Kombinowanie o nieskończoności. 1. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń
|
|
- Kamila Wójtowicz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kombiowaie o ieskończoości.. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch marzec 208 Szybkie przypomieie z wykładu Prezetacja multimediala do wykładu. Permutacje, kombiacje, wariacje Permutacje to liczeie liczby możliwych ustawień kolejości jakiegoś zbioru elemetów. Elemety zbioru -elemetowego moża ustawić w -elemetowe ciągi elemetów (bez powtórzeń) a! sposobów, gdzie! =.... Wariacje bez powtórzeń to ieco bardziej ogóle zadaie. Ze zbioru -elemetowego wybieramy k-elemetowe ciągi (bez powtórzeń). Moża to zrobić a: V k = ( )... ( k + ) =! ( k)! sposobów. Wariacje z powtórzeiami to wybór ze zbioru -elemetowego k-elemetowego ciągu, w którym elemety mogą się powtarzać. Moża więc to zrobić a W k = k sposobów. Kombiacje bez powtórzeń to wybór ze zbioru -elemetowego k-elemetowego podzbioru (a więc bez powtórzeń i ie liczy się kolejość elemetów). Łatwo zauważyć, że C k k! = V k, gdzie C k to liczba kombiacji bez powtórzeń. A zatem C k = vk k! = ( )... ( k + ) k! =! ( k)! k! = ( k ). To ostatie ozaczeie jest azywae symbolem Newtoa. W końcu kombiacje z powtórzeiami to zadaie wyboru ze zbioru -elemetowego kolekcji k-elemetowej, w której jedak elemety mogą mieć krotości (ale ie liczy się kolejość).
2 Jest to rówoważe zadaiu polegającym umieszczeiu k elemetów w pudłach. Doszliśmy do wiosku, że moża to zrobić a sposobów. Podsumowując mamy, co astępuje Trójkąt Paskala K k = ( + k ) wariacje (kolejość) kombiacje (bez kolejości) bez powtórzeń V k =!/( k)! C k = ( ) k z powtórzeiami W k = k K k = ( +k Opowiadając bajkę o stadzie małp wybierającą k-osobową ekipę do poszukiwaia owego żerowiska, udowodiliśmy, że ( k ) = ( k ) + ( k ). Z tego faktu oraz z tego, że dla każdego, ( 0 ) = ( ) = wyika, że symbole Newtowa ( ) k moża przedstawić w poiższym trójkącie, zwaym trójkątem Pascala, w którym każdy elemet jest sumą elemetów ad im i ad im a lewo. k = 0 k = k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 = 0 = = 2 2 = = = = = Przy okazji udowodiliśmy, że dla każdego, ( 0 ) + ( ) ( ) = 2. Zasada szufladkowa Dirichleta Bardzo prosty fakt kombiatoryczy, a jedak o iesamowitej liczbie zastosowań w dowodach wcale iebaalych matematyczych faktów sformułowaliśmy astępująco: jeśli małp śpi a k drzewach, oraz k < to a co ajmiej jedym drzewie śpią co ajmiej dwie małpy. 2
3 Zadaia łatwe. Oblicz: ( 8 ), (208), ( ), (9 ), ( ). 2. Określ, czy w astępującym zadaiu mowa o wariacjach, czy o kombiacjach, z czy bez powtórzeń oraz oblicz. Ile różych pięcio-literowych słów (też bez sesu) moża utworzyć z liter wyrażeia AGRESYWNA MAŁPA, a) jeśli każdej litery możemy użyć wielokrotie? b) jeśli każde stworzoe słowo musi się składać z różych liter? 3. Określ, czy w astępującym zadaiu mowa o wariacjach, czy o kombiacjach, z czy bez powtórzeń oraz oblicz. Z każdego słowa, o którym mowa w poprzedim zadaiu w podpukcie a) tworzymy statystykę o tym ile i jakich liter w im występuje. a) Ile różych statystyk możemy dostać? b) A ile możemy dostać statystyk, jeśli każde stworzoe słowo musiało się składać z różych liter? 4. Określ, czy w astępującym zadaiu mowa o wariacjach, czy o kombiacjach, z czy bez powtórzeń oraz oblicz. a) Pięć ierozróżialych małp siedzi a 8-miu kolejych drzewach. Ile takich sytuacji istieje? b) a ile sytuacji zaobserwuje wytrawy biolog, który będzie potrafił rozróżić wszystkie małpy? 5. W części z zadań a tej liście, ale też w dalszej części aszych zajęć będziemy używać otacji sumy zręczie zastępującą Na przykład: i 2 = i= Aby zapozać się z tą otacją, oblicz astępujące sumy: 4 0 i=5 i, (i 2 + i), 4 6. Niech A = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Ile jest podzbiorów zbioru A? Ile jest cztero-elemetowych podzbiorów zbioru A? Ile jest cztero-elemetowych pobzbiorów zbioru A, składających się z trzech liczb ieparzystych i jedej parzystej? ( 4 i ). 3
