Brak arbitrażu na rynkach z proporcjonalnymi kosztami transakcji *

Transkrypt

1 Zeszyy Unwersye Ekonomczny w Krakowe Naukowe (937) ISSN Zesz. Nauk. UEK, 205; (937): DOI: /ZNUEK Agneszka Rygel Kaedra Maemayk Unwersye Ekonomczny w Krakowe Brak arbrażu na rynkach z proporconalnym koszam ransakc * Sreszczene Celem pracy es przedsawene w uednolcony przerzysy sposób różnych wynków doyczących aspeku braku arbrażu wysępuącego przy modelowanu rynków fnansowych z proporconalnym koszam ransakc. Podane zosały kryera charakeryzuące brak możlwośc słabego oraz slnego arbrażu w modelu rynku z czasem dyskrenym skończonym horyzonem czasowym. W przypadku modelu rynku z czasem cągłym sformułowane zosały warunk wysarczaące dla braku prosego arbrażu (zn. arbrażu w klase prosych sraeg nwesycynych). Szczególna uwaga zosała pośwęcona ransakcom bez możlwośc króke sprzedaży. Słowa kluczowe: modele rynków fnansowych, arbraż, koszy ransakc, prose sraege nwesycyne.. Wprowadzene Przedmoem pracy są pewne aspeky zwązane z modelowanem rynków fnansowych. Rozparywane es zagadnene braku arbrażu zn. braku możlwośc uzyskana zysku bez konecznośc ponoszena ryzyka sray. Kwesa * Praca zosała wykonana w ramach badań fnansowanych ze środków przyznanych Wydzałow Fnansów Unwersyeu Ekonomcznego w Krakowe w ramach doac na urzymane poencału badawczego.

2 28 Agneszka Rygel probablsyczne charakeryzac braku arbrażu należy do podsawowych zagadneń maemayk fnansowe. Zagadnena e były badane zarówno w przypadku czasu dyskrenego, ak cągłego. Model z czasem cągłym skończonym horyzonem czasowym es uważany za podsawowe narzędze analzy rzeczywsych rynków fnansowych. Rozważa sę sraege cągłe, zn. sraege nwesycyne, w ramach kórych możlwa es neskończona lczba zman porfela nwesycynego na skończonym przedzale czasu. Z prakycznego punku wdzena ake sraege ne są realzowalne. Rozsądne wydae sę badane uczcwośc rynku w modelu dopuszczaącym edyne prose sraege nwesycyne, czyl ake, kóre odpowadaą wykonanu ylko skończone lczby ransakc. Celem pracy es zaprezenowane modelu rynku z proporconalnym koszam ransakc. Należy podkreślć, że rynk z koszam ransakc z czasem cągłym są przedmoem nensywnych badań maemaycznych (m.n.: [Guason, Rásony Schachermayer 2008, 200]). W pracy przedsawone są różne defnce braku arbrażu oraz rudnośc dobrego zdefnowana uczcwośc rynku. Przyoczone są wynk sanowące uogólnene perwszego fundamenalnego werdzena wyceny do modelu z proporconalnym koszam ransakc. Podane są warunk dosaeczne na słaby brak arbrażu w klase prosych sraeg nwesycynych zarówno z możlwoścą pożyczana paperów waroścowych, ak bez e możlwośc. Warunk e są sformułowane dla modelu ednowymarowego, a nasępne rozszerzone do przypadku welowymarowego. Na zakończene przedsawono wynk charakeryzuące brak możlwośc arbrażu w klase prosych sraeg nwesycynych poprzez wykorzysane rezulaów Y. Kabanova, M. Rásony ego Ch. Srckera [2002] oraz P.G. Grgoreva [2005] dla modelu z czasem dyskrenym. Szczególną uwagę skupono na sraegach wykluczaących możlwość pożyczana paperów waroścowych. ransakce, w ramach kórych nwesor dokonue sprzedaży paperu waroścowego w chwl zawarca umowy sprzedaży nebędącego ego własnoścą, są przez usawodawcę ogranczane lub zakazywane (w ramach GPW w Warszawe ne każdy nwesor ma możlwość dokonywana ego ypu ransakc, ak równeż ne na wszyskch paperach waroścowych może być realzowana). Oprócz wprowadzena koszów ransakc oraz ewenualnego ogranczena składu porfela (zn. brak możlwośc zw. króke sprzedaży) ne rezygnue sę z pozosałych założeń rynku doskonałego. Zakładamy, że rynek es płynny, dosęp do nformac es ednakowy dla wszyskch nwesorów, a ch samodzelne dzałana ne wpływaą na cenę nsrumenów.

