ D i porówać otrzymae wyii z wartościami teoretyczymi: dyspersji oreśloej zależością (4) i σ teor Dteor. 6. Prześledzić ewolucję doświadczalego rozładu Poissoa w zależości od ilości wyoaych pomiarów (wyoać wyresy słupowe rozładu dla 50, 00, 50, 200 i 300 pomiarów). 7. Obliczyć iepewości pomiarowe dla doświadczalie wyzaczoych wielości. 8. Przedysutować: a) uzysae wyii tz. różice pomiędzy otrzymaymi w pt. 5 wartościami doświadczalymi i teoretyczymi, b) wpływ ilości pomiarów a ewolucję doświadczalego rozładu Poissoa. Rys.2. Przyładowy wyres doświadczalego i teoretyczego rozładu Poissoa Propoowae tabele wyiów pomiarów Tabela I Nr pomiaru [imp] Nr pomiaru [imp] Nr pomiaru [imp] 6

7 Tabela II N N P esp P teor p esp 7