Liczby Stirlinga I rodzaju - definicja i własności

Transkrypt

1 Liczby Stiriga I rodzaju - defiicja i własości Liczby Stiriga I rodzaju ozaczae symboem s(, ) moża defiiować jao współczyii w rozwiięciu x s(, )x, 0 (1) 0 gdzie x x(x 1)... (x + 1), 1 x 0 1. (2) Zostały oe wprowadzoe (razem z iczbami Stiriga II rodzaju) przez Jamesa Stiriga w dziee Methodus Differetiais wydaym w Lodyie w rou Defiicja i iterpretacje ombiatorycze Łatwo zauważyć, że iczby s(, ) mogą być ujeme. Stąd iterpretację ombiatoryczą posiadają iczby: [ ] s(, ), ozaczae też symboem c(, ) ( [ ] czytamy: a cyi ). Defiicja 1. [ ] jest rówe iczbie - cyowych permutacji zbioru - eemetowego. Na przyład [ ] poieważ mamy astępujące permutacje dwucyowe zbioru {1, 2, 3, 4}: [1 2][3 4]; [1 3][2 4]; [1 4][2 3]; [1][2 3 4]; [1][2 4 3]; [2][1 3 4]; [2][1 4 3]; [3][1 2 4]; [3][1 4 2]; [4][1 2 3]; [4][1 3 2]. 1

2 Obserwacja 1. Liczba sposobów podziału obietów a iepustych, rozłączych boów z cyiczym uporządowaiem eemetów a ażdym bou rówa się [ ]. Obserwacja 2. Podobie : osób możemy rozsadzić przy doładie orągłych stoiach a [ ] sposobów, jeśi przy stoiu może siedzieć ieograiczoa iczba osób i iczy się sposób ich usadzeia przy daym stoiu (czyi to, to obo ogo siedzi). Wyjaśieie: przeprowadź astępujące przyporządowaie: - eemety zbioru osoby; - cye permutacji stoii; sorzystaj z zasady bijecji i Defiicji 1. Teraz ujedoicimy defiicje iczb [ ] { } oraz. Mamy prostąąte stoii ustawioe w rzędzie. Sadzamy przy ich osoby ta, że wszystie siedzą po tej samej stroie wszystich stołów (czyi tworzą siedzący szereg). Wtedy: (D1) [ ] to iczba rozsadzeń osób przy stoiach (przy ażdym stoiu co ajmiej jeda osoba) taich, że przy ewym ońcu stoia (z perspetywy siedzących) siedzi ajstarsza spośród osob przy tym stoiu, a pozostałe osoby siedzą w dowoej oejości po jej prawej stroie. (D2) { } to iczba rozsadzeń osób przy stoiach (przy ażdym stoiu co ajmiej jeda osoba) taich, że osoby przy ażdym stoiu siedzą w oejości od ajstarszej (przy ewym ońcu stoia) do ajmłodszej (przy prawym ońcu). Obserwacja 3. Udowodimy teraz, że [ ] m m, (3) 0 gdzie m m(m + 1)(m + 2)... (m + 1). (4) 2

3 Załóżmy, że po jedej stroie orytarza mamy m pooi (poumerowaych). Rozmieszczamy w ich osób (ietóre pooje mogą pozostać puste) i ustawiamy w szeregu (od ewego ońca pierwszego pooju do prawego ońca ostatiego pooju). Waże jest więc, do tórego pooju trafia daa osoba oraz to, tóra jest w tym pooju (tz. a jaiej pozycji od ewej do prawej). Łatwo zauważyć, że taich rozmieszczeń osób w poojach jest m. Poiczmy powyższe rozmieszczeia w iy sposób. Załóżmy, że mamy prostoątych stoiów ( 0, 1, 2,..., ). Rozsadzamy przy ich osób w sposób opisay w defiicji (D1). Możemy to zrobić a [ ] sposobów. Teraz stoii wstawiamy do wspomiaych pooi w dowoy sposób a m sposobów. Jeśi w pooju zajdzie się więcej iż jede stoi, to ustawiamy stoii według maejącego (od ewej do prawej) wieu ajstarszych osób przy ażdym stoiu. Korzystając z zasady możeia i sumując powyższe sytuacje ze wzgędu a 0, 1, 2,..., otrzymujemy: [ ] m m, 0 czyi rówość (3) da m N. Obie jego stroy to wieomiay stopia rówe da wszystich iczb m N, a zatem taże da x R. Mamy więc Korzystając z własości [ ] x x, x R. (5) 0 x ( 1) ( x) mamy, że [ ] ( 1) ( x) x. 0 Po pomożeiu obydwu stro powyższego rówaia przez ( 1) i zamiaie x a x otrzymujemy astępującą rówość [ ] x 0( 1) + x. 3

4 Porówując powyższe z rówaiem (1) dostajemy wzór: Reurecja [ ] [ ] s(, ) ( 1) + ( 1). (6) Rozważmy usadzeia ( + 1) osób przy stoiach (ta, by przy ażdym ze stoiów siedziała co ajmiej jeda osoba) w sposób opisay w defiicji (D1). Wyróżijmy ajmłodszą osobę. Może oa siedzieć przy stoiu sama. Wtedy pozostałe osób (starszych od iej) będzie siedzieć przy ( 1) stoiach a [ ] 1 sposobów. Ateratywa możiwość poega a tym, że ajstarszych osób siada przy stoiach (ja w (D1)) a [ ] sposobów, a osoba ajmłodsza dosiada się do tóregoś ze stoiów zjmując miejsce po prawej stroie tórejowie ze starszych osób, czyi ma do wyboru miejsc. Korzystając z powyższego i zasady dodawaia otrzymujemy rówaie reurecyje da iczb [ ] : [ ] [ ] [ ] +. Z rówaia (6) i powyższego otrzymujemy reurecję da iczb Stiriga I rodzaju: s( + 1, ) s(, 1) s(, ) (7) Powyższe rówaie reurecyje, wraz z waruami brzegowymi: [ [ ] [ ] 0 s(, ) 1, s(, 0) δ,0, s(0, ) δ 0,, ] 0 staowi defiicję ciągu iczb Stiriga I rodzaju i umożiwia wypisaie tabicy ich wartości. Ćwiczeie Wypisz wartości iczb s(, ) oraz [ ] da, 0, 1, 2, 3, 4, 5. 4

5 Wzory Obserwacja 4. Poiższy wzór a iczby Stiriga II rodzaju: { }! r 1!r 2!...r!! r 1 +r r, r i 1 wyraża też iczbę rozsadzeń osób przy stoiach według reguły (D2). Jeżei przy stoiu siedzi r osób to zgodie z regułą (D1) moża je usadzić a (r 1)! sposobów. Zatem z (8) i (D1) otrzymujemy [ ]! r 1!r 2!...r!! (r 1 1)!(r 2 1)!... (r 1)!, czyi r 1 +r r, r i 1 [ ] r 1 +r r, r i 1 Obserwacja 5. Podobie ja wyżej, ze wzoru { } otrzymujemy [ ] a+b+c+..., a, b, c,... 0 a+2b+3c+... a+b+c+..., a, b, c,... 0 a+2b+3c+...! r 1 r 2...r! (8) (9)! (1!) a (2!) b (3!) c...a!b!c!.... (10)! 1 a 2 b 3 c...a!b!c!.... (11) Obserwacja 6. Ustawmy osób w oejości od ajstarszej do ajmłodszej i rozsadźmy je przy stoiach zgodie z regułą (D1). Pierwsza osoba siada przy woym stoiu. i-ta osoba (i 2, 3,..., ) może usiąść po prawej stroie ażdej z (i 1) poprzedich osób przy już zajętych stoiach (a (i 1) sposobów) abo usiąść przy owym stoiu (stając się ajstarszą osobą przy tym stoiu) a 1 sposób (bo stoii są idetycze). Jeżei mamy stoiów to iech osoby 1, i 1, i 2,..., i 1 będą ajstarszymi przy swoich stoiach. Wówczas [ ] 2 i 1 <i 2 <...<i 1 1 w 1 <w 2 <...<w 1 1 ( 1)! (i 1 1)(i 2 1)... (i 1) ( 1)! w 1 w 2... w 1 (12) 5

6 Wszystie osoby mogą usiąść przy jedym stoiu a ( 1)! ( 1) sposobów, przy czym druga (w oejości wieu) osoba siada a jede sposób, trzecia - a 2, czwarta - a 3 itd., i-ta osoba ma do wyboru (i 1) miejsc. Jeśi jeda i-ta osoba wybiera owy stoi to z wyrażeia ( 1)! wypada czyi (i 1), bo ma oa do wyboru tyo jedo miejsce przy owym stoe. Stąd dzieeie przez odpowiedie czyii we wzorze (12). Jeśi >, to wzór (12) moża zapisać w postaci [ ] v 1 v 2... v. (13) 1 v 1 <v 2 <...<v 1 Powyższy wzór możemy otrzymać orzystając z rówaia (5). Naeży rozwiąć (wymożyć) ewą stroę wzoru i porówać współczyii przy odpowiedich potęgach x po jego prawej i ewej stroie. Wzory iwersyje da iczb { } oraz s(, ) Przypomijmy wzory defiiujące iczby Stiriga I i II rodzaju: { } x x, 0 (14) 0 x s(, )x, 0 (15) 0 Wstawiając (15) do prawej stroy (14) ( i odwrotie) oraz porówując odpowiedie współczyii przy potęgach x otrzymamy tzw. wzory iwersyje. Mamy więc: { } { } x x s(, )x [ 0 { } ] s(, ) x, a stąd { } s(, ) ( 1) { } [ ] δ,. (16) 6

7 Podobie { } x s(, )x s(, ) x a stąd Źródło: { } s(, ) ( 1) [ [ 0 s(, ) { }] x, ] { } δ,. (17) D.Braso:Stirig umbers ad Be umbers: their roe i combiatorics ad probabiity, Math. Scietist 25, 1-31 (2000) 7