4 7. Drużya piłkarska Legii Warszawa 4 marca 208 roku rozegra mecz z Lechem Pozań, treer ma do dyspozycji 30 zawodików. Na ile sposobów może wybrać drużyę wyjściową składającą się z zawodików? A ile będzie możliwości jeśli dodatkowo założymy, że ma do dyspozycji 3 bramkarzy, 0 obrońców, 0 pomocików oraz 7 apastików i gra ustawieiem: 4 4 2? 8. Rozwiń wyrażeia oraz (a + b) 3 (a + b) 4 oraz porówaj wyiki z liczbami z trójkąta Pascala. Czy jesteś w staie a tej podstawie sformułować swoje przewidywaia a temat kolejych potęg? Sformułowałaś/eś prawdopodobie wzór dwumiaowy Newtoa! 9. Posługując się spostrzeżeiami z poprzediego zadaia, rozwiń: (a + 2b) 4, (a b) 6, (3a + ) Mamy do wysłaia (w sumie) dwaaście idetyczych listów, i musimy je wysłać do czterech osób. Na ile sposobów moża to zrobić? Na ile sposobów moża to zrobić przy założeiu, że każda osoba otrzyma co ajmiej dwa listy? Wskazówka: Kombiacje z powtórzeiami.. Udowodij (opowiadając historię), że dla każdych, r, r, ( r ) = ( r ). Sprawdź też powyższy wzór korzystając z algebraiczej defiicji symbolu Newtoa. 2. Korzystając z zasady szufladkowej Dirichleta, udowodij, że wśród trzech licz całkowitych zawsze są dwie, który suma jest liczbą parzystą. 3. Ile dzielików ma liczba 6000? Wskazówka: 6000 = Udowodij, że dla każdych k, r, k r, zachodzi k( r k ) = r(r k ). 5. Udowodij, że dla każdych k, r, k r, zachodzi (r k)( r k ) = r(r k ). 4
5 2 Zadaia trochę miej łatwe iż łatwe. Ile moża otrzymać różych mieszaek składających się z 0 cukierków, jeśli mamy do dyspozycji 4 rodzaje cukierków w ieograiczoych ilościach? 2. Udowodij, korzystając z algebraiczej defiicji symbolu Newtoa, że dla każdego, k, k, ( k ) = ( k ) + ( k ). 3. Udowodij prawidłowość sformułowaą w zadaiu 8 z zadań łatwych. Wskazówka: Napiszmy (a+b) = (a+b)... (a+b). Chcąc otrzymać wyraz a k b k przy wymażaiu wybieram k razy a z wyrażeia (a + b). 4. Udowodij, korzystając ze wzoru dwumiaowego (patrz poprzedie zadaie), że dla każdego, ( 0 ) + ( ) ( ) = 2. Wskazówka: Niech a = b =. 5. Czemu jest rówe 4? Dlaczego ta liczba jest łatwa do wyliczeia dla osoby, która za wzór dwumiaowy Newtoa? 6. Rozważ, ile wyosi Czy jesteś w staie policzyć, ile wyosi oraz i, i, i. 207 i 208 i? Wskazówka: Połącz w pary elemety tych sum: pierwszy z ostatim, drugi z przedostatim, itd. 7. Czy jesteś w staie podać wzór działający dla każdego, a i? Wskazówka: Połącz elemety tej sumy w pary: 0 +, + ( ), etc. Aby policzyć ile będzie takich par, i czy zostaie coś bez pary rozważ przypadek parzystego oraz ieparzystego. 5
6 8. Udowodij, opowiadając historię, że dla każdych r, m, k takich, że m r, k m, mamy ( r m )(m k ) = (r k )( r k m k ). 9. Udowodij, zastaawiając się ad kombiatoryczymi aspektami, że dla każdego, ( 0 ) + ( ) ( ) = 2. Wskazówka: Ile jest podzbiorów zbioru -elemetowego? 0. Udowodij, opowiadając historię, że dla każdych r, s, m, takich, że r + s m + mamy mi(r m,) ( r k=max( m, s) m + k )( s k ) = ( r + s m + ).. Udowodij, ic ie licząc, że k= ( k ) k = 2. Wskazówka: Samiec alpha stada małp wybiera małpy, które pójdą szukać baaów oraz przywódcę tej ekipy. 2. Udowodij, ic ie licząc, że k=2 ( k ) k(k ) = ( ) 2 2. Wskazówka: Zmodyfikuj dowód z poprzediego zadaia. 3. Ile liczb ze zbioru {, 2,..., 99999} ma taką własość, że suma ich cyfr wyosi 7? Wskazówka: Mamy siedem jedości i musimy te jedości rozdzielić w dowoly sposób a 5 możliwych pozycji cyfr w liczbie. 4. Na ile sposobów moża umieścić 4 kul w 3 pudełkach, ale tak, by w co ajmiej jedym z ich było co ajmiej 8 kul? a) Załóż, że kule są ierozróżiale (są takie same), atomiast pudełka są (p. są poumerowae). b) Załóż, że zarówo kule, jak i pudełka są ierozróżiale. Wskazówka: Zauważ, że w dokładie jedym pudełku będzie co ajmiej 8 kul. Więc to pudełko jest wyróżioe. Ustalmy, że poza tymi ośmioma, włożymy do iego jeszcze k kul. Ile jest sposobów podziału pozostałych 6 k kul a dwa pudełka (rozważ parzystość k). 5. Na ile sposobów moża umieścić 4 kul w 3 pudełkach, ale tak, by w co ajmiej jedym z ich było ie więcej iż 7 kul? Wskazówka: Zastosuj wyik z poprzediego zadaia. 6
7 6. Niech A będzie pewym dziesięcio-elemetowym podzbiorem zbioru {,..., 50}. Udowodij, że istieją dwa róże pięcio-elemetowe podzbiory A o takiej samej sumie elemetów. Wskazówka: Policz liczbę możliwych pięcioelemetowych podzbiorów oraz liczbę możliwych sum ich elemetów i skorzystaj z zasady szufladkowej Dirichleta. 7. Oblicz dla dowolego. 8. Oblicz dla dowolego. 9. Oblicz 208 k= ( ) i i, i= 2 i, k(k + ). Wskazówka: Zapisz 20. Oblicz k(k+) w postaci A k + B k+. Wskazówka: Patrz poprzedie zadaie. 208 k= (k + )(k + 3). 2. Oblicz 208 k= k(k + 3)(k + 4). Wskazówka: Patrz poprzedie zadaie. 22. Udowodij, że ie moża umieścić a trójkącie rówoboczym o boku 2 pięciu puktów, takich, że dystas między dowolymi dwoma puktami jest zawsze większy od. Skorzystaj z zasady szufladkowej Dirichleta. 23. Udowodij, ic ie licząc, że K 3 = K i 2. 3 Zadaia trudiejsze. Udowodij, że dla każdego, r=0 ( ) r ( r ) = 0. Wskazówka: Zastosuj wzór dwumiaowy Newtoa. 2. Udowodij, że dla każdego, r=0 ( r )2r = 3. 7
8 3. Udowodij, że dla każdego m,, m zachodzi ( k k=m m ) = ( + m + ). Wskazówka: Zastaów się ad sposobami wyboru m+-elemetowych podzbiorów ze zbioru +- elemetowego. Podziel te możliwe podzbiory ze względu a ajwiększy elemet. 4. Ile jest liczb pomiędzy 0, a 999, których suma cyfr jest rówa 20? Wskazówka: Przyjrzyj się zadaiu 3 z zadań trochę miej łatwych iż łatwe, ale pamiętaj, że liczby 0,,... ie są cyframi! Dlatego przeaalizuj też zadaie 5 z zadań trochę miej łatwych iż łatwe. 5. Niech p będzie liczbą aturalą, a a,..., a p dowolym ciągiem p liczb całkowitych. Udowodij, że suma pewych z liczb a,..., a p jest wielokrotością liczby p. Wskazówka: Zastosuj zasadę szufladkową Dirichleta. Rozważ reszty z dzieleia przez p liczb ze zbioru: {0, a, a + a 2,..., a + a a p }. 6. Ciąg Fiboacci ego f zdefiioway jest astępująco: f 0 = 0, f =, oraz dla każdego > 0, f + = f + f. Udowodij, że dla każdego, f + = ( i ). i 7. Oblicz 208 k= k + k +. Wskazówka: Zapisz jako różicę dwóch ułamków. W tym celu ajpierw przemóż liczik k+ k+ i miaowik przez pewe wyrażeie. 8. Udowodij ic ie licząc, że dla każdych, k, k, zachodzi: i=k ( (k ) i ) = ( i i= k )2i. Wskazówka: Pomyśl o k-tym elemecie wybieraego zbioru. 9. Udowodij ic ie licząc, że dla każdego, zachodzi: k=0 ( 2 k )2k = 4. Wskazówka: Zauważ, że jeśli wybieram zbiór ze zbioru 2-elemetowego, to wybieray zbiór lub jego dopełieie będzie mieć co ajmiej elemetów. Następie postępuj podobie, jak w poprzedim zadaiu. Zadaia ispirowae: [5], [4], [2], otatki i pomysły Michała Korcha, []. 8
9 Literatura dodatkowa [] Marti Aiger ad Gueter Ziegler. Dowody z Księgi. PWN, Warszawa, rozdział 2. [2] Bogda Chlebus. Matematyka dyskreta skrypt. rozdziały 2, 3, 4. [3] Toy Crilly. 50 teorii matematyki. PWN, Warszawa, rozdział: 4. [4] Roald Graham, Doald Kuth, ad Ore Patashik. Matematyka kokreta. PWN, Warszawa, 998. rozdziały 2 i 5. [5] Keeth Ross ad Charles Wrigth. Matematyka dyskreta. PWN, Warszawa, 999. rozdział 5. 9