3 Brak arbrażu na rynkach Model rynku fnansowego z proporconalnym koszam ransakc (przypadek dyskreny) Zakładamy, że (W, F, P) es przesrzeną probablsyczną z flracą F 0 F F. Rozważamy model rynku fnansowego z czasem dyskrenym (zn. zarówno poencalne zmany cen nsrumenów, ak ransakce odbywaą sę w chwlach 0,, 2,, ) skończonym horyzonem czasowym: <. Na rynku wysępue d paperów waroścowych (akc), kórych ceny w chwl są opsywane przez neuemny F -merzalny wekor losowy X : W R d oraz rachunek bankowy ze sopą procenową r = 0. Rozparuemy rynek z proporconalnym koszam ransakc reprezenowanym przez współczynnk l, m (l > 0, m (0,)). Warość X ( + λ ) rozume sę ako cenę, po kóre można dokonać zakupu -ego nsrumenu w chwl, zaś X ( µ ) ako cenę, po kóre można sprzedać -y nsrumen w chwl. Sraegą nwesycyną nazywamy dowolny proces prognozowalny ( ) {0,,, } o waroścach w R d. Zmenną losową ϕ nerpreuemy ako lczbę ednosek -ego nsrumenu rzymanych w porfelu od chwl do chwl. Jeśl dodakowo zażądamy, by ϕ 0 dla każdego =, 2,, d oraz =, 2,,, o sraegę będzemy nazywać sraegą nwesycyną bez możlwośc króke sprzedaży. Pommo że sraega formalne opsue proces nwesowana edyne w nsrumeny ryzykowne (wekor losowy es d-wymarowy), o sandardowe założene, by sraega była samofnansuąca sę (zn. bez dopływu środków spoza nwesyc oraz konsumpc) deermnue pozycę na rachunku bankowym. Nech ϕ = ϕ ϕ + oraz ( ϕ ), ( ϕ ) oznaczaą odpowedno część dodaną część uemną przyrosu ϕ. Wówczas skład porfela nwesycynego po dokonanu ransakc w chwl (przy założenu, że saruemy z pozyc zerowe) opsuą równana: d 0 + ϕ = [( µ ) ( ϕ s ) X s ( + λ ) ( ϕ s ) X s ] = s= s= ϕ = ϕs s= d d ϕ = ϕs s= 0 gdze ϕ oznacza lość penędzy ulokowanych (pożyczonych) na rachunku bankowym. Ineresuące są ake pozyce nwesycyne, kórych warość po dokonanu spłay ewenualnego zadłużena na rachunku bankowym bądź gełdowym będze neuemna. Defnuemy zaem sożek losowy:

4 30 Agneszka Rygel d 0 d d G = ( ϕ, ϕ,, ϕ ) R : ϕ + ( µ ) ( ϕ ) X ( + λ ) ( ϕ ) X 0. = Można powedzeć, że G es zborem pozyc neuemnych, naomas ( G ) zborem pozyc osągalnych w chwl z pozyc zerowe. W przypadku gdy mamy do czynena z ednym rodzaem nsrumenu ryzykownego (dla d = ), sożk e ławo zlusrować (zob. rys. ). W modelu rynku fnansowego z koszam ransakc poęce uczcwośc rynku rozumane ako brak arbrażu, czyl możlwośc uzyskana zysku z nwesyc o zerowe warośc począkowe bez ryzyka sray penędzy, ma klka nauralnych uogólneń. Perwszym z nch es syuaca, w kóre saruąc w chwl 0 z pozyc zerowe osągamy w chwl pozycę, kóra z dodanm prawdopodobeńswem ne es pozycą zerową, a e warość es neuemna z prawdopodobeńswem równym. Mówmy wedy o słabym arbrażu w chwl. Jeśl zażądamy dodakowo, by warość pozyc końcowe była dodana z prawdopodobeńswem nezerowym, o powemy o slnym arbrażu w chwl. Oznaczmy przez A zbór pozyc możlwych do uzyskana w chwl, przy zasosowanu sraeg samofnansuących sę saruących w chwl począkowe z pozyc zerowe. Wówczas brak możlwośc słabego arbrażu (czyl zw. slny brak arbrażu) można opsać przez warunek: A L 0 (G ) = {0}. Naomas słaby brak arbrażu,. brak możlwośc slnego arbrażu, es ożsamy z warunkem: A L 0 (G ) L 0 ( G ), gdze G oznacza brzeg zboru G. Waro odnoować, że soną rolę w dowodach werdzeń charakeryzuących brak arbrażu odgrywa fak, że zbór pozyc osągal- 0 nych w chwl końcowe można wyrazć w posac sumy: A = L ( G, F ), = gdze L 0 ( G, F ) es rodzną F -merzalnych wekorów losowych o waroścach w ( G ). Podsawowy rezula w maemayce fnansowe, nazywany perwszym fundamenalnym werdzenem wyceny, oznacza, że brak arbrażu na rynku doskonałym es ożsamy z snenem równoważne mary maryngałowe. Zanm zosaną podane uogólnena ego wynku dla modelu z proporconalnym koszam ransakc, należy wprowadzć nasępuące oznaczena: * * d + d + G oznacza sożek dualny do G, czyl G = v R w G : v w 0 ; = M (G * \{0}) oznacza zbór ych maryngałów (Z ) {0,,, } (czyl procesów akch, że E(Z ) < dla = 0,,, oraz E(Z + F ) = Z dla = 0,,, ), dla kórych Z L 0 * (G \ {0}, F ) dla dowolnego.

5 Brak arbrażu na rynkach 3 y x y = ( µ ) X G G x y = ( + λ ) X x Rys.. Zbór pozyc neuemnych zbór pozyc osągalnych w chwl (przypadek ednowymarowy) Źródło: opracowane własne. y G * x y = ( µ ) X G x y = ( + λ) X x Rys. 2. Sożek pozyc neuemnych w chwl oraz sożek dualny (przypadek ednowymarowy) Źródło: opracowane własne.

6 32 Agneszka Rygel Rozparuemy przypadek, w kórym Ω es zborem skończonym. werdzene 2. (zob. [Kabanov Safaran 2009]). Nasępuące warunk są równoważne: ) A L 0 (G ) L 0 ( G ), 2) M (G * \{0}) Ø. Ławo pokazać, że warunek 2) oznacza snene mary P równoważne merze P oraz d-wymarowego procesu X będącego maryngałem względem mary P akego, że ( µ ) X X ( + λ) X. Zauważmy, że przy braku koszów ransakc werdzene 2. pokrywa sę z perwszym fundamenalnym werdzenem wyceny. Nech rg * oznacza relaywne wnęrze sożka G *. Podamy eraz warunek równoważny na slny brak arbrażu. werdzene 2.2 (zob. [Kabanov Safaran 2009]). Nasępuące warunk są równoważne: ) A L 0 (G ) = {0}, 2) snee Z M (G * \{0}) ak, że Z L 0 (rg * ). Wprowadzene poęca slnego słabego braku arbrażu w klase sraeg bez możlwośc pożyczana paperów waroścowych wymaga ogranczena zboru pozyc neuemnych oraz zboru pozyc osągalnych w chwl końcowe. Nech zaem 0 d G + = ( ϕ, ϕ,, ϕ ) G : ϕ 0, =,, d { } będze zborem pozyc neuemnych, zaś przez A + oznaczmy zbór pozyc osągalnych w chwl końcowe przy omawanym ogranczenu. Wówczas powemy, że w modelu zachodz słaby brak arbrażu bez możlwośc króke sprzedaży, eśl A L ( G, F ) L ( G, F ) oraz odpowedno: slny brak arbrażu bez + możlwośc króke sprzedaży, eżel 0 + A L ( G, F ) = {0}. 0 + Zauważmy, że zbór L ( Q, F ), gdze Q + oznacza zbór pozyc osągalnych = z pozyc zerowe w chwl przy zasosowanu sraeg bez możlwośc pożyczana paperów waroścowych, zn. 0 d { } Q + = ( ϕ, ϕ,, ϕ ) ( G ) : ϕ 0, =,, d, ne wyczerpue wszyskch możlwych pozyc w chwl. Powyższa suma sanow edyne zbór końcowych pozyc generowanych przez sraege o nemaleące lczbe akc (zbór L ( Q, F ) es właścwym podzborem A + ). 0 + Zaem =

7 Brak arbrażu na rynkach 33 zasosowane analog do przypadku ogólnego, gdze zbór A można zapsać w posac sumy algebraczne sożków losowych ne es możlwe. W badanu model z koszam ransakc poawa sę równeż nny problem: brak równoważnośc mędzy snenem sraeg arbrażowe w modelu welookresowym a snenem możlwośc arbrażu w co namne ednym z podmodel ednookresowych. Własność a, prawdzwa w przypadku rynku bez koszów ransakcynych, zosała wykorzysana w wększośc dowodów perwszego fundamenalnego werdzena wyceny arbrażowe. Ponższy przykład (zob. [Rygel Sener 202]) lusrue brak możlwośc redukc problemu uczcwośc rynku do modelu ednookresowego w syuac, gdy rozważamy proporconalne koszy ransakc. Przykład. Rozparuemy model dwuokresowy, ednowymarowy ( = 2, d = ) z dynamką cen nsrumenu ryzykownego zadaną przez zmenne losowe: X 0 =, X = X 0 ( + x ), X 2 = X ( + x 2 ), gdze P(x >, x 2 > ) =. Zakładamy, że + λ ) + ξ < z dodanm prawdopodobeńswem dla =, 2; µ 2) P + λ ( ) 2 µ δ + ξ = dla d > 0 akego, że ( δ ) >. µ + λ Przymuąc zaem sraegę polegaącą na zakupe w chwl począkowe edne akc po cene + l ze środków pochodzących z pożyczk w banku oraz braku modyfkac składu porfela nwesycynego w kolenych chwlach, orzymamy po lkwdac porfela w chwl końcowe kwoę: ( + λ ) + ( + ξ )( + ξ2)( µ ). Zauważmy, że na mocy warunku 2) orzymuemy P ( + λ ) + ( + ξ )( + ξ ) > 0 =, ( ) 2 węc opsana sraega es slnym arbrażem bez króke sprzedaży. Jednocześne każdy z podmodel ednookresowych es wolny od slnego arbrażu w klase sraeg wykluczaących króką sprzedaż. Z uwag na brak możlwośc zadłużena na rachunku gełdowym edyną możlwą sraegą es kupno akc w chwl począkowe sprzedaż w chwl końcowe. Warość ake sraeg w podmodelu: 0 opsue zmenna losowa: ( + l) + ( + x )( m), zaś w podmodelu 2: ( + l)( + x ) + ( + x )( + x 2 )( m). Warunek ) gwaranue, że obe zmenne losowe przymuą warośc uemne z dodanm prawdopodobeńswem.

8 34 Agneszka Rygel 3. Arbraż w klase prosych sraeg nwesycynych Zacznemy od przedsawena maemaycznego modelu rynku fnansowego z czasem cągłym. W ym celu rozważamy przesrzeń probablsyczną (W, F, P) z flracą (F ) [0, ] spełnaącą zw. warunk zwykłe (zn. zupełną prawosronne cągłą). Nech (X ) [0, ] będze d-wymarowym adapowanym procesem sochasycznym o ścśle dodanch raekorach. Proces en opsue ewolucę cen d nsrumenów ryzykownych. Rozważamy równeż proces deermnsyczny, sale równy, kóry reprezenue rachunek bankowy (z zerową sopą procenową). Ineresować nas będą zw. prose sraege nwesycyne, czyl ake, w ramach kórych dokonuemy skończoną lczbę ransakc na skończonym przedzale czasu. Klasę ego ypu sraeg można rakować ako swego rodzau pomos mędzy modelam dyskrenym cągłym. Zaleą akego podeśca, wobec model z czasem dyskrenym, es możlwość rozważana sraeg w ramach, kórych lczba ransakc w ogranczonym czase ne es ogranczona z góry. Ponado ransakce mogą być dokonywane w dowolnym momence, rynek es bowem obserwowany w sposób cągły. Sens rozważana prosych sraeg es ścśle zwązany z modelam rynku z koszam ransakc. Wprowadzene w klasycznym modelu Blacka-Scholesa koszów ransakc prowadz do syuac, w kóre edynym sraegam, kóre ne generuą neskończonych koszów ransakc, są sraege ypu buy-and-hold. Ponado prose sraege nwesycyne wydaą sę lepe oddawać rzeczywse zachowana nwesorów na rynku. Prosą sraegę nwesycyną defnuemy zaem ako d-wymarowy proces n 2 Q = (Q ) [0, ] posac Θ = θχ (, ]( ) (, ) ( ) { }( ), + θ n n n n + χ + θ χ gdze n 2, = zmenne losowe dla {,, n} są czasam zarzymana względem flrac (F ) [0, ] akm, że 0 2 n n = oraz q są F -merzalnym d-wymarowym wekoram losowym dla {,, n}. Klasę akch sraeg oznaczamy przez B. Ponado przymuemy nasępuącą konwencę: (, + ] = { }, eśl = + dla =,, n 2 oraz ( k, k+ ] = { k }, eśl k = k+ =. Cąg ( ) {,, n} nerpreuemy ako cąg losowych momenów modyfkac porfela, zaś fak, że są o czasy zarzymana względem flrac (F ) [0, ], odzwercedla prawdłowość, że decyze nwesorów są symulowane poprzez sygnały pochodzące z gromadzonych sukcesywne nformac o rynku. Sraega ma charaker mpulsowy; zmenna losowa θ oznacza lczbę ednosek -ego nsrumenu, kóra znadue sę w porfelu nwesycynym mędzy chwlam +. Zmenna losowa θ może przymować zarówno dodane, ak uemne warośc. Będzemy równeż rozważać syuacę, w kóre mamy do czynena z ogranczenem składu porfela nwesycynego polegaącym na wykluczenu możlwośc

9 Brak arbrażu na rynkach 35 króke sprzedaży. Sraegę Q B nazwemy prosą sraegą nwesycyną bez możlwośc króke sprzedaży, eśl θ 0 dla dowolnego {,, n} oraz {,, d}. Klasę akch sraeg oznaczamy przez B +. Zdefnumy proces dobrobyu zwązany z realzacą sraeg Q B ako: W X X X d n n Θ + = θ ( ) ( ) + λ θ θ = = = n + µ X ( ) ( max{ : }) ( max{ : }). θ θ λ X θ µ X θ = Warość ego procesu es sumą zysków pochodzących z nwesowana w poszczególne papery waroścowe. Zysk generowany przez nwesycę w -y nsrumen fnansowy składa sę z częśc zwązane ze zmanam cen nsrumenu w kolenych chwlach dokonywana ransakc: n θ ( X X ), = + z częśc odpowadaące koszom ewenualnego zakupu: koszom poencalne sprzedaży: λ n + X ( ) θ θ = n X = µ ( θ θ ) w kolenych losowych momenach do chwl oraz ze składnka opsuącego kosz lkwdac porfela w chwl : eśl θ max{ : } < 0 oraz eżel θ max{ : } > 0. λ X, θmax{ : } µ θ X, max{ : } Można obecne sformułować defncę slnego arbrażu poprzez określene warunków doyczących warośc dobrobyu w chwl końcowe. Defnca 3.. Mówmy, że w modelu wysępue możlwość slnego arbrażu w klase prosych sraeg nwesycynych, eśl snee sraega Q B aka, że P( W Θ 0) = oraz P( W Θ > 0) > 0. Jeżel snee sraega należąca do klasy B +, dla kóre warość dobrobyu w chwl końcowe spełna powyższe własnośc,

10 36 Agneszka Rygel o powemy, że w modelu wysępue slny arbraż w klase prosych sraeg bez możlwośc króke sprzedaży. Przedźmy do określena warunków, kóre wykluczaą snene slnego arbrażu w modelu z proporconalnym koszam ransakc w przypadku ogólnym oraz w syuac ogranczena pożyczana paperów waroścowych. Dla uproszczena noac rozpocznemy od przypadku ednowymarowego, zn. od modelu rynku, na kórym wysępue eden rodza nsrumenu ryzykownego. Defnca 3.2. Nech (X ) [0, ] będze adapowanym procesem sochasycznym o ścśle dodanch raekorach. X spełna warunek (S) względem flrac (F ) [0, ], eśl dla dowolnego czasu zarzymana oraz dowolnego e > 0: X P sup ln < ε F > 0, P p. n. X Z ponższego werdzena oparego na wynku H. Saya F. Vensa [20] wynka, że warunek (S) wyklucza snene slnego arbrażu. werdzene 3. (zob. [Rygel Sener 202]). Jeśl proces (X ) [0, ] spełna warunek (S), o model rynku fnansowego es pozbawony możlwośc slnego arbrażu w klase prosych sraeg nwesycynych. Mówąc nucyne: eśl raekora procesu cen akc ne przekroczy pewnego pozomu powyże ponże beżące ceny, o zysk wynkaący z ewenualnych zman cen akc ne zrekompensue ponesonych koszów ransakc. Zaem eżel ake zdarzene zachodz z dodanm prawdopodobeńswem, o ne ma szans na znalezene sraeg arbrażowe. Warunek (S) oczywśce gwaranue równeż słaby brak arbrażu bez króke sprzedaży (eśl bowem ne snee sraega arbrażowa w klase B, o ym bardze ne znadzemy e w B + ). Defnca 3.3. Powemy, że proces (X ) [0, ] spełna warunek (D) względem flrac (F ) [0, ], eśl dla dowolnego cągu czasów zarzymana 0 2 n n = zachodz: P { ( + λ ) X > ( µ ) X } 0. k > < k werdzene 3.2 (zob. [Rygel Sener 202]). Jeśl proces (X ) [0, ] spełna warunek (D), o w modelu wysępue słaby brak arbrażu w klase prosych sraeg nwesycynych bez króke sprzedaży. Zauważmy, że zdarzene {( + λ ) X > ( µ ) X } opsue syuacę, w kóre k cena, po kóre możemy dokonać zakupu w chwl przewyższa cenę sprzedaży w chwl k. Oznacza o, że ne można skonsruować sraeg arbrażowe, dokonuąc ransakc dopuszczalnych (zn. bez pożyczana na rachunku gełdowym)

11 Brak arbrażu na rynkach 37 w chwlach k. Zaem warunek (D) oznacza, że żadna ze sraeg posac θχ, (, k ] gdze k oraz q 0, ne prowadz do arbrażu. Warunk (S) (D) można uogólnć do przypadku welowymarowego, zn. modelu rynku, na kórym wysępue d rodzaów paperów waroścowych. Defnca 3.4. Nech (X ) [0, ] będze d-wymarowym adapowanym procesem sochasycznym o ścśle dodanch raekorach. Mówmy, że X spełna warunek (S d ) względem flrac (F ) [0, ], eśl dla dowolnego czasu zarzymana oraz dowolnego e > 0: d X P sup ln < ε F 0, P p. n. > = X werdzene 3.3 (zob. [Rygel Sener 202]). Jeśl proces (X ) [0, ] spełna warunek (S d ), o welowymarowy model rynku fnansowego es pozbawony możlwośc slnego arbrażu w klase prosych sraeg nwesycynych. Defnca 3.5. Powemy, że proces (X ) [0, ] spełna warunek (D d ) względem flrac (F ) [0, ], eśl dla dowolnego cągu czasów zarzymana 0 2 n n = zachodz: d P { ( + λ ) X > ( µ ) X } 0. > k = < k werdzene 3.4 (zob. [Rygel Sener 202]). Jeśl proces (X ) [0, ] spełna warunek (D d ), o w modelu welowymarowym wysępue słaby brak arbrażu w klase prosych sraeg nwesycynych bez możlwośc króke sprzedaży. W dowodach powyższych werdzeń korzysa sę z poęca slnego arbrażu w klase prosych sraeg według defnc 3.. Można rozważać równoważną defncę arbrażu wyrażoną w ęzyku sożków losowych. Wysarczy określć, pełnący kluczową rolę w ym podeścu, zbór pozyc osągalnych w chwl końcowe przy zasosowanu prosych sraeg nwesycynych. Nech A = A (,, ), B n n N2 0 n n n = 0 gdze: A (,, ) = L ( G, F ). Wówczas oba rodzae arbrażu defnuemy analogczne do przypadku dyskrenego: w modelu wysępue możlwość B słabego arbrażu, eżel A 0 L ( G, F ) {0} oraz slnego arbrażu, eżel B 0 d + B 0 0 A L ( R+, F ) {0} (można pokazać, że warunek A L ( G, F ) L ( G, F ) B 0 d + es równoważny warunkow: A L ( R, F ) = {0}). +

12 38 Agneszka Rygel Na zakończene przedsawono charakerysykę slnego słabego braku arbrażu w klase prosych sraeg nwesycynych, będącą uogólnenem wynków z przypadku z czasem dyskrenym. Rezulay doyczą rynku skończonego (. przypadku, gdy zbór Ω es skończony), na kórym wysępue d paperów * waroścowych. Oznaczmy przez M ( \{0}) {,, n } G rodznę ych maryngałów Z = ( Z ) {,, }, dla kórych 0 * n Z L ( G \{0}, F ) dla każdego =,, n. werdzene 3.5. Nasępuące warunk są równoważne: B ) A 0 L ( G, F ) = {0}, 2) dla dowolnego n 2 dowolnego cągu czasów zarzymana 0 2 n n = snee maryngał ( * \{0}) 0 * Z M{,..., n } G ak, że Z L ( rg, F ). werdzene 3.6. Nasępuące warunk są równoważne: B 0 d + ) A L ( R, F ) = {0}, 0 * 2) snee maryngał ( Z ) {,, n} ak, że Z L ( G \{0}, F ) dla każdego =,, n. W modelu rynku, w kórym rozważamy -wymarowy proces cen, werdzene 3.6 można uogólnć do przypadku dowolne przesrzen sanów Ω. Dowód opera sę na wynku z pracy Grgoreva [2005] podaącego warunek równoważny dla braku slnego arbrażu w modelu z czasem dyskrenym. Problem charakeryzac braku arbrażu w modelu dowolnym welowymarowym pozosae owary. Brak możlwośc arbrażu es podsawowym warunkem, kóry pownen być spełnony w modelowanu rynku fnansowego. W pracy przedsawono przegląd wynków doyczących warunków konecznych dosaecznych dla braku arbrażu w modelach rynków fnansowych z proporconalnym koszam ransakc. Rezulay mogą posłużyć do dalszych badań. Leraura Grgorev P. G. [2005], On Low Dmensonal Case n he Fundamenal Asse Prcng heorem wh ransacon Coss, Sascs and Decsons, vol. 23, hp://dx.do. org/0.524/snd Guason P., Rásony M., Schachermayer W. [2008], Conssen Prce Sysems and Face- -Lfng Prcng under ransacon Coss, he Annals of Appled Probably, vol. 8, hp://dx.do.org/0.24/07-aap46. Guason P., Rásony M., Schachermayer W. [200], he Fundamenal heorem of Asse Prcng for Connuous Processes under Small ransacon Coss, Annals of Fnance, vol. 6.

13 Brak arbrażu na rynkach 39 Kabanov Y., Rásony M., Srcker Ch. [2002], No-arbrage Crera for Fnancal Markes wh Effcen Frcon, Fnance and Sochascs, vol. 6, hp://dx.do. org/0.007/s Kabanov Y., Safaran M. [2009], Markes wh ransacon Coss. Mahemacal heory, Sprnger-Verlag, Berln Hedelberg. Rygel A., Sener Ł. [202], Arbrage for Smple Sraeges, Applcaones Mahemacae, vol. 39, hp://dx.do.org/0.4064/am Say H., Vens F. [20], Arbrage-free Models n Markes wh ransacon Coss, Elecronc Communcaons n Probably, vol. 6, hp://dx.do.org/0.24/ecp. v6-67. Absence of Arbrage n Markes wh Proporonal ransacon Coss he am of he paper was o presen n a clear and unfed way varous resuls concernng he absence of arbrage n he modellng of fnancal markes wh proporonal ransacon coss. he absence of weak and src arbrage opporunes crera n a fne me horzon dscree me marke model are gven. Suffcen condons for he absence of smple arbrage (.e. arbrage over smple nvesmen sraeges) n a connuous me marke model are presened. Specal aenon s devoed o ransacons whou shor sellng. Keywords: fnancal markes models, arbrage, ransacon coss, smple radng sraeges.