Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 8. CAŁKI NIEOZNACZONE. ( x) 2 cos2x

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 8. CAŁKI NIEOZNACZONE. ( x) 2 cos2x"

Michał Jasiński
5 lat temu
Przeglądów:

1 Wykład z Podsaw maemayk dla sudenów Inżyner Środowska Wykład 8. CŁKI NIEOZNCZONE Defnca (funkca perwona) Nech F es funkcą perwoną funkc f na przedzale I, eżel F '( ) f ( ) dla każdego I. Udowodnć, że funkce funkc f ( ) sn. F F ( ) cos są funkcam perwonym dla ( ) 3 cos, Twerdzene (podsawowe o funkcach perwonych) Nech F es funkcą perwoną funkc f na przedzale I, wedy ) G( ) F( ) C, gdze C, es funkcą perwoną funkc f na przedzale I; ) każdą funkcę perwoną funkc f na I można przedsawć w posac F( ) D, gdze D. Defnca (całka neoznaczona) Nech F będze funkcą perwoną funkc f na przedzale I. Całką neoznaczoną funkc f na przedzale I nazywamy zbór funkc { F( ) C, C }. Całkę neoznaczoną funkc f oznaczamy przez f ( ) d.

2 Fak (pochodna całk neoznaczone) Nech funkca f ma funkcę perwoną na przedzale I. Wedy dla każdego I f ( ) d ' f ( ). Fak (całka neoznaczona pochodne) Nech funkca f ' f ma funkcę perwoną na przedzale I. Wedy dla każdego I f '( ) d f ( ). Fak (całk neoznaczone ważneszych funkc elemenarnych) ) 0 d C, ) d C, dla, 3) d ln C, a 4) a d C, 5) e d e C, ln a 6) sn d cos C, 7) cos d sn C, 8) d cg C, 9) d g C, sn 0) arcg, cos d C ) d arcsn C, gdze C oznaczaą dowolną sałą rzeczywsą. Korzysaąc z powyższych reguł oblczyć podane całk: a) d,b). 3 d 3

3 Fak (całk ważneszych ypów funkc) ) f '( ) d ln f ( ) C, f( ) f '( ) ), d C f ( ) f( ) 3) f '( ) d f ( ) C. f( ) Twerdzene (o lnowośc całk neoznaczone) Jeżel funkce f g maą funkce perwone, o cf d c f d ) ( f ( ) g( )) d f ( ) d g( ) d, ) ( ( )) ( ). Korzysaąc z werdzena o lnowośc całk neoznaczone oblczyć podane całk: a) d, b) d. Twerdzene (o całkowanu przez częśc) Jeżel funkce f g maą cągłe pochodne, o f ( ) g '( ) d f ( ) g( ) f '( ) g( ) d. Korzysaąc z werdzena o całkowanu przez częśc oblczyć podane całk: a) e d, b) ln d. 3

4 Twerdzene (o całkowanu przez podsawene) Jeżel f o ) funkca f : I es cągła na przedzale I, ) funkca : J ma cągłą pochodną na przedzale J f ( ) d f ( ( )) '( ) d F( ( )) C. Sosuąc odpowedne podsawena oblczyć podane całk: 7 a) ( 5) d, b) d. Defnca (funkca wymerna właścwa) CŁKOWNIE FUNKCJI WYMIERNYCH L ( ) Funkcę wymerną W( ) nazywamy właścwą, gdy sopeń welomanu w lcznku es M( ) mneszy od sopna welomanu w manownku. Podaną funkcę wymerną zapsać w posac sumy welomanu funkc wymerne właścwe, 6. Defnca (ułamk prose perwszego drugego rodzau) ) Funkcę wymerną właścwą posac ( ) n a ułamkem prosym perwszego rodzau; P Q ) Funkcę wymerną właścwą posac ( p q) n, gdze n oraz a, nazywamy, gdze n oraz p, q, P, Q czym p 4q 0, nazywamy ułamkem prosym drugego rodzau., przy 4

5 Twerdzene (o całkowanu przez podsawene) Każda funkca wymerna rzeczywsa es sumą ułamków prosych. Przedsawene o es ednoznaczne. Funkca wymerna właścwa P ( ) a ( ) ( ) ( ) ( p q ) ( p q ) ( l p q ) s k k k r l l n r s s es sumą k k kr ułamków prosych perwszego rodzau oraz l l ls ułamków prosych drugego rodzau, przy czym k czynnkow ( ) odpowada suma k ułamków prosych perwszego rodzau posac k k ( ) ( ) gdze,,, dla r; k czynnkow posac gdze l ( p ) q odpowada suma l ułamków prosych perwszego rodzau B C B C B C l l p q ( p q ) ( p q ) B, B,, B, C, C,, C dla s. l l l Podać rozkład na ułamk prose wskazanych funkc wymernych właścwych ne oblczaąc współczynnków rodzau: ( ) a), b), c). 3 5 ( )( )( 3)( 4) ( 3) ( )( 0) Fak (całkowane ułamków perwszego rodzau) ) d ln a C, a ) d C, dla n. n n ( a) ( n )( a) 5

6 Rozkładaąc funkcę podcałkową na sumę ułamków prosych oblczyć całk: 4 d a), b) d, c) d, d) d, 4 ( )( )( 3) e) d. ( )( ) CŁKOWNIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH Fak (całkowane funkc posac R(sn,cos ) ) Nech R( u, v ) będze funkcą wymerną dwóch zmennych. Wówczas dla oblczena całek posac R(sn,cos ) d sosuemy podsawene z abel (w zależnośc od warunków ake spełna funkca R). Warunek Podsawene Przedsawene funkc Różnczka R( u, v) R( u, v) cos sn R( u, v) R( u, v) sn cos d d d d R( u, v) R( u, v) g sn d d cos R dowolna funkca g sn cos d d 6

7 Korzysaąc z podsaweń w abel oblczyć całk: 4 d sn d d a), b), c). sn cos cos g Fak ( Do oblczana całek z funkc posac sosuemy ożsamośc rygonomeryczne sn acosb sn( a b) sn( a b) sn asnb cos( a b) cos( a b) cosacosb cos( a b) cos( a b) sn acos b, sn asn b, cos acos b Oblczyć podane całk: a) sn cos 4, b) cos cos. 3 7

Podobne dokumenty

Matematyka II. x 3 jest funkcja

Matematyka II. x 3 jest funkcja Maemayka II WYKLD. Całka eozaczoa. Rachuek całkowy. Twerdzea o całkach eozaczoych. Całkowae wybraych klas fukcj. Całkowae fukcj wymerych. Całkowae fukcj rygoomeryczych.. Defcja fukcj perwoej. Fukcję F