Małe drgania wokół położenia równowagi.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Małe drgania wokół położenia równowagi."

Iwona Izabela Sokołowska
6 lat temu
Przeglądów:

1 ałe rgana woół położena równowag.

2 ałe rgana Anazuemy ułay a tórych potencał Vqq,q,..,q posaa mnmum a oreśonych wartośc współrzęnych uogónonych q,, -czba stopn swoboy. ożemy ta przesaować te współrzęne by położenu temu opowaała zerowa wartość wszystch współrzęnych q Przymuemy ż potencał osąga mnmum gy wszyste współrzęne uogónone są równe zeru są wyna ż V Doatowo orzystaąc z owonośc wyboru potencału z ołanoścą o stałe przymuemy ż Vq. Dae załaamy ż potencał est opsany enoroną uncą waratową współrzęnych uogónonych ub też w trace ruchu uła est bso położena równowag. Wówczas rozwaąc potencał w szereg ayora pomaąc wyrazy proporconane o oczynu trzech węce współrzęnych uogónonych ostaemy V q V q q V q q V q q q q q q gze q V q q q q,,,. q q V q q q q...

3 Funca Lagrange a t L q& L q, ałe rgana Przymuemy ponato ż w trace ruchu energe netyczna est ścsłe ub w przybżenu enoroną uncą waratową pręośc uogónonych Równana Lagrange a II rozau q& q& - stałe ne zaeżne o współrzęnych pręośc uogónonych oreśone ao q L V q& q& qq,,,, Wprowaźmy macerze symetryczne rzeczywste czy macerze bęące macerzam hermtowsm [ ] [ ] q&& q acerz te są oatno oreśone co wyna z atu ż > qq > q& q& Neey rozważa sę taże przypa ułaów a tórych q q

4 Zapsane przy pomocy tych macerzy unca Lagrange a równana Lagrange a maą postać q q q& q & q q, q && q, gze q q q q q q Rozwązana równań Lagrange a poszuuemy w postac q t q t q t t ϕ t ϕ gze q t [ ] L Po wstawenu zapostuowane postac rozwązań o równań Lagrange a uwzgęnaąc to ż q& q otrzymuemy równane: t ϕ t ϕ tóre mus być spełnone a owonego czasu t są wyna równane: Równane to ma nezerowe rozwązana po warunem, że et Równane charaterystyczne Rozwązuąc to równane można oreść ozwoone częstośc rgań ułau. Symetryczność oatna oreśoność macerzy zapewna to ż czy częstośc rgań są rzeczywste. >

5 Po znaezenu ozwoonych częstośc rgań można a aże częstośc znaeźć z ołanoścą o stałe macerz oumnową spełnaącą równane ożna poazać ż eementy te macerzy można wybrać ao czby rzeczywste gyż macerze są macerzam o eementach rzeczywstych. Ogóne rozwązane opsuące rgana gy można zapsać w postac t ϕ q t ϕ,,,..., q Rozwązane to a aże współrzęne ma postać ombnac nowe rgań normanych, przy czym gy netóre z częstośc rgań normanych są enaowe np. to wówczas trzeba nałożyć na oatowy warune zapewnaący ż gze,... Gy warune ten est spełnony automatyczne [ ]

6 Dowó ż częstośc rgań są rzeczywste ne orzystamy z założena ż macerz est rzeczywsta Poazuemy ż czba est rzeczywsta gze A oznacza macerz transponowaną sprzężoną w sposób zespoony o * macerzy A poazuąc ż zachoz * * * * czba AB B A Poobne można poazać ż * est taże rzeczywsta Dae można poazać ż poneważ to * * * * * * * * * * * * * * * * * * Poneważ macerze * rzeczywste > * A zatem są czbam rzeczywstym są oreśone oatno to a zatem z reac * wyna ż > * czy czba * > a zatem są

7 w ułaach o * mamy, opowaa ruchow transacynemu ułau Fat ż * Im anaogczny owó a wyna z tego ż q& q& > Dowó ż wszyste wyrazy macerzy można przyąć w postac czb rzeczywstych Jeże macerz zespoona spełna równane a macerze oraz a taże weośc są rzeczywste to równeż macerze Re, Im, * oraz ch ombnace nowe oraz * * > [ Re Im ] [ Re Im ] Re Re Im spełnaą to równane. * Re Re Re * Re Im Im Im co wyna z symetrycznośc macerzy tego ż * Przy tym macerze oraz są rzeczywste a ena z nch est na pewno różna o zera. * > > Im A zatem macerz spełnaąca równane można wybrać ta by była rzeczywsta

8 Dowó ż gy Załaamy ż są macerzam rzeczywstym symetrycznym. Załaamy też ż macerze są rzeczywste ożna poazać ż Z ruge strony A zatem W przypau gy równość może być spełnona tyo wówczas gy

9 Zbaane ruchu wahała powónego o m m m w przybżenu małych rgań y m Energa netyczna m y q, q współrzęne uogónone W położenu równowag x sn x & & y x sn sn m m m x& y& x& y& & & m & & W ceu możwośc zapsu w postac wzoru ogónego & & & & & & trzeba orzystaąc z atu ż <<, << oonać przybżena co prowaz o wynu m & & m & & m & m & m & & & m & A zatem m x m m y & sn & & & x& sn & & y& sn

10 Energa potencana V m gy mg mgy mg mg[ ] mg W ceu możwośc zapsu w postac wzoru ogónego V trzeba orzystaąc z atu ż co prowaz o wynu A zatem const <<, << oonać przybżeń V 3mg mg mg mg mg const 3mg

11 mg mg m m m m Równana ruchu t przymuą awną postać t ϕ ϕ && & && && m && m && mg && && && && m m mg Ich rozwązana poszuuemy w postac Po wstawenu ch o równań ruchu otrzymuemy uła równań t ϕ && t ϕ t ϕ && t ϕ [ ] mg m m t ϕ [ ] m mg m t ϕ

12 [ ] mg m m t ϕ mg m m [ ] m mg m t ϕ m mg m Otrzymaśmy uła równań enoronych na współczynn o postac a on rozwązane nezerowe tyo wówczas gy et mg m m m mg m m m m m Dozwoone częstośc rgań spełnaą warune et mg m m m mg m mg mg mg m m 4 4 mg m m mg m m

13 acerze równana mg m m mg m m g g g g opowaaące wyznaczamy z ołanoścą o stałe z m mg m g g mg m m g mg mg mg mg g mg mg mg mg Pełne rozwązane bęące superpozycą rgań o znaezonych częstoścach ma postać ϕ ϕ ϕ t t t ϕ t

14 π /, π / m oraz m m m g &, &

15 π /, π &, & / m oraz m m m g

16 π /, &, & m oraz m m m g

17 Wyznaczene ruchu sprzężonych wahaeł w przybżenu małych rgań y q, q współrzęne uogónone x x sn y & x & & y & sn m m & x sn x & y y & sn & m x& y& x& y& & & Energa netyczna m Porównane ze wzorem ogónym wsazue na to ż m m & & & & & &

18 y x m m y sn x sn x y Energa potencana s mg mg s mgy mgy V y y x x s sn sn Zmana ługośc sprężyny 4 s sn

19 V mg mg mg mg mg mg s mg mg [ ] mg mg [ ] mg mg V const mg const mg

20 mg t t ϕ ϕ mg m m Równana ruchu przymuą awną postać Ich rozwązana poszuuemy w postac Po wstawenu ch o równań ruchu otrzymuemy uła równań && & mg && && & m mg && && & m t ϕ && t ϕ t ϕ && t ϕ [ ] mg m t ϕ [ ] mg m t ϕ

21 [ ] mg m t ϕ mg m [ mg m ] t ϕ mg m Otrzymaśmy uła równań enoronych na współczynn o postac a on rozwązane nezerowe tyo wówczas gy m m Dozwoone częstośc rgań spełnaą warune et mg m 4 mg m mg m et mg m mg m mg mg g g m

22 Współczynn opowaaące wyznaczamy z równana mg m g g m mg m Pełne rozwązane bęące superpozycą rgań o znaezonych częstoścach ma postać ϕ ϕ ϕ ϕ t t t t W przypau rgana o częstośc oba wahała rgaą w te same aze, zaś w przypau rgana o częstośc m rgaą one w przecwnych azach g g

Podobne dokumenty

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc