Kurtoza w procesach generowanych przez model RCA GARCH

Transkrypt

1 Joanna Górka * Kuroza w procesach generowanych przez model RCA GARCH Wsęp Na przesrzen osanej dekady odnoowuje sę szybk rozwój model nelnowych. Wdoczna jes zwłaszcza różnorodność nelnowych specyfkacj modelowych, kóre rozszerzają uzupełnają meodologę szeregów czasowych przez wprowadzene bardzej ogólnych srukur lub dosarczają alernaywnych podejść. Ze względu na swą prosoę, ławe poddawane sę esymacj oraz duże możlwośc opsywana różnych aspeków nelnowej dynamk rynków fnanowych najwększą popularnoścą wśród badaczy ceszą sę modele z klasy GARCH [Engle, 98; Bollerslev, 986]. Innym, alernaywnych podejścem do opsu procesów fnansowych są modele auoregresyjne z losowym parameram (RCA [Ncholls, Qunn, 98]. Ne są one ak popularne jak modele z klasy GARCH, choć są nauralnym uogólnenem klasycznych lnowych model auoregresyjnych. Obydwa modele sanową dogodne narzędze do analzy zmennośc szeregów fnansowych zarówno modele RCA, jak modele ARCH są szczególnym przypadkem szerszej klasy model jakm są modele CHARMA [Tsay, 987]. Badana rynków fnansowych wykazały, ż procesy fnansowe, ake jak sopy zwrou, kursy walu nne charakeryzują sę lepokurycznoścą rozkładów zmenną warancją warunkową. Modelowane podwyższonej kurozy zmennej w czase warancj warunkowej ne zawsze jes możlwe za pomocą modelu ARMA-GARCH z nnowacjam o rozkładze normalnym. Sad eż, do model ARMA-GARCH, wprowadza sę nne rozkłady nnowacj, ake jak rozklad -Sudena, skośny -Sudena, czy eż rozkład GED. Alernaywnym sposobem modelowana podwyższonej kurozy szeregów fnansowych jes dopuszczene zmennośc parameru w modelu podsawowym (ARMA, GARCH. Zmenność parameru w modelu powoduje podwyższene warośc kurozy w sosunku do modelu ze sałym paramerem. Tak jes w przypadku modelowana średnej jak warancj warunkowej. W przypadku modelowana średnej jes o zasosowane modelu RCA, zamas modelu AR, naomas w przypadku warancj jes o zasosowane modelu RCA GARCH [Thavaneswaran, Appadoo, Samana, 005] zamas modelu GARCH z rozkładem -Sudena (lub podobnym. W leraurze modele GARCH z losowym parameram [Ghysels, Jasak, 998] były już zasosowane do modelu ACD-GARCH. Jednakże, wprowadzona am losowość paramerów znacząco różn sę od propozycj Thavaneswarana, Appadoo, Samany (005. * Dr, Kaedra Ekonomer Saysyk Wydzału Nauk Ekonomcznych Zarządzana UMK w Torunu, adres e-mal: jgora@un.orun.pl.

2 578 Joanna Górka Celem nnejszego arykułu jes przedsawene model RCA GARCH jako alernaywnego, w sosunku do model GARCH z rozkładem -Sudena, sposobu modelowana zmennośc. W perwszej częśc przedsawony zosane ogólny model GARCH. Jako, że przedmoem porównań analzowanych model będze warość kurozy, w nnejszym opracowanu przedsawono ogólną posać kurozy dla model GARCH oraz wyprowadzono wzory dla konkrenych posac model. Druga część zawera krók ops modelu RCA wraz z jego podsawowym własnoścam. W kolejnej częśc przedsawono modele GARCH(, z losowym paramerem wraz z waroścam kurozy. Osana część zawera porównane eoreycznych warośc kurozy dla omawanych model.. Modele GARCH Ogólny model GARCH(p, q opsany jes równanam: y = σ ε ( gdze ~ d( 0, q p = + ω α y + = j = j j σ β σ ( ε, ω > 0, α 0 oraz β 0. Wzory na eoreyczną warośc kurozy dla procesów generowanych przez poszczególne modele GARCH, są podawane w leraurze z ego zakresu. Brak jes ogólnego wzoru na warość kurozy procesu. Ponżej zaprezenowany będze bardzej ogólny wzór na kurozę dla welu model z klasy GARCH (zn. z różnym rozkładam resz W celu zapsana ogólnego wzoru na kurozę modelu GARCH bez względu na yp rozkładu model (-( należy zapsać w posac ARMA. Jeżel u = σ jes różncą maryngałową o warancj var( u = σ, o model (- y ( może być nerpreowany jako model ARMA(m, q dla lub m p = + = j = j ( α + β y β ju j u u y posac: y ω + ( φ ( B y = ω + β ( B u m gdze ( ( = m p φ B = α + = β B φ = B, ( = j = m = max{ p, q}, α = 0 dla > q oraz β = 0 dla j > p. B (4 j j B β β, Warunkam sacjonarnośc dla y, kóry ma reprezenacje ARMA(m,q, są [Thavaneswaran, Appadoo, Samana, 005]: (Z. Wszyske perwask równana charakerysycznego φ ( B = 0 leżą poza kołem jednoskowym.

