Ćw. 5. Wyznaczanie współczynnika sprężystości przy pomocy wahadła sprężynowego

Transkrypt

1 5 KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ PRACOWNIA FIZYKI Ćw. 5. Wyznaczane współczynna sprężystośc przy pomocy wahadła sprężynowego Wprowadzene Ruch drgający należy do najbardzej rozpowszechnonych ruchów w przyrodze. Szczególnym przypadem ruchu drgającego jest ruch harmonczny, tóry odbywa sę pod wpływem sły F lnowo zależnej od wychylena x woół pewnego puntu położena F=-x, gdze jest współczynnem proporcjonalnośc. Sła ta ma tę własność, że zmena swój erune na przecwny przy zmane znau wartośc wychylena. Przyładem taej sły jest sła sprężystośc pochodząca od sprężyny, ja poazano na rysunu. W przedstawonym przyładze współczynn jest współczynnem sprężystośc sprężyny. Rys.. Wahadło sprężynowe pozome. Ruch ul o mase m, zgodne z II prawem Newtona jest opsany równanem: ma F S F W ()

2 gdze a jest przyspeszenem, a F W F S wetorem sły dzałającej na masę m pochodzącym od sprężyny. jest sumą sł pochodzących z nnych źródeł nż sprężyna. W naszym przypadu, przedstawonym na rys., ruch odbywa sę wzdłuż ln prostej, tórą możemy oznaczyć jao oś X, z początem w położenu równowag masy (od ścan w odległośc równej długośc swobodnej sprężyny xm). Gdy pomnemy tarce, jedyną słą dzałającą wzdłuż os X jest sła pochodząca od sprężyny. Sły dzałające na masę m w nnych erunach nż w erunu os X równoważą sę w naszym uładze. Wobec tego sła może być przedstawona jao F S x(, a równane przyjmuje postać: d x( m x(. () Po prostych przeształcenach podstawenu m, () gdze jest częstoścą własną uładu, otrzymujemy następujące równane opsujące drgana harmonczne ne tłumone: d x( x(. (4) Jest to równane różnczowe jednorodne drugego stopna. Rozwązanem tego równana jest zależność funcyjna położena x masy od czasu w postac: x ( x sn( t ) (5) o orese Poneważ T m, możemy otrzymać wyrażene na ores wahadła sprężynowego: m T. (6) Realzacja w pratyce pozomego wahadła sprężynowego, tóre wyonuje drgana netłumone jest pratyczne nerealne ze względu na stnene sł tarca o podłoże. Gdy masę m zawesmy na sprężyne wówczas otrzymamy wahadło ponowe, co pozwala na wyelmnowane sł tarca, ale pojaw sę stała sła (cężośc Q ) dzałająca na cało podczas ruchu. Równane ruchu dla taego uładu przyjmuje postać: ma FS Q. (7) Poneważ ruch odbywa sę wzdłuż ln prostej możemy napsać: d x( m x( mg. (8) Po prostych przeształcenach oraz po podstawenu:, (9) otrzymamy równane: d x( x( g. () Rozwązanem taego równana jest następująca funcja: x( x sn( t x () x ) gdze jest stałą, tórą wyznaczamy z warunu równowag sprężyny, gdy obet m spoczywa. W taej sytuacj ampltuda drgań x jest zero x( x, gdze x jest wydłużenem sprężyny w stane równowag. Wówczas sła cężośc jest zrównoważona przez słę sprężystośc sprężyny, co oznacza, że: x mg ()

3 sąd mg x. () Wyrażene powyższe pozwala równeż na dośwadczalne wyznaczene stałej, jeśl znamy masę obetu zaweszonego na sprężyne wydłużene, tóre ten obet spowodował. Ostateczne, możemy stwerdzć, że częstość drgań wahadła sprężynowego ponowego będze taa sama ja dla wahadła pozomego, tylo punt równowag tego ruchu jest przesunęty. Rys.. Wahadło sprężynowe ponowe. W przypadu gdy sprężyna posada masę, to wolno ją pomnąć w sytuacj znaczne mnejszej masy sprężyny w stosunu do masy zaweszonego cężara. W nnych przypadach należy masę sprężyny uwzględnć. Dowolny fragment sprężyny o długośc l ma masę: l m m s, (4) l gdze ms jest masą całej sprężyny, l jest długoścą swobodną sprężyny. Jeśl wychylene ońcowego elementu sprężyny jest równe x (tyle samo co cężara zaweszonego), to wychylene elementu sprężyny w odległośc l od puntu zaczepena jest równe (l/l)x. Natomast prędość tego elementu jest równa (l/l)dx/. Stąd energa netyczna fragmentu sprężyny jest równa: l l dx ms dx E s mv m, s l l l Całowta energa netyczna sprężyny jest wobec tego równa: l ms dx ms dx dx, s l dl l ms l l 6 l l. (5) E. (6) A energa netyczna uładu (sprężyna cężare) będze wówczas równa: dx dx dx E, s m ms m ms. (7) 6 Energa netyczna tego uładu jest równoważna energ uładu ze sprężyną neważą, dla tórego masa cężara została powęszona o / masy sprężyny. Stąd możemy napsać, że ores drgań taego uładu jest równy:

4 T m ms. (8) Metoda pomaru Matoda. Na sprężyne zaweszamy pręt do mocowana obcążnów. Następne zwęszamy obcążene sprężyny merzymy wydłużene sprężyny pod wpływem danego obcążena. Współczynn sprężystośc jest równy stosunow cężaru zaweszonego na sprężyne do wartośc wydłużena spowodowanego tym obcążenem, tzn. Metoda Wprawając obcążoną sprężynę w drgana, merzymy ores drgań, a współczynn sprężystośc wyznaczamy z wzoru na ores drgań gdze mg/ x. m mp ms Tt (9) jest sumą mas obcążnów uwzględnonych w danym przypadu. Ores drgań wyznaczamy merząc czas welu pełnych drgań, żeby doładność jego pomaru była duża. Wyonane ćwczena Metoda. Ważymy na wadze szalowej elementy naszego uładu drgającego, wyznaczając masy: sprężyny ms, pręta do mocowana obcążnów mp, oraz obcążn m.. Zaweszamy na sprężyne pręt do mocowana odważnów.. Następne olejno dodajemy obcążn (m, m, m,...) merzymy wydłużene sprężyny pod wpływem całowtego cężaru zaweszonego na sprężyne. Otrzymane wartośc wpsujemy do tabel: L.p. m [g] x [mm].... Wszyste pomary pownny być zapsywane bez obrób przed zapsanem odczytanej wartośc ne należy przeprowadzać w pamęc żadnych, nawet trywalnych oblczeń. 4. Wartość stałej sprężystośc oblczamy dla ażdego pomaru ze wzoru: m g () x a następne oblczamy wartość średną z tych pomarów. Metoda

5 . Wyonujemy czynnośc opsane w puntach metody.. Wyznaczamy ores drgań (T) dla poszczególnych zestawów obcążnów merząc czas t dużej lczby n (mn. ) pełnych drgań uładu. Ores drgań T = t/n. Wyn pomarów wpsujemy do tabel L.p. m [g] t [s] T [s]..... Dla poszczególnych obcążeń przeształcając wyznaczamy współczynn sprężystośc ze wzoru: m 4, () T gdze m mp ms m, gdze mp jest masą pręta, ms masą sprężyny, a jest sumą mas obcążnów uwzględnona w danym przypadu. Nepewność pomaru współczynna sprężystośc sprężyny szacujemy wybrana metodą zastosowaną odpowedno do wzorów ( ) (). We wzorze () za m przyjmujemy sumę nepewnośc wyznaczana poszczególnych mas, czyl m =mp, + /ms + Zagadnena do olowum:. Wahadło sprężynowe, puntowe, fzyczne.. Drgana harmonczne netłumone, tłumone wymuszone.. Energa w ruchu harmoncznym. Lteratura:. D. Hallday, R. Resnc, J. Waler, Podstawy fzy, Wydawnctwo Nauowe PWN, Warszawa. Tom.. A. K. Wróblews, J. A. Zarzews, Wstęp do fzy, Wydawnctwo Nauowe PWN, Warszawa 99.. C. Kttel, W.D. Knght, M.A. Ruderman, Mechana, PWN, Warszawa J. Taylor, Wstęp do analzy błędu pomarowego, Wydawnctwo Nauowe PWN, G.L.Squres, Pratyczna Fzya, Wydawnctwo Nauowe PWN, Warszawa H. Szydłows, Pracowna fzyczna wspomagana omputerem, Wydawnctwo Nauowe PWN, Warszawa.