AGH Akademia Górniczo - Hutnicza im. St. Staszica w Krakowie. Wydział Odlewnictwa Katedra Inżynierii Procesów Odlewniczych. Rozprawa doktorska

Transkrypt

1 AGH Aadema Górnczo - Hutncza m. t. taszca w Kraowe Wydzał Odlewnctwa Katedra Inżyner Procesów Odlewnczych Rozprawa dotorsa Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Paweł Lesze Ża Promotor: Prof. dr hab. nż. Józef zczepan uchy Kraów 0

2 ładam serdeczne podzęowana Władzom Wydzału Odlewnctwa Aadem Górnczo-Hutncze w Kraowe za przeprowadzene przewodu dotorsego. Dzęuę Koms Europese za wsparce fnansowe w latach udzelone w ramach proetu Mare Cure OK-DEV MKD-C pt. Development of envronmentally frendly cast alloys and compostes - CastModel. Mnsterstwu au zolnctwa Wyższego za wsparce fnansowe udzelone w ramach proetów: Proet badawczy: pt. Modelowane mro maro rzepnęca uładu heterofazowego na przyładze ompozytu na osnowe stopu AZ9. Grant Dzeańs: pt. Opracowane algorytmu rozwązywana nelnowego równana różnczowego transportu cepła przy pomocy metody Kwadratur Różnczowych terowanego Rzędu. Dzęuę pracownom Wydzału Odlewnctwa AGH tórzy przyczynl sę do powstana te pracy a w szczególnośc promotorow prof. dr hab. nż. Józefow zczepanow uchemu oraz dr nż. Januszow Lelto

3 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów PI REŚCI: Rozdzał : Podstawy teoretyczne wadratury różnczowe oraz matematycznego opsu procesów przewodzena cepła 5. Podstawy matematyczne opsu przewodzena cepła 7.. Podstawowe równana rządzące procesam mgrac cepła 7.. Ops warunów ednoznacznośc 7... Warun geometryczne 8... Warun fzyczne Warun początowe Warun brzegowe 8..3 Równane różnczowe Fourera - Krchhoffa dla obszarów ednowymarowych Przypade szczególny: równane transportu cepła bez func źródła 9..4 Funca udzału obętośc zarzepłe 0..5 Zastępcza poemność ceplna strefy dwufazowe..6 Podsumowane. Ops metody wadratur różnczowych.. Defnca wadratury różnczowe 3.. Wyznaczane współczynnów wagowych metody KR dla pochodne perwszego rzędu 4... Baza anonczna przestrzen welomanów 4... Jednoznaczność współczynnów wagowych KR dla różnych baz [] Baza welomanów nterpolacynych Lagrange a 6..3 Wyznaczane współczynnów metody KR dla pochodnych drugego wyższych rzędów Metoda oparta o własnośc macerzy współczynnów wagowych Metoda reurencynego wyznaczana współczynnów wagowych dla pochodnych drugego wyższych rzędów 8.3 Doładność przyblżena metodą KR 0.3. Zagadnene nalepsze aprosymac Zagadnene nalepsze aprosymac w przestrzen wetorowe ypy aprosymac trona

4 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów.3. Interpolaca welomanowa.3.. Doładność nterpolac eoretyczna analza doładnośc przyblżena pochodne metodą wadratur różnczowych Przyblżene func welomanem nterpolacynym Zwąze KR z pochodną welomanu nterpolacynego Przyblżene dowolne pochodne func wadraturą różnczową 9.4 Udosonalone metody KR 3.4. Równoważność metody wadratur różnczowych schematu różncowego nawyższego rzędu 3.4. Metoda wadratur różnczowych zmennego rzędu (ang. Varable Order Dfferental Quadrature) Metoda wadratur różnczowych ogranczonego zasęgu (ang. Local Adaptatve Dfferental Quadrature) Metoda umescowone wadratury różnczowe (ang. Localzed Dfferental Quadrature Method) 35.5 Podsumowane 36 Rozdzał : Cel tezy pracy 38. Cel pracy 38. ezy pracy 38 Rozdzał 3: Metoda wadratur różnczowych sterowanego rzędu w zagadnenach zwązanych z odlewnctwem Zastosowane metody KR w podzborach węzłów Defnca wadratury różnczowe sterowanego rzędu (ang. Ran Controlled Dfferental Quadrature) Budowa schematów rozwązywana problemów transportu cepła przy pomocy aprosymac metodą KRR Dysretyzaca pochodne względem czasu Dysretyzaca pochodnych przestrzennych w równanu różnczowym Fourera - Krchhoffa Dysretyzaca warunów brzegowych przy pomocy metody KRR Warune brzegowy I rodzau Warune brzegowy II rodzau Warune brzegowy III rodzau Warune brzegowy IV rodzau 50 trona

5 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rozdzał 4: Analza doładnośc przyblżena pochodne metodą KRR 5 4. Wpływ lczby węzłów sat na doładność przyblżena Analza rozładu błędu aprosymac w dzedzne Analza wpływu wartośc rzędu mnmalnego masymalnego metody KRR 60 Rozdzał 5: Weryfaca rozwązana przyblżonego dla problemu transportu cepła o znanym rozwązanu doładnym Model matematyczny przewodzena cepła w nesończone płyce Rozwązane doładne Dysretyzaca problemu Metoda wadratur różnczowych sterowanego rzędu Metoda różnc sończonych Wyn modelowana numerycznego 69 Rozdzał 6: chematy umożlwaące rozwązywane model rzepnęca Model matematyczny rzepnęca odlewu nesończone płyty wyonane z wybranego stopu w forme pasowe umeryczny model rzepnęca nesończone płyty Dysretyzaca pochodnych względem czasu oraz zmennych przestrzennych Model rzepnęca stopu gdy znana est funca f Algorytm oblczenowy Dysretna postać równań różnczowych opsuących rzepnęce nesończone płyty Zastosowane termczne analzy różncowe (DA) do wyznaczena przebegu func źródła cepła przeman Oreślene szybośc przemany eoretyczna analza równań blansu cepła w celu wyprowadzena zależnośc całowe dla f Algorytm wyznaczana przebegu func udzału obętośc zarzepłe na podstawe danych w postac dysretnych wartośc Ops esperymentu Metodya badań esperymentalnych Wyznaczene przebegu func źródła cepła przeman na podstawe danych esperymentalnych 88 trona 3

6 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Parametry symulac - warun ednoznacznośc dla przypadu rzepnęca nesończone płyty wyonane ze stopu AZ9 w forme pasowe Wyn modelowana numerycznego 93 Rozdzał 7: Dysusa wynów badań Opracowana teoretyczne esperyment numeryczny podstawą optymalzac parametrów metody KRR Zastosowane metody KRR podczas analzy procesów zależnych od czasu Uwag wnos ońcowe 09 Dodate A: Aprosymaca parametrów termofzycznych dla stopu AZ9 oraz materału formy Funce przyblżaące parametry termofzyczne stopu AZ9 wyorzystanego podczas oblczeń numerycznych Cepło właścwe Współczynn przewodzena cepła Gęstość Funce przyblżaące parametry termofzyczne dla materału formy Cepło właścwe Współczynn przewodzena cepła Gęstość 3 Lteratura 4 treszczene w ęzyu polsm treszczene w ęzyu angelsm trona 4

7 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rozdzał Podstawy teoretyczne wadratury różnczowe oraz matematycznego opsu procesów przewodzena cepła Zrozumene praw rządzących procesam fzycznym est coraz węsze. Dzś prawe dla wszystch problemów nżynersch możlwe est stworzene model matematycznych tóre bazuąc na prawach fzycznych opsuą zmanę stotnych parametrów procesu. Model ta opera sę na zestawenu uładu równań różnczowych cząstowych (RRCz) opsuących analzowane procesy wraz z warunam ednoznacznośc (warun geometryczne fzyczne brzegowe dla problemów dynamcznych: początowe). Przyładem taego modelu może być równane różnczowe Fourera-Krchhoffa (FK) tóre uzupełnone o równana cągłośc masy blansu cśnena oraz stężeń z bardzo dobrym przyblżenem opsuą przepływ metalu we wnęce formy oraz zmanę ego temperatury. Ponadto eżel nelnowy człon opsuący wewnętrzne źródło cepła zostane wyrażony przez odpowedno dobraną funcę opsuącą netyę uwalnana energ przemany otrzymamy model tóry pozwol przewdywać mrostruturę wyonanego detalu. estety znalezene analtycznego rozwązana tych równań est często nemożlwe a zawsze est procesem bardzo trudnym. Zwyle metody znadowana doładnego rozwązana można zastosować tylo dla lu szczególnych przypadów. Jedna do opsu rzeczywstych procesów trona 5

8 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów stosowane są ułady RRCz o dużo węszym stopnu somplowana. Ze względów pratycznych znalezene rozwązań problemów z tórym boryaą sę nżynerowe est bardzo stotne. Przewdywane błędów technolog pozwala załadom producynym zaoszczędzć znaczne woty na etape planowana produc nowych elementów. Za zmneszenem lośc braów oraz oszczędnoścą materałów zużytych do produc dze zmneszene negatywnego wpływu załadu na środowso naturalne. Przewdywane parametrów użytowych na etape symulac przebegu procesu pozwala oreślć czas bezpecznego użytowana detalu. Jedyną drogą pozostae zatem poszuwane aprosymac rozwązana badanego modelu. Dlatego ta ważnym est cągłe rozwane metod przyblżonego rozwązywana równań różnczowych cząstowych. Zwyle przyblżone rozwązane problemu to zbór cągów wetorów o współrzędnych tóre oreślaą położene analzowanych puntów w przestrzen zwązane z nm wartośc poszuwane func oraz położene na os czasu (dla problemów dynamcznych). Punty w tórych znaduemy przyblżone rozwązane nazywamy węzłam sat. a tym etape dążene do znalezena rozwązana modelu zapsanego przy pomocy uładu równań różnczowych cząstowych wymaga postawena znalezena odpowedz na pytane: a zwąze występue pomędzy pochodną cząstową a poszuwaną wartoścą func w węźle sat. Oazue sę że stnee tae powązane. Jest to numeryczna dysretyzaca zagadnena pozwala ona na wyorzystane nformac zawartych w pochodnych func do znalezena rozwązana numerycznego []. Duży wpływ na doładność oraz czas po am otrzymamy rozwązane postawonego zagadnena ma wybór odpowedne metody numeryczne. Rozwó technolog nformacyne pozwala na wyonane symulac welu procesów zachodzących podczas zalewana oraz rzepnęca odlewów. Rozważane lu procesów tóre trwaą równolegle wpływaą na sebe stawa edna wyższe nż dotychczas wymagana dotyczące doładnośc prowadzonych oblczeń. awet newele błędy poawaące sę w poszczególnych schematach umuluą sę zwelorotnaą w trace analzy procesów równoległych. Oznacza to ż wcąż ważne est poszuwane nowych metod numerycznych oraz analza ch właścwośc a taże oreślane dla onretnych metod obszarów zastosowań w tórych są nasutecznesze. Prezentowana tuta metoda wadratur różnczowych sterowanego rzędu (KRR) rozszerzaąca metodę wadratur różnczowych (KR) ze względu na swoe właścwośc może stać sę metodą odpowedną do zastosowana w zagadnenach zwązanych z transportem cepła masy. Metoda KRR może być rozumana ao uogólnene metod różnc sończonych (R) tóre to metody znalazły poczesne mesce wśród przyblżonych metod stosowanych przez nżynerów. Duże znaczene ma oreślene parametrów przy tórych zastosowane metody KRR da w efece stotną poprawę doładnośc wynu oblczeń numerycznych ne wydłużaąc ch w nadmernym stopnu. Znaomość tych parametrów pozwala ndywdualne potratować ażdy problem onstruować dla nego odpowedn schemat numeryczny. Dzę temu uzysane przyblżene będze nalepsze oraz zostane uzysane po dopuszczalne długo trwaących oblczenach. trona 6

9 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów. Podstawy matematyczne opsu przewodzena cepła.. Podstawowe równana rządzące procesam mgrac cepła Pod względem matematycznym przewodzene cepła w obszarze opsane est równanem różnczowym cząstowym rzędu drugego typu parabolcznego []. W zależnośc od postawonego problemu (obecność przeman lub zewnętrznych źródeł cepła) równane to może być lnowe bądź ne. Wyprowadzene równana różnczowego przewodnctwa zwanego taże równanem energ lub równanem Fourera - Krchhoffa można znaleźć w welu pracach [3-6]. W te pracy zostane przytoczone równane FK w dwóch formach. Perwsza postać berze pod uwagę onwecyne ruchy medum powodowane różncam gęstośc podobszarów tóre wywołane są gradentem temperatury: gdze: cp cp u dv grad qv (.) c p [J g - K - ] oznacza cepło właścwe przy stałym cśnenu [W m - K - ] est współczynnem przewodzena cepła [g m -3 ] est gęstoścą materału u [m s - ] est wetorem prędośc ruchu medum w ażdym erunu uładu q V [W m -3 ] est całowtą wydanoścą wewnętrznych źródeł cepła. Postać ta (.) pozwala na ops pola temperatury w ceczach gazach. Jeżel mamy do czynena z zagadnenam w tórych opsywana est temperatura w cele stałym bądź ze względu na e znomy wpływ na przebeg zman temperatury można pomnąć onwecę stosuemy uproszczoną postać równana FK: cp dv grad q V. (.) Równane Fourera - Kechhoffa w przedstawone powyże forme (.) opsue pole temperatury w obszarze w tórym cepło przenoszone est tylo przez przewodzene. Aby matematyczny ops przepływu cepła w rozważanym obszarze był ompletny równane FK mus zostać uzupełnone o tzw. warun ednoznacznośc. Wśród warunów ednoznacznośc wyszczególna sę: warun brzegowe początowe geometryczne fzyczne [3-6]... Ops warunów ednoznacznośc W paragrafe tym zostaną srótowo przedstawone warun nezbędne do pełnego opsu modelu dla tórego analzowany est proces przewodzena cepła. Zamodelowane taego uładu wymaga przede wszystm doboru odpowednego prawa (lub praw) fzycznego opsuącego badany proces. astępne na baze podstaw fzycznych wyprowadzane są równana tóre opsuą loścowo zamanę cepła w rozważanym trona 7

10 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów obszarze równana: (.) bądź (.). Wspomnane równana muszą być wzbogacone o warun ednoznacznośc by w pełn opsywać analzowany uład.... Warun geometryczne Poęce to oznacza geometrę rozpatrywanego uładu. W przypadu obszaru neednorodnego podzał na podobszary. Orentacę obetu oraz zwązane go z onretnym uładem współrzędnych.... Warun fzyczne Warun fzyczne to zbór zależnośc oreślaących wartośc parametrów dentyfuących właścwośc materałów z ach wyonane są olene podobszary. Zalczamy do nch taże parametry charaterystyczne dla zachowań danych parametrów. Wartośc granczne punty prześca tp. W przypadu przewodzena problemów cepła warun fzyczne to przede wszystm parametry termofzyczne podobszarów. emperatury przy tórych rozpoczynaą bądź ończą sę przemany. Charaterystyczne dla rozważanego procesu temperatury. Jeżel parametry fzyczne ne odpowadaą wartoścom dla danego materału a są wynem modyfac zwązanych z przeształcenam wynaącym z budowana modelu matematycznego ch ops. aa sytuaca ma mesce w przypadu stosowana metody zastępcze poemnośc ceplne podczas opsu rzepnęca [3 7]....3 Warun początowe Warun początowe opsuą pole poszuwanego parametru we wszystch podobszarach rozpatrywanego obszaru w chwl tórą uznaemy za początowy moment dla procesu....4 Warun brzegowe Równana te służą do opsu warunów ae panuą na brzegu obszaru oraz ae panuą na styu podobszarów stanowących modelowany uład. Obszar słada sę z podobszarów ( ) tóre charateryzuą sę odmennym właścwoścam termofzycznym lub otoczone są przez różne meda. Dla obszarów tych rozdzela sę myślowo brzeg obszaru : wyszczególnonych podobszarów ogranczaących uład oraz brzeg łączące neednorodne podobszary. Powstae w ten sposób zbór brzegów do tórych przypsue sę warun brzegowe. W zależnośc od charateru fzycznego brzegów w problemach przewodzena cepła wyróżna sę cztery rodzae warunów brzegowych. W paragrafe ( 3.3.3) zostaną przytoczone warun brzegowe wyróżnane w odlewnctwe. Dla ażdego typu zostane przedstawona metoda przyblżana ch metodą KRR. trona 8

11 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów..3 Równane różnczowe Fourera - Krchhoffa dla obszarów ednowymarowych W netórych przypadach stnee możlwość sprowadzena rozważanego problemu przewodzena cepła do problemu ednowymarowego. aa sytuaca ma mesce dla geometr sprowadzalnych do przypadu nesończone płyty nesończonego walca oraz powło ulste [3 4]. Wzory te w postac ogólne maą postać: m cp qv m (.3) gdze: m = 0 odnoszą sę odpowedno do przypadów: płyty walca ul [3] [m] est zmenną w przestrzen [s] oznacza czas. Zmenna est oreślona w pewnym przedzale [a b]. Przedzał ten est dzedzną zadana welość ego wyna z założeń modelu matematycznego przepływu cepła. Dla przypadu płyty nesończone m = 0 przy założenu stałe wartośc współczynna przewodzena cepła równane FK można zapsać w uproszczone forme: a qv c p (.4) gdze: a [m s - ] est współczynnem wyrównywana temperatury. c p..3. Przypade szczególny: równane transportu cepła bez func źródła Często spotać można sę z procesam w tórych ne zachodz przemana zatem funca źródła występuąca w równanu FK est równa zeru. W tam przypadu równane różnczowe przewodzena cepła znacząco sę upraszcza. Element zaweraący q V stanowący sładn równana decyduący o ego nelnowośc zna. Równane przeształca sę do postac lnowe. W przypadu problemu przewodzena cepła w nesończone płyce równane (.3) przymue postać: równane (.4) est postac: c p (.5) a. (.6) W dalsze częśc nnesze pracy zostaną przedstawone wyn esperymentów numerycznych. Oblczena te prowadzone będą dla szczególnego przypadu równana FK (.6) a taże dla przypadu uwzględnaącego rzepnęce zmenność parametrów trona 9

12 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów termofzycznych (.3). Posłużą one do prezentac procedur umożlwaących wyorzystane metody KRR w zagadnenach przewodzena cepła. Zestawene wynów symulac z rozwązanem doładnym dla specyfcznego problemu dowedze przydatnośc analzowane metody dla rozwązywana zagadneń często spotyanych w odlewnctwe. W przypadu numerycznego modelowana rzepnęca wyn symulac omputerowe z wyorzystanem KRR będą zestawone z wartoścam zgromadzonym podczas esperymentów...4 Funca udzału obętośc zarzepłe Całowtą wydaność wewnętrznych źródeł cepła można zwązać ze zmaną udzału obętośc zarzepłe w badanym podobszarze o obętośc V [m 3 ]. Załada sę że w elemence sat o szeroośc [m] tóra odpowada obętośc V = F po czase [s] od momentu rozpoczęca oblczeń zarzepła obętość metalu równa V [m 3 ]. Omawane powyże założene prowadz do równana [3]: c p V F V L (.7) gdze: L [J g - ] est utaonym cepłem przemany F [m ] est powerzchną przez tórą przechodzą lne strumena cepła. Po podzelenu równana (.7) przez V poawa sę w nm loraz mówący o tym aa część całowte rozważane obętośc elementu V est uż zarzepła: f V. (.8) V Ze sposobu oreślena func f wyna że est ona udzałem obętoścowym obętośc zarzepłe w całe obętośc rozpatrywanego podobszaru V dlatego funcę tę nazywa sę funcą udzału obętośc zarzepłe. Jasnym est że dla temperatury lwdus funca f przymue wartość 0 dla temperatury soldus f osąga. W zarese rzepnęca funca ta rośne wraz ze spadem temperatury w rozpatrywanym elemence. Po wyonanu prześca grancznego 0 odpowednm uproszczenu V oraz F [3 4 7] równane w forme ednowymarowe dla przypadu nesończone płyty (.7) przeształca sę do postac: f cp L. (.9) Proces rzepnęca odbywa sę w przedzale temperatury ntucyne asnym est że funca f mus być zależna od temperatury. Korzystaąc ze wzoru na pochodną func złożone otrzymue sę: trona 0

