O problemie modelowania stopy procentowej

Transkrypt

1 Krzyszof Paseck Akadema Ekonomczna w Poznanu O probleme modelowana sopy procenowe Na dowolnym rynku fnansowym znaduemy nsrumeny fnansowe obarczone ryzykem warośc począkowe lub ez ryzykem warośc końcowe. W e pracy ogranczymy sę do problemayk nsrumenów fnansowych obarczonych ryzykem warośc końcowe. Inżynera fnansowa obdarza nas weloma różnym modelam sopy procenowe. Przykładem mogą być ua dwa rodzae sóp zwrou: arymeyczne logarymczna. To rodz perwsze nasze pyane. Czy wymenone powyże modele konkuruą ze sobą, czy eż nawzaem uzupełnaą sę w celu sworzena bardze unwersalnego modelu poęca sopy zwrou? W nżyner fnansowe ryzyko warośc końcowe każdego nsrumenu es opsane przy pomocy procesu losowego opsuącego ewolucę obarczone ryzykem sopy procenowe. Leraura przedmou przynos nam ua szereg zaawansowanych formalne model opsuących e sopy. Zasane bogacwo różnorodnośc rodz druge nasze pyane. Czy różne modele ewoluc sopy procenowe konkuruą ze sobą, czy eż nawzaem uzupełnaą sę w celu sworzena bardze unwersalnego ryzyka warośc końcowe? Odpowedz na e pyana będzemy szukać badaąc wzaemne relace pomędzy poszczególnym procesam ewoluc ceny nsrumenu fnansowego wynkaącym sąd procesam sóp procenowych. Punkem wyśca do sformułowana defnc ych procesów będze deermnsyczna eora krzywych ermnowych. Osaecznym celem przesawane pracy es usysemayzowane pewnych szczegółowych eor. Z e przyczyny, dla uproszczena całego wykładu, przymemy ua, że proces przyrosów ceny nsrumenu fnansowego obarczonego ryzykem es ruchem Browna.

2 . Modele deermnsyczne - podsawowe poęca Wyróżnmy pewen nsrumen fnansowy maący w momence czasowym znaną cenę C. Cena a będze opsywać równocześne warość począkową kapału przypsanego emu nsrumenow. Obserwować będzemy ewolucę ceny C : ;T wyróżnonego nsrumenu fnansowego. Na cenę ą składa sę cena począkowa powększona o dodakową premę za uraę płynnośc fnansowe wynkaące z posadana ego nsrumenu. Przysępuąc do dokładneszego opsu e prem, w przedzale,t prem spełnaący dodakowo warunek T wyróżnamy cąg n momenów kapalzac T T T T T T () n n Wymenone powyże momeny są edynym momenam, w akch nasępue kapalzaca prem. Kapalzaca prem polega na dodanu z dołu należne prem do warośc kapałowe przypsane danemu nsrumenow fnansowemu.. Podsawą nalczena prem za uraę płynnośc es zawsze warość kapałowa obserwowanego nsrumenu fnansowego. Formalnym obrazem prem za uraę płynnośc es sopa forward rozumana ako funkca F s, : s T zależnoścą,,, n : : zwązana z procesem ceny Cs CT s Fs T s T C,. () O dowolne sope forward zakładamy dodakowo, że spełnone są warunk lm F p, p, (3), T: lm Fs, p ; s. (4) W [3] warość p znerpreowano, ako sopę forward nwesyc zero kuponowe o horyzonce wymagalnośc. W [5] sformułowano sugesę denyfkuącą - -

3 opsaną powyże sopę z beżącą sopą konraku overngh noowaną dale w skróce O/N. Tamże warość p zdenyfkowano, ako sopę reny weczyse Wygodnym narzędzem formalnym pozwalaącym opsać sopę forward es chwlowa sopa forward opsana ako funkca f, T ożsamośc f F, s s : dana przy pomocy lm. (5) Można pokazać, że dzęk () mamy ua,,, n : T s T Fs, f d. (6) s Zgodne z (3) (4) mamy ua f p, (7) lm f p. (8) Innym narzędzem formalnym sosowanym do oceny ewoluc ceny nsrumenu fnansowego es sopa spo opsana ako funkca y, T pomocy ożsamośc F s : dana przy y,. (9) Dzęk (3) (4) mamy lm y p, () lm y p. () Innym, częso sosowanym do oceny procesu ewoluc ceny, narzędzem formalnym es sopa zwrou. Dla każdego,,,n sopa zwrou r :, T es rozumana ako opłaa r należna za użykowane ednosk kapału w przedzale, spełnaącym ogranczena, T,, T T,. Opłaa a es wnoszona z dołu w pełn w - 3 -

4 każdym momence kapalzac prem k k użykowana.,t pomocy ożsamośc T oraz na konec okresu. Zgodne z ą defncą sopa zwrou es opsana przy FT, T T T F T T r, () co razem z (6) dae r f d,, (3) r. (4) Ponado z (6) orzymuemy ożsamość y. (5) f d r Z zależnośc (3) orzymuemy równane różnczkowe rendu sopy zwrou, T r : : dr f d. (6) Jedynym rozwązanem problemu począkowego (4) (6) es funkca opsana przy pomocy ożsamośc (3). Z zależnośc (5) orzymuemy równane różnczkowe sopy spo, T y : : d dy f y. (7) Jedynym rozwązanem problemu () (7) es funkca opsana przy pomocy ożsamośc (5). Dodakowo waro ua zwrócć uwagę na auokorekcyny charaker równane (7). Ławo można zauważyć, że znak przyrosu sopy spo powodue zmneszene różncy pomędzy sopam spo forward. Prędkość zbeżnośc sopy forward w sronę sopy nomnalne es wpros proporconalna do - 4 -

5 różncy pomędzy ym sopam równocześne es odwrone proporconalna do długośc horyzonu czasowego sopy spo. Idenyczną własność ma uogólnony model Vasceka [6] ewoluc sopy procenowe obarczone ryzykem. Do problemu ego będzemy wracal w dalszych częścach e pracy.. Jednookresowy model deermnsyczny W przypadku rozparywana nsrumenów fnansowych o blskm ermne zapadalnośc analzę procesu ewoluc ceny nsrumenu fnansowego ogranczamy do przedzału czasowego, T. Oznacza o przyęce założena, że wspomnany horyzon czasowy es na yle krók, ż możemy wykluczyć przypadek kapalzac prem za uraę płynnośc. O kszałce budowanych model ewoluc ceny sóp procenowych decydue ua rodza posadanych nformac. W przedzale, T znany es przebeg zmennośc krzywe chwlowe sopy forward f, T m :.Wyróżnamy rosnący cąg, T momenów czasowych akch, że spełnony es warunek n T Dla ; dowolne warośc począkowe C prześledźmy rend ewoluc ceny. W ym celu przymmy nasępuące oznaczena: C,,, m C C ; (8),,, m. (9) Zależność () prowadz wpros do modelu różncowego C C, () C,,, m f. () C Nazywany nacze modelem Hulla-Whe a W szczególnym przypadku es o ermn planowanego zbyca nsrumenu fnansowego

6 Jeśl zagęścmy podzał przedzału, T, o wedy powyższe równane różncowe możemy zasąpć adekwanym równanem różnczkowym dc C f d. () Jedynym rozwązanem problemu () () es rend ceny nsrumenu, T C : opsany przy pomocy ożsamośc C f d C r C. (3) Dzęk emu osanemu równanu możemy swerdzć, że w przypadku nwesyc krókoermnowych należy sosować arymeyczną sopę zwrou. 3.Welokresowy model deermnsyczny W przypadku rozparywana nsrumenów fnansowych o odległym ermne zapadalnośc analzę procesu ewoluc ceny nsrumenu fnansowego prowadzmy dla całego przedzału czasowego,t. Oznacza o zaakcepowane możlwośc kapalzac prem za uraę płynnośc. Prowadz o wpros do swerdzena, że w przypadku nwesyc długoermnowych rend warośc es dany ako model welookresowy. W przedzale,t znany es przebeg zmennośc krzywe chwlowe sopy forward f, T :. Dla dowolne warośc począkowe C prześledźmy rend ewoluc ceny. W ym celu przymmy nasępuące oznaczena: CT ; (4),,, n C C T. (5),,, n T T T Zależność () prowadz wpros do równana różncowego C,,, n p T. (6) C Jrśl w dowolny sposób zagęścmy podzał przedzału,t, o wedy osane równane różncowe zasąpć adekwanym równanem różnczkowym - 6 -

7 dc f d. (7) C Jedynym rozwązanem problemu () (7) es funkca opsana przy pomocy ożsamośc C exp. (8) r C f d C e Z osane zależnośc orzymuemy bezpośredno oszacowane sopy zwrou ako funkc procesu ceny C r ln. (9) C Oznacza o, że w przypadku nwesyc długoermnowych wprowadzone poęce sopy zwrou es denyczne z poęcem logarymczne sopy zwrou. 4. Modele sochasyczne dobór rozkładu ryzyka Oczekwana nwesora, co do przyszłych korzyśc są obarczone nepewnoścą. Za Mandelbroem [] możemy przyąć ogólne założene, że rendy cen lub sóp procenowych podlegaą przypadkowym nezależnym wahanom o -sablnym rozkładze. W przypadku polskego rynku fnansowego założene o es w pełn usprawedlwone ploażowym badanam ekonomerycznym []. Przyęce ego założena będze nam gwaranować snene warośc oczekwanych opsywanych procesów losowych. Posługwane sę w analze rynku fnansowego rozkładam -sablnym oznacza wększą werność obserwowanym realom, co podnos warygodność analz rynku fnansowego. Warygodność a ma ednak swoą cenę. Akualny san wedzy maemayczne ne pozwala w pełn badać wzaemnych relac pomędzy dwoma różnczkam sochasycznym o dowolnych rozkładach -sablnych. Sanow o przesłankę do skoncenrowana nasze uwag na modelach rynku fnansowego obcążonego ryzykem z gaussowskm rozkładem. To ogranczene ne obnża ednak ednoznaczne akośc formalne badanych - 7 -

8 model, gdyż w zaman uzyskuemy możlwość skorzysana z lemau Io (zob.[4]). Na końcu e pracy zosane wyraźne zaznaczone, kedy uzyskane wynk można uogólnć do ogólne klasy -sablnych rozkładów ryzyka. Zebrane dośwadczena upoważnaą nas do ogranczena dalszych szczegółowych rozważań losowych model nsrumenów fnansowych edyne do ych losowych procesów ceny, kórych warośc oczekwane są opsane przez deermnsyczne rendy cen. Z formalnego punku wdzena oznacza o, że dowolny proces ceny będzemy opsywal przy pomocy losowego procesu 3 ceny C :, T spełnaącego ua warunk : C, (3) C, T: C C E, (3) C :,T es deermnsycznym procesem ceny. gdze 5. Model ednookresowy ruchy arymeyczne Ze względu na blsk horyzon czasowy naszą analzę ogranczamy do przedzału czasowego, T. Przymuemy założena denyczne z założenam przyęym w ozdzale. ozważmy eraz cąg zmennych losowych C m. W ym celu przymuemy dodakowo oznaczena:,,, m C C C. (3) W ozdzale własnośc procesu ceny zosały opsane przy pomocy przyrosu względnego (). Korzysaąc z zebranych am dośwadczeń zakładamy eraz, że analogczne przyrosy względne maą nezależne rozkłady normalne, co zapsuemy 3 Dowolny proces losowy :, T ndeksowana rodzna zmennych losowych : :, T w raze porzeby będzemy denyfkować z

9 C,,, m,, : C N,. (33) C Korzysaąc z zależnośc () (3) oraz własnośc rozkładu normalnego orzymuemy ua, (34) C W,,, m : C C f gdze W N,. Z powyższego równana orzymuemy nasępuące sochasyczne równane różnczkowe procesu ceny C :, T dc C f d C dw, (35) gdze d W N, d. Korzysaąc eraz z (3), (35) lemau Io orzymuemy nasępuące sochasyczne równane różnczkowe opsuące proces sopy zwrou dr f d dw, (36) Jedynym rozwązanem powyższego zagadnena es proces losowy dany przy pomocy ożsamośc r f s ds Wˆ. (37) Jedynym rozwązanem problemu (3) (35) es proces opsany przy pomocy ożsamośc C. (38) C f s ds C W C r Zammy sę eraz losowym procesem sopy spo y :, T.Korzysaąc z lemau Io, z (), (5) (38) mamy lm y p, (39) d dy f y dw. (4) : - 9 -

10 Jedynym rozwązanem powyższego problemu es rend sopy spo zadany za pomocą procesu y r f s ds W. (4) Procesy (37), (38) (4) należą do klasy procesów losowych nazywanych arymeycznym rucham Browna. 6.Model welookresowy ruchy pseudo-geomeryczne Ze względu na odległy ermn zapadalnośc analzę procesu ewoluc ceny nsrumenu fnansowego prowadzmy dla całego przedzału czasowego,t. Przymuemy założena denyczne z założenam przyęym w ozdzale 3. ozważmy eraz cąg zmennych losowych C T n. W ym celu przymuemy dodakowo oznaczena:,,, n C C T C T. (4) W ozdzale 3 własnośc procesu ceny zosały opsane przy pomocy przyrosu względnego (6). Korzysaąc z zebranych am dośwadczeń zakładamy eraz, że analogczne przyrosy względne maą nezależne rozkłady normalne, co zapsuemy C,,, n,, : ˆ C N, T. (43) E C Zależnośc (6), (8) (3) wraz z właścwoścam rozkładu normalnego wprowadzą wpros do równana różncowego,,, n : C E C p T E C C exp T f W T sds p T C exp f sds W T Z osanego równana orzymuemy równane różnczkowe procesu ceny T. (44) - -

11 dc C exp f sds f d C exp f sds dw. (45) Proces ceny es opsany przy pomocy pseudo-geomerycznego ruchu Browna C C exp f sds W. (46) Korzysaąc z (9), (45) lemau Io wyznaczamy równane różnczkowe procesu sopy zwrou dr f d W W W. (47) Zagadnene począkowe (4) (47) posada dokładne edno rozwązane. ównane (4.7) wraz z prowadz do równana różnczkowego procesu sopy spo d dw d y f y W W Zagadnene począkowe () (48) posada dokładne edno rozwązane. 7.Model welookresowy ruchy geomeryczne (48) Ponowne, ze względu na odległy ermn zapadalnośc analzę procesu ewoluc ceny nsrumenu fnansowego prowadzmy dla całego przedzału czasowego,t. Przymuemy założena denyczne z założenam przyęym w ozdzałach 3 6. W ozdzale 3 własnośc procesu ceny zosały opsane przy pomocy przyrosu względnego (6). Korzysaąc z zebranych am dośwadczeń zakładamy eraz, że analogczne przyrosy względne maą nezależne rozkłady normalne, co zapsuemy C,,, n,, : C N, T. (49) C Z (6), (8) (3) mamy - -

12 W T. (5),,, n : C C p T C Z osanego równana orzymuemy sochasyczne równane różnczkowe procesu ceny dc C f d C dw. (5) Jedyne rozwązane zagadnena począkowego (3) (5) es dane ako geomeryczny ruch Browna C C exp f sds W. (5) Borąc pod uwagę (9), z równana (5) orzymuemy równane różnczkowe procesu sopy zwrou dr f d dw. (53) Zagadnene począkowe (4) (53) posada dokładne edno rozwązane dane ako arymeyczny ruch Browna r f sds W. (54) Krzywa ermnowa chwlowe sopa forward może być nerpreowana ako prognoza przyszłych oczekwanych warośc sopy forward powększonych o beżącą premę wymaganą za ryzyko ermnu wynkaące z uray płynnośc mplkowane przez wydłużane sę horyzonu nwesyc. Zgodne z ym dowolną warość f nerpreuemy ako wygasaącą w momence prognozę warośc chwlowe sopy zwrou powększoną o beżącą warość prem za ryzyko ermnu. W e syuac deermnsyczny składnk dryfu równana (7.9) uawna mechanzm umarzana - po wygaśnęcu prognozy - prem za ryzyko. Z (5) (54) orzymuemy sochasyczne równane różnczkowe procesu sopy spo - -

13 d dy f y dw (55) Zagadnene począkowe () posada (55) dokładne edno rozwązane dane ako arymeyczny ruch Browna y f sds W. (56) ównane (55) nawązue w swe posac modelu sopy procenowe Vascek a [6]. Oznacza o, że procesow sopy spo kapalzac cągłe przysługuą wszyske własnośc formalne możlwośc zasosowana modelu Vascek a. Podsumowane Główny cel posawony w arykule zosał osągnęy. Powyże zosały przedsawone logczne powązana pomędzy poszczególnym modelam sopy procenowe. Wykazano mędzy nnym, że sosowane model oparych na geomerycznym ruchu Browna ne wyklucza równoczesnego sosowana model oparych na arymeycznym ruchu Browna. Wskazano na fak, że soną przesłanką przy doborze właścwego modelu es czasowy horyzon zapadalnośc nwesyc. Każdy przedsawony ua proces ceny można uogólnć do przypadku przyrosu względnego o rozkładze sablnym ze zmennym paramerem skal. W syuac rozważana modelu ednokresowego rozszerzene o możemy zasosować akże dla procesów sopy zwrou sopy spo. Przedsawony w e pracy zesaw model sanow edyne newelk ułamek ogólnego dorobku nauk prakyk w dzedzne. Przy wyborze kerowano sę kryerum prosoy wykładu. Nemne waro ua zauważyć, że pomnęe ua modele różną sę pomędzy założonym kszałem krzywe ermnowe chwlowe sopy forward oraz założenam o zmennośc odchylena sandardowego (parameru skal)

14 Leraura [] Gołębewska A., Analza grubośc ogona rozkładu sóp zwrou, w Panek E., Maemayka w ekonom, Zeszyy Naukowe AE 4, Poznań, 4, s [] Manelbro B.B.; The varaon of ceran speculave prces, w Cooner P. (red.) The random characer of sock marke prces. MIT Press, Cambrdge 964, s [3] Segel A.F., Nelson Ch.., Parsmonous modelng of yeld curves, Journal of Busness 6, 987. [4] Sobczyk K. Sochasyczne równana różnczkowe, WNT, Warszawa 996. [5] Svensson L., Esmang and nerpreng forward neres raes: Sweden , Naonal Bureau of Economc esearch, Cambrdge 994. [6] Vascek O.A., An equlbrum characerzaon of erm srucure, J. Fnancal Economcs, November 977, s Krzyszof Paseck On problem of neres rae modelng Summary The man goal of hs paper s presenaon relaonshps beween some knds of well-known sochasc processes of reurn rae and spo rae. All comparsons are consdered for he case of Brownan moons. Mos obaned resuls may be generalzed for he case of Levy moons