3 (Z. Kuroza w procesach generowanych przez model RCA GARCH 579 =0 ψ <, gdze ψ są współczynnkam welomanu spełnającego równane ψ ( B φ( B = β ( B posac ψ ( + = = B ψ B. Współczynnk welomanu wyznacza sę ak samo jak dla modelu ARMA. Założena e gwaranują neskorelowane u, średną zero skończoną waran- cję dla u oraz o, że proces y jes sacjonarny w szerszym sense. Jeżel model GARCH(p,q opsany równanem (4 spełna warunk (Z.- (Z. ma skończony bezwarunkowy momen czwarego rzędu, o kurozę K procesu y opsanego równanem (4 można zapsać [Thavaneswaran, Appadoo, Samana, 005]: 4 E( ε (5 4 4 ( [ ( ] E ε E ε ψ = 0 Warośc paramerów konkrenego modelu są zaware w poszczególnych waroścach wag. Przyjmując e same założena jak w sosunku do kurozy, orzymujemy równeż ogólne wzory na warancję auokowarancję y [Thavaneswa- ran, Appadoo, Samana, 005]: var( y = 0 σ u = ( y y k σ u = ψ kψ = ψ γ, (6 cov dla k > 0. (7 = + Jeżel oprócz założeń (Z.-(Z., skończonego momenu czwarego rzędu przymnemy jeszcze, że: a ~ N( 0, ε, o wówczas ( b ε ~ -Sudena z > 4 E ε zaś równane (5 ma posać: 4 = = ψ, (8a 4 ( ν ν sopnam swobody, o ( = ν ( ν ( ν ( ν = E oraz:. (8b ψ Wzory (8a-(8b przedsawają ogólny wzór na kurozę dla procesów generowanych przez modele GARCH przy założenu, ż rozkład nnowacj ε jes rozkładem normalnym lub -Sudena. Nech dany będze model ARCH( posac: = σ ε, σ ω + α y (9 gdze ~ d( 0, y = + αy y = ε, ω > 0 oraz α 0. u = Perwszym krokem jes zapsane (9 w posac modelu ARMA. Nech σ. Wówczas równane warancj modelu ARCH ma posać y ω + u, zaś φ( B = αb, β ( B =, ψ ( B = + ψ B + ψ B +... Rozwązując równane ( B φ( B β ( B ψ =, ε 4 ψ = orzymujemy: α ψ = α,...,

4 580 Joanna Górka α = ψ =,.... Sąd ψ = + α + α Na podsawe założena (Z., wemy, że α <. Wówczas ψ = = 0. Podsawając do wzorów (8a α (8b orzymujemy wzory na kurozę procesu generowanego przez model ARCH(: ( α =, (0a α α 4 ( ν ( α ( ν ( α ( ν, (0b Warunkem konecznym snena kurozy (0a jes α <, zaś w przypadku ν 4 (0b jes α < ( ν. W podobny sposób można orzymać kurozę procesu opsanego przez model GARCH(,. Nech dany będze model GARCH(, opsany równanam: y = σ ε, σ = ω + αy + βσ ( gdze ε ~ d( 0,, ω > 0, α 0 oraz β 0. Wówczas, welomany modelu ARMA opsanego równanem (4 przyjmują warośc: φ ( B = ( α + βb, β ( B = βb, zaś ψ = α, ψ = α( α + β,..., ( 4 ψ = α α + β,... Zaem ψ = + α + α ( α + β + α ( α + β +... = 0 Na podsawe założena (Z. wadomo, że ( α + β <. Sąd suma skończona α kwadraów wag wynos ψ = + = 0. Nasępne, podsawając ( α + β do wzorów (8a (8b, orzymujemy wzory na kurozę y : ( ( α + β = α ( + ( ( α + β α, (a α + β [ ] [ ] ( ν α ( ν ( α + β ( ν 4 ( α + β. (b Wzór (a jes znany w leraurze [np. Doman, Doman, 004]. Warość kurozy (a procesu generowanego przez model GARCH wysępuje, jeśl spełnony jes warunek ( α + β + α <. Spełnene ego warunku gwaranuje rów- neż spełnene założena (Z. oraz, w przypadku parameru α, redukuje sę do warunku α < [Doman, Doman, 004]. Kuroza procesu generowanego

5 Kuroza w procesach generowanych przez model RCA GARCH 58 przez model GARCH z nnowacjam o rozkładze -Sudena (b sneje, gdy α ν 4 < ( α + β ( ν.. Modele RCA Modele auoregresyjne z losowym parameram (RCA są nauralnym uogólnenem klasycznych lnowych model auoregresyjnych. Pełny ops ych model wraz z własnoścam, meodam esymacj oraz aplkację można znaleźć w pracy Ncholls Qunn (98. Jednowymarowy model auoregresyjny rzędu perwszego z losowym paramerem można zapsać w posac: y = ( α + δ y + ε, ( gdze δ d 0 σ δ 0 ~,. (4 ε 0 0 σ ε Dla zapewnena sacjonarnośc oraz ergodycznośc procesu y załóżmy, że: α + σ δ <. (5 Warunek (5 jes warunkem konecznym wysarczającym sacjonarnośc drugego rzędu procesu y. Warunk (4-(5 gwaranują ścsłą sacjonarność procesu. Model (, przy odpowednch założenach, może być modelem ypu AR, STUR, RCA(, p [Górka, 007; Lee, 998]. Jeżel spełnone są warunk (4-(5, o proces ( ma nasępujące własnośc [Appadoo, Thavaneswaran, Sngh, 006; Aue, 004]: E =, (6 ( 0 y σ ε ( y = E, (7 α σ δ τ α σ ε cov( y, y τ =, (8 α σ ( α σ δ ( α + 6α σ + σ. (9 δ δ Zaem proces charakeryzuje sę zerową średną, sałą warancją kurozą oraz auokowarancją zależną ylko od przesunęca czasowego. Warość warancj jak auokowarancj dla procesu opsanego modelem RCA( jes wększa nż dla procesu opsanego AR(. Warunek koneczny wysępowana kurozy ma 4 4 posać α + 6α σ δ + σ δ <. Jeżel σ δ = 0 (j. dla modelu AR(, o warość kurozy (9 redukuje sę do warośc. Z wzoru (9 wynka, że: δ

6 58 Joanna Górka K K. (0 AR( RCA( Relację (0 można uogólnć dla model AR oraz RCA [Appadoo, Thavaneswaran, Sngh, 006]. Warunkowa średna oraz warancja procesu opsanego równanem ( ma posać [Hwang, Basawa, Km, 006]: E y F α y, ( Var [ ] = [ y F ] σ y = ε + δ σ. ( Warunkowa średna, podobne jak dla model AR, opsana jes funkcją lnową, zaś warunkowa warancja opsana jes funkcją nelnową. Sąd eż nelnowość modelu RCA wysępuje w warancj. Zaem konsekwencją wysępowana losowego parameru w modelu AR jes wększa warość kurozy oraz zmenna w czase warancja warunkowa. Zauważmy, że ops warunkowej warancj jes analogczny jak w przypadku procesu ARCH(. Esymacj ocen paramerów modelu RCA( można dokonać z wykorzysanem meody: MNK, WMNK, MNW [Górka, 007] czy eż modelu przesrzen sanów zasosowana flru Kalmana.. Modele RCA GARCH Analogczne jak w przypadku modelu AR wprowadza sę losowość parameru do modelu ARCH. Model RCA ARCH( ma posać: gdze ε ~ N ( 0, σ ε, ( y = σ ε, ( = ω + α + a y a ~ 0, N σ a. y σ y = + ( α + a y + u σ ( Jeżel przyjmemy u =, o równane warancj warunkowej ma posać: ω. (4 Zaem, równane warancj w modelu RCA ARCH( może być nerpreowane jako model RCA dla y. Kuroza procesu opsanego modelem (4 ma posać [Appadoo, Thavaneswaran, Sngh, 006]: 4 ( ασ ε (5 σ ε ( α + σ a Warunek koneczny snena kurozy dla modelu RCA ARCH, o σ ε ( α + σ a <, podczas gdy dla modelu ARCH σ ε α <. Porównując wzory (0a (5 orzymujemy: K ARCH ( K RCA ARCH (. (6 Zaem, podobne jak dla modelu AR, wprowadzene zmennośc parameru w modelu ARCH prowadz do podwyższena warośc kurozy. W przypadku losowośc parameru sojącego przy y w modelu GARCH(, mamy do czynena z modelem RCA GARCH(,, kóry zapsuje sę w posac:

7 Kuroza w procesach generowanych przez model RCA GARCH 58 y ~ N 0, σ ε =, ω + ( α + a y β σ σ ε gdze ε (, ( = + a ~ 0, N σ a. y σ σ (7 Jeżel przyjmemy u =, o równane warancj warunkowej ma posać modelu ARMA z losowym paramerem auoregresyjnym, dla y, zn.: ( α + β + a y + u βu = + y ω. (8 Dla procesu opsanego równanem (7 warość kurozy wynos [Appadoo, Thavaneswaran, Sngh, 006]: ( ασ ε + β. (9 4 σ ε αβ σ ε ( α + σ a β Warunek koneczny wysępowna kurozy dla procesu opsanego modelem 4 RCA GARCH(, wynos σ ε αβ + σ ε ( α + σ a + β <. Podobne jak w przypadku modelu RCA ARCH, warość kurozy modelu RCA GARCH jes wyższa nż warość kurozy modelu GARCH przy założenu rozkładu normalnego nnowacj, zn.: K. (0 GARCH (, K RCA GARCH (, W każdym, z przedsawonych przypadków losowość paramerów prowadzła do podwyższena warośc kurozy.. Analza porównawcza eoreycznych warośc kurozy W celu zobrazowana różncy we własnoścach momenu czwarego poszczególnych model, oblczono przykładowe eoreyczne warośc kurozy. W każdym modelu przyjęo perwszy rząd opóźneń auoregresyjnych. Przy wyznaczenu warośc kurozy, uwzględnono warunk jej snena. Mało o wpływ na warośc poszczególnych paramerów model. Warunk snena kurozy dla procesu generowanego przez model ARCH( z rozkładem normalnym są nasępujące: a jeżel σ ε =, o α < , b jeżel σ ε = 0. 9, o α < , c jeżel σ ε = 0. 8, o α < W ablcy, umeszczono warośc kurozy modelu ARCH( zależnej od warośc parameru od warancj nnowacj. Na podsawe wynków zameszczonych w ablcy można swerdzć, ż dla modelu ARCH z rozkładem normalnym nemożlwe jes uzyskane małej warośc parameru α przy jednocześne znaczne podwyższonej kuroze jednoskowej (lub zblżonej do ej warośc warancj nnowacj. Dla modelu ARCH z rozkładem -Sudena warość maksymalna parameru zależy od sopn swobody. Zależność a przedsawona jes w ablcy.

8 584 Joanna Górka Tablca. Teoreyczne warośc kurozy dla procesu generowanego przez model ARCH( z nnowacjam z rozkładu normalnego α δ ε Kuroza α δ ε Kuroza α δ ε Kuroza Źródło: opracowane własne. Tablca. Maksymalne warośc parameru, przy kórych sneje kuroza procesu, generowanego przez model ARCH( z nnowacjam z rozkładu -Sudena, w zależnośc od lczby sopn swobody ν max warość max warość max warość ν ν parameru parameru parameru Źródło: opracowane własne. Dla jeszcze wększej lczby sopn swobody, warość parameru neznaczne sę zwększa osągając warość 0, 556 dla 0 sopn swobody. Wylczone warośc kurozy dla procesu opsanego poszczególnym modelam przedsawono w ablcy. Tablca. Teoreyczne warośc kurozy dla procesu generowanego przez model ARCH( z nnowacjam z rozkładu -Sudena α ν Kuroza α ν Kuroza α ν Kuroza Źródło: opracowane własne. W przypadku modelu ARCH z nnowacjam o rozkładze -Sudena uzyskane podwyższonej warośc kurozy, przy jednoczesnej małej warośc parameru

9 Kuroza w procesach generowanych przez model RCA GARCH 585 ne sanow problemu. Sosując en rozkład uzyskuje sę równeż grube ogony, co pozwala na lepsze modelowane szeregów fnansowych. Nemnej jednak, rozkład en ne jes pozbawony wad. Teoreyczne rzecz borąc, w przypadku użyca ego ypu rozkładu ne uzyska sę wyższych ocen parameru nż Dla procesu opsanego modelem RCA ARCH warość parameru zależy od warancj nnowacj warancj parameru. Przy odpowednch waroścach ych zmennych możlwe jes uzyskane dowolnej ( < warośc parameru. Tablca 4. Teoreyczne warośc kurozy dla procesu generowanego przez model RCA ARCH( α δ ε δ a Kuroza α δ ε δ a Kuroza α δ ε δ a Kuroza Źródło: opracowane własne. Gdy proces opsany jes przez model RCA ARCH( (Tablca 4 możlwe jes uzyskane zarówno wyższej, w sosunku do rozkładu normalnego, warośc kurozy jak wększych warośc parameru. Na uwagę zasługuje równeż fak, że dla wększych warośc parameru, zmana warośc warancj parameru δ o 0. 0, powoduje znaczącą zmanę warośc kurozy. Zaem warośc kurozy dla modelu RCA GARCH są porównywalne do modelu ARCH z rozkładem - Sudena. Przewagą rozkładu -Sudena nad rozkładem normalnym jes równeż możlwość opsu grubych ogonów. Dla modelu RCA ARCH warancja y, jes wyższa nż dla modelu ARCH z rozkładem normalnym, zaem rozkład nnowacj będze mał grubsze ogony. Teoreyczne warośc kurozy dla procesu generowanego przez modele GARCH oraz RCA GARCH przedsawono w ablcach 5-7. W ym przypadku, podobne jak dla procesów generowanych przez modele ARCH czy RCA ARCH, warość kurozy sneje pod warunkem spełnena warunków konecznych wysępowana kurozy. Wąże sę o z ogranczenem warośc paramerów, kóre w przypadku parameru α w modelu GARCH z nnowacjam a Korzysając z własnośc (7 oraz poprzez analoge modelu RCA ARCH, do modelu RCA.

10 586 Joanna Górka z rozkładu normalnego redukuje sę do ego samego ogranczena co dla modelu ARCH z nnowacjam z rozkładu normalnego. Tablca 5. Teoreyczne warośc kurozy dla procesu generowanego przez model GARCH(, z nnowacjam z rozkładu normalnego α β δ ε Kuroza α β δ ε Kuroza α β δ ε Kuroza Źródło: opracowane własne. Tablca 6. Teoreyczne warośc kurozy dla procesu generowanego przez model GARCH(, z nnowacjam z rozkładu -Sudena α β ν Kuroza α β ν Kuroza α β ν Kuroza Źródło: opracowane własne. Proces generowany przez model GARCH z nnowacjam z rozkładu normalnego ma warośc kurozy wyższe nż proces generowany przez model GARCH z ym samym waroścam parameru ylko z nnowacjam z rozkładu -Sudena. Wyższe warośc kurozy procesu generowanego przez model GARCH z nnowacjam z rozkładu normalnego można uzyskać poprzez wprowadzene losowośc parameru sojącego przy y (model RCA GARCH. Wówczas, średna parameru losowego sojącego przy y wynos α, zaś jego warancja jes równa δ a, zaś warość parameru sojącego przy σ ne zmena sę. Procesy generowane przez modele GARCH z nnowacjam z rozkładu - Sudena oraz RCA GARCH z nnowacjam z rozkładu normalnego pozwalają na opsywane podwyższonej kurozy.

11 Kuroza w procesach generowanych przez model RCA GARCH 587 Tablca 7. Teoreyczne warośc kurozy dla procesu generowanego przez model RCA GARCH(, α β δ ε δ a Kuroza α β δ ε δ a Kuroza Źródło: opracowane własne. Zakończene W leraurze doyczącej fnansowych szeregów czasowy, częso bywa kwesonowana możlwość opsu zjawsk za pomocą model ze sałym parameram. W modelu RCA GARCH zakłada sę znajomość rozkładu parameru. Założene o ma wpływ na warość kurozy procesu generowanego przez model GARCH. Przeanalzowane eoreyczne własnośc kurozy procesu pozwalają na sformułowane nasępujących wnosków: Ogranczenem sosowana rozkładu normalnego dla nnowacj w modelach GARCH jes ogranczene warośc parameru α do warośc spełnających nerówność α <. Ogranczenem sosowana rozkładu -Sudena dla nnowacj w modelach GARCH jes ogranczene warośc parameru α do warośc mnejszych nż Warośc kurozy procesu generowanego przez model RCA GARCH są wyższe nż dla procesu generowanego przez model GARCH z nnowacjam z rozkładu normalnego. Model RCA GARCH może sanowć alernaywę w sosunku do model GARCH z rozkładem -Sudena.

12 588 Joanna Górka Leraura. Appadoo S.S., Thavaneswaran A., Sngh J., (006, RCA models wh correlaed errors Appled Mahemacs Leers 9, Aue A. (004, Srong approxmaon for RCA( me seres wh applcaons, Sascs & Probably Leers 68, Bollerslev T. (986, Generalzed auoregressve condonal heeroscedascy, Journal of Economercs,, Brzeszczyńsk J., R. Kelm (00,Ekonomeryczne modele rynków fnansowych. WIG-Press 5. Engle R. F. (98, Auoregressve condonal heeroscedascy wh esmaes of he varance of Uned Kngdom nflaon, Economerca, 50, Doman, M., Doman, R. (004, Ekonomeryczne modelowane dynamk polskego rynku fnansowego, Wyd. AE w Poznanu, Poznań. 7. Ghysels E., Jasak J., (998, GARCH for Irregularly Spaced Fnancal Daa: The ACD-GARCH Model, Sudes n Nonlnear Dynamcs and Economercs, (4, Górka J., (007, Modele auoregresyjne z losowym parameram, w Osńska M. (red., Procesy STUR. Modelowane zasosowane do fnansowych szeregów czasowych, Wydawncwo Dom Organzaora, Toruń. 9. Hwang S.Y., Basawa I., Km T.Y. (006, Leas squares esmaon for crcal random coeffcen frs-order auoregressve processes, Sascs & Probably Leers 76, Lee S. (998, Coeffcen consancy es n a random coeffcen auoregressve model Journal of Sascal Plannng and Inference 74, Ncholls D.F., Qunn B.G., (98, Random Coeffcen Auoregressve Models: An Inroducon, n: Lecure Noes n Sascs, vol., Sprnger, New York.. Thavaneswaran A., Appadoo S.S., Pers S., (005, Forecasng volaly, Sascs & Probably Leers 75, 0.. Thavaneswaran A., Appadoo S.S., Samana M., (005, Random coeffcen GARCH models, Mah. Compu. Modellng 4, Tsay R.S., (987, Condonal Heeroscedasc Tme Seres Models Journal of he Amercan Sascal Assocaon, Vol. 8, No. 98, Sreszczene W arykule przedsawono eoreyczne warośc kurozy procesu generowanego przez modele auoregresyjne ze losowym paramerem (RCA, modele GARCH z nnowacjam z rozkładu normalnego albo z rozkładu -Sudena oraz modele GARCH z losowym paramerem (RCA GARCH. Podano równeż warunk koneczne snena kurozy dla poszczególnych procesów. W przypadku model GARCH przedsawono ogólny wzór na warość kurozy, kóry pozwala na wyznaczene eoreycznej warośc kurozy procesu w zależnośc od paramerów modelu GARCH(p,q czy rozkładu nnowacj. W osanej częśc wyznaczona zosała warość kurozy procesów opsanych przez modele z zadanym waroścam paramerów zadanym rozkładem nnowacj.

13 Kuroza w procesach generowanych przez model RCA GARCH 589 Zarówno dla procesów generowanych przez model GARCH z nnowacjam z rozkładu -Sudena jak dla procesu generowanego przez model RCA GARCH warość kurozy jes wyższa nż dla procesu generowanego przez model GARCH z nnowacjam z rozkładu normalnego, co czyn e dwa modele, modelam konkurencyjnym. The kuross of he RCA GARCH process (Summary Ths paper consders momen properes as well as kuross of he RCA models, GARCH models and RCA GARCH models. An ARMA represenaon s used o derve he kuross of he GARCH models wh ndependen, dencally dsrbued random varables wh zero mean and un varance.