13 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów f f. (.0) Równane różnczowe FK zapsane w postac (.9) w tórym f opsane est zwązem (.0) umożlwa stosowane ednego z welu algorytmów aprosymac członu nelnowego. ą to modele tóre poprawaą lub blansuą temperaturę w rozważanym elemence dysretnym. Przyłady tach metod można odnaleźć w pracach [3 7-0]. Funca f () może zostać zdefnowana a pror uzysana na podstawe danych emprycznych [4 ] lub wyznaczona po zastosowanu mro model rzepnęca [8-0 3]...5 Zastępcza poemność ceplna strefy dwufazowe Podeśce prezentowane w tym podrozdzale prowadz na drodze odpowednch przeształceń do poawena sę w równanu energ nowego parametru termofzycznego. Zwany on est zastępczą poemnoścą ceplną strefy dwufazowe. Równocześne równane FK przymue postać lnową. Występuąca w równanu (.0) pochodna temperatury względem czasu może być powązana z taą samą pochodną występuącą po lewe strone równośc (.9): c p f L. (.) Po tam przeształcenu równane (.9) przymue formę "bezźródłową": gdze: C (.) f J C cp L (.3) gk est zastępczą poemnoścą ceplną strefy dwufazowe. Podeśce prezentowane powyże prowadz do metody przeształcana nelnowego równana FK do postac lnowe. Równane FK zapsane w postac (.) można rozwązywać analogczne a równane (.5). Wpływ wewnętrznych źródeł cepła na pole temperatury modyfue wartość parametru oreślonego ao zastępcza poemność ceplna (.3) co powodue ego drastyczną zmanę w przedzale temperatur w tórym zachodz rzepnęce. Omówona metoda lnearyzac równana różnczowego Fourera - Krchhoffa maąca na celu umożlwene zastosowana znaczne prostszych metod poszuwana ego rozwązana zwana est metodą zastępcze poemnośc ceplne strefy dwufazowe. trona

14 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów..6 Podsumowane Przedstawone powyże równana różnczowe cząstowe w zależnośc od przebegu modelowanego procesu przepływu cepła tworzą ułady równań. Ich rozwązane analtyczne nawet w bardzo prostych przypadach ne est zwyle możlwe. W tach zagadnenach stosue sę schematy bazuące na numerycznych metodach aprosymac rozwązana zadanego uładu RRCz te metody to mędzy nnym: metoda różnc sończonych (MR) [7 4-6] metoda elementów sończonych (ME) [7 8] metoda elementów brzegowych (MEB) [9 0] metoda obętośc sończonych (MO) []. W nnesze rozprawe zostane przedstawona metoda wadratur różnczowych (KR) oraz e autorsa modyfaca zwana metodą wadratur różnczowych sterowanego rzędu (KRR) a taże sposoby w a można ą stosować podczas rozwązywana różnych zagadneń opsuących transport cepła.. Ops metody wadratur różnczowych Metoda wadratur różnczowych została po raz perwszy zaprezentowana przez Rcharda Bellmana wsp. [-4] na początu lat '70 XX weu. Jest to metoda dysretyzac pochodnych w równanach różnczowych. Je dea est zblżona do de metody całowana numerycznego zwane metodą wadratur całowych [7 8 5] w tórych całę oznaczoną pewne func przyblża sę ombnacą lnową wartośc te func w ustalonych węzłach sat. Metoda KR opera sę na podobnym pomyśle: pochodną func w punce sat zastępue sę sumą ważoną wartośc poszuwane func we wcześne wybranych puntach dysretyzac. Bellman wraz ze współpracownam [ 3] zaproponował dwe metody poszuwana współczynnów wagowych metody KR. Perwsza polegała na rozwązywanu uładu równań algebracznych. Zaletą tego podeśca est to że można e stosować dla dowolne wybranych węzłów sat. Wadą natomast to że znalezene ch wymaga rozwązana uładu równań z macerzą Vandermonde a tóra est bardzo źle uwarunowana [5]. Druga z podanych przez Bellmana metod przedstawa bardzo prostą formułę znadowana współczynnów wagowych opartą na welomanach Legendre a [ 3]. Wadą te metody est edna to że węzły sat są zdetermnowane przez perwast welomanu Legendre a oreślonego w odpowednm przedzale. W zwązu z trudnoścam przy wyznaczanu współczynnów wagowych metoda KR była stosowana sporadyczne. emal w trzydześc lat po opracowanu podstaw metody KR przez Bellmana Quan Chang [6 7] zaproponowal oleną metodę wyznaczana współczynnów wagowych metody była ona oparta na welomanach nterpolacynych Lagrange a. Pozwolła ona na opracowane awnych wzorów opsuących wartośc współczynnów metody KR dla pochodnych perwszego drugego rzędu. Koleny przełom w rozwou metody KR stanowły prace hu Rchards a [8-3] w tórych autorzy uogólnaą wyznaczane współczynnów wagowych dzę zastosowanu teor aprosymac func w przestrzenach welomanów wysoego stopna. Podeśce to pozwolło na opracowane awnych wzorów reurencynych pozwalaących wyznaczyć współczynn wadratury dla pochodne dowolnego rzędu. Inacze nż w podeścu Bellmana wzory te są prawdzwe dla dowolnych rozładów węzłów sat. trona

15 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów trona 3.. Defnca wadratury różnczowe ech f b a f : będze funcą lasy C m+. a odcnu [a b] wprowadzamy węzłową satę:. : 3 b a (.4) DEFIICJA Kwadraturą różnczową (KR) nazywa sę metodę przyblżana pochodnych func f zdefnowaną następuącym wzoram: m m f f ) ( ) ( = 3... (.5) gdze: m f ) ( oznacza m-tą pochodną func f względem zmenne w punce ) ( m są współczynnam wagowym metody KR dla m-te pochodne. Wzór (.5) można zapsać w postac macerzowe:. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( m m m m m m m m m m m m m f f f f f f (.6) Zapsana w postac macerzowe defnca wadratury różnczowe w sposób bardzo ntucyny obrazue na czym polega zastosowane metody KR podczas rozwązywana RRCz. Pochodną w punce występuącą w równanu różnczowym zastępue sę loczynem salarnym wetora utworzonego z -tego wersza macerzy współczynnów wagowych przez wetor wartośc func we wszystch węzłach sat. W dalsze częśc pracy macerz współczynnów wagowych dla metody KR zastosowane do pochodne rzędu m oznaczona będze symbolem [W (m) ]. Kluczowym zagadnenem zwązanym z przyblżonym rozwązywanem RRCz z zastosowanem metody KR est znalezene współczynnów wagowych ) ( m wadratury.

16 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów.. Wyznaczane współczynnów wagowych metody KR dla pochodne perwszego rzędu Bardzo stotnym zagadnenem podczas stosowana metody KR est opracowane sutecznego sposobu wyznaczana e współczynnów wagowych. Defnca wadratury różnczowe (Defnca ) może stanowć podstawę algorytmu poszuwana ch wartośc. Wybrany uład welomanów będący bazą przestrzen V może stanowć uład func testowych dla tórych przeprowadzana est aprosymaca metodą KR. Współczynn wagowe wadratury chcemy dobrać ta by była ona doładna dla ażde func bazowe dla ażdego węzła sat. Przeprowadzene procedury opsane defncą (.5) dla wszystch func bazowych prowadz do uładu nezależnych równań algebracznych. Rozwązane tego uładu równań pozwala oreślć wartośc współczynnów wagowych wadratury różnczowe.... Baza anonczna przestrzen welomanów Bellman wsp. [] zaproponowal podeśce polegaące na wyorzystanu ao uładu func testowych welomanów bazy anonczne przestrzen welomanów stopna naturalnego mneszego nż. ech funce bazy anonczne będą oznaczone przez: e 3. (.7) Podstawaąc te funce do równana (.5) otrzymuemy następuący uład równań algebracznych: () 0 () () ( ) 3 dla 3. (.8) Przedstawony powyże uład równań można rozwązywać po ole dla olenych otrzymuąc w ten sposób olene wersze macerzy współczynnów metody KR [W () ] (.6). Ja to było uż wspomnane ułady równań (.8) są uładam równań z macerzą Vandermonde a tóra est bardzo źle uwarunowana. W przypadu tym nawet zaburzena doładnośc na pozome reprezentac danych mogą prowadzć do uzysana () błędnych wartośc współczynnów.... Wpływ złego uwarunowana macerzy rośne bardzo znaczne wraz ze wzrostem lczby węzłów sat dysretne. Podeśce to ne sprawdza sę zatem w przypadu zastosowań pratycznych. Jedna zastosowane go w przypadu problemów ne wymagaących gęstych sate poazało bardzo obecuące własnośc metody KR [3 3 33]. Zwrócło to uwagę osób zamuących sę trona 4

17 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów rozwanem metod numerycznych na metodę wadratur różnczowych co sutowało propozycam e ulepszena (...3). Operały sę one na analzach efetów stosowana uładów func różnych typów ao zborów func testowych. Możlwość uzysana współczynnów wagowych metody wadratur różnczowych przy użycu nne bazy welomanów stopna mneszego nż prowadz do pytana o ednoznaczność wartośc współczynnów wagowych.... Jednoznaczność współczynnów wagowych KR dla różnych baz [] ech V będze przestrzeną wetorową welomanów stopna mneszego lub B B będą różnym równego zbory bazam welomanów w te przestrzen. ech [Q] oznacza macerz prześca z bazy B do B. Zastosowane defnc KR (.6) dla welomanów baz B B prowadz do wzorów: gdze: ( ) ( m) B B ( ) W dla... (.9) ( m) B B ( ) W dla... (.0) W oznacza -tą olumnę macerzy współczynnów wagowych dla pochodne n-tego rzędu [W (n) ] wyznaczoną przy użycu welomanów bazy B ; B B są macerzam w tórych w -tym werszu w -e olumne znadue sę wartość -tego welomanu bazowego w -ym węźle sat. ( m) ( m) ( m) ( m) B ( m) ( m) ( m) ( m) B są wetoram wartośc pochodnych m - tego rzędu func bazowych w wybranym punce. Mnożąc równana (.9) lewostronne przez macerz prześca [Q] otrzymuemy: ( ) QB W dla... ( m) Q B (.) ( m) edna macerz prześca ma następuące własnośc: B ( m) m Q B ) B stąd: ( ( m) B B ( ) W... Wyrażene (.) zestawone z (.9) dae wnose: ( m) B Q oraz. (.) trona 5

18 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów W W. (.3) ym samym została udowodnona prawdzwość następuącego twerdzena: WIERDZEIE ( m) Współczynn wagowe wadratury różnczowe dla aprosymac m-te pochodne ne zależą od wyboru bazy w przestrzen welomanów V. werdzene to pozwala na sformułowane wnosu że wartośc współczynnów wagowych wadratury będą tae same bez znaczena w ae baze były one wyznaczone. Wnose ten stał sę anwą poszuwana nowych algorytmów wyznaczana współczynnów wagowych metody KR. Operały sę one przede wszystm na analze sutecznośc zastosowań różnych baz w przestrzen welomanów wysoego rzędu do wyprowadzana wzorów opsuących wartośc tych współczynnów....3 Baza welomanów nterpolacynych Lagrange a Zdecydowane nalepszy algorytm znadowana współczynnów wagowych KR w ategorach zastosowań pratycznych przestawony został w 989 rou przez Quana Changa [6 7]. Polega on na wyorzystanu ao func testowych wetorów bazy welomanów nterpolacynych Lagrange a: l ( ) (.4) gdze: należą do węzłowe sat zdefnowane a w (.4) = Welomany nterpolacyne maą następuącą własność: gdy s l s (.5) 0 gdy s. Wyorzystane tych welomanów ao func testowych sprowadza uład równań (.5) do postac: dla (.6) () () l Perwsza pochodna func nterpolacyne Lagrange a wynos: trona 6

19 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów trona 7 n n n l () ) (. (.7) Wyznaczane wartośc perwsze pochodne welomanów nterpolacynych w onretnych puntach sat sprowadza to wyrażene do edne z dwóch postac zależne od ndesu węzła oraz ndesu welomanu nterpolacynego Lagrange a: przypade gdy ndes węzła est ta a ndes func bazowe: () (.8) przypade gdy ndesy węzła func bazowe różną sę: (). (.9) Powyższe wzory (.8) (.9) tworzą algorytm tóry pozwala wyznaczyć współczynn wadratury bez onecznośc rozwązywana somplowanego uładu równań. Procedurę wyznaczana współczynnów wagowych można usprawnć orzystaąc ze wzoru (.8) dla e 0 () oraz twerdzena : n n n n () () (). dla (.30) a podreślene zasługue fat ż wartośc współczynnów wagowych metody KR zależą tylo od współrzędnych sat wprowadzone w dzedzne zadana. Macerz współczynnów metody KR est centro-symetryczna. Można wyorzystać tę własność do reduc operac arytmetycznych onecznych do e wyznaczena. Algorytm ta został opsany przez Chen a wsp. [34]. Jest on bardzo przydatny w przypadu problemów w tórych podczas rozwązywana zmena sę rozład węzłów dysretyzac. Co może być zwązane z dynamą samego procesu (np. problemy o ruchome satce) własność centro-symetrycznośc sraca wówczas czas oneczny do wyznaczena współczynnów wagowych.

20 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów..3 Wyznaczane współczynnów metody KR dla pochodnych drugego wyższych rzędów Welomany nterpolacyne Lagrange a znaduą równeż zastosowane w przypadu dysretyzac pochodnych drugego wyższych rzędów. Podeśce tae pozwala otrzymać wzory reurencyne na współczynn dysretyzac pochodnych olenych rzędów. Możlwe est równeż zastosowane własnośc pochodne wyznaczane macerzy współczynnów wagowych wyższych rzędów poprzez teracyne wyonywane odpowedne lośc loczynów macerzy współczynnów (.6) dla pochodne rzędu perwszego...3. Metoda oparta o własnośc macerzy współczynnów wagowych Operaca wyznaczana olenych pochodnych cząstowych przy pomocy pochodne cząstowe perwszego rzędu może być zapsana reurencyne: m f m m f m dla m (.3) Metoda aprosymac pochodne metodą KR pozwala pochodne po obu stronach równośc zastąpć ombnacam lnowym wartośc func f lub e odpowedne pochodne w węzłach sat odpowednch współczynnów wagowych: f ( m) ( m) ( m) () ( m) f f f () ( m) f () ( m) f (.3) stąd możemy wnosować że: ( m ) () W W W m () W m ( m) () ( m) (.33) Wyznaczane współczynnów wagowych przy użycu wzoru (.33) est bardzo proste w mplementac numeryczne edna wymaga dużego naładu oblczeń. Dlatego metoda ta bywa stosowana w przypadu sate o newele lczbe węzłów oraz w netórych algorytmach wprowadzana warunów brzegowych [35-37]...3. Metoda reurencynego wyznaczana współczynnów wagowych dla pochodnych drugego wyższych rzędów Welomany nterpolacyne Lagrange a zastosowane ao funce testowe w defnc KR (.5) pozwalaą wyznaczyć wzory reurencyne do wyznaczana współczynnów wagowych aprosymac pochodnych rzędów wyższych lub równych dwa. Podstawene tych welomanów do wzoru (.5) wyorzystane własnośc (.5) prowadz do zależnośc: dla 3... ( m) ( m) l gdze: m oznacza rząd przyblżane pochodne. (.34) trona 8

21 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Podobne a w przypadu pochodne perwszego stopna (...3) można wząć pod uwagę dwa przypad: przypade edy ndes węzła est ta sam a ndes welomanu bazowego oraz przypade edy ndesy welomanu nterpolacynego węzła są różne. Wzory reurencyne na wyznaczane współczynnów wagowych zostały przedstawone po raz perwszy przez Quana Changa [6 7]. W przypadu gdy ndes func bazowe est ta sam a ndes węzła (dagonala macerzy współczynnów) formuła oreślaąca wartość współczynna est postac: ( m) m M () m M (.35) gdze: M. (.36) Ze względu na trudnośc z wyznaczenem M (m+) () wzoru tego ne stosue sę w zastosowanach pratycznych. Podczas wylczana wartośc współczynnów wagowych znaduących sę na przeątne główne orzysta sę z własnośc tórą otrzymue sę po wstawenu do defnc KR (.5) func e m- () zdefnowane w (.7) ao func testowe: Współczynn wagowe metody KR współczynnam () oraz ( m) ( m) 0. (.37) ( m) dla można zwązać reurencyne ze [ 6 7]. Algorytm pozwalaący reurencyne wyznaczyć współczynn wagowe metody KR dla pochodne rzędu m uwzględnaący właścwość (.37) est postac: ( m ( m ) ) m m ( m). m dla (.38) () Algorytm opsany wzorem (.38) wymaga znaomośc wartośc współczynnów tóre można otrzymać przy użycu formuł (.30). Wyznaczane współczynnów wagowych metody KR zgodne ze wzorem (.38) wymaga znaczne mneszego naładu oblczeń nż w przypadu algorytmu (.33). Współczynn wagowe pochodne rzędu m ta a dla pochodne perwszego rzędu zależą wyłączne od współrzędnych węzłów sat. trona 9

22 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów.3 Doładność przyblżena metodą KR Pełna teoretyczna analza czynnów wpływaących na doładność metod numerycznych opartych wadraturach różnczowych ne została dotychczas przeprowadzona. Głównym źródłem nformac o charaterze poawaących sę błędów wsazówe w a sposób ch unnąć są wyn esperymentów numerycznych przeprowadzanych bezpośredno dla metody KR. W nnesze rozprawe przedstawono wybór stotnych twerdzeń oszacowań tóre stanowć mogą przyczyne do analzy teoretyczne błędu poawaącego sę podczas stosowana metody KR. a podstawe wyazanych zwązów KR z różnczowanem welomanu nterpolacynego autor te pracy dowodz ż ne est możlwe uzysane aprosymac wysoe doładnośc przy zastosowanu metody KR dla lcznych sate dysretnych. Wyn ten stae sę edna podstawą do sformułowana metody wadratur różnczowych sterowanego rzędu tóra charateryzue sę wysoą doładnoścą nawet dla bardzo gęstych sate..3. Zagadnene nalepsze aprosymac W paragrafe tym zostaną przytoczone pewne stotne ze względu na dalszy ops metody KR poęca twerdzena dotyczące teor aprosymac. W dalsze częśc rozpatrywane będą zagadnena zwązane z aprosymacą w unormowane przestrzen wetorowe func rzeczywstych. Przedstawone tematy są bardzo stotne w onteśce analzy możlwośc wpływana na doładność numerycznego rozwązywana problemów matematyczno fzycznych..3.. Zagadnene nalepsze aprosymac w przestrzen wetorowe Zadane aprosymac poawa sę gdy oneczne est wyrażene pewne func prostszą (np. wylczaąc wartośc func elementarnych przy pomocy alulatora lczymy ch przyblżone sumy częścowe rozwnęć w szereg Maclaurna) lub poszuwane przyblżeń pewnych func na podstawe nformac o e wartoścach lub wartoścach pochodnych (wszele nterpolace oraz numeryczne rozwązywane RRCz). Zadane aprosymac lnowe zdefnowane est następuąco [38]: DEFIICJA Dla ustalonego elementu f z przestrzen wetorowe unormowane V szuamy elementu h* należącego do dane podprzestrzen wetorowe V sończene wymarowe taego że: f h* f h (.39) dla wszystch h V. V ( f ) równą Błędem aprosymac elementu f względem podprzestrzen V nazywamy welość trona 0

23 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów f nf f h (.40) V hu a element h* dla tórego zachodz równość f f h* V elementem optymalnym. Ponższe twerdzene pozwala na wprowadzene poęca nalepsze aprosymac: WIERDZEIE echa V będze unormowaną przestrzeną wetorową z normą elementy stanową uład nezależnych lnowo elementów przestrzen V. Elementy te rozpnaą podprzestrzeń lnową V V. Dla pewnego f V stnee wówczas element V * h a * że: hv : f h* f h. (.4) Element h* est nablższym do elementu f spośród wetorów podprzestrzen V w sense normy. Element ten nazywamy elementem nalepsze aprosymac. W zgodze z założenam twerdzena uład elementów stanow bazę przestrzen wetorowe V. Poawa sę teraz pytane o ednoznaczność wyboru elementu nalepe przyblżaącego f. Odpowedź na ne dae następuące twerdzene: WIERDZEIE 3 ech V będze przestrzeną untarną V norma w przestrzen V nech będze generowana loczynem salarnym:. Wówczas element nalepsze aprosymac dla elementu f V est edyny oreślony następuącą tożsamoścą: h V : f h* h 0. (.4) Z puntu wdzena zastosowań w analze numeryczne nasuwa sę wnose że zadane aprosymac nad pewną podprzestrzeną lnową prowadz do wyznaczena elementu nalepsze aprosymac..3.. ypy aprosymac Powyższe twerdzene (w. 3) pozwala na onluzę ż wybór metody aprosymac est równoważny wyborow metody pomaru odległośc w dane przestrzen untarne. Różne podeśca do tego zagadnena pozwalaą na sformułowane trzech naczęśce wyorzystywanych w pratyce metod aprosymac: trona

24 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Aprosymaca ednostana; polega na poszuwanu func tóre masymalne odchylene od aprosymowane func będze namnesze. Aprosymaca średnowadratowa; polega na poszuwanu func tóre suma wadratów odchyleń od aprosymowane func w wybranych puntach będze namnesza. Interpolaca; polega na poszuwanu func tóra doładne przyblża aprosymowaną funcę w wybranych puntach. Można oczywśce oreślć nne metody aprosymac. W dalsze częśc nacs zostane położony na nterpolacę welomanową gdyż gra ona luczową rolę ao podstawa metody KR..3. Interpolaca welomanowa Rozważamy przedzał a b pewną funcę rzeczywstą f a b : w przedzale tym znadue sę argumentów rozmeszczonych w dzedzne zgodne z (.4) nazywanych dale węzłam nterpolac. W węzłach tych znamy wartośc func są one równe odpowedno: f f. Zadane nterpolacyne polega na znalezenu tach parametrów a a a tach by we wszystch węzłach nterpolac spełnona była równość: : a ( ) f (.43) gdze: wetory stanową bazę przestrzen wetorowe V w tóre poszuuemy elementu nalepsze aprosymac. yp nterpolac zwązany est z wyborem bazy przestrzen wetorowe V. Podstawą dla obecne stosowanych metod KR może być nterpolaca trygonometryczna [39 40] nterpolaca welomanam oraz nterpolaca funcam sleanym [4 4]. W te pracy zostane przedstawona wyłączne nterpolaca welomanam a w dalsze częśc metoda KR oparta na baze welomanów nterpolacynych. Przymuąc ao funce aprosymuące welomany stopna mneszego nż otrzymuemy zadane nterpolac welomanam. Interpolaca welomanowa est operacą tóra rzutue funcę f () cągłą na przedzale [a b] na podprzestrzeń welomanów rzędu nższego nż V. Operaca nterpolac func f oparta na węzłach sat (.4) oznaczone zostane symbolem I f est to est lnowa proeca na podprzestrzeń V. Je bazą mogą być różne dobrane welomany. Istneą trzy podstawowe algorytmy znadowana współczynnów a we wzorze (.43) są to: algorytm lasyczny algorytm ewtona oraz algorytm Lagrange a [7 8 5]. Algorytmy nterpolac w przestrzenach welomanów sończonego stopna operaą sę na oreślonych uładach welomanów stanowących bazy dane przestrzen. Znalezone współczynn nterpolac mogą różnć sę co do wartośc gdyż trona

25 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów są to współrzędne wetora w różnych bazach edna przy spełnenu założeń ponższego twerdzena weloman nterpolacyny est oreślony ednoznaczne. WIERDZEIE 4 Istnee doładne eden weloman stopna - przymuący oreślone wartośc w różnych węzłach nterpolac. werdzene to pozwala na wybór dowolne metody nterpolac gdyż otrzymany element nalepsze aprosymac w przypadu par danych est edyny. Wzór nterpolacyny Lagrange a est postac: p ( ) I ( f )( ) f ( ) l ( ) (.44) gdze: l () est -tym welomanem nterpolacynym Lagrange a wyrażonym wzorem (.4). Welomany nterpolacyne Lagrange a zdefnowane wzorem (.4) stanową bazę przestrzen V..3.. Doładność nterpolac werdzene Weerstrassa sugerue możlwość wsazana taego cągu welomanów tóry doładne przyblża dowolną funcę rzeczywstą f. WIERDZEIE 5(werdzene Weerstrassa o aprosymac welomanam) echa f () będze cągłą funcą oreśloną na domnętym przedzale [a b] o wartoścach rzeczywstych. Można wówczas wsazać cąg welomanów stopna -: p () tóry est ednostane zbeżny do func f () na przedzale [a b]. werdzene Weerstrassa może równeż zostać wypowedzane w nny sposób: eżel funca f () est cągłą funcą o wartoścach rzeczywstych oreśloną na przedzale [a b] to dla ażdego > 0 stnee weloman p () o pewnym oreślonym stopnu (-) = () dla tórego spełnona est nerówność: ma [ a b] f ( ) p ( ). (.45) W pratyce twerdzene to postulue stnene welomanu wysoego rzędu tóry z dowolną doładnoścą przyblża odpowedno gładą funcę f. Można zatem zapsać: trona 3

26 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów f p c (.46) Wstawaąc olene wartośc f otrzymuemy uład równań algebracznych z macerzą Vandermonde a tóry defnue lasyczny algorytm nterpolac: : p c. (.47) Uład równań z macerzą Vandermonde a posada doładne edno rozwązane. Ja to uż zostało wspomnane ego rozwązane metodam numerycznym przysparza edna łopotów ze względu na złe uwarunowane zadana. Borąc pod uwagę twerdzene o ednoznacznośc func nterpoluące (w. 4) zadane to można rozwązać orzystaąc ze wzorów eplcte (.44) (.4). e znaczy to edna że można wyorzystać welomany nterpolacyne do znadowana dowolne doładnośc przyblżena zadane func f () dla należących do przedzału [a b]. ech f oznacza normę przestrzen func zadaną wzorem: f ma f ( ) (.48) [ a b] W przypadu gdy funca f est razy różnczowalna a e -ta pochodna est cągła oreślona w dzedzne prawdzwe est oszacowane (.3.3.): ( ) ( ) gdze: M f ma f ( ). f M f f ( ) p ( ) ( ) (.49)! [ a b] Wartość welomanu nterpolacynego est zależna ne tylo od wartośc -te pochodne nterpolowane func w rozpatrywanym przedzale ale taże od lczby węzłów nterpolac oraz zachowana welomanu M w przedzale [a b]. Dlatego analza zbeżnośc welomanu nterpolacynego est złożonym zagadnenem. Znaczącą rolę podczas analzy zbeżnośc welomanów nterpolacynych odgrywa funca Lebesgue a [43-45]: f ( ) ma I ( ) l ( ) (.50) f oraz stała Lebesgue a [46] (zwana też lczbą Lebesgue a dla nterpolac) tóra ma wartość równą masmum func Lebesgue a dla ustalone sat : I [ a b] ma. (.5) trona 4

27 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów ech f * = f - p* wówczas prawdzwe est następuące oszacowane: ma I a b ma I a b ma I a b f f * ( ) ma f * ma a b ( ) l a b f ( ) ma I a b f p * ( ) E f f f l * ma f * ma a b f * ma a b I E f l ( ) p *( ) p *( ) f ( ) ( ) E f ( I ) E f a b (.5) (.53) gdze: f E nf ma f p f p * pv a b aprosymac w przestrzen welomanów stopna mneszego nż. natomast p * est elementem nalepsze Powyższe oszacowana pozwalaą na stwerdzene ż cąg welomanów nterpolacynych I f zmerza ednostane do f () wtedy tylo wtedy gdy E f 0 I. Zgodne z werdzenem Banacha tenhausa est to możlwe tylo w przypadu gdy I są ogranczone. Warune ten ne może być edna spełnony soro (a poazał Faber G. [47]) dla dowolnego rozładu węzłów sat w przedzale [- ] stnee dodatna stała c: ( I) ln( ) c. (.54) Metody doładnesze analzy wartośc stałe Lebesgue a były [45 48] wcąż są poszuwane. Obecne za nadoładnesze przymowane est oszacowane podane przez Vértes'ego dla nterpolac w przedzale [- ] [49]: mn 4 lnln ) ( I) ln( ) ( ln ) O ( ln (.55) 4 gdze: est stałą Eulera - Mascheronego ( = ) [50] zatem człon ( ln ) est w przyblżenu równy f n df n r c : n c f n r g( n) O g ). O est symbolem Landaua (mów sę że Analzy przedstawone w tym paragrafe przeprowadzone były dla sate złożonych z węzłów rozmeszczonych w przedzale [- ]. Dla sat o węzłach znaduących sę w dowolnym podzborze lczb rzeczywstych stnee odwzorowane betywne na satę o węzłach z przedzału [- ]. Welość przedzału ne wpływa zatem na charater zbeżnośc zmana długośc przedzału zmodyfue natomast wartośc stałych występuących w prezentowanych formułach. Przedstawone powyże rozumowane pozwala sformułować następuące twerdzene: trona 5

28 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów WIERDZEIE 6 Dla ażdego uładu węzłów sat można znaleźć cągłą funcę f () oreśloną w przedzale [a b] dla tóre cąg welomanów nterpolacynych odchyla sę znacząco na odcnu [a b]. Oszacowane stałe Lebesgue a przedstawone powyże (wzory (.54) oraz (.55)) odnos sę do przypadu w tórym stosowany est dowolny zbór węzłów nterpolacynych spełnaących warune (.4). Doładność nterpolac (.55) pogarsza sę w przypadu zastosowana onretnych schematów generowana węzłów w przedzale [a b]. aczęśce stosowanym uładem puntów nterpolac est zbór węzłów równoodległych w przedzale [a b]. Jest to spowodowane fatem ż taą satę można z łatwoścą zastosować w numerycznych rozważanach dowolnych procesów oraz w urządzenach reestruących wyn esperymentów. estety oszacowane wartośc stałe Lebesgue a dla te sat est dużo gorsze nż w przypadu dowolne doberanych sate. urets [5] poazał że stała Lebesgue a dla nterpolac w przedzale [- ] est równa asymptotyczne następuącemu wyrażenu: E (I) (.56) e ln( ) gdze: E oznacza satę o węzłach równoodległych w przedzale [a b]: : a ( b a). (.57) E Doładnesze oszacowana zostały dowedzone w pracach [ ] edna wyrażena w nch prezentowane neznaczne poprawaą (.56). zybość wzrostu wartośc stałe Lebesgue a w przypadu węzłów równoodległych est znacząco węsza nż w przypadu optymalne sat. Wybór sta o węzłach rozmeszczonych równomerne w analzowanym przedzale ne gwarantue wysoe doładnośc nterpolac. Ja to było uż edna wspomnane sata ta est unwersalna można ą z powodzenem stosować podczas analzy rzeczywstych procesów a podczas numerycznego rozwązywana zagadneń nżynersch. Wartość dużo blższą optymalne (.55) maą stałe Lebesgue'a dla sate opartych na węzłach pochodzących od welomanów Czebyszewa [ ]. Welomany Czebyszewa I rodzau zdefnowane są wzorem reurencynym: trona 6

29 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów 0 ( ) ( ) n ( ) n ( ) n ( ) n (.58) Zachowane func Lebesgue a dla węzłów soarzonych z perwastam lub estremam ta zdefnowanych welomanów est dużo bardze obecuące. Ogranczene dolne wartośc stałe Lebesgue a est na pozome zblżonym do wartośc dla welomanu optymalnego. ech w przedzale [- ] będą dane następuące sat: : cos 3 (.59a) cos : 3 cos * (.59b) : cos 3 (.59c) CGL można poazać że dla ażde z wymenonych powyże sate stała Lebesgue a est ogranczona od dołu przez wartość wzrastaącą neogranczene wraz z [ ]: mn { * CGL } 8 ( I) ln( ) ( ln 3) O ( ln ). (.60) Wartość mnmalna dla prezentowanych sate pochodzących od zer welomanów Czebyszewa osągana est dla sat (.59b). Można zauważyć że wartość stałe Lebesgue'a est znaczne mnesza dla ażde spośród sate pochodzących od welomanów Czebyszewa (.58) nż w przypadu sat o węzłach rozmeszczonych równomerne w przedzale (.57). Węzły tych sate są znaczne gęśce położone w poblżu brzegu. Własność ta obnża wartość stałe Lebesgue'a edna powodue równocześne że sat te są dużo mne unwersalne w zastosowanach pratycznych. Dlatego stosowane były tylo do specyfcznych zagadneń: przede wszystm analzy drgań..3.3 eoretyczna analza doładnośc przyblżena pochodne metodą wadratur różnczowych Analza błędu wynaącego z aprosymac func e pochodne przy użycu metody KR została przeprowadzona w pracach dotorsch hu [8] oraz ontynuowana w rozprawe Chena [57] tóre promotorem był hu. aważnesze wnos opracowane przez tych nauowców zostały późne zgromadzone przez hu w monograf [] na podstawe tóre w duże merze opera sę analza przeprowadzona w tym paragrafe. trona 7

30 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Przeprowadzone przez nch oblczena wsazuą że doładność przyblżena zwązana est z wartoścam ae przymue weloman M () dla wybrane sat Przyblżene func welomanem nterpolacynym W paragrafe tym zostane oszacowany błąd aprosymac func f () oreślone w przedzale [a b] welomanem stopna (-). Zastosowana metoda przyblżena mus zapewnać func aprosymuące zachowane warunu nterpolac (.44). Zadane tae spełna weloman nterpolacyny stopna (-). tosuąc nterpolacę w baze welomanów Lagrange'a na - węzłowe satce otrzymue sę weloman nterpolacyny postac (.44). ech E (f ) oznacza błąd nterpolac welomanem (-) stopna zdefnowany następuąco: E f f f I. (.6) Rozważany est przypade gdy pochodna -tego rzędu func f () ne est stała ale est ogranczona w przedzale [a b]. W tae sytuac błąd przyblżena func welomanem nterpolacynym E (f ) może zostać oszacowany przy użycu welomanu M () w sposób podany ponże. ech dana będze funca F (z) zdefnowana przy pomocy welomanu nterpolacynego Lagrange'a (.44) oraz welomanu M () (.36): F z f z I f z c Mz. (.6) Jasnym est że dla ta zdefnowane func F (z) w węzłach nterpolac (=...) występuą mesca zerowe: 0. F (.63) tała c występuąca w func F (z) zdefnowane a (.6) może być dopasowana dowolne. Poza puntam (=... ) różnca f z I f z Poszuwana est taa wartość stałe c by: f z I f z c Mz est różna od zera.. (.64) ytuaca taa ma mesce dla pewnego 0 (a b) taego że F ( 0 ) = 0. Przypade ta est możlwy przy pewne wartośc stałe c. Można stąd wnosować że F (z) ma (+) perwastów w przedzale [a b]. tosuąc - rotne twerdzene Rolle'a do func F (z) można dość do wnosu ż F () (z) posada co namne eden perwaste znaduący sę w przedzale (a b). Oznaczaąc ten perwaste przez (a b) otrzymue sę: trona 8

31 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów z oro I f z 0 0. M z! z F (.65) otrzymue sę wartość stałe c przy tóre F (z) zerue sę w z = 0 : przeształcaąc (.65) zapsane a (.64) f c. (.66)! Zatem błąd aprosymac welomanem nterpolacynym oreśla zależność: E f M f. (.67)! W powyższym równanu zmenna est funcą zależną od zmenne Zwąze KR z pochodną welomanu nterpolacynego Zgodne z defncą wadratury różnczowe (.5) przyblżene m-te pochodne func f () w punce (.4) odbywa sę według wzoru: f m m * f f l m m (.68) gdze: równość (*) est spełnona na mocy (.34). Pochodna welomanu nterpolacynego Lagrange'a (.44) est równa: m m p m m f l f l m. m (.69) Zestawaąc ze sobą wzory (.68) oraz (.69) można sformułować wnose ż: Przyblżene m-te pochodne func f w punce (.4) przy pomocy KR est równe wartośc odpowedne pochodne welomanu nterpolacynego Lagrange'a w punce zbudowanego na satce Przyblżene dowolne pochodne func wadraturą różnczową Podstawy do analz przeprowadzonych w tym paragrafe operaą sę podobne a w przypadu paragrafu.3.3. na pracach [ 8 57]. W zwązu z wynam uzysanym w poprzednm paragrafe analzy metody KR przeprowadzone tylo w węzłach nterpolac prowadzć mogą do zanedbań stotnych wartośc. oro współczynn wagowe metody KR zwązane są z pochodną welomanu nterpolacynego stotne znaczene ma a szybo wartośc tego welomanu oddalaą sę od wartośc aprosymowane func. ech ( E m ) D f welomanu nterpolacynego: oznacza błąd przyblżena m-te pochodne func f pochodną trona 9

32 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów trona 30 f I f f I f f E m m add m m m m m D. (.70) W powyższym wzorze m =... - add - oznacza ż w mescu tym orzysta sę z własnośc addytywnośc operatora różnczowana. Zgodne z wnosem płynącym z poprzednego paragrafu (.3.3.) błąd ten w węzłach sat est równy błędow przyblżena pochodne metodą KR. a podstawe (.67):.! M f f E m m m D (.7) Wyrażene to pozwala wyznaczyć błędy przyblżena olenych pochodnych func f pochodnym welomanu nterpolacynego:! M f M f f E D (.7)! M f M f M f M f f E D (.73). 3 3! M f M f M f M f M f M f M f M f M f f E D (.74) W analogczny sposób można wyznaczyć wartość błędu dla pochodnych olenych rzędów. Powyższa analza pozwala stwerdzć że błąd przyblżena m-te pochodne func f m-tą pochodną welomanu nterpolacynego zależy od przyblżane func f wartośc oraz wartośc welomanu M () oraz ego m olenych pochodnych. Wartość welomanu M () est neogranczona gdy wzrasta lczba węzłów sat (.3..). Od pewne lczby puntów sat wzrost aośc przyblżena func o somplowanych ształtach spowodowany wzrostem doładnośc odwzorowana e ształtu param puntów ( f ) będze znwelowany przez wzrost wartośc stałe Lebesgue'a dla nterpolac. Ponadto można spodzewać sę ż wartość pochodnych welomanu M () będze eszcze węsza. asuwa sę zatem wnose że począwszy od sate zaweraących pewną znaczną lczbę węzłów nterpolac (dysretyzac) dalsze zagęszczane sat spowodue wzrost błędu przyblżena.

33 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów.4 Udosonalone metody KR Analza doładnośc metody KR była przeprowadzana przez bardzo welu autorów. Jedna oprócz esperymentów numerycznych ne stneą teoretyczne analzy doładnośc przeprowadzone bezpośredno dla metody KR. Badaczom zamuącym sę oblczenam przy pomocy metody wadratur różnczowych udało sę wyazać że w przypadu aprosymac przy pomocy lasyczne oreślone [ ] metody KR napotya sę następuące problemy: doładność metody KR dla gęstszych sate bardzo szybo malee. Wyn obarczone są ta wysom błędem że ne mogą meć żadnego pratycznego zastosowana; błędy metody poawaące sę w węzłach brzegowych oraz w ch bezpośrednm sąsedztwe determnuą wartość błędu w całe dzedzne; doładność w poblżu na brzegach dzedzny malee bardzo szybo wraz ze wzrostem lczby węzłów sat; w węzłach znaduących sę wewnątrz dzedzny doładność metody KR pozostae wysoa nawet dla sate o bardzo duże lczbe węzłów. Warto zauważyć że powyższe spostrzeżena operaą sę na analzach doładnośc przeprowadzanych dla różnych problemów fzycznych [ ] dla tórych znane są rozwązana analtyczne. A taże na obserwacach podczas badań zastosowana metody KR ao metody różnczowana numerycznego [ 6-63]..4. Równoważność metody wadratur różnczowych schematu różncowego nawyższego rzędu W przypadu ednowymarowym na -węzłowe satce można wygenerować wele różnych schematów różncowych przyblżaących m-tą pochodną func f. chematy te będą sę różnć branym pod uwagę węzłam sat oraz rzędem. Jedna rząd schematu różncowego w opsywane sytuac ne może być wyższy nż ( m). Własność ta pozwala wprowadzć defncę schematu różncowego nawyższego rzędu: DEFIICJA 3 pośród schematów różncowych oreślonych na węzłowe satce tóre przyblżaą m-tą pochodną func f () schematem różncowym nawyższego rzędu (RR) nazywa sę schemat o rzędze doładnośc wynoszącym ( m). chematy różncowe nawyższego rzędu maą bardzo duże znaczene podczas rozwązywana pratycznych problemów. Ich wyso rząd aprosymac pozwala na znalezene dobrego przyblżena badanego procesu w przypadu gdy stnee możlwość zastosowana wyłączne nezbyt gęstych sate. Zastosowane schematów różncowych trona 3

34 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów nższych rzędów neednorotne wymagałoby zastosowana znaczne gęstszych sate w celu osągnęca podobne doładnośc. Często warune początowy lub brzegowy może być podany w forme cągu danych uzysanych w wynu pomarów przeprowadzanych podczas trwana procesu. Lczba tach danych est zwyle newela. Wówczas numeryczne badane ewoluc procesu przy pomocy schematu różncowego nsego rzędu będze wymagało dodana dodatowych punów by wyn oblczeń mały aceptowalną doładność. W tam przypadu w dodanych puntach trzeba ustalć dodatowe wartośc początowe. oro ne są one znane należy oszacować e na podstawe danych z esperymentu. ae postępowane znów prowadz do bardzo dużych błędów uż podczas ustalana warunów początowych lub brzegowych dla modelu numerycznego procesu. W przypadu schematu RR problem ten sę ne poawa gdyż oblczena przeprowadzone dla sat sładaące sę wyłączne z puntów w tórych znamy wartośc początowe będą znaczne wyższe doładnośc. Koleną zaletą schematu RR est możlwość stosowana loalne dogęszczanych sate. Pozostawane nawet dużych odległośc mędzy olenym węzłam sat w obszarach o mneszym znaczenu ne obnża znacząco doładnośc rozwązana w obszarach bardzo stotnych dla przebegu procesu. Wadą schematów RR ale dotyczy to równeż schematów różncowych o rzędze węszym nż trzy est znaczna trudność w wyznaczanu ch współczynnów. Problem ten obnża atracyność schematów różncowych wyższych rzędów w oczach osób zamuących sę rozwązywanem pratycznych problemów fzycznych. W rou 998 hu Chew [64] sformułowal udowodnl twerdzene o ednoznacznośc schematu RR metody KR oparte na tym samym zborze węzłów sat. twerdza ono że ułady równań algebracznych defnuące metodę wadratur różnczowych oraz schemat różncowy nawyższego rzędu są tożsame. Innym słowy: schemat różncowy nawyższego rzędu oreślony na pewnym zborze węzłów sat est równoważny metodze wadratur różnczowych oparte na tym samym zborze węzłów. Wnos z tego twerdzena pozwalaą na wyorzystane zalet schematów RR do wyznaczana współczynnów stosuąc wzory wadraturowe (.30) oraz (.38). Wspomnane wzory stanową procedurę wyznaczana współczynnów zależnych tylo od rozładu węzłów sat. Podeśce tae ne wymaga rozwązywana somplowanych uładów równań co znacząco poprawa doładność oraz usprawna procedurę wyznaczana współczynnów schematu RR. werdzene mówące o równoważnośc schematu RR oraz KR dae dodatowe możlwośc. Informaca ta pozwala na ontrolę metody KR poprzez powązane wyrażeń wadraturowych ze schematem dowolnego rzędu. Aby wyznaczyć współczynn schematu różncowego rzędu r przyblżaącego wartość m-te pochodne func f orzysta sę z szeregów aylora. Rozwa sę funcę f w szereg aylora w (r+m) puntach dzedzny otaczaących punt dla tórego lczymy przyblżene pochodne. Wygenerowane tego schematu przy pomocy wzorów wadraturowych polega na zastosowanu ch dla (r+m) puntów dzedzny otaczaących punt w tórym lczymy przyblżene pochodne. Podeśce trona 3

35 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów tae pozwala równeż na ontrolę rzędu metody KR poprzez dobór odpowednch podzborów puntów w tórych ą stosuemy ( 3.). Można zatem stwerdzć że w przypadu przyblżana m-te pochodne func f metoda wadratur różnczowych ogranczona do pewnego podzboru puntów sat R ma ta sam rząd a schemat różncowy nawyższego rzędu oparty na podzborze R. twerdzene to stanow podstawę metody wadratur różnczowych sterowanego rzędu (KRR) w tóre w ażdym punce dzedzny oreśla sę rząd przyblżena ( 3.). ae podeśce pozwala na ontrolę doładnośc stablnośc otrzymanego algorytmu a równeż złożonośc oblczenowe. Metoda KRR stanow uogólnene spotyanych w lteraturze modyfac lasyczne metody KR opsane powyże..4. Metoda wadratur różnczowych zmennego rzędu (ang. Varable Order Dfferental Quadrature) Metoda wadratur różnczowych zmennego rzędu (KRZR) została zaproponowana w rou 003 przez Zonga [6 65] ao modyfaca lasyczne metody wadratur różnczowych. Zong analzował źródła nestablnośc numeryczne metody KR. W tym celu rozważał proste równane różnczowe cząstowe opsuące proces zmenny w czase. Dla równana tego znane est rozwązane doładne. Porównane rozwązana numerycznego z rozwązanem analtycznym pozwolło Zongow sformułować następuące wnos: nawęszy wpływ na doładność rozwązana ma aość przyblżena w węzłach znaduących sę w poblżu brzegów dzedzny nedoładność w węzłach znaduących sę w poblżu brzegów wzrasta znacząco dla sate o duże (powyże 35) lczbe węzłów metoda KR dae bardzo doładne przyblżena wartośc znaduących sę w centrum dzedzny począwszy od pewne lczby węzłów dalsze zagęszczane sat ne wpływa na doładność przyblżena w węzłach centralnych. Rys.. Klasyfaca podzborów węzłów w metodze wadratur różnczowych zmennego rzędu. W celu znwelowana stwerdzonych wad lasyczne metody KR Zong zaproponował nową metodę bazuącą na dysretyzac KR tórą nazwał metodą KRZR. Idea metody KRZR polega na podzale węzłów sat na dwa podzbory: węzłów centralnych (C) oraz węzłów trona 33

36 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów brzegowych (B). Dodatowo w metodze defnue sę obszar prześcowy mędzy podzboram B C poprzez zadane lczby węzłów w tym obszarze M P. W zborze węzłów brzegowych znadue sę (M M P ) olenych węzłów branych symetryczne z obu stron dzedzny począwszy od węzła brzegowego (Rys..). Pozostałe węzły zalczone są do węzłów centralnych. Ważnym est by lczby charateryzuące podzał zboru węzłów na podzbory spełnały zależność: M P «M «(.75) gdze przez symbol «rozume sę "znaczne mnesze nż". W lewostronnym zborze węzłów brzegowych stosue sę aprosymacę metodą KR zbudowaną na węzłach z tego zboru. Analogczne postępue sę w prawostronnym zborze węzłów brzegowych. W podzborze węzłów centralnych stosue sę aprosymacę metodą KR opartą na zborze wszystch węzłów. Autor [6] przeprowadzł serę esperymentów numerycznych maących na celu oreślene wartośc parametrów M P oraz M przy tórych metoda w nawyższym stopnu podnosłaby doładność aprosymac w węzłach brzegowych. Operaąc sę na rezultatach te analzy zaproponował następuące wartośc: M = 6 0 M P = 0 5. Wyn oblczeń przy zborach o lczbe węzłów brzegowych centralnych z proponowanych przedzałów dowodzą znaczne poprawy doładnośc. Wadą te metody est edna to że lczba oblczeń oneczna do wyznaczena przyblżena w węzłach centralnych wzrasta wraz ze wzrostem całowte lczby węzłów. Przedłuża to czas oczewana na rozwązane choć ne towarzyszy temu wzrost doładnośc przyblżena..4.3 Metoda wadratur różnczowych ogranczonego zasęgu (ang. Local Adaptatve Dfferental Quadrature) Metoda wadratur różnczowych ogranczonego zasęgu (KROZ) est oleną modyfacą metody KR. Powstała w rou 003 [66 67]. W przypadu te metody na początu ustala sę rząd przyblżena w całe dzedzne. Wąże sę z tym ustalene M-elementowych podzborów węzłów na tórych budowane są schematy KR. Podzbory wyberane są w ten sposób by po obu stronach rozważanego węzła znadowało sę tyle samo węzłów. Blans ten zachwany est w przypadu węzłów znaduących sę w poblżu brzegu. W przypadu te metody w poblżu brzegów stosue sę edno z dwóch podeść: Perwsza metoda aprosymac pochodnych w puntach znaduących sę w poblżu brzegu wyorzystue dodatowe nformace zawarte w warunach brzegowych. Po obu stronach dzedzny dodae sę fcyne węzły. Ich lczba zależy od typu warunu na brzegu dzedzny est o eden mnesza nż masymalny rząd pochodnych opsuących warune brzegowy. W modelach opsuących zawsa fzyczne można spotać sę co nawyże z dwoma dodanym węzłam po strone warunu brzegowego opsanego pochodną trzecego rzędu (sytuaca taa może meć mesce na przyład w przypadu drgań wolnego ońca pręta bądź płyty). Podczas oblczeń tratue sę fcyne węzły ta a rzeczywste. chemat trona 34

37 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów przestae edna być zblansowany dla odpowedno dużych M gdy zblża sę do brzegu. O le stneą węzły fcyne ne może zastneć sytuaca gdy mamy do czynena ze schematem ednostronnym. Oblczena przeprowadzane są dla węzłów rzeczywstych w węzłach fcynych wartośc w ażdym olenym rou czasowym uatualnane są przy pomocy warunów brzegowych. Druga metoda aprosymac w poblżu brzegu ne dopuszcza dodawana węzłów fcynych. Gdy zblża sę do brzegu dzedzny schemat przestae być zblansowany. W węźle brzegowym mamy do czynena ze schematem ednostronnym. Opsana powyże metoda sprawdza sę w zastosowanach pratycznych. Poprawa znacząco stablność schematów numerycznych. Łatwo edna wsazać nedogodnośc te metody. W wers z dodawanem fcynych węzłów poawa sę pytane o charater nedoładnośc zwązane z wyborem loalzac tych węzłów oraz o aość aprosymac wartośc poszuwane func poza dzedzną zadana. A taże o sens fzyczny taego postępowana ego zgodność z rozpatrywanym modelem. W metodze te rząd schematu est w całe dzedzne ta sam. Wybór newelego M powodue że w centrum dzedzny rząd przyblżena est newel. Duże M stwarza zagrożene poawena sę błędów w poblżu brzegu dzedzny..4.4 Metoda umescowone wadratury różnczowe (ang. Localzed Dfferental Quadrature Method) Metoda umescowone wadratury różnczowe (UKR) została po raz perwszy zaprezentowana w 00 rou przez Zonga wsp. [68]. Idea te metody est zblżona do de metody KROZ. Kryterum doboru podzborów zboru węzłów w tórych budue sę schemat est w tym wypadu odległość (porównywane są długośc odcnów łączących pary węzłów) od węzła ne lczba węzłów oddzelaących [69 70] a w przypadu metody KROZ. a początu dobera sę lczbę M oreślaącą welośc podzborów na tórych budue sę schemat. Lczba M defnue równeż rząd przyblżena (.4.) tóry est ta sam w całe dzedzne. astępne dla ażdego oreśla sę podzbory M nablże leżących węzłów tóre znaduą sę w dzedzne. W przypadu sat o węzłach równoodległych metoda ta sprowadza sę do metody KROZ. edogodnośc te metody są podobne a w przypadu metody KROZ: stały rząd w całe dzedzne może spowodować że pommo duże lczby węzłów sat rząd metody est ns co pocąga za sobą nsą doładność aprosymac w centrum dzedzny lub w przypadu sate o nse gęstośc (duże odległośc pomędzy sąsednm węzłam). atomast dla dużych wartośc M na brzegach rozważanego obszaru mogą poawać sę błędy charaterystyczne dla metody KR tóre będą umulować sę w olenych nterwałach czasowych. Prócz tego można zaobserwować wpływ nerównomernego rozmeszczena węzłów sat w dzedzne zadana. Dla sate loalne mocno zagęszczonych może sę powtarzać slna ednostronna asymetryczność schematu podobne a w przypadu zblżana sę wartośc ndesu do brzegu. trona 35

38 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów.5 Podsumowane Metoda wadratur różnczowych est metodą numeryczną wysoego rzędu służącą do aprosymac pochodne. Może ona być stosowana do wyznaczana przyblżeń pochodnych func na podstawe e wartośc w wybranych puntach. Aprosymaca pochodne może być użyteczna podczas rozwązywana równań różnczowych stanowących model fragmentu otaczaące rzeczywstośc. Charaterystyczne dla metody KR est to ż podobne a metoda R polega na zastępowanu pochodnych występuących w równanach ombnacą lnową wartośc func w węzłach sat oraz współczynnów metody zwanych współczynnam wagowym. chemat numeryczny budowany przy użycu metody KR zależy tylo od rzędów pochodnych oraz współrzędnych węzłów sat. Perwsze prace zwązane z metodą KR wyazały że podczas e stosowana napotyano szereg problemów. edogodnoścą tórą raportował uż Bellman [3] est poawene sę macerzy Varndermonde'a podczas próby wyznaczana współczynnów wagowych metody w baze anonczne welomanów. Uład równań opsany tą macerzą est bardzo źle uwarunowany [7 7]. Algorytmy tóre pozwalaą rozwązywać tae ułady są suteczne dla neznaczne lczby równań [73]. Podeśce to było stosowane dla sate o newele lczbe węzłów zwyle mnesze bądź równe 3 [64]. W zwązu z tym olen badacze podęl próby stosowana różnych baz welomanów w celu podnesena lczby węzłów dla tórych można stosować metodę KR. estety wybór baz welomanów zwyle determnue rozład węzłów sat. Oprócz welomanów bazy anonczne na arbtralny wybór współrzędnych węzłów sat pozwala wybór bazy welomanów nterpolacynych Lagrange'a zastosowane te bazy stanowło przełom w rozwou metody. Wraz ze zwęszanem lczby węzłów zaobserwowano poawene sę zaburzeń doładnośc przy brzegach dzedzny. W przypadu problemów zależnych od czasu błąd ten umulował sę zaburzał wyn w całe dzedzne. Kolene próby reduc tego błędu operały sę główne na doborze tach rozładów węzłów w dzedzne tóre są mocno zagęszczone w poblżu brzegów. Dopero w perwsze deadze lat 000 poawły sę próby wyorzystana twerdzena o równoważnośc metody KR schematu RR do modyfac metody KR poprzez zastosowane e w podprzedzałach. e powstała dotychczas teoretyczna analza doładnośc metody KR. Znane są tylo analzy empryczne [6]. W nnesze pracy uwypulony został zwąze metody KR z nterpolacą welomanową Lagrange'a (.6) (.34). Metoda wadratur różnczowych polega na przyblżenu pochodne func f pochodną welomanu nterpoluącego funcę f na podstawe wartośc w węzłach nterpolac (.3.3.). Istnee zatem powązane mędzy błędem aprosymac metodą KR a błędem nterpolac. Analza stopna nedoładnośc z am należy sę lczyć podczas stosowana nterpolac była przedmotem badań welu autorów doczeała sę lcznych publac. Potwerdzaą one że różnca mędzy wartoścam welomanu nterpolacynego szuane func na dowolne satce est ogranczona od dołu rośne do nesończonośc wraz ze wzrostem lczby węzłów. Informaca ta stała sę podstawą analzy przedstawone w te pracy ( ). Obserwowany spade doładnośc w poblżu brzegu dzedzny wywołany wzrostem lczby węzłów est zwązany trona 36

39 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów z zachowanem sę welomanu M () ego pochodnych. Fat ż stała Lebesgue'a dla nterpolac rośne do nesończonośc wraz ze wzrostem lczby węzłów sat zgodny est z obserwowanym spadem doładnośc metody KR dla sate o znaczne lczbe węzłów. Podobne można stwerdzć że obszary w tórych naszybce wzrasta wartość welomanu M () porywaą sę z obszaram [44] gdze naperw wzrasta błąd metody KR. Welu autorów operaąc sę na danych pochodzących z esperymentów numerycznych sugerue stosowane sate zagęszczonych przy brzegu dzedzny. W szczególnośc sate o węzłach pochodzących od welomanów Czebyszewa. estety obecuąca poprawa doładnośc w przypadu gęstych sate est wyłączne efetem wolneszego w ch przypadu wzrostu stałe Lebesgue'a dla nterpolac. Zagęszczene sat w poblżu brzegów obszaru może oazać sę nepratyczne w zagadnenach nżynersch. W przypadach rozważanych w odlewnctwe wybór tego typu rozładów węzłów sat powodue wele nedogodnośc. W problemach tych nachętne stosue sę sat o węzłach równoodległych. Loalne dogęszczane sate stosue sę wyłączne w pewnych newralgcznych w ategorach poprawnośc rozwązana modelu fzycznego obszarach. at w tórych węzły dogęszcza sę na brzegach a rozgęszcza w centrum dzedzny ne sprawdzaą sę w tych zagadnenach. Dodatowo zagęszczane sat w poblżu brzegów est problematyczne gdy rozważa sę wele wzaemne oddzałuących procesów. Przedstawone powyże argumenty sugeruą racze wprowadzene modyfac do same metody KR trona 37

40 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rozdzał Cel tezy pracy. Cel pracy Celem nnesze pracy est opracowane efetywnego algorytmu numerycznego rozwązywana równana różnczowego Fourera Krchhoffa bazuącego na dysretyzac metodą wadratur różnczowych.. ezy pracy W ramach pracy dotorse zostaną udowodnone następuące tezy: Zastosowane metody wadratur różnczowych oraz e odmany zwane metodą wadratur różnczowych sterowanego rzędu pozwala na rozwązane równana Fourera Krchhoffa. Zastosowane metody wadratur różnczowych sterowanego rzędu poprawa doładność rozwązana równana FK w stosunu do rozwązań uzysanych metodą różnc sończonych oraz lasyczną metodą wadratur różnczowych przy czym: masymalna doładność wadratury różnczowe osągana est w centrum dzedzny stnee możlwość oszacowana przedzałów rzędu wadratury różnczowe dla tórych doładność dysretyzac w olenych węzłach sat est nawyższa. trona 38

41 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rozdzał 3 Metoda wadratur różnczowych sterowanego rzędu w zagadnenach zwązanych z odlewnctwem Poawaące sę w lteraturze modyface metody KR operały sę racze na obserwaca wynów esperymentów numerycznych nż na próbe zrozumena mechanzmu poawana sę umulac błędu metody wraz ze wzrostem lczby węzłów sat. Powstałe odmany metody KR rzeczywśce poprawaą doładność rozwązana edna ch stosowane często może stać sę mało efetywne lub może sę wązać ze znacznym wzrostem onecznych operac arytmetycznych. W celu unnęca wspomnanych nedogodnośc została zaproponowana metoda KRR. Oparta est ona na wstępnych analzach teoretycznych pratycznych mechanzmów poawana sę błędu przyblżena pochodne metodą KR. Jest ona uogólnenem wcześneszych modyfac a e zastosowane prowadz do schematów numerycznych charateryzuących sę wysoą ednostaną doładnoścą stosunowo nsm zapotrzebowanem na moc oblczenową. 3. Zastosowane metody KR w podzborach węzłów Przywołane w poprzednm paragrafe (.4.) twerdzene o równoważnośc metody KR schematu RR [64] pozwala zastosować metodę KR do generowana schematów dowolnego rzędu poprzez tworzene schematów RR w odpowedno dobranych podprzedzałach. Rząd schematu różncowego nawyższego rzędu zależny est od lczby trona 39

42 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów trona 40 węzłów sat na tóre est on budowany. Wyberaąc podzbory (=...) węzłowe zaweraące charateryzuący e węzeł tworzy sę podzbory sate. Zbudowany na węzłach sat schemat RR aprosymuący m-tą pochodną est rzędu ( - m). ech: I : (3.) gdze I est zborem ndesów: I : (3.) w powyższym wyrażenu: () est warunem defnuącym przynależność do zboru ndesów I tam by I. Lczność zborów I wynos odpowedno ( - m). astępne w ażde z sate stosue sę aprosymacę prowadzącą do schematu KR. Efetywny algorytm budowy tego schematu można otrzymać modyfuąc wzory zaproponowane przez Quana Changa [6 7] (.30):. 0 (3.3) Analogczne wyprowadza sę wzory na pochodne wyższych rzędów (.38): m m m m m m m. 0 (3.4) Powyższe wzory są prawdzwe dla dowolne wybranych podzborów sat (3.) generuą schematy różncowe o ustalonym rzędze ( m) aprosymac m-te pochodne w punce. Zwyle podczas tworzena schematów różncowych wyberane są węzły sąsaduące otaczaące węzeł w tórym przyblżamy poszuwaną wartość. Podzbór sładaący sę z wzaemne sąsaduących ze sobą węzłów sat oraz charaterystycznego węzła oreśla sę a następue:

43 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów trona 4 :. (3.5) Podzbory są wówczas podprzedzałam węzłów ogranczonym ndesem namneszym nawęszym. W przypadu tym wzory (3.3) przeształcaą sę do postac:. 0 (3.6) Analogczne wzory dla wyższych pochodnych (3.4) przymuą postać:. 0 m m m m m m n (3.7) Odpowedn dobór podprzedzałów [ ] pozwala pozytywne wpływać na doładność schematu a taże srócć czas oblczeń. 3. Defnca wadratury różnczowe sterowanego rzędu (ang. Ran Controlled Dfferental Quadrature) Metoda wadratur różnczowych sterowanego rzędu est autorsą modyfacą metody KR. tanow ona uogólnene metody KROZ oraz KRZR. Zmany wprowadzone w metodze wadratur różnczowych maą na celu usunęce zawsa polegaącego na znacznym spadu doładnośc przy brzegach oraz ogranczene lczby operac arytmetycznych onecznych do realzac schematu numerycznego wysoe doładnośc. Idea te metody opera sę na wprowadzenu func tóra ażdemu węzłow (precyzyne: ndesow węzła) sat przyporządowue lczbę naturalną r: ma mn : R R r R DQ (3.8) gdze: R mn [ -n ] R ma [ R mn -n ]. Funca ta pownna być dobrana w ta sposób by zapobegała utrace doładnośc spowodowane nazbyt wysom rzędem przy brzegu dzedzny gwarantowała zachowane wysoego rzędu aprosymac w centrum edna ne wymagała nazbyt welu operac

44 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów arytmetycznych. Funca R DQ może przymować różne postac. etóre sposoby zadana te func defnuą metodę równoważną metodom KROZ: oraz KRZR: const. R DQ (3.9) R R DQ DQ Rmn M M P M M P R M M M M. ma P P (3.0) Rys. 3.. Rozmeszczene błędu przyblżena druge pochodne func f () = ep (-) w przedzale [0 ] metodą KR dla sate o lczbe węzłów równe [74]. Kolenym etapem realzac metody KRR est dobór podzborów węzłów. Muszą one być dobrane w ten sposób by gwarantować zachowane zadane funcą R DQ wartośc rzędu w ażdym węźle dzedzny. Wybór podzborów doonywany est w ten sposób by były one przedzałam zaweraącym węzeł (3.5). Ogranczena przedzału = [ ] podczas aprosymac m-te pochodne func f () dobera sę orzystaąc ze wzorów: ma R DQ RDQ m 0 (3.) m. trona 4

45 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów mn R R m R DQ DQ DQ m (3.) m. Analza zachowana błędu aprosymac pochodnych przeprowadzona w pracy [74] asno poazue że wartość błędu w poblżu brzegów dzedzny est la rzędów welośc wyższa nż w centrum Rys. 3.. Błąd znaczne malee wraz ze zblżanem sę do centrum dzedzny. Kształt łamane łączące punty oreślaące wartośc błędów popełnanych podczas aprosymac w ażdym węźle sat szczególne dla dużych przypomna neco parabolę. Aby sontrować rozład błędu w dzedzne tóry est opsany funcą maleącą od brzegów w erunu centrum dzedzny funca R DQ pownna meć ształt odwrotny. aperw ustalane są rzędy: mnmalny R mn oraz masymalny R ma Jasnym est że pownna być zachowana relaca R mn < R ma. Jednym z możlwych rozładów est następuący rozład: Rys. 3.. Jeden z możlwych rozładów rzędu metody KRR w węzłach sat oreślone w dzedzne zadana. Przedstawona funca R DQ została zaproponowana w ten sposób by orygować rozpoznane zachowane błędu w dzedzne. W węźle brzegowym oraz w ego bezpośrednm sąsedztwe rząd wynos R mn. W olenych dwóch węzłach rząd wynos (R mn +). Dla węzłów znaduących sę eszcze blże centrum rząd wzrasta o dwa wraz ze zmaną ndesu węzła o eden. Jeżel w pewnym węźle rząd metody est o eden mneszy nż rząd masymalny R ma wówczas w węźle blższym centrum rząd podnos sę o eden. Wzrost wartośc rzędu est przerywany gdy trona 43

46 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów r osągne R ma. W węzłach centralnych rząd est stały. R DQ rozłada rząd metody KRR symetryczne w stosunu do centrum dzedzny (Rys. 3.). Dopuszczalne są dowolne rozłady węzłów. Opsany powyże został przetestowany w trace esperymentów numerycznych [63]. Zastosowane taego rozładu dla metody KRR znacząco poprawło doładność rozwązana równana Fourera - Krchhoffa w stosunu do rozwązań uzysanych metodam R oraz lasyczną KR. W dalsze częśc pracy często R mn R ma nazywane będą parametram metody KRR a notowane będą dla uproszczena ao para wartośc (R mn ; R ma ). 3.3 Budowa schematów rozwązywana problemów transportu cepła przy pomocy aprosymac metodą KRR W paragrafe tym zostane przedstawona procedura budowy schematu numerycznego pozwalaącego rozwązywać równane FK. Dla uproszczena dysretyzaca zostane przeprowadzona dla problemu ednowymarowego w tórym część źródłowa ne występue awne równana w postac (.5) oraz (.6). Z sytuacą taą można spotać sę gdy rozważa sę proces stygnęca medum w tórym ne dochodz do przeman. Podobne gdy wpływ rystalzac na zagadnene przewodzena cepła modelowany est metodą zastępcze poemnośc ceplne strefy dwufazowe (..5). Ops algorytmu uwzględnana func źródła w przypadu gdy znana est funca udzału obętośc zarzepłe przedstawony est w 6... Pomnęce func źródłowe uznano zatem za celowe dla ułatwena prezentac aspetów charaterystycznych dla metody KRR. Prezentowana ponże techna budowy schematu numerycznego rozwązywana równana różnczowego cząstowego parabolcznego (opsuącego propagacę pewne własnośc w czase przestrzen) est ogólna. Autor nnesze rozprawy wyonał analogczne ro by zbudować schemat tóry z powodzenem rozwązue problem dyfuz sładna w rzepnącym stope [75] Dysretyzaca pochodne względem czasu a os czasu wprowadzono myślowo zbór puntów (=0...) tóre dentyfuą wybrane momenty badanego procesu począwszy od ego rozpoczęca. Chwle te mogą być wyberane dowolne. Ponadto w dzedzne zadana wprowadza sę satę puntów oreśloną a w (.4). W pracy te metoda KRR zostane zastosowana do dysretyzac pochodne przestrzenne temperatury. Pochodna temperatury względem czasu będze dysretyzowana przy pomocy schematów różncowych [ ]. Wybrany schemat różncowy est stosowany do równana różnczowego zwyczanego zapsanego w postac: trona 44

47 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów (3.3) gdze: est funcą zależną od czasu wartośc temperatury w dzedzne dzedzne zadana w przypadu równań (.3) (.4) est to funca wążąca gradent temperatury z własnoścam termofzycznym materału. chemat może zostać zapsany w postac: (3.4) gdze: est ednoroowym schematem różncowym dysretyzuącym czas est długoścą nterwału czasowego - czas a ma mędzy puntem a + ; oznacza dysretne wartośc temperatury w momentach węzłach. Jeżel w schemace (3.4) ne występuą wartośc temperatury w rou + schemat ten nazywa sę awnym. W przecwnym wypadu rozważany schemat est neawny. Rozwązywane równań różnczowych przy pomocy schematów awnych est dużo prostsze nż przy pomocy schematów neawnych. Wyznaczene wartośc badane welośc w następnym rou dysretyzac opera sę na wyonanu prostych operac arytmetycznych dla tablcy wartośc znanych z rou poprzednego. Poszuwane rozwązana schematam neawnym wąże sę z onecznoścą rozwązywana często somplowanych uładów równań. chematy neawne maą edna pewne własnośc tóre pozwalaą zachować stablność oblczeń wyonywanych przy ch pomocy [77]. W celu uproszczena zagadnena w beżące pracy stosowany będze tylo schemat awny Eulera Dysretyzaca pochodnych przestrzennych w równanu różnczowym Fourera - Krchhoffa ech dane będze równane różnczowe cząstowe FK bez członu źródłowego oreślone na przedzale domnętym [a b]. Zastosowane metody KRR do dysretyzac tego równana polega na wyrażenu druge pochodne przestrzenne przy pomocy sumy ważone wartośc temperatury w węzłach sat. W przypadu założena stałe wartośc współczynnów termofzycznych w równanu FK występue druga pochodna względem zmenne przestrzenne (.6). Korzystaąc ze wzorów (3.6) (3.7) (3.) oraz (3.) otrzymue sę: (). (3.5) W przypadu tym opsana wzorem (3.3) szybość stygnęca est aprosymowana przez wyrażene: a (). (3.6) trona 45

48 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów trona 46 Jawny schemat różncowy Eulera dla tego problemu ma postać:. W a a (3.7) W przypadu gdy współczynn termofzyczne w równanu FK opsane są funcam zależnym od atualne wartośc temperatury w równanu różnczowym występue dwurotne pochodna przestrzenna rzędu perwszego (.5). Korzystaąc ze wzorów (3.6) (3.) (3.) pochodną tę można aprosymować przy pomocy wzorów:. (3.8) Opsana wzorem (3.3) szybość stygnęca będze aprosymowana przez wyrażene: r r r r p c. (3.9) Jawny schemat różncowy Eulera dla tego problemu ma postać: P r r r r p r r r r p r r r r p W W C c c c (3.0) gdze: P C est macerzą dagonalną na tóre przeątne w werszu znadue sę wyraz p c est macerzą dagonalną na tóre przeątne w werszu znadue sę wyraz.

49 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Dysretyzaca (3.7) lub (3.0) zastosowana do odpowedne postac równana FK pozwala na znalezene rozwązana przyblżonego o le znane są warun początowe brzegowe Dysretyzaca warunów brzegowych przy pomocy metody KRR Prezentowana ponże lasyfaca warunów brzegowych poprzez stosowaną nomenlaturę odnos sę do warunów tóre można spotać w odlewnctwe. W opracowanu tym założone zostało że brzeg podobszarów tworzących da sę podzelć na cztery rawędze I II III IV na tórych fzyczny charater modelowanego problemu pozwala wprowadzć warune brzegowy I II III IV rodzau odpowedno [3]. Dysretyzaca olenych warunów brzegowych przeprowadzona est dla przypadu ednowymarowego. Dzedzną zadana est przedzał D = [a b]. Kerune os na tóre znadue sę ten odcne est zgodny z erunem gradentu temperatury. Wyprowadzone ponże wzory zalecane są do oblczeń w tórych założone zostało że () < () >. Założene tae est spełnone we wszystch oblczenach prezentowanych w te pracy. W sytuac w tóre tae założene ne było by spełnone wyznaczone ponże wzory można stosować. Poawa sę wtedy edna oneczność wyznaczena wartośc temperatury w puntach brzegowych poprzez rozwązane uładów równań budowanych analogczne a w przypadu lasyczne metody KR []. Wyznaczone przy pomocy prezentowanych ponże wzorów wartośc temperatury na brzegach mogą być wyorzystane podczas realzac schematu rozwązywana równana różnczowego przewodzena cepła bez członu onwecynego (.). W przypadu równana FK z uwzględnenem ruchu cepła przez onwecę (.) wzory te będą sę omplować przez oneczność uwzględnena ruchu masy w uładze Warune brzegowy I rodzau Warune brzegowy perwszego rodzau zwany est też warunem Drchleta. W przypadu tego warunu na brzegu zadawana est funca determnuąca wartość temperatury w ażde chwl rozpatrywanego procesu w ażdym punce brzegu. I : (3.) gdze: I () est funcą opsuącą zmanę wartośc temperatury. Dysretyzaca Dysretyzacę tego warunu brzegowego realzue sę w ten sposób że dla atualnego rou czasowego wyorzystue sę funcę I do wyznaczena wartośc w węźle brzegowym ( I ). Wartość ta podstawana est do schematu różncowego. W przypadu schematów neawnych wartość warunu brzegowego może być wyznaczana w olenym rou czasowym. I trona 47

50 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Jest to warune bardzo łatwy do realzac w schemace numerycznym. Jedna est on sztuczny w ategorach opsu rzeczywstego procesu Warune brzegowy II rodzau Warune brzegowy drugego rodzau zwany est taże warunem eumanna. Warune ten polega na zadanu func rozładu gęstośc strumena ceplnego w ażdym punce brzegu podczas całego czasu trwana procesu. II : qb (3.) n gdze: przez n rozume sę erune wetora normalnego do brzegu przez będącym argumentem func opsuące wartość przewodnośc ceplne rozume sę ( ) q b () est gęstoścą strumena ceplnego na brzegu obszaru. Dysretyzaca Podczas dysretyzac zostało założone że warune brzegowy drugego rodzau obowązue na obu brzegach dzedzny. Wówczas matematyczne warune ten może zostać zapsany 0 0 a b : qb0. (3.3) Po wprowadzenu sat dysretne warune ten będze obowązywał w e sranych węzłach:. Dla olenych momentów w tórych przeprowadzane są oblczena wyznaczane są wartośc gęstośc strumena Q b qb oraz Q b qb. Informace te zestawone ze wzorem dysretyzac perwsze pochodne temperatury względem zmenne przestrzenne (3.8) pozwalaą zapsać następuącą równość: Q b Q b (3.4) stąd wyznacza sę temperatury w węzłach brzegowych: Q Q b b. (3.5) zczególnym przypadem tego warunu brzegowego est warune symetr. Załada sę wówczas że gęstość strumena na brzegu est równa zeru. Wyznaczone wzory sprowadzaą sę wówczas do postac: trona 48

51 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów. (3.6) Wyznaczone w ten sposób temperatury brzegowe mogą posłużyć do uzupełnena schematu różncowego o znane wartośc zarazem w rou a + w zależnośc od wybranego schematu Warune brzegowy III rodzau Warune brzegowy trzecego rodzau zwany est taże warunem ewtona. Warune ten polega na zadanu temperatury ośroda otaczaącego uład oraz na zadanu prawa wymany cepła pomędzy powerzchną brzegu a otoczenem. Prawo to w ogólnym przypadu est bardzo złożone poneważ umue wszyste trzy rodzae ruchu cepła: onwecę przewodzene promenowane. III amb gdze: amb oznacza temperaturę otoczena : ˆ (3.7) n lub przy użycu poęca oporu ceplnego zdefnowanego R [ (3)]: ˆ amb. III : (3.8) n R W powyższych wzorach przez ˆ [W m - K - ] rozume sę zastępczy współczynn wymany cepła. Jest on sumą sładowych zwązanych ze sładowe onwecyne radacyne r [3]. Dysretyzaca Przyęte zostało założene że warune brzegowy trzecego rodzau obowązue na obu brzegach dzedzny. Można go zapsać w postac: 0 0 a b : ˆ amb. (3.9) Po wprowadzenu dysretyzac czasu przestrzen oraz zastosowanu wzorów aprosymacynych (3.8) równana (3.9) przeształcaą sę do postac: ˆ amb ˆ amb. (3.30) trona 49

52 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów trona 50 Z równań tych wyznacza sę :. ˆ ˆ ˆ ˆ amb amb (3.3) Wyznaczone przy pomocy wzorów (3.3) wartośc temperatury na brzegach mogą być wyorzystane podczas realzac schematu rozwązywana równana różnczowego przewodzena cepła Warune brzegowy IV rodzau Warune brzegowy czwartego rodzau zwany est taże warunem dealnego (bezoporowego) ontatu. Warune ten delarue cągłość gęstośc strumen po obu stronach brzegu. Jest to szczególny przypade warunu brzegowego trzecego rodzau. Ze względu na wysoą stosowalność est on rozważany osobno szczególne w zagadnenach zwązanych z odlewnctwem.. : n n IV (3.3) gdze: ndesy odnoszą sę do obu obszarów po przecwnych stronach brzegu przez będące argumentem func opsuące wartość przewodnośc ceplne rozume sę ( ) podobne a w przypadu opsu warunu brzegowego II rodzau ( ). Dysretyzaca ech nterfes rozdzelaący podobszary oznaczone ndesam na tórym wprowadzony est warune brzegowy czwartego rodzau w przypadu ednowymarowym oznaczony będze symbolem 0. Wówczas warune można zapsać:. : IV (3.33) Warune ten stosue sę często w przypadu gdy oblczena prowadz sę na neednorodnym obszarze. W tam przypadu dzedzna zadana słada sę z dwóch poddzedzn: D = [a 0 ] D = [ 0 b]. Współczynn termofzyczne w równanu FK opsuące zmany temperatury w ażdym podobszarze są różne. Poddzedzny spełnaą zależnośc: D D = D D D = { 0 }. W ażde z nch rozpatrue sę osobną satę = { : [a 0 ]} = { : [ 0 b]). Dla sate generowane są osobno

53 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów współczynn dysretyzac metodą KRR. Obowązuą one tylo podczas dysretyzac wartośc w węzłach sat należących do odpowednch poddzedzn. ech sata słada sę z węzłów a sata z M węzłów. Obe sat maą węzeł zwązany z puntem 0. W przypadu sat est to węzeł o ndese w przypadu sat węzeł. Po dysretyzac równana (3.33) mogą być zapsane w postac: (3.34) gdze: () () oznaczaą współczynn przewodzena cepła dla obszaru są współczynnam wagowym metody KRR w obszarze D D odpowedno. Przeształcene tego równana pozwala wyznaczyć temperaturę nterfesu mędzy obszaram : W W (3.35) gdze: W. (3.36) Wyznaczona dla nterfesu podobszarów D D wartość temperatury może zostać użyta do realzac schematów numerycznych rozwązywana problemu przepływu cepła. trona 5

54 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rozdzał 4 Analza doładnośc przyblżena pochodne metodą KRR Metody numeryczne tae a metoda R elementów sończonych (E) obętośc sończonych (O) KR oraz ch lczne odmany polegaą na dysretyzac pochodnych cząstowych względem współrzędnych przestrzennych występuących w równanach różnczowych opsuących procesy fzyczne rozważane przez nżynerów. Procesy te mogą być zależne od czasu (procesy nestaconarne) lub ne (procesy staconarne). W obu przypadach podstawowym czynnem wpływaącym na doładność rozwązana modelu est doładność aprosymac pochodne przestrzenne. Przedstawone w tym paragrafe numeryczne badana doładnośc metody KRR ao metody różnczowana func stanową perwszy etap analzy doładnośc schematów rozwązywana RRCz bazuących na omawane metodze. W tym celu stworzony został program omputerowy [78] realzuący przyblżene pochodnych zadane func metodam R KR oraz KRR. Został on zastosowany do wyznaczana drugch pochodnych trzech func elementarnych: f ()=ep( ) f ()=ln(+) f 3 ()=sn(). Wybór tach func został podytowany tym ż welu badaczy postulue wysoą wartość func esponencalne podczas opsu procesów fzycznych. Funca snus została wybrana ao reprezentant func trygonometrycznych tóre występuą w szeregach trygonometrycznych. zereg te zwane szeregam Fourera wraz z funcą esponencalną buduą rozwązana doładne problemów przewodzena cepła o le znalezene rozwązań tach est możlwe. Funca logarytmczna równeż często występue podczas opsu zaws fzycznych. Jest ponadto funcą odwrotną do func esponencalne. Wyn oblczeń zostały porównane z wartoścą doładną druge pochodne func w węźle. W programe został zastosowany algorytm oreślana rzędu w węzłach sat trona 5

55 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów opsany w paragrafe 3. (przyładowy rozład przedstawony est na rysunu Rys. 3.). Wszyste oblczena przeprowadzone były w przedzale [0 ]. W dzedzne te wprowadzona została sata o węzłach równoodległych E (.57). Wyn zgromadzone dla tego przedzału są reprezentatywne ze względu na możlwość utworzena bec mędzy puntam wybranym z dowolnego przedzału [a b] a przedzałem [0 ]. Prezentowane tuta wartośc błędu będą proporconalne dla nnych przedzałów w stosunu zależnym od długośc przedzału [a b]. W pracy posługwano sę dwoma wsaźnam wantyfuącym pozom błędu popełnanego podczas przyblżonego różnczowana. Perwszy z nch: m appro m eact d f d f (4.) m gdze: m oznacza wsaźn błędu średnego popełnanego podczas numeryczne aprosymac m-te pochodne func; d m f appro oznacza przyblżoną wartość m-te pochodne func f w węźle o ndese d m f eact oznacza przyblżoną wartość m-te pochodne func f w węźle o ndese. Koleny: ma m appro m eact m ma d f d f (4.)... oznacza masymalny m ma błąd numeryczne aprosymac m-te pochodne func f. Badany był równeż rozład błędu aprosymac w dzedzne. W tym przypadu brana pod uwagę była wartość bezwzględna różncy pomędzy wartoścą doładną a przyblżenem pochodne w ażdym punce dzedzny. Z wyznaczonych wartośc błędów popełnanych podczas aprosymac pochodnych func f f f 3 wycągnęto średną arytmetyczną. Wartość ta est oreślana w nnesze pracy ao błąd uśrednony. 4. Wpływ lczby węzłów sat na doładność przyblżena W paragrafe tym zostały przedstawone wyn zastosowana metody KRR ao narzędza numerycznego wyznaczana druge pochodne func względem zmenne przestrzenne. Wyn pracy programu omputerowego [78] zostały porównane z rozwązanem doładnym oraz z wynam te same operac wyonane przy użycu metod R lasyczne KR. W esperymence numerycznym wyorzystana została metoda KRR o rzędze z przedzału R mn = 7 R ma = 5 rozłożonym w dzedzne zgodne z algorytmem opsanym w 3.. W zwązu z charaterem metody aby uzysać ta wyso rząd masymalny oneczna est sata o odpowedne lczbe węzłów (.4.). Aby przeprowadzć oblczena dla sate o newele lczbe węzłów zastosowano schemat KRR o zmennych rzędach masymalnym R ma mnmalnym R mn (Rys. 4.3 oraz Rys. 4.4). trona 53

56 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Metoda R est metodą tóre w przecągu ostatnch dzesęcolec pośwęcono bardzo wele prac. Algorytm różnczowana metodą R wyorzystany w programe omputerowym powstał na podstawe publac [ ]. Zastosowano reurencyne schemat wyznaczana perwsze pochodne func metodą R zgodne ze wzoram dysretyzac pochodne [76]. Metoda KR zastosowana w esperymence numerycznym odpowada opsane przez hu w []. W przypadu te metody zastosowane zostały formuły aprosymac druge pochodne opsane wzoram (.5) oraz (.38) dla m =. a rysunu Rys. 4. przedstawona została uśrednona zmana wartośc wsaźnów średnego błędu aprosymac druge pochodne wybranych w esperymence func elementarnych. Wyn prezentowane na tym rysunu zostały wygenerowane dla sate o lczbe węzłów z przedzału [0 50]. Po wyznaczenu wartośc dla ażde z analzowanych func zsumowanu podzelenu przez ch lczbę otrzymano wartość uśrednoną. Wartość ta reprezentue doładność przyblżena drugch pochodnych func elementarnych. Wdocznym est szyb wzrost wartośc błędu dla metody KR w badanym przedzale lczby węzłów. Równocześne doładność metody R systematyczne rośne wraz ze wzrostem lczby węzłów. Dla rozważanych sate ne przeracza edna wartośc W przypadu metody KRR doładność przyblżena rośne dla sate o lczbe węzłów z przedzału [0 75] następne doładność stablzue sę o oolcy wartośc 0 - by dla sate o lczbe węzłów węsze nż 0 doładność malee edna ne spada ponże Rys. 4.. Uśrednona zmana wartośc wsaźnów średnego błędu aprosymac druge pochodne dla func elementarnych f f f 3 wraz ze wzrostem lczby węzłów sat dla metod KR R oraz KRR. a rysunu Rys. 4. zostały przedstawone wyn analzy uśrednonego wsaźna błędu aprosymac druge pochodne func w puntach sat. Wyres poazue że błąd popełnany podczas aprosymac metodą R sucesywne malee wraz ze wzrostem lczby węzłów sat. Przy 400 węzłach osąga wartość Błąd tóry popełnany est podczas trona 54

57 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów zastosowana metody KRR est edna dużo mneszy dla sate o lczbe węzłów z przedzału [00 400] ne przeracza wartośc 0-0. Wyres poazue że wartość błędu est namnesza dla sate o lczbe węzłów blse 00. Dla sate tóre sładaą sę z węzłów z przedzału [0 330] wartość błędu stablzue sę w poblżu wartośc dla gęstszych sate natomast znów neznaczne wzrasta. Rys. 4.. Uśrednona zmana wartośc wsaźnów średnego błędu aprosymac druge pochodne dla func elementarnych f f f 3 wraz ze wzrostem lczby węzłów sat dla metod R oraz KRR. Bardze somplowane oblczena mały mesce dla sate o lczbe węzłów z przedzału [5 40]. W tym wypadu ne było możlwośc zastosowana schematu KRR o R mn = 7 R ma = 5. Dlatego zastosowano metodę o stałym R mn = zmennym rzędze masymalnym R ma = (patrz.4.). Wyn oblczeń wdoczne są na rysunu Rys W przypadu metody KR wraz ze zwęszanem lczby węzłów sat od 5 do 5 podnos sę doładność przyblżena druge pochodne badanych func. Dalsze zagęszczane sat wywołue spade doładnośc. Dla sate o lczbe węzłów węsze nż 30 doładnośc metod KR KRR zrównuą sę. W przypadu gęstszych sate doładność tórą uzysue sę przez zastosowane metody KR est gorsza nż w przypadu metody KRR. Analza dalsze zmany doładnośc wraz ze wzrostem lczby węzłów pozwala stwerdzć że dla sate o lcznośc węsze nż 40 węzłów (Rys. 4. Rys. 4.3) doładność metody R est lepsza nż metody KR. Doładność metody R poprawa sę sucesywne wraz ze wzrostem lczby węzłów sat. Je doładność dla wszystch badanych sate est edna nższa nż doładność metody KRR. Analza puntów umeszczonych na wyrese pozwala równeż stwerdzć że szybość z aą poprawa sę doładność est wyższa dla metody KRR nż dla metody R. trona 55

58 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rys Uśrednona zmana wartośc średnego błędu aprosymac druge pochodne dla func elementarnych f f f 3. Ze względu na nemożność zastosowana wysoego R ma w przypadu sate o neznaczne lczbe węzłów w metodze KRR przyęto stałe R mn = oraz zmenne R ma = -. Zaobserwowana stosunowo nsa doładność metody KRR podczas esperymentu numerycznego Rys. 4.3 w porównanu do metody KR dla < 30 mogłaby sugerować ż w tach przypadach należy stosować metodę KR. Kolene oblczena poazuą coś zgoła nnego. a rysunu Rys. 4.4 przedstawono wyn analzy dla sate o lczbe węzłów z przedzału [5 47]. W oblczenach tych zastosowano metodę KRR o nnym nż poprzedno rozładze rzędów. Dla sate z przedzału [5 ] zastosowano metodę o stałym rzędze R ma =R mn =. Metoda ta est równoważna metodze KR. W przypadu sate o węsze lczbe węzłów > zastosowano stałe wartośc rzędów: R mn = 8 R ma =. Dzę zastosowanu tae metody aprosymac błąd z am przyblżamy druge pochodne badanych func malee by dla sate o > 0 ustablzować sę neco ponże wartośc 0-0. Wdać że zastosowane metody KRR znacząco poprawa doładność rozwązana równeż dla sate o neznaczne lczbe węzłów. trona 56

59 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rys Uśrednona zmana wartośc średnego błędu aprosymac druge pochodne dla func elementarnych f f f 3. Podczas esperymentu numerycznego zastosowano metodę o R ma =R mn = - dla [5; ] dla > zastosowano schemat o R mn = 8 R ma =. Analzowana była taże średna wartość masymalnego błędu popełnanego w węzłach sat podczas przyblżana druge pochodne wybranych func elementarnych. Wyn prezentowane na wyresach Rys. 4.5 zostały wylczone przy zastosowanu metody KRR o grancznych wartoścach rzędów równych R mn = 7 R ma = 5. Wdać ż zachowane rzędu masymalnego est analogczne do tego obserwowanego podczas globalne analzy nedoładnośc Rys. 4. Rys. 4.. Rys Uśrednona zmana wartośc masymalnego błędu reestrowanego w węzłach dzedzny podczas aprosymac druge pochodne func elementarnych f f f 3 : (a) dla sate o lczbe węzłów z przedzału [0 50] metody KR R KRR (7; 5) (b) dla sate o lczbe węzłów z przedzału [0 400] metody R KRR (7; 5) trona 57

60 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów 4. Analza rozładu błędu aprosymac w dzedzne Dalsza analza przydatnośc metody KRR ao narzędza numeryczne aprosymac pochodnych func polegała na badanu rozbeżnośc wartośc przyblżonych doładnych wynów różnczowana w ażdym punce sat. Zastosowano metodę o R mn = 7 R ma = 5. Wyn przeprowadzonych testów zostały zameszczone na rysunu Rys Rys Rozład uśrednonych różnc mędzy wartoścą doładną wyznaczoną metodam KR R KRR dla sate o różne lczbe puntów: = 0 = 30 = 40 = 50 = 60 = 80. Podczas esperymentu numerycznego wzęte pod uwagę były trzy metody: KR R KRR. Oblczena przeprowadzono dla sate o różnych lczbach węzłów: = 0 = 30 = 40 = 50 = 60 = 80. Wyn poazuą że w ażdym przypadu nalepsza doładność uzyswana est w centrum dzedzny. W przypadu metody KR KRR est ona na podobnym pozome. Błąd ponże wartośc 0-0 dla ażde z rozpatrywanych sate. W przypadu metody R błąd w centrum dzedzny równeż est namneszy edna trona 58

61 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów znaczne węszy nż błąd popełnany podczas aprosymac z wyorzystanem pozostałych metod. Malee on wraz ze wzrostem gęstośc sat na tóre wyonuemy oblczena. Rozład błędu aprosymac druge pochodne metodą R w prawe wszystch węzłach sa ma zblżoną wartość. Wyąte stanową węzły znaduące sę na brzegach dzedzny. W puntach tych doładność przyblżena est znaczne mnesza ooło 500-rotne. Zachowane pozostałych metod przy brzegu est odmenne. Efet obnżana sę doładnośc aprosymac przy brzegu est zauważany w lu węzłach z nm sąsaduących. Jaość przyblżena obnża sę stopnowo by osągnąć wartość mnmalną w ednym z węzłów brzegowych. W przypadu żadne z metod analzowane wartośc ne rozładały sę symetryczne. Wydae sę że wyna to z fatu ż badane funce równeż ne wyazuą symetrycznego przebegu w rozważane dzedzne [0 ]. Jednaże obserwowana est bardzo slna tendenca do wzrostu wartośc wyznaczna popełnanego błędu w stronę obu brzegów dzedzny. Rozład puntów oreślaących charater dystrybuc błędu dla metody KR wyazue specyfczne zachowane. Punty rozładaą sę w uładze tóry z powodzenem mógłby być aprosymowany parabolą. mułość tego rozładu a błąd popełnany na brzegach wzrasta wraz ze wzrostem lczby węzłów sat. Lcznesze staą sę taże zbory węzłów zaweraące brzeg dzedzny punty sąsaduące w tórych aość przyblżena est gorsza. Doładność aprosymac drugch pochodnych metodą KRR w badanym przedzale dla sate o newele lczbe węzłów wyazue zachowane podobne a w przypadu metody KR. Wartość błędu stopnowo wzrasta w stronę węzłów brzegowych. W centrum przedzału edna doładność przyblżena est bardzo wysoa. Dla sat o = 0 błąd popełnany podczas aprosymac est podobny do obserwowanego podczas stosowana metody KR czasem nawet węszy. Dalszy wzrost lczby węzłów sat ne powodue edna wzrostu wartośc błędu a dla sate o gęstośc węsze nż 40 węzłów maleą zaresy węzłów tóre ze względu na znaczny wzrost nedoładnośc mogą być oreślone ao brzegowe. Malee lczba tych węzłów a obszary ch występowana w sense metrycznym. łumaczone to może być poprzez neznaczne podnoszene sę stablzacę pozomu błędu w centrum dzedzny. Zachowane tae ne ma mesca w poblżu brzegów. am błąd pozostae na tym samym pozome. Dla bardzo gęstych sate rozład błędu aprosymac w dzedzne przypomna wyres dla R. Doładność przyblżena metodą KRR est edna dużo lepsza. Ułada sę stablne w przedzale [ ] edyne w poedynczych węzłach blsch brzegom wartośc błędu są poza tym przedzałem. Przy zadanych w omawanym esperymence numerycznym ogranczenach rzędu metody KRR masymalny błąd aprosymac drugch pochodnych wybranych func elementarnych dla sate o lczbe węzłów węsze nż 40 est mneszy nż 0-7. Co est wynem neporównane lepszym nż w przypadu pozostałych analzowanych metod. trona 59

62 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów 4.3 Analza wpływu wartośc rzędu mnmalnego masymalnego metody KRR Kolenym etapem badań doładnośc metody KRR była ocena wpływu a maą defnuące rozład rzędu przyblżena w przedzale parametry R mn R ma. Wedza ta est szczególne stotna gdyż dla sat o znane lczbe węzłów równoodległych pozwol oreślć schemat aprosymac druge pochodne func o nawyższe doładnośc. Rozład rzędu w dzedzne R DQ est ta a opsany w 3.. Manpulace wartoścam rzędu odbywały sę na satach o lczbe węzłów newęsze nż 500. Gęstość sat o namnesze lczbe węzłów doberana była ta by możlwe było zastosowane schematu o zadane wartośc R ma. Zestawene wynów dla zborów sate o gęstośc z odpowednch przedzałów pozwolło wyznaczyć średne geometryczne błędów (4.). Esperymenty numeryczne pozwolły na ustalene wartośc rou zmany gęstośc sat = 5. Dalsze zmneszane tego rou zmenało wyn średnego o mne nż 7%. Perwsze analzy zmerzały do oreślena stopna z am wpływa na doładność wartość rzędu mnmalnego. W tym celu wartość rzędu masymalnego została ustalona R ma = 35. Wartość rzędu mnmalnego zmenała sę w zarese R mn [ 35]. Wyn zestawone zostały na wyrese Rys Rys Zmana doładnośc metody KRR wraz ze wzrostem rzędu mnmalnego w przedzale [ 35] przy ustalonym rzędze masymalnym R ma = 35. Można zaobserwować że wraz ze wzrostem rzędu mnmalnego doładność metody podnos sę. astępne powyże wartośc R mn > 8 doładność metody pogarsza sę. zybość z aą błąd wzrasta est nższa nż szybość wcześneszego wzrostu doładnośc. Jedna uż dla rzędu mnmalnego węszego nż 5 różnca mędzy rozwązanem doładnym a przyblżonym est węsza nż w przypadu rzędu mnmalnego równego. Borąc pod trona 60

63 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów uwagę czas oneczny do zrealzowana pewnego zadana eżel doładność algorytmów będze na podobnym pozome wybera sę zawsze metodę wymagaącą mneszego naładu oblczeń. pośród schematów o R mn = 5 lub węszym wybera sę zatem schemat o R mn =. Dobrym rozwązanem wydae sę być zatem wyberane schematów metody KRR o R mn należących do przedzału R mn [4 ]. Powyższe oblczena były przeprowadzone dla schematów o stałym rzędze masymalnym. W tae sytuac poawa sę pytane o ewentualny wpływ zmany rzędu masymalnego algorytmu. Rys Wpływ zmany rzędu masymalnego metody KRR przy równoczesnych zmanach rzędu mnmalnego oraz masymalna procentowa zmana wartośc błędu dla olenych R mn wywołana zmaną R ma. a wyrese prezentowane są wybrane wartośc R ma = a rysunu Rys. 4.8 przedstawona została zależność uśrednone wartośc błędu metody KRR od zmany wartośc rzędu mnmalnego dla wybranych wartośc rzędu masymalnego R ma = Dodatowo wartośc wybranych wartośc R mn R ma zostały zebrane w tabel. a wyrese wdać że zmana rzędu masymalnego ne zmena stotne wartośc błędu popełnanego podczas aprosymac. Celem zobrazowana loścowego wpływu zmany rzędu masymalnego metody KRR w dzedzne na wyrese został umeszczony masymalny procentowy wpływ zmany rzędu na zmanę doładnośc. Masymalne wartośc tego parametru ne przeraczaą 0 % (abela ). Wartośc odchylena doładnośc w puntach gdze notowany est nawyższy wpływ procentowy pozostaą na pozome welorotnośc 0 -. Różnce te są zatem neznaczne. Doładna analza danych zgromadzonych w tabel sugerue że dla prezentowanych wartośc R mn doładność oblczeń była nawyższa dla R ma = 0. trona 6

64 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów abela. Zestawene wpływu zmany wartośc rzędu masymalnego metody KRR na uśrednoną wartość nedoładnośc przyblżena drugch pochodnych wybranych func elementarnych dla wybranych wartośc rzędu mnmalnego. Wartośc błędu przyblżena zgromadzone w tabel należy pomnożyć przez (0 - ). Rys Analza średnch wartośc błędu dla R ma z przedzału [5 60] wyznaczanych dla olenych wartośc R mn dla grupy sate o lczbe węzłów z zaresu [00 500]. Pozome zelone lne ogranczaą przedzał doładnośc tóry pomaga dentyfować schematy o wyątowo wysoe doładnośc astępne wyonano serę symulac w tórych oreślano średną wartość wyznaczna błędu dla olenych wartośc R ma z przedzału [5 60] oraz sate o lczbach węzłów z zaresu [00 500] uśrednano dla olenych ustalonych wartośc R mn. Wyn oblczeń zostały przestawone na wyrese Rys W obserwowanym zarese wartośc R ma optymalną wartoścą R mn est 7. Wartość błędu dla schematów w tórych rząd mnmalny oreślony est wartoścam 6 8 est bardzo podobna. rochę węszy błąd popełnony zostane schematam o rzędze mnmalnym R mn = Jedna przyblżena te możemy tratować ao bardzo doładne. trona 6

65 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów W śwetle prezentowanych wynów można stwerdzć że ne est możlwym oreślene wartośc rzędu mnmalnego masymalnego optymalnych w sense mnmalzac błędu średnego popełnanego podczas aprosymac druge pochodne schematem opartym na metodze KRR. Zwązane est to z fatem ż wspomnane wartośc rzędów grancznych slne zależą od lczby węzłów sat. Możlwe est edna oreślene przedzałów w tórych wartośc te pownny sę znadować oraz podane lu sugest dotyczących doboru wartośc R mn R ma w zależnośc od lczby węzłów sat w węzłach tóre poszuwane est dysretne rozwązane problemu. W pratyce oblczenowe dążymy taże do ogranczena lczby oblczeń onecznych do osągnęca rozwązana o wysoe doładnośc. W zwązu z tym od osoby tóra stosue schemat KRR wymagana est zdolność szybe reac na zmany warunów symulac numeryczne. Zdolność ta pozwol lepe wyorzystać możlwośc tóre dae omawana w ramach nnesze rozprawy metoda numeryczna. Dalsze oblczena soncentrowane były na próbe oreślena pary wartośc rzędów: mnmalnego masymalnego dla tórych schemat metody KRR osąga nawyższą doładność. Dotychczas zgromadzone wyn oblczeń poazały że oreślene tach wartośc ne est możlwe globalne. Wartośc R mn R ma przy tórych przyblżene druge pochodne szacowane est z nalepszą doładnoścą slne zależą od lczby węzłów sat na tóre budowany est schemat tabele oraz 3. Oblczena wyonane zostały dla różnych sate z przedzałów oreślonych w perwsze olumne tabel. W tabel analzowano sat o gęstośc węzłów z przedzału = 5 do = 550. Zbory puntów równoodległych z przedzału [0 ] zostały pogrupowane w zbory o lcznoścach będących olenym lczbam naturalnym. Zmany lcznośc zdefnowane zostały przez parametr. Wyznaczone dla ażde sat z wybranego przedzału doładnośc przyblżena druge pochodne func elementarnych były uśrednone przy pomocy średne geometryczne. W tabel zgromadzono wyn dla zborów sate oreślonych różnym wartoścam. Wraz ze wzrostem lczby węzłów sat wartośc R mn R ma maleą. Obserwowane zmneszane sę wartośc tych rzędów ogranczone est od dołu przez wartość 5 w przypadu R mn przez 9 w przypadu R ma dla analzowanych sate. trona 63

66 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów abela. Zestawene optymalnych w sense uśrednone wartośc rzędów R mn R ma dla sate o węzłach równoodległych przy różnych zaresach lczby węzłów. W zestawenu brano pod uwagę wybrane zbory węzłów z zaresu od = 5 do = 550. Grupy sate zostały podzelone na podzbory o lczbach węzłów będących olenym lczbam naturalnym. Lczność wybranych podzborów oreśla parametr. Ceawe wnos nasuwaą sę podczas analzy danych zebranych w tabel 3. Oblczena przeprowadzone były dla sate o newele lczbe węzłów. Rzędy optymalne poszuwane były dla sate tórych lczność zmenała sę masymalne o =5 awyższe wartośc rzędu mnmalnego a masymalnego osągane są w przypadu sate o lczbe węzłów z przedzału [5 30] wynoszą R mn = 3 R ma = 8. astępne wartośc te szybo maleą. Obserwowane tendence zman wartośc podobne są do tych zaobserwowanych w przypadu węszych podzborów lczby węzłów. Analza przeprowadzona dla tych podzborów wyazue dużą wrażlwość optymalnych wartośc rzędu mnmalnego masymalnego na zmanę lczby węzłów sat szczególne dla sate o lczbe węzłów < 50. abela 3. Zestawene optymalnych w sense uśrednone wartośc rzędów R mn R ma dla sate o węzłach równoodległych przy różnych zaresach lczby węzłów. W tym zestawenu wzęto pod uwagę sa o lczbe węzłów z zaresu od = 5 do = 75. Różnce pomędzy lcznoścam sate wynosły ne węce nż =5. Dla sate o lczbe węzłów węsze nż 50 można zasugerować stosowane schematów o rzędze mnmalnym zawartym w przedzale R mn [5 9] rzędze masymalnym z przedzału R ma [9 3]. Wartośc rzędów grancznych pownny stopnowo maleć pozostaąc w podanych przedzałach dla sate o lczbe węzłów węsze nż 300 ne trona 64

67 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów pownno sę stosować schematów w tórych rząd mnmalny est nższy nż 5 Rys. 4.9 a rząd masymalny est węszy nż 9. Zmana wartośc rzędu masymalnego znaczne słabe wpływa na wartośc błędów popełnane podczas oblczeń w porównanu ze zmanam rzędu mnmalnego. Wybór możlwe małe wartośc R ma prowadz do srócena czasu oblczeń z tego powodu przede wszystm zostało to ogranczene podane. W przypadu sate o lczbe węzłów mnesze nż 50 należy stosować schematy o podwyższonym rzędze. W tym celu można sę posłużyć danym zgromadzonym w tabel 3. trona 65

68 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rozdzał 5 Weryfaca rozwązana przyblżonego dla problemu transportu cepła o znanym rozwązanu doładnym W paragrafe tym zostane przedstawony model opsuący neustalone przewodzene cepła w płyce nesończone przy ustalonych warunach brzegowych III rodzau [4]. Dla problemu taego możlwe est znalezene rozwązana doładnego. Zestawene rozwązana analtycznego z wynam modelowana numerycznego pozwala wyazać walory metody KRR zastosowane do problemów przewodzena cepła. 5. Model matematyczny przewodzena cepła w nesończone płyce Prezentowany model matematyczny opsue przepływ cepła w nesończone płyce o grubośc L nagrzewane lub chłodzone z temperatury początowe 0 do temperatury otoczena amb przy stałym współczynnu wnana cepła ˆ oraz stałych właścwośc materału c p. W zwązu z założenem nesończonośc płyty problem może zostać podzelony na dwa dentyczne zadana rozwązywane w przestrzen ednowymarowe po obu stronach płaszczyzny symetr. a ednym z brzegów zostane wprowadzony warune brzegowy II rodzau z gęstoścą strumena ceplnego równą zeru. a drugm brzegu temperatura w punce brzegowym amb zostaną zwązane w warune brzegowy III rodzau (3.7) przy pomocy współczynnaˆ. trona 66

69 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rozład temperatury w płyce opsany est równanem FK (.6) obowązuącym w przedzale [0 L]. Warune brzegowy dla = 0 ma postać (3.) gdze po prawe strone wstawa sę zero ze względu na założene symetr uładu. W = L przymue sę warune brzegowy (3.7). Oblczena przeprowadzone zostały dla stalwa o parametrach w stane stałym równych = 35 W/(m K) c p = 690 J/(g K) = 7500 g/m 3 [3]. Grubość płyty równa est L = 0 m. Efetywny współczynn wnana cepła ˆ = 50 W/(m K) [4]. emperatura na zewnątrz płyty wynos 3 C podczas gdy temperatura płyty est równomerne rozłożona w całe płyce na początu procesu wynos 450 C. Przy tach założenach uład równań opsuących opsany problem ma postać: (5.) a zapsany uład równań może być rozwązywany zarówno metodam numerycznym a metodam analtycznym. 5. Rozwązane doładne Dla problemu przepływu cepła opsanego uładem równań (5.) da sę wsazać rozwązane doładne. Wyprowadzene tego rozwązana w odnesenu do pola temperatury można znaleźć w pracach [4 4]. Po wyonanu odpowednch przeształceń dochodz sę do wzoru: amb n cos sn 0 amb cos n ep n Fo n sn L n n n (5.) gdze: Fo = al - [K m - ] oznacza lczbę Fourera n est n-tym rozwązanem równana: n ctg n ( n ) nn 05 (5.3) B Wyznaczene rozwązana doładnego opsanego wzorem (5.) nastręcza łopotów ze względu na występowane w wyrażenu nesończone sumy oraz w zwązu z fatem że znalezene rozwązana równana (5.3) ne est możlwe metodam analtycznym. W sytuac te należy zastosować przyblżene sumy nesończone przez sumę sończoną. Kolene wartośc n są wyznaczane przy pomocy numerycznych algorytmów rozwązywana równań nelnowych [7 8]. trona 67

70 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów trona Dysretyzaca problemu W przedzale [0 0] wprowadzona została sata równoodległa E (.57) o zadane lczbe węzłów. W dzedzne czasu wprowadzono myślowo podzał na chwle czasu odległe o stały nterwał. Zgodne z założenem przyętym w tym rozdzale do aprosymac pochodne temperatury względem czasu zastosowany został awny schemat różncowy Eulera. Pochodne przestrzenne zostały przyblżone metodą KRR oraz popularną metodą R Metoda wadratur różnczowych sterowanego rzędu Przy atualnych złożenach z zastosowanem metody KRR równane różnczowe cząstowe FK wraz z warunam ednoznacznośc (5.) może zostać zapsane w postac dysretne ao uład równań algebracznych: (5.4) Wzór powyższy stanow algorytm tóry prowadz do wyznaczena rozwązana przyblżonego metodą KRR w wybranych węzłach sat oraz wybranych chwlach Metoda różnc sończonych W przypadu metody R zastosowane do modelu (5.) po dysretyzac otrzymue sę następuący algorytm: (5.5) gdze: est roem sat równoodległe.

71 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów 5.4 Wyn modelowana numerycznego Ze względu na postać rozwązana doładnego do wyznaczena przyblżena nesończone sumy (5.) musał zostać przygotowany program omputerowy [78]. Kontrola doładnośc rozwązana analtycznego polegała na ocene wartośc bezwzględne olenego wyrazu sumy (5.) oraz współczynna n. Jao dopuszczalny rząd błędu przyblżena przyęto OL = 0-7. Do wyznaczena wartośc współczynna występuącego w równanu (5.3) zastosowana została metoda połowena przedzału dla tóre możlwa est ontrola doładnośc przyblżena rozwązana. Dopuszczalny błąd metody połowena przedzału został ustalony na pozome 0-8 (0 - OL). Wyn dla rozwązana doładnego zapsywane były w węzłach wybrane sat oreślone na przedzale [0 0] w chwlach czasu odległych o s. a podstawe algorytmów opsanych równanam (5.4) oraz (5.5) został stworzony program omputerowy [78] tóry wyznacza przyblżony rozład temperatury w nesończone płyce. Program umożlwał generowane sate o dowolnych lczbach węzłów. W rozdzale tym prezentowane są wyn oblczeń dla sate sładaących sę z = puntów. chematy w tórych stosowano metodę KRR operały sę na rozładach rzędów o ogranczenach (R mn ; R ma ) równych odpowedno (5; 9) (7; ) (; 6). Rozład rzędu przyblżena w dzedzne est zgodny z algorytmem opsanym w paragrafe 3.. Oblczena przeprowadzone były z roem czasowym równym = 0-4 s. W przypadu metody R KRR oraz rozwązana analtycznego zastosowano te same współczynn nezmenne z temperaturą. Wynem pracy programu są rzywe stygnęca nesończone płyty stalwne w węzłach sat dla zadanych odcnów czasu wyznaczone metodam R KRR. trona 69

72 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rys. 5.. Porównane wynów oblczeń numerycznych uzysanych metodą różnc sończonych oraz metodą wadratur różnczowych sterowanego rzędu (wyresy: (a) (b) R mn = ; R ma = 6 wyresy: (c) (d) R mn = 5; R ma = 9) z doładnym rozwązanem problemu stygnęca płyty stalwne. Oblczena przeprowadzone dla sate o węzłach równoodległych o różnych lczbach węzłów: a) c) = 37 b) d) = 87 Wyznaczone przy pomocy metod numerycznych (metoda różnc sończonych oraz metody wadratur różncowych sterowanego rzędu o różnych parametrach mnmalnym (a) oraz 5 (c) masymalnym 6 (b) oraz 9 (d)) wartośc temperatury w punce znaduącym sę w centrum dzedzny zestawone z wartoścam rozwązana doładnego prezentowane są na wyresach Rys. 5.. Omawane wyresy przedstawaą zmanę temperatury wyznaczoną dla sate = 37 oraz = 87. Krzywe przedstawaące wyn oblczeń numerycznych w przypadu obu metod dla zadanych parametrów oblczeń w opsywanym przedzale czasu zachowuą charater rzywe rozwązana doładnego. Doładność metody R dla proponowanych sate zmena sę znacząco. zybość z aą rozwązane uzysane tą metodą zwęsza swą nedoładność est dużo węsza w przypadu sat gęstsze nż w przypadu sat o 37 węzłach. W przypadu obu sate doładność metody R est znaczne nższa nż doładność metody KRR dla ażdego z prezentowanych rozładów rzędów. Prezentowane rzywe uzysane przy pomocy badane metody numeryczne oraz ze wzoru opsuącego rozwązane doładne maą nemal dentyczny przebeg. Śwadczy to o dużo węsze doładnośc metody KRR w stosunu do metody R. Podobne analzy przeprowadzane były dla sate o nnych lcznoścach oraz dla metody KRR o nnych parametrach defnuących rozład rzędu przyblżena w dzedzne. Krzywe stygnęca wygenerowane podczas tych oblczeń maą bardzo podobny przebeg. Ze względu trona 70

73 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów na podobeństwo wzmanowanych rezultatów przedstawone zostały wyresy tylo dla czterech wybranych przypadów Rys. 5.. W tabel 4 zestawone zostały nedoładnośc z am wyznaczone są przyblżena metodam R KRR dla różnych sate w wybranych momentach od rozpoczęca oblczeń. W przypadu ażde metody numeryczne błąd przyblżena wartośc temperatury wzrasta w czase oblczeń. Zmana błędu w olenych nterwałach est zależna od metody. awęsze przyrosty zaobserwować można w przypadu metody R. W przypadu metod KRR o różnych parametrach oreślaących rozład błędu wdoczne są pewne zależnośc pomędzy przyrostam nedoładnośc a lczbą węzłów sat. Dla sat o = 37 węzłach namnesze wartośc błędu obserwowane są dla rozładu (; 6) gdze perwsza lczba odnos sę do wartośc mnmalne rzędu a druga do wartośc masymalne. Dla pozostałych rozładów wartośc nedoładnośc są węsze. Dla sat o = 5 ao nadoładneszy może być uznany wyn uzysany przy rozładze (7; ). Oblczena dla sat o = 300 obarczone są namneszym błędem gdy zastosowano metodę KRR o parametrach (5; 9). Omawany zwąze mędzy parametram metody KRR e doładnoścą a gęstoścą sat dysretne pozwala na uzysane oblczeń o dodatowo poprawone doładnośc (poprawa o 0 0 %). Poprawa ta est znacznesza dla sate o newele lczbe węzłów. Wartośc błędu wyznaczone podczas esperymentu numerycznego dla ażde odmany metody KRR są na podobnym pozome. Wyn te różną sę od sebe o wartośc newęsze nż 5% dla ustalone chwl oraz lczby węzłów sat. Inacze wyglądaą relace pomędzy nedoładnoścą oblczeń wyonanych przy pomocy metody R KRR. Wyznaczona nedoładność metody R est la rzędów doładnośc wyższa nż nedoładność metody KRR. Obserwacę tę potwerdza równeż przebeg rzywych wdocznych na rysunu Rys. 5. na tórym ne można dostrzec różnc w przebegu rzywych rozwązana doładnego oraz wyznaczonych metodą KRR. Wdoczne est natomast odchylane sę rzywe rozwązana uzysanego metodą R od rzywe rozwązana wyznaczonego ze wzoru opsuącego doładne rozwązane problemu przewodzena cepła w nesończone płyce (5.). trona 7

74 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów abela 4. Zestawene różnc mędzy wartoścą rozwązana doładnego a rozwązana numerycznego uzysanego przy pomocy metody R KRR o różnych parametrach rzędu dla sate o różne lczbe węzłów równoodległych po olenych nterwałach. Wartośc błędu zgromadzone w tabel 4 poazuą że rozbeżność pomędzy wartoścą doładną a wartoścą uzysaną przy pomocy metody R est slne zależna od gęstośc sat dysretyzuące dzedznę. Zwęszane gęstośc sat przy ustalonym rou czasowym znaczne obnża doładność rozwązana. Omawaną cechę metody R szczególne łatwo mocno obserwue sę dla wynów uzysanych po s oblczeń od początu omawanego procesu. Metoda KRR ne est ta wrażlwa na zmany lczby węzłów sat a metoda R. Po przeroczenu 00 s wartośc błędów są bardzo zblżone dla ażde spośród analzowanych sate. W początowe faze oblczeń doładnesze wydaą sę oblczena prowadzone dla sat o = 300 węzłów. Jedna dla sat = 37 po 50 s doładność oblczeń metodą KRR o parametrach (; 6) est wyższa nż dla ażde z omawanych rodzaów metody KRR w tóre współczynn wagowe generowane są dla zboru węzłów sat o = 300. W tym wypadu równeż różnce ne są węsze nż 0 %. trona 7

75 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Ze względu na newelą różncę pomędzy doładnoścą różnych odman metody KRR aby umożlwć analzę umulowana sę nedoładnośc w trace oblczeń przeprowadzanych dla problemów dynamcznych wartośc błędu uśrednono dla analzowanych rodzaów KRR. W efece tego dzałana otrzymano zależność uśrednonego błędu oblczeń od czasu dla sat o = 300 Rys. 5.. Zależność ta pozwala zaobserwować newel wzrost błędu w perwszych seundach oblczeń następne wzrost szybośc zmany błędu w przedzale 5 50 s stablzacę szybośc z aą podnos sę nedoładność w stosunu do rozwązana doładnego dla olenych analzowanych momentów. Rys. 5.. Zmana uśrednone wartośc nedoładnośc metody KRR w trace oblczeń numerycznych dla sat o = 300. Uśrednene poległo na przyęcu ao wartośc błędu średne arytmetyczne wartośc błędu w warantach metody KRR (5; 9) (7; ) (; 6) Dalsza analza może zostać przeprowadzona gdy zestawona zostane szybość z aą podnos sę nedoładność w stosunu do rozwązana analtycznego z atualną temperaturą w centrum uładu szyboścą z aą temperatura zmena sę w tym punce Rys Maąc na uwadze uwdocznene stotnych zman w przebegu badanych zależnośc wyres został ogranczony do przedzału czasu [0 350] seund. Obserwaca prezentowanych tuta rzywych pozwala potwerdzć znaczny wzrost szybośc z aą narasta błąd przyblżena metodą KRR w perwszym etape oblczeń. Można stwerdzć że ma to mesce uż począwszy od 0 seundy analzowanego procesu. W tym samym momence obserwowany est wzrost szybośc stygnęca (temperatura w analzowanym węźle sat zaczyna maleć ooło seundy). a rzywe temperatury zmana ne est eszcze zauważalna. trona 73

76 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rys Uśrednona szybość zmany nedoładnośc metody KRR w trace oblczeń numerycznych dla sat o = 300 wraz z atualną temperaturą oraz szyboścą stygnęca w centrum uładu aszybce błąd zmena sę ooło 50 s procesu. Porywa sę to ze znacznym przyspeszenem stygnęca w centrum analzowanego uładu. Późne szybość z aą narasta nedoładność rozwązana numerycznego znacząco malee. Ooło 5 seundy szybość zmany temperatury zaczyna zmenać sę znacząco. Jest to moment oblczeń w poblżu tórego można zaobserwować punt przegęca na rzywe opsuące szybość stygnęca. Począwszy od 75 seundy procesu zmana szybośc zmany błędu est uż neznaczna stablzue sę na w poblżu wartośc /s. Równocześne szybość stygnęca wcąż rośne choć uż dużo wolne. W 350 seundze osąga ona wartość 08C/s. trona 74

77 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rozdzał 6 chematy umożlwaące rozwązywane model rzepnęca Przez rzepnęce rozume sę proces wydzelana sę w metalu fazy stałe ao wyn odprowadzena z danego mesca odlewu oreślone lośc cepła przemany ze stanu cełego w stan stały. eora rzepnęca odlewów maąc do dyspozyc charaterystyę ceplną func źródła cepła przeman zamue sę oblczanem przebegu rzywe stygnęca odlewów [4]. Wzmanowana funca źródła cepła przeman zwana też całowtą wydanoścą wewnętrznych źródeł cepła est zależnoścą opsuącą szybość z aą zmena sę wartość uwalnanego podczas rzepnęca cepła q V (.). Dla przypadu w tórym rozważa sę rzepnęce odlewu w forme luczowe znaczene podczas modelowana ma zatem znaomość func źródła cepła przeman. Je właścwy dobór decydue o poprawnym (odpowadaącym rzeczywstośc) rozwązanu modelu opsuącego przebeg rzepnęca oreślonego odlewu. Beżący rozdzał pracy tratue o możlwośc stosowana metody KRR do rozwązywana model opsuących nestaconarne źródłowe pola temperatury. W lteraturze zwązane z poruszanym tematem można spotać sę z weloma próbam opsu temperatury wpływu rzepnęca na temperaturę w przedzale [ L ]. Przez rozume sę temperaturę soldus. Jest to temperatura ponże tóre w rozważane obętośc metal występue tylo w ao cało stałe. Przez L rozume sę temperaturę lwdus. Jest to temperatura powyże tóre metal występue tylo ao cecz. Dla temperatury z przedzału [ L ] rozważa sę strefę dwufazową gdze w obętośc zamowane przez metal w różnych proporcach współstneą obszary stałe cełe. zybość z aą obętość ceła przechodz w stałą może być modelowana na pozome mrosopowym [8 9 9]. W przypadu tam gdy rozważa sę mechanzm tworzena fazy stałe począwszy od poawena sę perwszych trona 75

78 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów zarodów rystalzac poprzez badane nety ch wzrostu mówmy o teor rystalzac odlewów. Poęce rystalzaca dotyczy równeż przeman w stane stałym. Podczas modelowana rzepnęca można wyorzystać wyznaczoną podczas analzy procesu rystalzac szybość wzrostu obętośc zarzepłe (funca udzału obętośc zarzepłe). Odpowedno opracowane wyn esperymentu mogą dostarczyć dysretnych wartośc źródła cepła przeman fazowych. Metoda analzy danych dośwadczalnych zmerzaąca do dentyfac te func przy pomocy analzy różnczowe rzywe stygnęca została opsana przez Longę w pracy [4] Bazue na metodach termczne analzy różncowe (DA) [ 80 8] oraz metodze różnczowana rzywe stygnęca prezentowane przez Rabusa Poltena [8] tóre zostały zaadaptowane do problemów występuących w odlewnctwe. Alternatywą est założene a pror postac te func tóra może zostać zasugerowana w wynu analzy danych emprycznych. Koleną metodą oreślena func udzału obętośc zarzepłe est sorzystane z oblczeń mro - model rystalzac dla analzowanego materału [8-0 3]. 6. Model matematyczny rzepnęca odlewu nesończone płyty wyonane z wybranego stopu w forme pasowe Opracowany model matematyczny opsue przebeg procesu rzepnęca odlewu nesończone płyty w forme pasowe. W przypadu tym możlwe est wprowadzene szeregu założeń: odlew est płytą nesończene długą szeroą przewodzene cepła mędzy odlewem a formą odbywa sę przy pomalne małym oporze ceplnym forma odbera cepło przez płasą powerzchnę; gradent temperatury est serowany prostopadle do te powerzchn właścwośc termofzyczne materału stopu oraz formy są zmenne z temperaturą. Ich wartośc opsane są funcam sleanym z welomanów perwszego stopna zbudowanych na puntach odczytanych z bazy danych programu MAGMAoft [83] (Dodate A) oraz wyznaczonych podczas esperymentu ( 6.4.) temperatura powetrza otaczaąca formę est stała wynos 3C w metalu zanedbana est onweca; cepło przenoszone est tylo na drodze przewodzena temperatura lwdus soldus dla analzowanego stopu est wyznaczona na podstawe rzywe stygnęca zareestrowane podczas esperymentu funca opsuąca udzał obętośc zarzepłe f została oreślona metodą opsaną w paragrafe ( 6.3.) []. Założena wymenone powyże pozwalaą na uproszczene rozważanego problemu do przypadu ednowymarowego w tórym wyróżnone są dwe poddzedzny Rys. 6.. Postać trona 76

79 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów równana FK oraz parametry termofzyczne w nm występuące w ażde z poddzedzn są różne. Rozważany uład est symetryczny. W zwązu z czym możlwe est wprowadzene płaszczyzny symetr rozdzelaące obszar odlewu formy na dwe dentyczne połowy. Punt należący do płaszczyzny symetr na rysunu Rys. 6. został oznaczony symbolem A. Rys. 6.. chemat przedstawaący uład w tórych prowadzone są oblczena. Wdoczne są dwe dzedzny oraz charaterystyczne punty. Dzedzna D odpowada połowe obszaru odlewu dzedzna D przylegaącemu obszarow formy. W zwązu z różnym charaterem materałów równane FK w ażdym obszarze ma nną postać: D L f : c (6.) c p p D : c p (6.) w powyższych równanach ndesy dolne odnoszą sę do numeru dzedzny. ymbole oznaczone opsuą parametry termofzyczne stopu symbole oznaczone odnoszą sę do parametrów materału formy. Znaczene zmennych est tae samo a to zdefnowane w równanu (.). Ich wartośc zmenne z temperaturą wyznaczane są dla atualne temperatury panuące w otoczenu badanego puntu D D. W punce A rozważany est warune symetr: A 0. (6.3) W punce B rozważany est warune dealnego ontatu ceplnego: B B B B. (6.4) trona 77

80 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów W punce C warune brzegowy trzecego rodzau: C ˆ amb (6.5) gdze: ˆ [W m - K - ] oznacza zastępczy współczynn wymany cepła amb [K] est temperaturą otoczena. Parametry termofzyczne materałów z ach zbudowane są obszary D D zmenaą sę wraz z temperaturą. Podstawą do aprosymac przebegu ch zmennośc stały sę wartośc pozysane z bazy danych programu MAGMAoft. Wartośc zmerzone w trace esperymentu posłużyły do opsu wartośc urytego cepła przemany L oraz szybośc przyrostu udzału obętośc zarzepłe f. Pary puntów wążące parametry termofzyczne z temperaturą uzysane zarówno z bazy danych programu MAGMAoft a równeż zgromadzone podczas esperymentu posłużyły do budowy func sleanych zbudowanych z welomanów perwszego stopna. Aprosymace omawanych func zostały przedstawone w paragrafe 6.4. (abela 6) oraz Dodatu A. 6. umeryczny model rzepnęca nesończone płyty Równane FK w postac (6.) est równanem nelnowym. Wartość temperatury w elemence dysretnym należącym do podprzestrzen D wyna z ale za razem: wpływa na zmanę udzału obętośc zarzepłe w tym elemence. Istnee wele podeść do modelowana rzepnęca podczas numerycznego rozwązywana równana różnczowego FK. Uzysane przyblżena obarczonego newelm błędem est bardzo stotne ze względu na fat ż wyznaczone ta pole temperatury ma duże znaczene podczas dalsze analzy procesów ceplnych oraz dyfuzynych. Rozwoem metod matematycznego opsu procesu rzepnęca zamue sę bardzo welu badaczy [ ]. Jao efet ch pracy powstały bardzo popularne algorytmy uwzględnana nelnowośc w równanu FK stosowane podczas numerycznego rozwązywana równana przewodzena cepła uwzględnaącego wewnętrzne źródło cepła. aczęśce stosowanym metodam uwzględnana nelnowośc podczas rozwązywana równana różnczowego FK są: metoda zastępcze poemnośc ceplne strefy dwufazowe (..5) [ ] uogólnona metoda poprawana temperatury [3] oraz uogólnona metoda zapasu temperatury [ ]. Opsany ponże model numeryczny powstał na baze uogólnone metody zapasu temperatury. Podobne prace adaptuące różne podeśca do uwzględnena nelnowośc w równanu FK publowane były dla różnych metod aprosymac pochodne przestrzenne [ ]. trona 78

81 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów 6.. Dysretyzaca pochodnych względem czasu oraz zmennych przestrzennych Równane FK opsuące analzowany proces (6.) możemy zapsać w następuące postac: gdze: G G L f (6.6) c p K (6.7) cp s oznacza szybość zmany temperatury w punce D zwązaną z gradentem temperatury L est obętoścowym cepłem przemany f est szyboścą przyrostu udzału obętośc zarzepłe. Dysretyzaca przestrzen oblczenowe polega na wyodrębnenu pewnych elementów przestrzennych (płasch lnowych) zwanych równeż elementam dysretnym. Ich wybór zwązany est z metodą aprosymac szybośc stygnęca G ( ) (6.7). W przypadu metody KRR sata dysretna est tożsama z tą stosowaną w przypadu metody różnc sończonych. Komór elementarne są: prostopadłoścanam w przypadu trówymarowym prostoątam w przypadu dwuwymarowym odcnam dla przypadu ednowymarowego. Ich lczba est stała ednoznaczne wynaąca z welośc dzedzny. Równane (6.6) opsue szybość z aą zmena sę temperatura w dysretnym elemence sat. Aby przyblżyć pochodną temperatury względem czasu wprowadza sę 0 na odcn długośc zwane roam czasowym. podzał dzedzny czasu end Przez end rozume sę moment zaończena rozpatrywanego procesu. Zwyle czas trwana procesu est neznany stanow eden z wynów modelowana dlatego nacze nż w przypadu ogranczone dzedzny przestrzenne ne zadae sę lczby roów czasowych a ch długość. Znanych est wele schematów różncowych służących do aprosymac pochodne temperatury względem czasu [7 77]. Do realzac opsywanego modelu numerycznego została wybrana naprostsza a za razem nabardze ntucyna metoda: schemat awny Eulera. Po dysretyzac pochodnych przestrzennych czasowych ednowymarowe równane FK (6.6) przymue postać: L G f G (6.8) c p trona 79

82 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów gdze: est ndesem węzła sat wartość func w punce momence oznaczana est srótowo przez ndes dolny górny np. dla temperatury G f est przyrostem udzału obętośc zarzepłe w elemence o ndese przy prześcu od temperatury w rou do temperatury w rou +. Dale welość ta oznaczana będze f. Równane (6.8) est nelnowe poprzez zależność f od temperatury. Kluczowym zagadnenem podczas ego rozwązywana est wyznaczene wartośc przyrostu udzału obętośc zarzepłe w ażdym elemence dysretnym w olenych roach schematu dysretyzac czasu. W omawanym modelu rzepnęca założone zostało że zanedbywana est możlwość poawena sę realescenc oraz że warun fzyczne gwarantuą cągłe studzene stopu G 0 zatem: G. (6.9) W ażdym rou czasowym równane (6.8) może być rozumane ao blans temperatur: G (6.0) P gdze: G [K] est zmaną temperatury w danym rou czasowym wywołaną przez szybość stygnęca G = G G est zmaną temperatury w danym rou czasowym wywołaną efetem ceplnym przemany fazowe P L c f p K różnca K est zmaną temperatury w elemence różncowym tórą można będze zaobserwować po beżącym rou czasowym (efet przewodzena przemany). Proces numerycznego rozwązywana równana (6.) w ażdym rou czasowym z wyorzystanem metody KRR słada sę z dwóch etapów. W perwszym etape wprowadzona est aprosymaca pochodnych przestrzennych temperatury przy pomocy metody KRR. Wyznaczone w ten sposób przyblżena pochodnych służą do ustalena wartośc G (6.7) dla ażdego węzła sat. Zestawona z długoścą rou schematu różncowego wartość szybośc zmany temperatury pozwala wyznaczyć o le zmenła by sę ona w węźle gdyby zależało to wyłączne do gradentu temperatury w tym regone: G c p l l l l. (6.) Przyblżone rozwązane równana opsuącego zmanę temperatury zapsaną w forme (6.) przebega zgodne ze procedurą opsaną w trona 80

83 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów 6.. Model rzepnęca stopu gdy znana est funca f W olenym etape uwzględna sę cepło generowane podczas zmany stanu supena. Ilość cepła tóre wydzel sę po zaończenu beżącego rou oblczeń est zależna od temperatury temperatura tóra po nm sę ustal w elemence. W zwązu z tym że est zarówno rezultatem oblczeń a równeż występue w człone f opsuącym przyrost udzału obętośc zarzepłe w analzowanym elemence równane (6.8) est nelnowe. W celu zwęszena doładnośc rozwązana oneczne est zastosowane edne z metod przyblżonego rozwązywana równań nelnowych. Równane (6.) zapsane w postac (6.0) umożlwa oreślene func celu tóre znaczene est ntucyne zgodne z zadanem blansowana obu stron równana. Mnmum osągane est gdy przyme wartość przy tóre równane (6.0) est spełnone z zadaną tolerancą metody oblczenowe. a początu drugego etapu oblczeń parametry G L cp tratowane są ao stałe. Jedynym zmennym parametrem tórego wartość należy oreślć w tym etape est. Od tego parametru zależy wartość różncy oraz P. ech funca oreślaąca nedopasowane wartośc temperatury w olenym rou oblczenowym będze zadana następuącą zależnoścą: J. (6.) a zdefnowane odwzorowane ma następuącą własność: G P J 0 (6.3) gdy est temperaturą przy tóre równane (6.0) est spełnone. Podczas oblczeń zapamętywana est nformaca o atualne zarzepłe obętośc tóra przechowywana est ao wartość parametru f. Welość ta est zwązana ze stanem elementu różncowego. Udzał obętośc zarzepłe atualzowany est zgodne z równanem: f f. (6.4) W równanu (6.) przez P () rozume sę przewdywaną zmanę temperatury gdyby temperatura po analzowanym rou czasowym osągnęła wartość G. Przewdywana zmana temperatury zwązana z przemaną fazową zależna est od planowanego przyrostu udzału obętośc zarzepłe: P p L f f. (6.5) c trona 8

84 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Załada sę że opsywany model pownen zachowywać blans energ. W zwązu z tym oneczna est ontrola lośc urytego cepła przemany wydzelanego podczas olenych roów czasowych schematu. Wartość ta przelczona na przyrost temperatury pownna wynosć: P L c (6.6) p powyższa suma przebega po wszystch wartoścach przez P rozume sę lość stopn tóre zostały uwzględnone w blanse (6.0) ao efet zmany udzału obętośc zarzepłe po -tym rou oblczenowym. W opse tam f stanow parametr tóry odnos sę do zapasu temperatury tóra została do wyorzystana podczas oblczeń zmerzaących do zrozumena przebegu procesu rzepnęca. Zmany te wartośc zależą od przebegu func f co pozwala podczas oblczeń numerycznych odtworzyć szybość z aą wydzela sę cepło podczas rzeczywstego procesu. Po ażdorazowym zaończenu procesu wyznaczana wartość f est atualzowana o udzał obętośc zarzepłe tórego wydzelene sę est oneczne by osągnąć wartość P przy tóre spełnone est równane (6.0). Założena wymenone powyże zapobegaą sytuacom gdy cepło wydzela sę welorotne podczas rzepnęca tego samego ułama obętośc zarzepłe. W przypadu gdy dopuszcza sę dowolną postać func opsuące przyrost udzału obętośc zarzepłe zwyle ne est możlwe doładne wyznaczene wartośc. W sytuac tae oneczne est zastosowane przyblżonych metod poszuwana rozwązana. uta zastosowana zostane metoda ewtona poszuwana rozwązana równana nelnowego [7 8]. Metoda ta polega na teracynym budowanu cągu olenych przyblżeń wartośc temperatury. astępna wartość zależna est od atualne wartośc wartośc func J oraz e pochodne względem temperatury: J L f c p G L c f p p L c f f (6.7) gdze przez f ( ) oznaczono pochodną func udzału obętośc zarzepłe względem temperatury ze względu na to że przebeg zmennośc temperatury oraz f f dodatowe zmenne est ta sam zachodz równość: dla G. Metoda ewtona poszuwana zer func est metodą o bardzo szybe zbeżnośc edna ne zawsze znalezona wartość znadue sę w zadanym przedzale oblczeń. Wówczas uzysane rozwązane ne było by zgodne z sensem fzycznym omawanego modelu. Dlatego trona 8

85 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów należy nałożyć ogranczena na metodę. W tym wypadu gdyby podczas oblczeń warune (6.9) przestał być spełnany przez olene metoda ewtona zostae wyłączona. A oblczena wewnątrz przedzału sranych wartośc temperatury odbywaą sę metodą olenych podzałów przedzału (bsec) [8] Algorytm oblczenowy Ponże przedstawony został ogólny zarys algorytmu według tórego przeprowadzone były oblczena przebegu procesu rzepnęca. ) Ustal warun początowe oraz warune przerwana oblczeń. Mędzy nnym: G toleranca oblczeń: 0. ) Wyznacz olene przyblżene optymalne wartośc temperatury: J. L f c p 3) Jeżel 4) Jeżel ontynuu. J przerw oblczena przedź do puntu 7. powróć do puntu w przecwnym wypadu G 5) Dzedzna oblczenowa rozpada sę na dwa podzbory: G. Jeżel J 0 J G wówczas podstaw a G w przecwnym wypadu podstaw 6) Dla func a b. J oreślone na przedzale b oraz b a z doładnoścą poszuu zera metodą bsec ograncz lczbę podzałów do 0. Wyn podstaw do zmenne +. 7) Znalezona wartość + est przyblżenem poszuwane wartośc temperatury. W pracy te powyższy algorytm będze stosowany podczas dysretyzac pochodnych przestrzennych przy pomocy metody KRR. Jego charater est edna ogólny może być z powodzenem stosowany podczas oblczeń opartych na nnych metodach numerycznych a metoda różnc sończonych obętośc sończonych metoda satowa Boltzmana nnych Dysretna postać równań różnczowych opsuących rzepnęce nesończone płyty ech w obszarze odlewu (D - Rys. 6.) będze oreślona -węzłowa sata w obszarze formy (D - Rys. 6.) M-węzłowa sata. at wprowadzone w obu tych trona 83

86 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów obszarach są satam o węzłach równoodległych (.57). Ja to uż było pratyowane przez ndes oreślone są zmenne opsuące parametry podobszaru D przez ndes zmenne oreślone dla argumentów z obszaru D. W wynu dysretyzac problem opsany modelem matematycznym przedstawonym w paragrafe 6. otrzymue sę uład równań algebracznych: c p c p ˆ amb. ˆ l l l l l l l c l p L f (6.8) w powyższych wzorach przez rozume sę współczynn wagowe KRR służące dysretyzac pochodne perwszego rzędu oreślone na satce przez współczynn wagowe te metody służące dysretyzac perwsze pochodne oreślone na satce. W przypadu ndesu w cągu ażdego rou czasowego przebega on naperw przedzał [ ] późne [ M ]. Podczas perwszego przebegu włączone est tylo równane dla obszaru D w olenym tylo równane D. Warun brzegowe wyznaczane są ednorotne w ażdym rou czasowym. Rozwązane tego uładu równań opsue przyblżoną wartość temperatury w podobszarze opsuącym nesończoną płytę D podobszarze opsuącym formę D. 6.3 Zastosowane termczne analzy różncowe (DA) do wyznaczena przebegu func źródła cepła przeman W paragrafe tym opsana została procedura wyznaczana przebegu func źródła cepła z zastosowanem termczne analzy różncowe [ ]. Algorytm ten był następne zastosowany do analzy danych esperymentalnych przygotowana dysretne postac func udzału obętośc zarzepłe tóra była wyorzystana podczas numerycznego modelowana rzepnęca stopu AZ9. trona 84

87 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów 6.3. Oreślene szybośc przemany eoretyczna analza równań blansu cepła w celu wyprowadzena zależnośc całowe dla f Krzywa zerowa (bazowa) Z 0 est to rzywa opsuąca przebeg szybośc stygnęca gdyby ne następowało wydzelane sę cepła przemany dodatowo założone est taże że gradent temperatury w całe obętośc prób est równy zeru. Przy założenu że znany est przebeg rzywe zerowe blans cepła z uwzględnenem przemany ma postać []: d qv K Z0. d c s p (6.9) Z równana tego można wyznaczyć wydaność wewnętrznych źródeł cepła: q d. (6.0) d V cp Z0 Cepło tóre wydzel sę od początu przemany do momentu może być opsane przez wyrażene Q() gdze 0 oznacza moment rozpoczęca end zaończena rzepnęca: 0 end qv Q dt. (6.) tąd całowte cepło przemany można wyznaczyć ao wartość cał: 0 end q L V dt. (6.) 0 Jest to cepło tóre wydzel sę po całowtym prześcu rozważane obętośc V ze stanu cełego w stały. Odpowedno Q est loścą cepła tóra wydzel sę po zarzepnęcu obętośc V czyl obętośc tóra est uż stała po czase. Podstawaąc do równana defnuącego udzał obętośc zarzepłe (.8) przy założenu że lość cepła wydzelonego podczas przemany est proporconalna do zarzepłe obętośc otrzymue sę: f Q L 0 qv dt L 0 c p d Z dt L 0 dt 0 c p L d dt Z 0 dt. (6.3) trona 85

88 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Algorytm wyznaczana przebegu func udzału obętośc zarzepłe na podstawe danych w postac dysretnych wartośc ermczna analza różnczowa znadue zastosowane w wyznaczanu przyblżonego przebegu func udzału obętośc zarzepłe na podstawe danych w postac dysretne. Dane w te postac mogą być uzysane zarówno podczas esperymentu a równeż mogą być wynem modelowana [ ]. ech będze dany cąg par puntów... tóry odzwercedla powązane zareestrowane temperatury z momentem w tórym występowała ona w próbce. a podstawe tego cągu wartośc możlwe est aprosymowane przebegu func udzału obętośc zarzepłe. Proces ten schematyczne przedstawa ponższy algorytm: ) Korzystaąc z wartośc dla chwl w tórych ne następue przemana fazowa wyznacz rzywą zerową []. Można to wyonać orzystaąc ze statystycznych metod estymac parametrów np. metody namneszych wadratów (MK) [76]. ) Wyona całowane numeryczne [7 5 76] by znaleźć L według równana: L d cp Z0 d (6.4) gdze est długoścą rou próbowana w otoczenu rou d d oznacza wartość szybośc stygnęca w chwl aprosymowaną na postawe danych weścowych natomast Z 0 est teoretyczną szyboścą stygnęca w te chwl oblczoną przy pomocy rzywe zerowe wyznaczone w punce tego algorytmu. 3) Wyona całowane numeryczne [7 5 76] by znaleźć olene wartośc func udzału obętośc zarzepłe: f l d l c p L Z0 l. (6.5) l d f 4) Efetem pracy algorytmu est wyznaczone całowte cepło wydzelaące sę podczas przemany oraz przyblżene przebegu func f () tóra może być przelczona na f (). trona 86

89 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów 6.4 Ops esperymentu W ramach realzac nnesze pracy zostały przeprowadzone badana esperymentalne. Mały one na celu zgromadzene danych źródłowych dla wyznaczena nety wzrostu udzału obętośc zarzepłe a równeż uzysane wynów umożlwaących weryfacę rozwązana numerycznego Metodya badań esperymentalnych Do prób esperymentalnych został wytypowany stop AZ9 (abela 5). Został on roztopony w eletrycznym pecu oporowym w stalowym tyglu pod osłonną atmosferą gazu F 6 /CO. abela 5. ład chemczny użytego stopu AZ9 wag. % (wyznaczony przy użycu: ICP-OE VARIA Vsta MPX) Al Zn Mn Fe Be Cu Roztopony stop posłużył do wyonana 4 płyte o wymarach mm 3 (Rys. 6.). emperatura zalewana wynosła 650 C. Forma (Rys. 6.3) została wyonana z pasu warcowego z dodatem żywcy utwardzone przez przedmuchane CO. Rys. 6.. chematyczny rysune modelu odlewu czterech ednaowych płyte wraz z uładem wlewowym Dla wytypowanego stopu została przeprowadzona analza termczna. W centrum ażde z płyte umeszczono termoelement typu K (Cr-Al0.5) tóry reestrował rzywe stygnęca. Podczas rzepnęca dane dysretne gromadzone były z zastosowanem systemu Aglent w lczbe 5 pomarów na seundę z ażde płyt. trona 87

90 Zastosowane metody wadratur różnczowych w omputerowe symulac przewodzena cepła rzepnęca odlewów Rys Wdo formy odlewncze wraz przewodam łączącym termoelementy z reestratorem 6.4. Wyznaczene przebegu func źródła cepła przeman na podstawe danych esperymentalnych Krzywe stygnęca zebrane podczas badań dośwadczalnych posłużyły do wyznaczena uśrednone rzywe stygnęca Rys Zastosowano średną arytmetyczną olenych wartośc temperatury. Uzysana rzywa stygnęca stanowła dane źródłowe do wyznaczena przebegu func źródła cepła przeman. Rys Uśrednona rzywa stygnęca uzysana podczas esperymentu trona 88