Scenariusz lekcji: Kombinatoryka utrwalenie wiadomości
Sceariusz lekcji: Kombiatoryka utrwaleie wiadomości 1 1. Cele lekcji a) Wiadomości Uczeń: za pojęcia: permutacja, wariacja i kombiacja, zdarzeie losowe, prawdopodobieństwo, za iezbęde wzory. b) Umiejętości
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA. Oznaczenia. } oznacza zbiór o elementach a, a2,..., an. Kolejność wypisania elementów zbioru nie odgrywa roli.
KOMBINATORYKA Kombiatoryą azywamy dział matematyi zajmujący się zbiorami sończoymi oraz relacjami między imi. Kombiatorya w szczególości zajmuje się wyzaczaiem liczby elemetów zbiorów sończoych utworzoych
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie o sumach cyfr poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadaie o sumach cyfr poziom rozszerzoy 1 Popatrzmy a astępujące trzy zadaia: Zadaie 1. Ile jest liczb dwudziestocyfrowych o sumie cyfr rówej 5? Zadaie. Oblicz, ile jest liczb dwudziestocyfrowych
Bardziej szczegółowoMatematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały
Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima wzorcowe rozwiązania
Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA ZADANIA
KOMBINATORYKA ZADANIA Magdalea Rudź 25 marca 2017 1 Zadaie 1. a Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? b Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 1.1
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna zestaw II ( )
Matematyka dyskretna zestaw II (17-18.10.2016) Uwaga: Część z zadań z tego zestawu opiera się na zasadzie szufladkowej Dirichleta. Zadanie 1. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 koszule tak,
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe
Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:
Bardziej szczegółowoKongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac
Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać
Bardziej szczegółowo3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Karolina Lewalska 23 marca 2017
Kombiatoryka Karolia Lewalska 23 marca 2017 Zadaie 1 Ile istieje liczb aturalych sześciocyfrowych? Ile istieje liczb sześciocyfrowych takich, w których cyfra setek to sześć? 9 10 10 10 10 10 Pierwszą cyfrę
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa - dodatek
Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoWokół Problemu Steinhausa z teorii liczb
Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Konferencja MathPAD 0 Piotr Jędrzejewicz Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatu jest przedstawienie sposobu wykorzystania
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoFunkcje tworzące - przypomnienie
Zadaia z ćwiczeń # (po. marca) Matematyka Dyskreta Fukcje tworzące - przypomieie Fukcje tworzące są początkowo trude do przełkięcia, ale stosuje się je dość automatyczie i potrafimy je policzyć dla praktyczie
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoCiągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska
Kombinatoryka Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant
Bardziej szczegółowoTypy zadań kombinatorycznych:
Typy zadań kombinatorycznych: I. Ustawianie wszystkich elementów zbioru w pewnej kolejności Przestawieniem nazywamy ustawienie elementów danego zbioru w pewnej kolejności. Liczba przestawień określa na
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowo1. Dany odcinek podzielić dwoma punktami na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych części da się zbudować trójkąt?
1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 15 Zadaia 1. Day odciek podzielić dwoma puktami a trzy części. Jakie jest prawdopodoieństwo, że z tych części da się zudować trójkąt? 2. Moetę o promieiu r rzucoo a parkiet
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/14 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ
ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia
Bardziej szczegółowopitagorejskie, równanie Pella i jedno zadanie z XVI Olimpiady Matematycznej
pitagorejskie, rówaie Pella i jedo zadaie z XVI Olimpiady Matematyczej Wszyscy, którzy mieli do czyieia ze szkoła poadpodstawowa słyszeli iewatpliwie określeie twierdzeie Pitagorasa To twierdzeie było
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA nr 1 - KOMBINATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak
ĆWCZENA nr 1 - KOMBNATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak. Reguła mnożenia Jeżeli pewien wybór zależy od skończenie wielu decyzji, przy czym podejmując pierwszą mamy k 1 możliwości
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoPodstawowe cechy podzielności liczb.
Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 2 notatki
Zajęcia r otati wietia 5 Wzory srócoego możeia W rozdziale tym podamy ila wzorów tóre ułatwiają obliczaie wielu zadań rachuowych Fat (wzory srócoego możeia) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b zachodzi:
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoDwumian Newtona. Agnieszka Dąbrowska i Maciej Nieszporski 8 stycznia 2011
Dwumia Newtoa Agiesza Dąbrowsa i Maciej Nieszporsi 8 styczia Wstęp Wzory srócoego możeia, tóre pozaliśmy w gimazjum (x + y x + y (x + y x + xy + y (x + y 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 x 3 + y 3 + 3xy(x + y
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013
Matematyka Dyskretna Rozgrzewka I test semestr letni 2012/2013 Zadanie 1. Dla n naturalnego mamy zdanie: Jeżeli n jest liczbą pierwszą, to n jest równa 2 lub jest liczbą nieparzystą. Możemy je zapisać
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSPERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ
ZASTOSOWANIE METODY STOLIKÓW EKSERCKICH NA LEKCJACH MATEMATYKI SCENARIUSZE ZAJĘĆ Opracowała: mgr Ewa Atropik Koiecza Świebodzi 005 r Zastosowaie metody stolików eksperckich a lekcjach matematyki Wstęp
Bardziej szczegółowoZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)
ZADANIA - ZESTAW Zadaie.. Wyzaczyć m (), D ( ) dla procesu symetryczego (p = q =,) błądzeia przypadkowego. Zadaie.. Narysuj graf łańcucha Markowa symetrycze (p = q =,) błądzeie przypadkowe z odbiciem.
Bardziej szczegółowoKonspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)
Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoTematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa
Tematy zadań razy przykładowe zadaia maturale Matura podstawowa Porówaj liczby: 54 + 5 oraz 4 W klasie jest 9 ucziów o średiej wieku 6 lat Średia wieku wzrośie o rok, jeżeli doliczy się wiek wychowawcy
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoLiczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji
Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi
Bardziej szczegółowoPrzykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego
Bardziej szczegółowoPropozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.
Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowo