PODAŻOWE CZYNNIKI WZROSTU GOSPODARCZEGO PODSTAWOWE MODELE TEORETYCZNE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PODAŻOWE CZYNNIKI WZROSTU GOSPODARCZEGO PODSTAWOWE MODELE TEORETYCZNE"

Transkrypt

1 ACTA UIVRSITATIS LODZISIS FOLIA OCOOMICA 294, 23 Paweł Dykas *, Tomasz Tokarsk ** PODAŻOW CZYIKI WZROSTU GOSPODARCZGO PODSTAWOW MODL TORTYCZ Sreszczene. Celem prezenowanego opracowana jes analza podażowych deermnanów długookresowego wzrosu gospodarczego na grunce podsawowych, eoreycznych model wzrosu. W pracy analzowane są neoklasyczne modele wzrosu, modele wzrosu opare na eor opymalnego serowana Ponragna oraz zw. modele wzrosu sem-endogencznego.. Wprowadzene Problemayka wzrosu gospodarczego, opara na maemaycznych modelach wzrosu gospodarczego, weszła do głównego nuru makroekonom na przełome la 3-ych 4-ych XX weku. Wedy o zosały sformułowane modele wzrosu gospodarczego R.F. Harroda oraz.d. Domara, kóre można zalczyć do model makroekonom keynessowskej. Po keynessowskch modelach wzrosu pojawły sę modele neoklasyczne, do kórych zalczyć można mędzy nnym modele: Solowa, Phelpsa, Mankwa-Romera-Wela oraz onnemana-vanhouda. W eor wzrosu gospodarczego podejmowano równeż próby endogenzacj posępu echncznego, w wynku czego powsały zw. endogenczne modele wzrosu gospodarczego do kórych zalczyć można mędzy nnym modele wzrosu: Ramseya, Lucasa oraz Romera. W prezenowanym opracowanu scharakeryzowano podsawowe modele wzrosu gospodarczego, j. modele: Solowa, Mankwa-Romera-Wela oraz onnemana-vanhouda (zalczane do neoklasycznych model wzrosu gospodarczego), endogenczne modele wzrosu (zwane naczej modelam opymalnego serowana): Lucasa, Romera oraz -kapałowy model opymalnego serowana ypu onnemana-vanhouda. Opracowane kończy analza zw. modelu wzrosu sem-endogenczego. * Mgr, Kaedra konom Maemaycznej, Insyu konom Zarządzana Unwersyeu Jagellońskego. ** Prof. dr hab., Kaedra konom Maemaycznej, Insyu konom Zarządzana Unwersyeu Jagellońskego. [9]

2 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk 2. eoklasyczna funkcja produkcj reszy Solowa Prosą analzę podażowych deermnanów długookresowego wzrosu gospodarczego oprzeć można na dobrze znanej w analzach makroekonomcznych koncepcj neoklasycznej funkcj produkcj. Przez neoklasyczną funkcję produkcj z reguły rozume sę funkcję Y FK, L, gdze Y o welkość wyworzonego srumena produku, zaś K, L oznacza nakłady kapału pracy, charakeryzującą sę nasępującym właścwoścam (za Barro, Sala--Marn [995, s. 6 7], por. eż np. Tokarsk [29b, rozdzał ], Tokarsk [2a, rozdzał 4] lub Tokarsk [2b, rozdzał 5]) 2 : I F K, F, L, co oznacza, że każdy z czynnków produkcj jes nezbędny w procese produkcyjnym. II lm FK, L lm FK, L, skąd wynka, że bardzo dużym K L L K (dążącym do +) nakładom kapału K /lub pracy L odpowada bardzo duży (dążący do +) srumeń wyworzonego produku. III F/K> F/L>, czyl wzros nakładów kóregokolwek z czynnków produkcj (ceers parbus) prowadz do wzrosu srumena wyworzonego produku. F F F IV Zachodzą warunk Inady posac: lm lm oraz lm K K L L K K F lm. Warunk e nerpreuje sę ekonomczne w en sposób, że bardzo małym (bardzo dużym) nakładom jednego z czynnków produkcj odpowa- L L da bardzo duży (bardzo mały) krańcowy produk owego czynnka produkcj. V 2 F/K 2 < 2 F/L 2 <, co oznacza, że wraz ze wzrosem nakładów każdego z czynnków produkcj jego krańcowy produk maleje. Sąd oraz z warunków Inady wynka, że jeśl nakłady kóregokolwek rosną od do +, o (ceers parbus) jego krańcowy produk spada od + do. VI Funkcja produkcj F jes jednorodna sopna perwszego. Wynka sąd, że dowolne -krone (przy > ) zwększene nakładów każdego z czynnków produkcj prowadz do dokładne -kronego wzrosu produku. Właścwość a nazywana jes równeż w leraurze ekonomcznej sałym efekam skal (lub sałym korzyścam skal). Punky 2-4 prezenowanego opracowana w znacznej merze opare są na pracy Tokarskego [29a]. Por. eż Tokarsk [29b]. 2 Implce o wszyskch wykorzysywanych dalej funkcjach zakładamy, że są odpowedną lość razy różnczkowalne w swoch dzedznach.

3 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego Korzysając z założena o sałych efekach skal można przejść z agregaowej funkcj produkcj Y FK, L na funkcję wydajnośc pracy y f k, gdze y Y / L o wydajność pracy (produk na pracującego), zaś k K / L oznacza echnczne uzbrojene pracy (kapał rzeczowy na pracującego). Można pokazać, ż funkcja wydajnośc pracy y f k charakeryzuje sę m.n. nasępującym właścwoścam (por. eż np. Chang [994, s ] lub Tokarsk [29b, rozdzał ]): f, I. II. f k lm, k III. df/dk >, df df IV. lm lm, k dk k dk V. d 2 f/dk 2 <. Korzysając z właścwośc neoklasycznej funkcj produkcj można wyprowadzć zw. równane resz Solowa [957], kóre opsuje sopę posępu echncznego w gospodarce (por. eż Harcour [975, s. 97 2]). Równane resz Y AF K, L, gdze A oznacza łączną Solowa można wyprowadzć z funkcj produkcyjność czynnków produkcj, zaś K L produkcj, przy czym F, F, jes neoklasyczną funkcją. Jeśl dodakowo założy sę, ż Y, A, K oraz L są różnczkowalnym funkcjam czasu [;+), o można pokazać, że 3 : Y Y A F K K F L L. () A K Y K L Y L Równane () nerpreuje sę ekonomczne w en sposób, że sopa wzrosu produkcj Y / Y jes sumą sopy posępu echncznego A/ A (równej sope wzrosu łącznej produkcyjnośc czynnków produkcj) oraz sumy sóp wzrosu nakładów kapału K / K pracy L / L ważonych elasycznoścam produkcj względem nakładów owych czynnków produkcj 4. Jeśl eraz uwzględn sę margnalną eorę podzału Clarka (j. eorema, że w warunkach gospodark doskonale konkurencyjnej każdy z czynnków produkcj mus być opłacany 3 Zaps x dx / d oznaczał będze dalej pochodną zmennej x po czase, czyl ekonomczne rzecz ujmując przyros warośc owej zmennej w momence. F K 4 F L Wyrażene w równanu () o elasyczność produku względem nakładów kapału K Y L Y (pracy).

4 2 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk zgodne z jego produkem krańcowym 5 ), o ceny czynnków produkcj (realna sopa procenowa r płaca realna w) są równe, odpowedno, F/K F/L. Wsawając powyższe równana do zwązku () orzymuje sę zależność: Y Y A rk K wl L A K L K L, (2) A Y K Y L A K L gdze K rk/y oraz L wl/y są udzałam kapału pracy w produkce. Poneważ udzały nakładów czynnków produkcj w produkce muszą sumować sę do jednośc, zaem np. αl αk. Wsawając powyższą zależność do równana (2) orzymuje sę: Y Y A K L Y L A K L αk. (3) A K α K αk L Y L A K L Podsawając w równanu (3) y / y Y / Y L / L oraz k / k K / K L / L (gdze y / y k / k oznacza, odpowedno, sopy wzrosu wydajnośc pracy echncznego uzbrojena pracy), można je przekszałcć zapsać nasępująco: A y k αk. (4) A y k Równane (4) nazywane jes w leraurze ekonomcznej równanem resz Solowa. Pozwala ono na oszacowane sopy posępu echncznego w gospodarce. Z równana ego wynka, że sopa posępu echncznego A/ A jes różncą pomędzy sopą wzrosu wydajnośc pracy y / y a sopą wzrosu echncznego uzbrojena pracy k / k ważoną udzałem nakładów kapału w produkce. K W swom arykule z 957 roku Solow, lcząc sopy wzrosu wydajnośc pracy, echncznego uzbrojena pracy oraz udzały nakładów kapału w produkce (w nerolnczym sekorze prywanym w Sanach Zjednoczonych w laach ) oszacował, że sopa posępu echncznego w gospodarce amerykańskej wynosła ok. % roczne w laach oraz ok. 2% w drugej połowe analzowanego przezeń okresu. Oznaczało o, że udzał posępu echncznego we wzrośce wydajnośc pracy w rozważanym przez Solowa okrese wynosł ok. 87,5%, zaś 5 Por. np. Tokarsk [2a, rozdzał 8].

5 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 3 pozosałe 2,5% wzrosu produku na pracującego było efekem akumulacj kapału rzeczowego (por. Solow [957] lub Harcour [975, s. 97 2]). 3. eoklasyczne modele wzrosu gospodarczego a baze neoklasycznej funkcj produkcj powsał równeż neoklasyczny model wzrosu Solowa [956]. W modelu wzrosu Solowa z posępem echncznym w sense Harroda 6 przyjmuje sę nasępujące założena doyczące funkcjonowana gospodark w długm okrese (szerzej na en ema por. np. Tokarsk [29b, rozdzał 2] lub Tokarsk [2b, rozdzał 5]): I. Proces produkcyjny opsany jes przez neoklasyczną funkcję produkcj posac: Y FK,, gdze AL jes zasobem efekywnej pracy rozumanym jako loczyn lczby pracujących L dosępnej w gospodarce wedzy naukowo-echncznej A. II. Przyros zasobu kapału rzeczowego równy jes różncy mędzy nwesycjam (zdeermnowanym przez oszczędnośc) a deprecjacją kapału. Założene o można zapsać przy pomocy nasępującego równana różnczkowego: K sy δk, gdze s(;) jes sopą oszczędnośc/nwesycj, zaś (;) o sopa deprecjacj kapału. III. Zasoby pracy L wedzy A rosną według danych egzogenczne sóp wzrosu równych n oraz g (n, g > ). Wynka sąd, że zasób efekywnej pracy rośne według sopy wzrosu = g + n, czyl: /. Operając sę na akm zborze założeń można wyprowadzć równane Solowa dane wzorem: k δ μk k sf, (5) gdze k Y/ oznacza produk na jednoskę efekywnej pracy, zaś f jes neoklasyczną funkcją wydajnośc pracy. Równane Solowa (5) można nerpreować ekonomczne w en sposób, że przyros kapału na jednoskę efekywnej pracy k jes równy różncy pomędzy oszczędnoścam/nwesycjam na jednoskę sf a ubykem kapału na jednoskę efekywnej pracy efekywnej pracy k k, kapału oraz ze wzrosu jednosek efekywnej pracy μ kóry o ubyek można rozłożyć na ubyek wynkający z deprecjacj k. Korzysając z właścwośc funkcj f oraz z równana Solowa można pokazać, że sneje pe- k 6 Tj. akm posępem echncznym, kóry bezpośredno poęguje produkcyjność pracy.

6 4 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk wen zasób kapału na jednoskę efekywnej pracy k, przy kórym k. Co węcej, bez względu na wyjścowe warośc wszyskch zmennych w modelu * wzrosu Solowa (poza k = ) gospodarka mus dojść do zasobu k. Zaem ów zasób kapału na jednoskę efekywnej pracy można rakować jako zasób w długookresowej równowadze Solowa. Sąd zaś oraz z właścwośc funkcj f wynka, że wówczas sneje równeż pewen srumeń produku na jednoskę * * efekywnej pracy y f k, do kórego dąży gospodarka w długm okrese. Poneważ kak oraz yay, zaś z założena III. modelu Solowa wynka, ż: A / A g, zaem w długookresowej równowadze analzowanego modelu wzrosu gospodarczego wydajność pracy y echnczne uzbrojene pracy k rosną według sopy wzrosu równej sope harrodańskego posępu echncznego g. Co węcej, można pokazać (por. np. Tokarsk [29b, rozdzał 2] lub Tokarsk [2b, rozdzał 5]), że w warunkach długookresowej równowag Solowa (po perwsze) sopy wzrosu podsawowych zmennych makroekonomcznych przypadających na pracującego są zdeermnowane przez sopę egzogencznego posępu echncznego w sense Harroda oraz (po druge) położene długookresowych śceżek wzrosu wydajnośc pracy echncznego uzbrojena pracy jes ym wyższe, m wyższe jes sopa oszczędnośc/nwesycj oraz m nższe są sopa deprecjacj kapału sopa wzrosu lczby pracujących. Wynka sąd, że wzros sopy oszczędnośc/nwesycj s lub spadek +n mogą doprowadzć do syuacj, w kórej sopy wzrosu echncznego uzbrojena pracy wydajnośc pracy będą (w okrese przejścowym) wyższe od sopy harrodańskego posępu echncznego. Oznacza o, że wówczas gospodarka w krókm średnm okrese wspna sę na wyżej położoną, długookresową śceżkę wzrosu gospodarczego. Po jej osągnęcu sopy wzrosu y oraz k kszałują sę na pozome odpowadającym sope harrodańskego posępu echncznego. Model wzrosu gospodarczego Solowa sał sę akże nspracją dla Phelpsa [96] do sworzena zw. złoej reguły akumulacj kapału 7. Przez złoą regułę akumulacj Phelpsa rozume sę syuację, w kórej gospodarka Solowa znajduje sę w akej długookresowej równowadze, kóra maksymalzuje konsumpcję na pracującego (przy założenu, że w gospodarce ne wysępuje posęp echnczny). Oznacza o, że złoą regułą akumulacj Phelpsa jes sopa oszczędnośc nwesycj s g (;), przy kórej c * s y * osąga maksmum względem s (gdze c * oznacza konsumpcję na pracującego, y * o wydajność pracy w warunkach równowag Solowa, zaś s jes sopą oszczędnośc/nwesycj). Problem en oż- * 7 Uogólnene owej reguły na dwu- welokapałowe, neoklasyczne modelu wzrosu gospodarczego Mankwa, Romera, Wela [992] oraz onnemana-vanhouda [996] znaleźć można w pracach Dykasa, Sulmy, Tokarskego [28] oraz Tokarskego [29b, 2b].

7 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 5 samy jes z maksymalzacją wyrażena: c * f k * n k * ze względu na k *. Można pokazać, że c * maksymalzowane jes względem k * wówczas, gdy zachodz zwązek: df * k n dk *. (6) Z równana (6) wynka, że złoą regułą akumulacj kapału Phelpsa jes ak * zasób kapału na pracującego k, przy kórym krańcowy produk kapału na g * pracującego df k * / dk równy jes sope ubyku echncznego uzbrojena pracy + n. Poneważ zaś długookresowy zasób kapału k * jes rosnącą funkcją sopy oszczędnośc/nwesycj s, zaem złoą sopą oszczędnośc/nwesycj jes aka * sopa s g, przy kórej zasób kapału k g spełna warunek (6). Jeśl zaś wykorzysa sę w modelu wzrosu Solowa funkcję produkcj Cobba-Douglasa, o okaże sę, ż złoą sopą oszczędnośc/nwesycj jes s g =, gdze (;) jes udzałem nakładów kapału w produkce. Próby rozszerzena modelu wzrosu Solowa można znaleźć akże np. w pracach Tokarskego [23abc 28]. W pracach Tokarskego [23a, 28] szuka sę długookresowych śceżek wzrosu gospodarczego ne ylko w warunkach sałych efeków skal (jak ma o mejsce w orygnalnych, neoklasycznych modelach wzrosu gospodarczego), ale akże w warunkach rosnących lub malejących efeków skal. Z prowadzonych am rozważań wynka, że jeśl w gospodarce wysępują rosnące lub malejące efeky skal, o długookresowa sopa wzrosu podsawowych zmennych makroekonomcznych zależna jes ne ylko od sopy egzogencznego posępu echncznego, lecz równeż od rodzaju uzyskwanych efeków skal (wnosek en prawdzwy jes równeż na grunce neoklasycznych model wzrosu Mankwa-Romera-Wela [992] oraz onnemana-vanhouda [996] por. eż Tokarsk [29b]). Oznacza o, że w warunkach rosnących efeków skal sonym kaalzaorem długookresowego wzrosu gospodarczego mogą być wszelke polyk rynku pracy, kóre prowadzą do podnesena długookresowych sóp wzrosu lczby pracujących. W pracy Tokarskego [23b] znajduje sę próba komplacj neoklasycznego modelu wzrosu Solowa z keynessowskm modelem wzrosu Domara [962] w celu wyznaczena długookresowych reguł polyk monearnej. W modelu ym przyjmuje sę m.n., że popyowa srona gospodark jes opsana przez równana zblżone do równana zagregowanego popyu wysępującego w modelu Domara, zaś podażowa srona gospodark jes aka, jak w modelu Solowa z funkcją produkcj Cobba-Douglasa. Co węcej, w modelu ym zakłada sę, ż sopa procenowa oddzałuje na nwesycje (kóre z kole oddzałują zarówno na popyo-

8 6 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk wą, jak podażową sronę gospodark), zaś podaż pracy rośne według pewnej sałej, danej egzogenczne sopy wzrosu. a grunce ak zadanego modelu gospodark szuka sę śceżk czasowej realnej sopy procenowej gwaranującej spełnene rzech nasępujących warunków: I. Bank cenralny ne dopuszcza do ego, by zagregowany popy przekroczył welkość produku poencjalnego, gdyż wówczas nadwyżkowy popy wywołałby presję nflacyjną. II. Bank cenralny dososowuje welkość zagregowanego popyu w gospodarce do produkcj poencjalnej, co zapobega powsanu newykorzysanych zdolnośc produkcyjnych w gospodarce. III. Zakładając, że w wyjścowym momence = sopa bezroboca była sopą bezroboca równowag, bank cenralny ne dopuszcza do ego, by sopa a uległa zmane. Założene o mplce oznacza, że bank cenralny mus znaleźć aką śceżkę czasową realnych sóp procenowych, aby lczba pracujących rosła według sopy wzrosu równej sope wzrosu podaży pracy. Rozwązane ak zadanego modelu wzrosu gospodarczego prowadz m.n. do nasępujących wnosków. Po perwsze, sneje długookresowa śceżka wzrosu realnej sopy procenowej, kóra zapewna gospodarce pełne wykorzysane snejących weń zdolnośc produkcyjnych. Po druge, w warunkach równowag ypu Domara-Solowa, uwzględnającej wspomnane wcześnej reguły polyk monearnej, długookresowe sopy wzrosu zasobu kapału srumena produku (podobne jak w neoklasycznych modelach wzrosu Solowa, Mankwa-Romera- Wela onnemana-vanhouda) kszałują sę na pewnym, usalonym pozome, wynkającym główne ze sopy egzogencznego posępu echncznego w sense Harroda oraz ze sopy wzrosu lczby pracujących. Po rzece, rozwązane modelu ypu Domara-Solowa wyznacza długookresowe śceżk wzrosu kapału produku o nższym nachylenu, nż ma o mejsce w przypadku model Solowa, Mankwa-Romera-Wela onnemana-vanhouda. Wynka o sąd, ż w modelach neoklasycznych ne uwzględna sę ogranczeń popyowych (zwązanych ze wzrosem gospodarczy) analzuje sę jedyne kszałowane sę śceżek produku poencjalnego. aomas w rzeczywsośc, kóra jes przedmoem opsu, ne jes na ogół spełnone eoreyczne założene, ż produkcja realzuje sę na pozome poencjalne określonym (Welfe [2, s. 64]). Uwzględnene zaś popyowych ogranczeń procesów wzrosu gospodarczego prowadz do rozwązana o nższych długookresowych sopach wzrosu od ych, kóre wysępują w orygnalnych, neoklasycznych modelach wzrosu gospodarczego. Można równeż połączyć modele wzrosu Solowa, Mankwa-Romera-Wela onnemana-vanhouda z modelam płac efekywnoścowych Solowa [979] Summersa [988] (por. Tokarsk [23, 29b, rozdzał 6]). Celem akej komplacj neoklasycznych model wzrosu gospodarczego z modelam płac efek-

9 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 7 ywnoścowych jes próba endogenzacj popyu na pracę lczby pracujących wewnąrz modelu wzrosu gospodarczego. Podsawowe wnosk, kóre płyną z akej komplacj owych model, są nasępujące. Po perwsze, w długookresowej równowadze wzrosu gospodarczego sopy wzrosu lczby pracujących są zdeermnowane dodano przez sopę wzrosu kapału (lub sopy wzrosu różnych, zdezagregowanych zasobów kapału), sopę egzogencznego posępu echncznego oraz przez sopę wzrosu podaży pracy. Po druge, w długm okrese sopa wzrosu lczby pracujących jes ym wyższa, m słabej płace reagują na zmanę wydajnośc pracy zmanę sopy bezroboca. Inne rozszerzena neoklasycznego modelu wzrosu gospodarczego Solowa, o powsałe w laach dzewęćdzesąych XX weku uogólnena modelu Solowa na przypadk, w kórych w gospodarce wykorzysuje sę dwa zasoby kapałowe (kapał rzeczowy kapał ludzk) lub skończoną lczbę różnych zasobów kapałowych. Perwszym z ych uogólneń jes model Mankwa-Romera-Wela z 992 roku, zaś drugm model onnemana-vanhouda z 996 roku. Założena modelu wzrosu gospodarczego Mankwa-Romera-Wela opsuje nasępujący układ równań: Y K K s H s H AL Y K, s K Y H, s H K A / A g H,,, (;) K, (;) H, K s K s L / L n H, (;) H. (7) Kolejne równana układu równań (7) nerpreuje sę ekonomczne nasępująco. Welkość produku Y zależna jes od nakładów kapału rzeczowego K, ludzkego L oraz od jednosek efekywnej pracy. Paramery, oraz w perwszym z równań układu równań (7) są elasycznoścam Y względem (odpowedno) K, H lub na grunce margnalnej eor podzału Clarka udzałam nakładów owych czynnków produkcj w produkce. Z drugego (rzecego) równana układu (7) wynka, że przyros zasobu kapału rzeczowego K (ludzkego H ) równy jes różncy pomędzy nwesycjam s K Y (s H Y) w ów zasób a jego deprecjacją K K ( H H). Jednosk efekywnej pracy są loczynem lczby pracujących L zasobu wedzy A. Wedza A rośne według egzogencznej sopy wzrosu g (kóra jes sopą egzogencznego posępu

10 8 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk echncznego w sense Harroda), naomas lczba pracujących L wedle sopy wzrosu n. Z założeń modelu wzrosu Mankwa-Romera-Wela można wyprowadzć równana ruchu owego modelu, kóre opsują zwązk: k h s s K H k h g n K k h H g n h k, (8) gdze k K / oraz h H / o (odpowedno) zasób kapału rzeczowego ludzkego na jednoskę efekywnej pracy. Równana ruchu (8) modelu wzrosu gospodarczego Mankwa-Romera-Wela sanową uogólnene równana Solowa (5). Dlaego eż nerpreuje je sę w en sposób, ż przyros zasobu kapału rzeczowego k (ludzkego h ) na jednoskę efekywnej pracy sanow różncę pomędzy nwesycjam s K k h H k h g n k g n s w ów zasób, przypadającym na jednoskę ejże pracy, a ubykem K K k kapału rzeczowego (ludzkego) na jednoskę efekywnej pracy, kóry o ubyek wynka zarówno z deprecjacj kapału rzeczowego (ludzkego) K k ( H h ), jak ze wzrosu jednosek efekywnej pracy (g + n)k ((g + n)h ). Rozważając układ równań różnczkowych (8) por. np. Tokarsk [29b, rozdzał 3] wycągnąć można nasępujące wnosk. Po perwsze, układów posada sablne rozwązane, kóre wyznacza zasoby kapału rzeczowego k * (ludzkego * h ) oraz, mplce, srumeń produku y * na jednoskę efekywnej pracy w długookresowej równowadze gospodark Mankwa-Romera-Wela. Po druge, w warunkach długookresowej równowag wydajność pracy y, echnczne uzbrojene pracy k oraz kapał ludzk na pracującego h rosną według sóp wzrosu równych sope harrodańskego posępu echncznego g. Po rzece, w warunkach długookresowej równowag Mankwa-Romera-Wela położene śceżek wzrosu wydajnośc pracy, echncznego uzbrojena pracy oraz kapału ludzkego na pracującego zależne jes m.n. od sóp nwesycj s K s H, sóp deprecjacj K H oraz sopy wzrosu lczby pracujących n. Po czware, wysokm sopom nwesycj w zasoby kapału rzeczowego ludzkego (czyl wysokm waroścom s K s H ) odpowadają wysoko położone śceżk wzrosu y, k oraz h w długm okrese. Po pąek, wysoke sopy deprecjacj owych kapałów K H /lub wysoka sopa wzrosu lczby pracujących n prowadz do nskego położena długookresowych śceżek wzrosu wydajnośc pracy, echncznego uzbrojena pracy oraz kapału ludzkego na pracującego.

11 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 9 Kolejnym rozszerzenem neoklasycznego modelu wzrosu gospodarczego Solowa jes model onnemana-vanhouda. Model en sanow akże uogólnene modelu Mankwa-Romera-Wela z ego względu, że model Mankwa-Romera- Wela jes modelem z dwoma zasobam kapału (kapałem rzeczowym ludzkm), naomas model onnemana-vanhouda jes modelem z dowolną, skończoną lczbą subsyucyjnych w sosunku do sebe zasobów kapałowych. Założena modelu onnemana-vanhouda doyczące funkcjonowana gospodark w długm okrese opsuje nasępujący układ równań 8 : Y K,, 2,,, (;),2,, K sy K, s, s2,, s, s j,, 2,, (;), (9) j AL A / A g L / L n gdze Y oznacza srumeń wyworzonego produku, K (dla każdego =,2,,) o nakłady -ego zasobu kapału, jednosk efekywnej pracy, (dla =,2,,) są elasycznoścam srumena wyworzonego produku względem kolejnych nakładów kapału lub na grunce eor podzału udzały owych nakładów kapału w produkce 9, s (dla każdego ) są sopam nwesycj w -y zasób kapału, sopy deprecjacj owych zasobów, A oraz L o zasoby wedzy pracy, zaś g oraz n oznaczają sopy wzrosu owych zasobów (a zaem g jes równeż sopą egzogencznego posępu echncznego w sense Harroda). Poszczególne równana układu równań (9) nerpreuje sę ekonomczne nasępująco (por. eż założena model wzrosu Solowa oraz Mankwa-Romera-Wela). Welkość produkcj zależna jes od nakładów każdego z zasobów kapałowych oraz od jednosek efekywnej pracy. Przyros każdego z zasobów kapału 8 W orygnalnym arykule onnemana-vanhouda [996] ne bada sę długookresowej sablnośc rozwązana owego modelu wzrosu gospodarczego. Dowód owej sablnośc znaleźć można w arykułach Dykasa, Sulmy, Tokarskego [28] Dykasa, Tokarskego [2]. aomas w pracy Dykasa, dgarana, Tokarskego [2] znajduje sę uogólnene modelu onnemana- Vanhouda (wraz z dowodem sablnośc uzyskanego rozwązana) na przypadek gospodark, w kórej proces produkcyjny opsuje ne funkcja produkcj Cobba-Douglasa, ale ogólna, neoklasyczna, + czynnkowa funkcja produkcj. 9 Sąd zaś wynka, że wyrażene o albo elasyczność produku Y względem nakładów efekywnej pracy, bądź eż udzał nakładów owej pracy w wyworzonym produkce.

12 2 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk K równy jes różncy mędzy nwesycjam w ów zasób s Y a jego deprecjacją K. Jednosk efekywnej pracy są loczynem lczby pracujących L dosępnej wedzy A. Zasoby L oraz A rosną według sóp wzrosu równych (odpowedno) n oraz g. Podsawając zaś za k K / (dla każdego =,2,, ) zasób -ego kapału na jednoskę efekywnej pracy, można wyprowadzć równana ruchu modelu onnemana-vanhouda dane wzoram: j j j k,2,, k s k g n. () Równana ruchu () sanową uogólnene równań ruchu (8) modelu Mankwa-Romera-Wela. Sąd eż nerpreuje je sę ekonomczne nasępująco. Przyros -ego zasobu kapału na jednoskę efekywnej pracy k jes różncą pomędzy nwesycjam w en zasób s j k j j a jego ubykem ( + g + n)k. Układ równań ruchu () modelu onnemana-vanhouda, podobne jak układ równań ruchu (8) modelu Mankwa-Romera-Wela, posada sablne położene długookresowej równowag (por. Dykas, Sulma, Tokarsk [28], Dykas, dgaran, Tokarsk [2] lub Dykas, Tokarsk [2]). W warunkach owej równowaga kolejne zasoby kapału na jednoskę efekywnej pracy k oraz srumeń produku na jednoskę owej pracy y dążą do pewnych, sałych welkośc * k oraz * y. Wówczas, po perwsze, sopy wzrosu kolejnych zasobów kapału na pracującego k K /L oraz srumena wydajnośc pracy y Y/L podobne jak ma o mejsce w modelach Solowa Mankwa-Romera-Wela rosną według sopy wzrosu równej sope posępu echncznego w sense Harroda, po druge, położene długookresowych śceżek wzrosu k oraz y jes ym wyższe, m wyższe są sopy nwesycj s j (dla j=,2,, ), po rzece, położene o jes ym wyższe, m nższe warośc przyjmują sopy deprecjacj kolejnych zasobów kapału j /lub sopa wzrosu lczby pracujących n. Przedsawone u wnosk prawdzwe są zarówno na grunce modelu onnemana- Vanhouda z funkcją produkcj Cobba-Douglasa, jak na grunce modelu uogólnonego, z dowolną, neoklasyczną funkcją produkcj (por. Dykas, dgaran, Tokarsk [2] lub Sulma [2]).

13 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 2 4. ndogenczne modele wzrosu gospodarczego (modele opymalnego serowana) W neoklasycznych modelach wzrosu gospodarczego przyjmuje sę założene, że sopa nwesycj (lub sopy nwesycj) mają charaker zmennych egzogencznych. W modelach wzrosu endogencznego uchyla sę o założene, zasępując je hpoezą, że sopa nwesycj (lub sopy nwesycj) kszałują sę na akm pozome, by maksymalzować sumę zdyskonowanej użyecznośc konsumpcj ypowego podmou w gospodarce. Modele e opare są na slnym założenu nowej ekonom klasycznej o długookresowej racjonalnośc ypowych podmoów mkroekonomcznych (uożsamanych dalej z ypowym konsumenem w gospodarce). Waro jednak w ym mejscu zauważyć, że o le w modelach nowej ekonom klasycznej a pror przyjmuje sę, że zachowana oczekwana ypowych podmoów mkroekonomcznych są racjonalne ak w długm, jak w krókm okrese, o yle w modelach wzrosu endogencznego założene o ograncza sę jedyne do okresu długego (absrahując od ego, co dzeje sę w krókm okrese). Ponado w modelach wzrosu endogencznego uwzględna sę wysępowane efeków zewnęrznych zwązanych z wykorzysanem wedzy, posępu echnologcznego lub kapału. Inwesycje (zarówno w kapał rzeczowy, jak ludzk) prowadzą wówczas do wzrosu produkywnośc, kóry jes wyższy od prywanych korzyśc. Jeśl efeky zewnęrzne są na yle slne, by zneuralzować dzałane malejących przychodów, o pozyywne sprzężene mędzy wedzą a nwesycjam może w sposób rwały oddzaływać na empo wzrosu (Wojyna [996, s. 6]). Oznacza o, że w modelach wzrosu endogencznego odrzuca sę neoklasyczne założene o sałych efekach skal agregaowej funkcj produkcj (por. eż np. Tokarsk [2]). Modele wzrosu endogencznego zazwyczaj są opare na maemaycznej eor opymalnego serowana, wykorzysującej zasadę maksmum Ponragna. Sąd eż modele e można nazwać modelam opymalnego serowana. Do podsawowych model wzrosu endogencznego zalcza sę modele Lucasa [988, 99, 993] (por. eż Lucas [2]) oraz Romera [986, 99]. Ponado w ej częśc prezenowanego opracowana scharakeryzowany będze równeż prosy model opymalnego serowana opary na założenach -kapałowego modelu wzrosu gospodarczego onnemana-vanhouda, kóry zosał zaproponowany w pracy Tokarskego [27]. W modelu wzrosu endogencznego Lucasa przyjmuje sę nasępujące założena doyczące funkcjonowana gospodark w długm okrese (Lucas [988, s. 7 8], por. eż np. Tokarsk [29b, rozdzał ]): I. Typowy, zachowujący sę racjonalne konsumen (podmo gospodarczy) maksymalzuje sumę zdyskonowanej użyecznośc konsumpcj w neskończonym

14 22 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk przedzale czasowym. Suma a maksymalzowana jes przez nasępującą całkę newłaścwą (nazywaną dalej równeż całką preferencj owego konsumena): c e d, () gdze c jes konsumpcją ypowego konsumena w gospodarce Lucasa (uożsamaną z konsumpcją na pracującego), (;)(;+) o odwroność mędzyokresowej subsyucj konsumpcj owego konsumena, zaś > o jego sopa dyskonowa. II. Agregaowa funkcja produkcj dana jes wzorem: Y h K ΞhL, (2) przy czym (; ) α są elasycznoścam srumena produku Y nakładów kapału rzeczowego K oraz nakładów pracy w sferze produkcj hl, (;) oznacza udzał czasu przeznaczonego na pracę, kóry jes wykorzysywany do pracy w sferze produkcj dóbr usług, h jes zasobem kapału ludzkego ypowego konsumena-pracownka w gospodarce, [;) jes zaś słą oddzaływana zw. procesów zewnęrznych akumulacj kapału ludzkego. III. Przyros zasobu kapału rzeczowego opsuje równane różnczkowe posac: K I δk Y C δk, (3) gdze I oznacza nwesycje (równe różncy pomędzy produkcją Y a konsumpcją C), naomas (;) o sopa deprecjacj kapału. IV. Przyros zasobu kapału ludzkego opsuje zw. funkcja Uzawy-Rosena dana wzorem: h Ξ h, (4) gdze (;) jes maksymalną, możlwą do uzyskana, sopą wzrosu zasobu kapału ludzkego. V. Lczba pracujących rośne według sopy wzrosu n>, czyl: L / L n. (5)

15 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 23 VI. Gospodarka charakeryzuje sę sałym sopam wzrosu g y / y k / k c / c g h h / h (gdze y Y/L, k K/L c C/L) oraz sałym udzałem czasu przeznaczonego na dzałalność w sferze produkcj Ξ * (; ) Ξ (dla dowolnego ). Problem wyznaczena opymalnej śceżk wzrosu gospodarczego w modelu wzrosu endogencznego Lucasa sprowadza sę do maksymalzacj całk preferencj () przy ogranczenu równanam (2 5). Problem en można rozwązać za pomocą eksremum Ponragna. Można pokazać (por. Tokarsk [29b, rozdzał ]), że przy założenach I. VI. opymalne sopy wzrosu g g h oraz opymalny udzał czasu przeznaczony na dzałalność w sferze produkcj * dane są wzoram: g, (6a) g h (6b) oraz: * Ξ. (6c) Z równań (6abc) (przy dodakowym założenu, że zachodz równeż nerówność: ) wynka, ż sopy wzrosu srumen produkcj konsumpcj oraz zasobu kapału rzeczowego (wszyske srumene na pracującego) ndywdualnych kwalfkacj pracownków w gospodarce zależne są, w głównej merze, od czynnków opsujących preferencje, co do srukury konsumpcj w czase (a węc od mędzyokresowej subsyucj konsumpcj / od sopy dyskonowej ypowego konsumena). Co węcej, m bardzej konsumenc w gospodarce Lucasa preferować będą konsumpcję beżącą w sosunku do konsumpcj przyszłej (czyl m wększe będze /, lub m nższe będze ), ym nższe sopy wzrosu będą uzyskwać podsawowe zmenne makroekonomczne. Dlaego eż w modelu wzrosu gospodarczego Lucasa (w przecweńswe do analzowanych poprzedno, neoklasycznych model wzrosu) możlwe jes rwałe podnesene sóp wzrosu gospodarczego. ależy jednak zaznaczyć, ż rwałe podnesene długookresowych sóp wzrosu gospodarczego mus

16 24 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk być połączone ze zmaną preferencj konsumenów w sosunku do srukury konsumpcj w czase. Innym, podsawowym modelem wzrosu endogencznego jes model Romera. W modelu ym czyn sę nasępujące założena opsujące funkcjonowane gospodark: I. W gospodarce snene skończony, nezmenny w czase zasób kapału ludzkego H>. Kapał ów jes dzelony na część zaangażowaną w sferze produkcj dóbr usług (równą H Y ) oraz część, kóra jes wykorzysywana w worzenu nowej wedzy naukowo-echncznej (wynoszącą H A ). Oznacza o, ż spełnone jes równane: H H Y H A. (7) II. Zasób wedzy naukowo-echncznej A zmena sę w czase zgodne z nasępującym równanem różnczkowym: A κh A, (8) A gdze > jes współczynnkem efekywnośc nakładów kapału ludzkego w sferze kreacj wedzy naukowo-echncznej. III. Srumeń produku Y opsany jes przez funkcję produkcj posac: Y A H L x Y d, (9) gdze x() jes nakładem -ego dobra kapałowego, naomas (;A), co oznacza, że lość dóbr kapałowych (wykorzysywanych w procesach produkcyjnych w gospodarce) jes zależna od snejącego w nej zasobu wedzy naukowoechncznej. aomas paramery, (;) oraz (; ) są elasycznoścam Y względem L, H Y oraz x(). Oznaczając przez x x, dla każdego (; A), przecęne dobro kapałowe funkcję produkcj (9) można zapsać nasępująco: Y A A H L x d H L x d H L x Y Y Y. (2) IV. Łączny zasób kapału rzeczowego K w gospodarce jes sumą dóbr kapałowych x(), co mplkuje zależnośc:

17 A Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 25 A K x d x d Ax x K / A. (2) V. Przyros kapału rzeczowego K jes równcą mędzy produkcją Y a konsumpcją C (dla uproszczena rozważań w modelu wzrosu Romera pomja sę deprecjację kapału K). sąd oraz z równań (2 2) wynka, że: β α α β H A LA K C K Y. (22) VI. Lczba pracujących ne ulega zmanom w czase w każdym momence wynos L>. VII. Celem dzałana ypowego podmou (konsumena) gospodarce Romera jes maksymalzacja sumy zdyskonowanej użyecznośc konsumpcj posac: C e d, (23) gdze paramery (;)(;+) oraz > nerpreuje sę ekonomczne ak, jak ma o mejsce w modelu wzrosu Lucasa. Z równań (7 22) orzymuje sę równana ruchu modelu wzrosu Romera posac: A H K A A A H H L K C A. (24) Problem wyznaczena równowag gospodark Romera sprowadza sę do maksymalzacj całk preferencj (23) przy ogranczenu układem równań różnczkowych (24). Posługując sę zasadą maksmum Ponragna można pokazać (por. Chang [992, s ] lub Tokarsk [29b, rozdzał ]), że rozwązanem owego problemu w warunkach wzrosu równomernego (przy Y / Y K / K C / C A / A H A ) jes zasób kapału ludzkego kerowany do sfery kreacj wedzy naukowo-echncznej dany wzorem: H H A (25a) oraz sopy wzrosu gospodarczego posac:

18 26 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk H Y / Y K / K C / C A / A. (25b) Z równań (25ab) wynka, że (przy dodakowym warunku H ) w modelu wzrosu gospodarczego Romera zarówno welkość kapału ludzkego kerowanego do dzałalnośc naukowo-echncznej, jak sopy wzrosu podsawowych, wyróżnonych w ym modelu, zmennych makroekonomcznych, będą ym wyższe, m wyższy jes łączny zasób kapału ludzkego (H) oraz m wyższy jes egzogenczny współczynnk efekywnośc nakładów kapału ludzkego w sferze naukowo-echncznej (czyl ). Co węcej, długookresowe sopy wzrosu gospodarczego Y / Y K / K C / C A / A (podobne jak ma o mejsce w modelu Lucasa) pownny być równeż ym wyższe, m bardzej konsumenc w gospodarce będą przedkładal konsumpcję przyszłą nad konsumpcją beżącą (j. m nższa będze sopa dyskonowa oraz m wyższa będze mędzyokresowa subsyucja konsumpcj /). Poneważ zasób kapału ludzkego oraz jego podzał na kapał ludzk wykorzysywany w sferze produkcj dóbr usług oraz akumulacja wedzy zasadnczo deermnują podsawowe sopy wzrosu w modelu Romera, określone przez równane (25b), zaem można sę spodzewać, że gospodark o względne małym zasobe kapału będą uzyskwały sosunkowo nske sopy wzrosu gospodarczego. Waro jednak zauważyć, ż do wnosku ego należy, szczególne na grunce modelu wzrosu endogencznego Romera, podchodzć bardzo osrożne, gdyż w modelu ym zakłada sę, że zasób kapału ludzkego jes sały w czase (od dzś aż do neskończonośc). Kolejnym modelem opymalnego serowana, nawązującym do model wzrosu endogencznego, jes model opymalnego serowana opary na -kapałowym modelu wzrosu onnemana-vanhouda (por. Tokarsk [27] lub Dykas, Tokarsk [2]). W modelu ym czyn sę nasępujące założena doyczące funkcjonowana gospodark w długm okrese: I. Proces produkcyjny opsuje poęgowa funkcja produkcj dana wzorem: Y K, gdze Y, K oraz AL nerpreuje sę ekonomczne ak, jak w przypadku funkcj produkcj w orygnalnym modelu onnemana-vanhouda. (;) oraz Θ (;) oznaczają odpowedno elasycznośc srumena produku Y względem nakładów kapału K oraz jednosek efekywnej pracy (przyjmuje

19 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 27 sę u akże, że (;) ). Ze specyfkacj powyższej funkcj produkcj wynka, że jes ona jednorodna sopna Θ. Płyne sąd wnosek, że jeśl sopeń jednorodnośc będze mnejszy (wększy) od jednośc, o funkcja a charakeryzować sę będze malejącym (rosnącym) efekam skal. aomas w przypadku, w kórym = wysąpą (charakerysyczne dla neoklasycznych model wzrosu gospodarczego) sałe efeky skal. II. Przyrosy każdego z zasobów kapału K opsują nasępujące równana różnczkowe:,2,..., K s Y K, gdze s oraz nerpreuje sę ak, jak w przypadku zwązku (9). III. Jednosk efekywnej pracy rosną według sopy wzrosu / g n będącej sumą sopy egzogencznego posępu echncznego w sense Harroda g > sopy wzrosu lczby pracujących n >. IV. Konsumpcja C sanow różncę pomędzy produkcją Y a sumą nwesycj s Y, czyl: C s Y. V. Celem dzałana ypowego konsumena, podobne jak w modelach wzrosu endogencznego Lucasa Romera, jes maksymalzacja sumy zdyskonowanej użyecznośc konsumpcj owego konsumena w neskończonym horyzonce czasowym. Sumę ę opsuje całka newłaścwa () jak w modelu Lucasa. Założena I V analzowanego u modelu wzrosu gospodarczego można sprowadzć do nasępującego zadana serowana opymalnego Ponragna (por. Tokarsk [27, s. 3 6]):

20 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk 28,,2,,,2, warunkach : przy max,,, 2 n g y s s s s k k k e L A y k n y s k d e, (26) gdze: y o wydajność pracy, k (dla =,2,, ) oznacza zasób -ego kapału na pracującego, k zasób ów w momence =, naomas A > L > są zasobam wedzy A pracy L w owym momence. Zadane serowana opymalnego (26) posada nebrzegowe rozwązane przy sałych w czase sopach nwesycj s, s 2,, s. Wówczas sopę wzrosu wydajnośc pracy y y / oraz kolejnych zasobów kapału k k / określa równane (por. Tokarsk [27, s. 6 ]): n g k k k k k k y y 2 2 / / / /. (27) Z równana (27) wycągnąć można m.n. nasępujące wnosk, doyczące długookresowych sóp wzrosu w modelu opymalnego serowana ypu onnemana-vanhouda (por. eż Tokarsk [27, s. 2]): Sopy wzrosu podsawowych zmennych makroekonomcznych na pracującego zależne są od sopy harrodańskego posępu echncznego g, sopy wzrosu lczby pracujących n, elasycznośc oraz elasycznośc, 2,, makroekonomcznej funkcj produkcj względem jednosek efekywnej pracy oraz nakładów kolejnych zasobów kapału K, K 2,, K. Im wyższa jes sopa posępu echncznego w sense Harroda, ym wyższe są długookresowe sopy wzrosu y oraz k, k 2,, k. Jeśl makroekonomczna funkcja produkcj charakeryzuje sę malejącym (rosnącym) efekam skal, czyl wówczas, gdy Θ Θ, o wysokej sope wzrosu lczby pracujących n owarzyszą nske (wysoke) sopy

21 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 29 wzrosu wydajnośc pracy kolejnych zasobów kapału na pracującego. aomas w przypadku, w kórym wysępują sałe efeky skal, a węc przy Θ, sopy wzrosu y / y k / k k 2 / k 2 k / k są nezależne od sopy wzrosu lczby pracujących podobne jak w neoklasycznych modelach Solowa, Mankwa-Romera-Wela oraz onnemana-vanhouda równe są sope egzogencznego posępu echncznego g. Co węcej, z nebrzegowego rozwązana zadana serowana opymalnego (26) wynka eż, ż opymalne sopy nwesycj określają równana (por. Tokarsk [27, s. 5]):,2,, s j g n j g j. (28) j n Z zależnośc (28) wynka co nasępuje: Opymalne sopy nwesycj zależne są m.n. od preferencj ypowego konsumena co do alokacj konsumpcj w czase, kóre opsane są przez sopę dyskonową oraz odwroność mędzyokresowej subsyucj konsumpcj owego konsumena. Co węcej, m nższe warośc przyjmuje, ym wyższe są opymalne sopy nwesycj. aomas kerunek oddzaływana na owe sopy zależny jes od sopna jednorodnośc makroekonomcznej funkcj produkcj. Jeśl sopeń ów będze g wyższy (nższy) od wyrażena, o wysokej warośc odpowadać będą n wysoke (nske) opymalne sopy nwesycj s. 5. Rozszerzene endogencznych model wzrosu gospodarczego, modele wzrosu sem-endogencznego W punkce poprzednm analzowano endogenczne modele wzrosu gospodarczego, naomas w kolejnym punkce przedsawone zosaną rozszerzena owych model. W prezenowanych modelach sem-endogencznych obok maksymalzacj użyecznośc ypowego konsumena oraz wyznaczena opymalnej sopy wzrosu konsumpcj (równej sope wzrosu produkcj) maksymalzuje sę równeż dochód podmou monopolsycznego, kóry wywarza czynnk nezbędne w pro-

22 3 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk cese produkcyjnym. W punkach 5.4 oraz 5.5 przedsawona jes opymalna (w sense Pareo) alokacja zasobów w rozważanej gospodarce oraz efeky zewnęrzne zwązane z zaangażowanem kapału ludzkego w sekorze nowych echnolog. 5.. Założena modelu I. Podobne jak w modelach wzrosu endogencznego ypowy konsumen, maksymalzuje sumę zdyskonowanej użyecznośc konsumpcj w neskończonym horyzonce czasowym. Owa suma maksymalzowana jes poprzez nasępującą całkę preferencj: C e d (29) W rozważanym modelu zakładamy brak wzrosu populacj, naomas całkowy zasób kapału ludzkego generowany przez rynek wynos L. II. Srumeń produku Y opsuje funkcja produkcj posac: Y L A x v, dv (3) gdze L > jes zagregowanym nakładem kapału ludzkego, x, o całkowa lość czynn- czynnków produkcj dosępnych w okrese, v ków produkcj v v, A A oznacza lość użyych w procese produkcyjnym w okrese. Funkcję produkcj (3) można równeż zapsać w nasępującej posac: Y L X (3) gdze: A, X x v dv,

23 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 3 przy czym o elasyczność subsyucj pomędzy nakładam dóbr kapałowych. Funkcja produkcj (3) zapsana za pomocą zwązku (3) uwydana sałe efeky skal. III. ormalzując cenę dóbr fnalnych w każdym okrese do jednośc, orzymujemy nasępujące ogranczene zasobów w gospodarce: C X Z Y (32) gdze X() o nakłady na czynnk produkcj (nakłady nwesycyjne), zaś Z() o wydak ponesone na nowe echnologe w okrese. Zakładamy eż, że każda jednoska czynnka produkcj może być wywarzana z koszem krańcowym produkcj równym,. IV. Możlwośc nnowacyjne gospodark opsane są przez zwązek: A Z (33) gdze oraz począkowy san zawansowana echnologcznego wynos:. A Równane (33) mplkuje, że wększe nakłady na nowe echnologe prowadzą do worzena nowych czynnków produkcj. V. Podmoy oferujące czynnk produkcj v na rynku usalają ch cenę na pozome p x v, aką, aby maksymalzowała ch dochód. Zakładając, ż czynnk produkcj ulegają całkowej deprecjacj podczas ch użykowana p x v, można nerpreować jako kosz ch użykowana. Popy na czynnk produkcj v orzymujemy poprzez maksymalzację zagregowanych zysków neo w sekorze dóbr fnalnych. Problem maksymalzacj zysków można zapsać jako: max xv, A A x v dv, L p v, xv, dv w L x (34) Zależność (34) opsuje maksymalzację różncy pomędzy dochodem uzyskanym z produkcj a koszem całkowym produkcj (na kóry składa sę kosz użykowana czynnków produkcj oraz kosz zaangażowana kapału ludzkego). Perwszym warunkem maksymalzacj zysku jes określene popyu na czynnk produkcj; przyjmuje on nasępującą formę: x v p v, L, (35) x

24 32 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk gdze o elasyczność popyu na czynnk produkcj. Popy dany równanem (35) zależy od koszu użykowana czynnków produkcj oraz podaży pracy. Drugm warunkem maksymalzacj zysku jes określene zakualzowanego dochodu monopolsy wywarzającego czynnk produkcj v, jako: V gdze: j dj, e ds (36) v v, s s r v, px v, xv, xv, oznacza dochody monopolsy wywarzającego czynnk produkcj v w czase, r o rynkowa sopa procenowa dla okresu. Zakładając, że równane (36) jes różnczkowalne dla każdego okresu, problem maksymalzacj sprowadza sę do nasępującego zwązku: V v, V v, v r,. (37) 5.2. Charakerysyka równowag Alokacja zasobów w ej gospodarce jes zdefnowana przez nasępujące zmenne: śceżkę czasową dla pozomu konsumpcj C, łącznych nakładów na czynnk produkcj X łącznych wydaków na nowe echnologe p sopy procen-, Z, ceny lośc czynnków produkcj xv, ; xv,, owej r oraz sopy wynagrodzeń w. Równowaga w opsywanym modelu wysępuje wówczas, gdy śceżk cza- p v ; x v, maksymalzują zakualzowaną warość dochodów mo- sowe x, nopolsów dzałających na rynku oraz X, Z, C maksymalzują użyeczność ypowego konsumena. Ze zwązku (7) wynka, że rozwązane problemu maksymalzacj dla każdego v, A sprowadza sę do ego, ż cena czynnków produkcj jes aka sama dla każdego okresu. Monopolsa usala cenę na akm pozome aby przewyższała jego kosz krańcowy, co oznacza, że można założyć, ż dana jes ona zależnoścą:

25 v Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 33, A,, p v, x. ormalzując kosz krańcowy do okazuje sę, że cena czynnków produkcj równa jes jednośc. Maksymalzacja zysków monopolsy mplkuje równeż, że każdy monopolsa wywarza ę samą lość czynnków produkcj równą:, A,, xv L v, (38) Zaem zysk monopolsy można zapać jako:, A,, v, L v (39) Z równana (39) wynka, że każdy monopolsa generuje ak sam zysk w każdym okrese. Z równań (3) oraz (35) płyne wnosek, że funkcję produkcj można zapsać jako: Y A L (4) Z równana (4) wynka, że chocaż zagregowana funkcja produkcj generuje sałe efeky skal z punku wdzena końcowych odborców czynnków produkcj (dla kórych A jes zmenną egzogenczną), o w odnesenu do całej gospodark dochody rosną wraz ze wzrosem skal produkcj. Popy na pracę w sekorze dóbr fnalnych wynka z perwszego warunku maksymalzacj (34), co mplkuje, że płace równe są: w A (4) Zakładając nasępujące zwązk: v,, Zv, V v, Z v, V (42) orzymujemy ak zwane warunk wejśca na rynek. Z powyższych rozważań wynka, że każdy z A monopolsów dosarcza całkową lość czynnków produkcj daną przez zwązek (), sąd dochodz sę do całkowych nakładów na czynnk produkcj:

26 34 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk X A L (43) Maksymalzacja użyecznośc ypowego konsumena sprowadza sę do równana ulera dla sopy wzrosu konsumpcj: C C r (44) oraz z warunku ranswersalnośc: r s ds A lme V v, dv (45) n kóry mplkuje, że całkowy zysk V v A, dv rośne ne szybcej nż sopa dyskona. Z powyższych rozważań wynka, że równowaga może być zdefnowana jako: śceżka czasowa konsumpcj, nakładów na nowe echnologe całkowej lośc dosępnych czynnków produkcj, kóre spełnają zwązk: (32), (36), (42), (44) (45), śceżka czasowa dla cen lośc p x v,, x v, va czynnków produkcj, kóra spełna równana (38) (39), śceżka czasowa rynkowej sopy procenowej oraz płac r, w, kóra spełna równana (4) (45). Zrównoważona śceżka wzrosu (sablny punk równowag), wysępuje wówczas, gdy konsumpcja C() produkcja Y() rosną w sałym empe. Równane (4) mplkuje zaś, że A równeż rośne w sałym empe Zrównoważona śceżka wzrosu Punk równowag jes osągany wedy, gdy konsumpcja C() rośne według sałej sopy g C. Ze zwązku (44) wynka, ż rynkowa sopa procenowa mus równeż rosnąć w sałym empe, sąd można założyć, że r ( ) r dla każdego. Z równana (39) oraz z założena, że sopa procenowa jes sała, zwązek V zaś sąd z równana (8) orzymujemy: (37) mplkuje że,

27 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 35 V L r (46) Równane (46) oznacza, że zysk monopolsów L w punkce równowag są zakualzowane sałą sopą dyskona równą r. Z warunków wejśca (42) wynka, że zachodz nasępująca zależność: r L. aomas równane konsumpcj (44) mplkuje, że sopa wzrosu konsumpcj w punkce równowag dana jes przez zwązek: C g C r C (47) Ponado beżący Hamlonan dla problemu maksymalzacj użyecznośc ypowego konsumena jes wklęsły, a sąd z warunku ranswersalnośc można scharakeryzować opymalny plan konsumpcj dla ypowego konsumena. W punkce równowag konsumpcja ne może rosnąć w nnym empe, nż łączna produkcja, sąd długookresowa sopa wzrosu w rozważanej gospodarce dana jes przez równane: g L (48) Załóżmy, że zachodzą nasępujące ogranczena na sopę preferencj ypowego konsumena: L L. (49) Perwszy warunek mplkuje, że g, drug zaś, że ypowy konsumen charakeryzuje sę skończoną użyecznoścą. Przy warunkach (49) sneje punk równowag w kórym produkcja rośne według sałej sopy wzrosu g Opymalna alokacja w sense Pareo W prezenowanym modelu konkurencja monopolsyczna mplkuje, że wysępująca równowaga ne zawsze jes opymalna w sense Pareo. Aby zesawć równowagę opymalną alokację w sense Pareo można zacząć od problemu opymalnego wzrosu. Opymalna śceżka wzrosu jes rozwązanem zagadne-

28 36 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk na maksymalzacj użyecznośc ypowego konsumena (29), ogranczena zasobów w gospodarce (32) oraz możlwośc nnowacyjnych (33). Owe ogranczene zasobów może być zapsane jako: A A C Z x v, dv L xv, dv (5) gdze wyrażene po prawej srone powyższej nerównośc o zdyskonowany zysk neo. Zagadnena opymalnego wzrosu można rozwązać w dwóch eapach. Perwszy eap obejmuje charakerysykę opymalnej alokacj, naomas drug- charakerysykę opymalnej śceżk wzrosu konsumpcj C() oraz śceżk wzrosu dosępnych czynnków produkcj A. Perwszy krok jes równoważny z maksymalzacją prawej srony nerównośc (5), kóra prowadz do zwązku: x L v,. Podsawając ę zależność do równana (3) dochodz sę do opymalnej alokacj w sense Pareo: Y A L. Sąd produk neo Y Y może być zapsany jako: A A L xv, dv A L. asępnym eapem charakerysyk opymalnej śceżk wzrosu jes maksymalzacja preferencj ypowego konsumena: max przy warunku: C e d A L C A,

29 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 37 gdze A o zmenna endogenczna, naomas C() o zmenna egzogenczna. Beżący hamlonan dla powyższego problemu dany jes równanem: C H ˆ A, C, A L C. Warunk koneczne snena rozwązana sprowadzają sę do nasępującego układu warunków: Hˆ Hˆ C lm A, C, C, A, C, L e A A. Powyższe równana charakeryzują opymalną śceżkę wzrosu. Łącząc e warunk orzymujemy opymalną śceżkę wzrosu dla konsumpcj:, C C L (5) Opymalna alokacja, ak jak opymalna sopa wzrosu, zależy od sałej sopy konsumpcj, naomas opymalną sopę wzrosu konsumpcj (5) można porównać do zrównoważonej sopy wzrosu danej przez zwązek (48). Sąd jeżel > o opymalna sopa wzrosu jes zawsze wększa od sopy zrównoważonego wzrosu (48). Ponado przy warunku: L począwszy od A, opymalna alokacja poęguje sałą sopę wzrosu: g L, kóra jes sone wększa nż sopa równowag g dana przez równane (48). Inucyjne opymalna sopa wzrosu w alokacj Pareo jes wyższa nż zrównoważona sopa wzrosu poneważ warość społeczna nnowacj jes wyższa, nż warość ekonomczna nnowacj.

30 38 Paweł Dykas, Tomasz Tokarsk Wzros z zewnęrznym efekam wedzy W punkach poprzednch wzros opary był na możlwoścach nnowacyjnych gospodark, w szczególnośc na lośc czynnków produkcj, charakeryzujących sę wysoko rozwnęym echnologam. Innym podejścem do ego zagadnena jes skerowane wększego zasobu kapału ludzkego do sekora nowych echnolog. Możlwośc nnowacyjne gospodark można eraz zapsać nasępująco: A A L (52), R gdze L R o alokacja kapału ludzkego w sekorze nowych echnolog w momence, wyrażene A o zasób dosępnych echnolog w momence. Sąd wększa warość A pocąga za sobą wększą produkywność zasobu ludzkego w sekorze nowych echnolog. Zauważmy, że możlwośc nnowacyjne dane przez (52) są proporcjonalne do zasobu kapału ludzkego skerowanego do sekora nowych echnolog. Owa proporcjonalność jes źródłem wzrosu endogencznego w prezenowanym modelu. Powyższe założena są podobne do założeń w modelu Romera. Dosępny zasób kapału ludzkego w gospodarce w momence przedsawa sę nasępująco: L R L L, gdze L o zasób kapału ludzkego w sekorze dóbr fnalnych w momence. Łączny produk opsuje funkcja: Y A L (53) Srumeń dochodów monopolsy ze sprzedaży czynnków produkcj wynos: L (54) Warość zakualzowana neo zysku monopolsy opsana jes przez zależność (36).

31 Podażowe czynnk wzrosu gospodarczego 39 Równane (52) mplkuje nasępujący warunek wejśca na rynek jako: v, w V (55) A Lewa srona równana (55) doyczy dochodu z zaangażowana dodakowej jednosk kapału ludzkego w sekorze nowych echnolog, naomas w o srumeń koszów wynkający z zarudnena dodakowego pracownka w sekorze nowych echnolog. Płace opsuje zaś równane: A w. Ponado wzros w punkce równowag mplkuje równeż, że rynkowa sopa procenowa mus być na sałym pozome r. Sąd oraz z warunku wejśca na rynek wynka, że zachodz nasępujące równane: L A r A (56) Zaem rynkowa sopa procenowa w punkce równowag jes równa: r L, gdze L jes sałym zasobem kapału ludzkego ulokowanym w sekorze dóbr fnalnych w punkce równowag. Z równana ulera dla sopy wzrosu konsumpcj (5) orzymujemy: C C L g (57) Granca możlwośc nnowacyjnych (52) mplkuje, że LR L L. Poneważ empo wzrosu konsumpcj mus być ake samo, jak empo posępu

Inne kanały transmisji

Inne kanały transmisji Wykład 4 Inne kanały ransmsj Plan wykładu. Ceny akywów 3. Ceny akywów Wzros sopy procenowej powoduje spadek cen domów akcj. gdze C warość kuponu, F warość nomnalna gdze dywdenda, g empo wzrosu dywdendy

Bardziej szczegółowo

PROBLEM ODWROTNY DLA RÓWNANIA PARABOLICZNEGO W PRZESTRZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAROWEJ THE INVERSE PARABOLIC PROBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE

PROBLEM ODWROTNY DLA RÓWNANIA PARABOLICZNEGO W PRZESTRZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAROWEJ THE INVERSE PARABOLIC PROBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE JAN KOOŃSKI POBLEM ODWOTNY DLA ÓWNANIA PAABOLICZNEGO W PZESTZENI NIESKOŃCZENIE WYMIAOWEJ THE INVESE PAABOLIC POBLEM IN THE INFINITE DIMENSIONAL SPACE S r e s z c z e n e A b s r a c W arykule skonsruowano

Bardziej szczegółowo

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Sposoby usalania płac w gospodarce Jednym z głównych powodów, dla kórych na rynku pracy obserwujemy poziom bezrobocia wyższy

Bardziej szczegółowo

Model ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli)

Model ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli) Model odstawowe założena modelu: ceny płace mogą ulegać zmanom (w odróżnenu od poprzedno omawanych model) punktem odnesena analzy jest obserwacja pozomu produkcj cen (a ne stopy procentowej jak w modelu

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 8 Polityka makroekonomiczna w gospodarce otwartej. Model Mundella-Fleminga

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 8 Polityka makroekonomiczna w gospodarce otwartej. Model Mundella-Fleminga Makroekonoma Gospodark Otwartej Wykład 8 Poltyka makroekonomczna w gospodarce otwartej. Model Mundella-Flemnga Leszek Wncencak Wydzał Nauk Ekonomcznych UW 2/29 Plan wykładu: Założena analzy Zaps modelu

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Zakłócenia w modelu DAD/DAS: Wzros produkcji poencjalnej; Zakłócenie podażowe o sile

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak ( ) ( ) ( ) i E E E i r r = = = = = θ θ ρ ν φ ε ρ α * 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

Jerzy Czesław Ossowski Katedra Ekonomii i Zarzdzania Przedsibiorstwem Wydział Zarzdzania i Ekonomii Politechnika Gdaska

Jerzy Czesław Ossowski Katedra Ekonomii i Zarzdzania Przedsibiorstwem Wydział Zarzdzania i Ekonomii Politechnika Gdaska Jerzy Czesław Ossowsk Kaedra Ekonom Zarzdzana Przedsborswem Wydzał Zarzdzana Ekonom Polechnka Gdaska IX Ogólnoposke Semnarum Naukowe n. Dynamczne modele ekonomeryczne, Kaedra Ekonomer Saysyk, Unwersye

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak ( ) ( ) ( ) E i E E i r r ν φ θ θ ρ ε ρ α 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa Oczekiwania

Bardziej szczegółowo

Inwestycje. Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Inwestycje. Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Inwesycje Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak CIASTECZOWY ZAWRÓT GŁOWY o akcja mająca miejsce w najbliższą środę (30 lisopada) na naszym Wydziale. Wydarzenie o związane jes z rwającym od

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak E i E E i r r 1 1 1 ) ( R. popyu R. Fishera Krzywa Phillipsa Oczekiwania Reguła poliyki monearnej

Bardziej szczegółowo

Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium

Kier. MTR Programowanie w MATLABie Laboratorium Ker. MTR Programowane w MATLABe Laboraorum Ćw. Zasosowane bbloecznych funkcj MATLABa do numerycznego rozwązywana równań różnczkowych. Wprowadzene Układy równań różnczkowych zwyczajnych perwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie cen detalicznych żywności w Polsce

Prognozowanie cen detalicznych żywności w Polsce Prognozowane cen dealcznych żywnośc w Polsce Marusz Hamulczuk IERGŻ - PIB Kaarzyna Herel NBP Co dlaczego prognozujemy Krókookresowe prognozy cen dealcznych Ceny dealczne (ndywdualne produky, agregay) Isone

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Maemayka ubezpeczeń mająkowych 7.05.00 r. Zadane. Pewne ryzyko generuje jedną szkodę z prawdopodobeńswem q, zaś zero szkód z prawdopodobeńswem ( q). Ubezpeczycel pokrywa nadwyżkę szkody ponad udzał własny

Bardziej szczegółowo

Jerzy Czesław Ossowski Politechnika Gdańska. Dynamika wzrostu gospodarczego a stopy procentowe w Polsce w latach

Jerzy Czesław Ossowski Politechnika Gdańska. Dynamika wzrostu gospodarczego a stopy procentowe w Polsce w latach DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Poliechnika Gdańska Dynamika wzrosu

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara.

Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Plan wykładu Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Model wzrostu Solowa. Krytyka podejścia klasycznego wstęp do endogenicznych podstaw wzrostu gospodarczego. Potrzeba analizy wzrostu

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE. Makroekonomia II Dr Dagmara Mycielska Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

INWESTYCJE. Makroekonomia II Dr Dagmara Mycielska Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak INWESTYCJE Makroekonomia II Dr Dagmara Mycielska Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Inwesycje Inwesycje w kapiał rwały: wydaki przedsiębiorsw na dobra używane podczas procesu produkcji innych dóbr Inwesycje

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy indeksów giełdowych

Podstawowe algorytmy indeksów giełdowych Podsawowe algorymy ndeksów gełdowych Wersja 1.1 San na 25-11-13 Podsawowe algorymy ndeksów gełdowych Wersja 1.1 San na 2013-11-25 Sps reśc I. Algorymy oblczana warośc ndeksów gełdowych...3 1. Warość beżąca

Bardziej szczegółowo

13. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,1998)

13. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,1998) 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) 3. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,998) 3.. Model Hagha Isneje wele prac z la powojennych, w kórych wysępują próby modelowana kolejek ruchowych

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Sansław Cchock Naala Nehrebecka Wykład 2 1 1. Szereg czasowy 2. Sezonowość 3. Zmenne sacjonarne 4. Zmenne znegrowane 2 1. Szereg czasowy 2. Sezonowość 3. Zmenne sacjonarne 4. Zmenne znegrowane 3 Szereg

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:

Bardziej szczegółowo

WZROST GOSPODARCZY A BEZROBOCIE

WZROST GOSPODARCZY A BEZROBOCIE Wojciech Pacho & WZROST GOSPODARCZ A BEZROBOCIE Celem niniejszego arykułu jes pokazanie związku pomiędzy ezroociem a dynamiką wzrosu zagregowanej produkcji. Poszukujemy oowiedzi na pyanie czy i jak silnie

Bardziej szczegółowo

III. Przetwornice napięcia stałego

III. Przetwornice napięcia stałego III. Przewornce napęca sałego III.1. Wsęp Przewornce: dosarczane pożądanej warośc napęca sałego koszem energ ze źródła napęca G. Możlwość zmnejszana, zwększana, odwracana polaryzacj lb kszałowane pożądanego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA Makroekonomia II Wykład 3 POLITKA PIENIĘŻNA POLITKA FISKALNA PLAN POLITKA PIENIĘŻNA. Podaż pieniądza. Sysem rezerwy ułamkowej i podaż pieniądza.2 Insrumeny poliyki pieniężnej 2. Popy na pieniądz 3. Prowadzenie

Bardziej szczegółowo

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej:

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej: dr Bartłomej Rokck Ćwczena z Makroekonom I Model ISLM Podstawowe założena modelu: penądz odgrywa ważną rolę przy determnowanu pozomu dochodu zatrudnena nwestycje ne mają charakteru autonomcznego, a ch

Bardziej szczegółowo

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim 5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy

Bardziej szczegółowo

Model IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak

Model IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak Ćwczena z Makroekonom II Model IS-LM- Model IS-LM- jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak gospodarka taka zachowuje sę w krótkm okrese, w efekce dzałań podejmowanych w ramach

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 3 Funkcje produkcji 1 FUNKCJE PRODUKCJI. ANALIZA KOSZTÓW I KORZYŚCI SKALI. MINIMALIZACJA KOSZTÓW PRODUKCJI.

EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 3 Funkcje produkcji 1 FUNKCJE PRODUKCJI. ANALIZA KOSZTÓW I KORZYŚCI SKALI. MINIMALIZACJA KOSZTÓW PRODUKCJI. EONOMIA MENEDŻERSA Wykład 3 Funkcje rodukcj 1 FUNCJE PRODUCJI. ANAIZA OSZTÓW I ORZYŚCI SAI. MINIMAIZACJA OSZTÓW PRODUCJI. 1. FUNCJE PRODUCJI: JEDNO- I WIEOCZYNNIOWE Funkcja rodukcj określa zależność zdolnośc

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0-1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Interpretacja

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 14 Inflacja jako zjawisko monetarne: długookresowa krzywa Phillipsa

Makroekonomia 1 Wykład 14 Inflacja jako zjawisko monetarne: długookresowa krzywa Phillipsa Makroekonomia 1 Wykład 14 Inflacja jako zjawisko monearne: długookresowa krzywa Phillipsa Gabriela Grokowska Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Plan wykładu Krzywa Pillipsa: przypomnienie

Bardziej szczegółowo

Nowokeynesowski model gospodarki

Nowokeynesowski model gospodarki M.Brzoza-Brzezina Poliyka pieniężna: Neokeynesowski model gospodarki Nowokeynesowski model gospodarki Model nowokeynesowski (laa 90. XX w.) jes obecnie najprosszym, sandardowym narzędziem analizy procesów

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( ) Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa

Bardziej szczegółowo

Modelowanie równowagi cenowej na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w okresach przed i po wejściu Polski do Unii Europejskiej

Modelowanie równowagi cenowej na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie w okresach przed i po wejściu Polski do Unii Europejskiej Sansław Urbańsk * Modelowane równowag cenowej na Gełdze Paperów Waroścowych w Warszawe w okresach przed po wejścu Polsk do Un Europejskej Wsęp Praca nnejsza sanow konynuację badań doyczących wyceny akcj

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Sansław Cchock Naala Nehrebecka Wykład 2 1 1. Szereg czasowy 2. Sezonowość 3. Zmenne sacjonarne 2 1. Szereg czasowy 2. Sezonowość 3. Zmenne sacjonarne 3 Szereg czasowy jes pojedynczą realzacją pewnego

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 4 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 4 1. Interpretacja parametrów przy zmennych zerojedynkowych Zmenne 0 1 Interpretacja przy zmennej 0 1 w modelu lnowym względem zmennych objaśnających

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

Postęp techniczny. Model lidera-naśladowcy. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Postęp techniczny. Model lidera-naśladowcy. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Posęp echniczny. Model lidera-naśladowcy Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Założenia Rozparujemy dwa kraje; kraj 1 jes bardziej zaawansowany echnologicznie (lider); kraj 2 jes mniej zaawansowany i nie worzy

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

I. Elementy analizy matematycznej

I. Elementy analizy matematycznej WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 15 Inflacja jako zjawisko monetarne: długookresowa krzywa Phillipsa

Makroekonomia 1 Wykład 15 Inflacja jako zjawisko monetarne: długookresowa krzywa Phillipsa Makroekonomia 1 Wykład 15 Inflacja jako zjawisko monearne: długookresowa krzywa Phillipsa Gabriela Grokowska Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Plan wykładu Prawo Okuna Związek między bezrobociem,

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Zastosowane modelu potęgowego Przekształcene Boxa-Coxa 2. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne 3. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zastosowane

Bardziej szczegółowo

2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)

2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1) Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza

Bardziej szczegółowo

MODEL DWUCZYNNIKOWY w ARYTMETYCE FINANSOWEJ PROBLEM BADAWCZY 1.MODEL APRECJACJI KAPITAŁU

MODEL DWUCZYNNIKOWY w ARYTMETYCE FINANSOWEJ PROBLEM BADAWCZY 1.MODEL APRECJACJI KAPITAŁU Krzyszof Paseck Akadema Ekonomczna w Poznanu MODEL DWUCZYNNIKOWY w ARYTMETYCE FINANSOWEJ PROBLEM BADAWCZY W [7] przedsawono aksjomayczno-dedukcyjną eorę arymeyk fnansowej oparą na pojęcu warośc przyszłej

Bardziej szczegółowo

gdzie E jest energią całkowitą cząstki. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego Wprowadźmy do lewej i prawej strony równania Schrödingera

gdzie E jest energią całkowitą cząstki. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego Wprowadźmy do lewej i prawej strony równania Schrödingera San sacjonarny cząsk San sacjonarny - San, w kórym ( r, ) ( r ), gęsość prawdopodobńswa znalzna cząsk cząsk w danym obszarz przsrzn n zalży od czasu. San sacjonarny js charakrysyczny dla sacjonarngo pola

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a

Bardziej szczegółowo

NEOKLASYCZNY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CYKLICZNĄ LICZBĄ PRACUJĄCYCH 1

NEOKLASYCZNY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CYKLICZNĄ LICZBĄ PRACUJĄCYCH 1 STUDIA OECONOMICA POSNANIENSIA 8, vol. 6, no. 9 DOI:.8559/SOEP.8.9. Paweł Dykas Uniwersye Jagielloński w Krakowie, Wydział Zarządzania i Komunikacji Społecznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej pawel.dykas@uj.edu.pl

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad

Bardziej szczegółowo

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP Krzyszof Jajuga Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu WYCENA KONRAKÓW FUURES, FORWARD I SWAP DWA RODZAJE SYMERYCZNYCH INSRUMENÓW POCHODNYCH Symeryczne insrumeny

Bardziej szczegółowo

V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA

V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA 46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp

Bardziej szczegółowo

C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:

C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się: Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili

Bardziej szczegółowo

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej

Badanie współzależności dwóch cech ilościowych X i Y. Analiza korelacji prostej Badane współzależnośc dwóch cech loścowych X Y. Analza korelacj prostej Kody znaków: żółte wyróżnene nowe pojęce czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnena 1. Zwązek determnstyczny (funkcyjny) a korelacyjny.

Bardziej szczegółowo

Oligopol dynamiczny. Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencji ilościowej jako gra jednokrotna z pełną i doskonalej informacją

Oligopol dynamiczny. Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencji ilościowej jako gra jednokrotna z pełną i doskonalej informacją Olgopol dynamczny Rozpatrzmy model sekwencyjnej konkurencj loścowej jako gra jednokrotna z pełną doskonalej nformacją (1934) Dwa okresy: t=0, 1 tzn. frma 2 podejmując decyzję zna decyzję frmy 1 Q=q 1 +q

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL 1. Interakcje 2. Przyblżane model nelnowych 3. Założena KMRL W standardowym modelu lnowym zakładamy,

Bardziej szczegółowo

TAKSONOMICZNE WSKAŹNIKI PRZESTRZENNEGO ZRÓŻNICOWANIA ROZWOJU POWIATÓW WOJEWÓDZTWA PODKARPACKIEGO

TAKSONOMICZNE WSKAŹNIKI PRZESTRZENNEGO ZRÓŻNICOWANIA ROZWOJU POWIATÓW WOJEWÓDZTWA PODKARPACKIEGO Suda Prawno-Ekonomczne,. LXXX, 2009 PL ISSN 0081-6841 s. 201 214 Paweł Dykas * TAKSONOMICZNE WSKAŹNIKI PRZESTRZENNEGO ZRÓŻNICOWANIA ROZWOJU POWIATÓW WOJEWÓDZTWA PODKARPACKIEGO Wprowadzene Celem ego opracowana

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Dariusz Szymański

Natalia Nehrebecka. Dariusz Szymański Natala Nehrebecka Darusz Szymańsk . Sprawy organzacyjne Zasady zalczena Ćwczena Lteratura. Czym zajmuje sę ekonometra? Model ekonometryczny 3. Model lnowy Postać modelu lnowego Zaps macerzowy modelu dl

Bardziej szczegółowo

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany Wykład II ELEKTROCHEMIA Wykład II b Nadnapęce Równane Buttlera-Volmera Równana Tafela Równowaga dynamczna prąd wymany Jeśl układ jest rozwarty przez elektrolzer ne płyne prąd, to ne oznacza wcale, że na

Bardziej szczegółowo

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH dr inż. Rober Sachniewicz METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Jednymi z licznych celów i zadań przedsiębiorswa są: - wzros warości przedsiębiorswa

Bardziej szczegółowo

WYBRANE ASPEKTY HARMONOGRAMOWANIA PROCESU MAGAZYNOWEGO

WYBRANE ASPEKTY HARMONOGRAMOWANIA PROCESU MAGAZYNOWEGO PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 64 Transpor 28 Tomasz AMBROZIAK, Konrad LEWCZUK Wydzał Transporu Polechnk Warszawske Zakład Logsyk Sysemów Transporowych ul. Koszykowa 75, -662 Warszawa am@.pw.edu.pl;

Bardziej szczegółowo

cz.2 dr inż. Zbigniew Szklarski

cz.2 dr inż. Zbigniew Szklarski Wykład 1: Prąd sały cz. dr nż. Zbgnew Szklarsk szkla@agh.edu.pl hp://layer.uc.agh.edu.pl/z.szklarsk/ Pasma energeyczne pasma energeyczne - 198 Felx Bloch zblżane sę aomów do sebe powoduje rozszczepene

Bardziej szczegółowo

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4

) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym z następującymi parametrami: nieznaną wartością 1 4 Zadane. Nech ( X, Y ),( X, Y ), K,( X, Y n n ) będą nezależnym zmennym losowym o tym samym rozkładze normalnym z następującym parametram: neznaną wartoścą oczekwaną EX = EY = m, warancją VarX = VarY =

Bardziej szczegółowo

PARAMETRY ELEKTRYCZNE CYFROWYCH ELEMENTÓW PÓŁPRZEWODNIKOWYCH

PARAMETRY ELEKTRYCZNE CYFROWYCH ELEMENTÓW PÓŁPRZEWODNIKOWYCH ARAMETRY ELEKTRYZNE YFROWYH ELEMENTÓW ÓŁRZEWODNIKOWYH SZYBKOŚĆ DZIAŁANIA wyrażona maksymalną częsolwoścą racy max MO OBIERANA WSÓŁZYNNIK DOBROI D OBIĄŻALNOŚĆ ELEMENTÓW N MAKSYMALNA LIZBA WEJŚĆ M ODORNOŚĆ

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Systemy nawigacji satelitarnej. Przemysław Bartczak

Systemy nawigacji satelitarnej. Przemysław Bartczak Sysemy nawgacj saelarnej Przemysław Barczak Częsolwość nośna Wszyske saely GPS emują neprzerwane sygnały na dwóch częsolwoścach nośnych L1 L2 z pograncza mkrofalowych fal L S, kóre z punku wdzena nazemnego

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 1. Informacje wstępne. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 1. Informacje wstępne. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 1. Informacje wsępne Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Zasady zaliczenia przedmiou i jego organizacja. Plan ramowy wykładu, czyli co wiemy po Makroekonomii

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

MIKROEKONOMIA Prof. nadzw. dr hab. Jacek Prokop jproko@sgh.waw.pl

MIKROEKONOMIA Prof. nadzw. dr hab. Jacek Prokop jproko@sgh.waw.pl MIKROEKONOMIA Prof. nadzw. dr hab. Jacek Proko roko@sgh.waw.l Statyka dynamka olgoolstyczne struktury rynku. Modele krótkookresowe konkurenc cenowe w olgoolu.. Model ogranczonych mocy rodukcynych ako wyaśnene

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia II. Plan

Makroekonomia II. Plan Makroekonomia II Wykład 5 INWESTYCJE Wyk. 5 Plan Inwesycje 1. Wsęp 2. Inwesycje w modelu akceleraora 2.1 Prosy model akceleraora 2.2 Niedosaki prosego modelu akceleraora 3. Neoklasyczna eoria inwesycji

Bardziej szczegółowo

Wykład: Równowaga makroekonomiczna w krótkim okresie. Makroekonomia II Zima 2018/2019 SGH. Jacek Suda

Wykład: Równowaga makroekonomiczna w krótkim okresie. Makroekonomia II Zima 2018/2019 SGH. Jacek Suda Wykład: Równowaga makroekonomczna w krótkm okrese Makroekonoma II Zma 2018/2019 SGH Jacek Suda Zmany stopy wzrostu realnego PKB w US W długm okrese PKB stopnowo rośne W krótkm okrese PKB waha sę wokół

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013 Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty

Bardziej szczegółowo

Tensorowe. Wielkości fizyczne. Wielkości i Jednostki UŜywane w Elektryce Wielkość Fizyczna to właściwość fizyczna zjawisk lub obiektów,

Tensorowe. Wielkości fizyczne. Wielkości i Jednostki UŜywane w Elektryce Wielkość Fizyczna to właściwość fizyczna zjawisk lub obiektów, Welkośc Jednosk UŜywane w Elekryce Welkość Fzyczna o właścwość fzyczna zjawsk lub obeków, Przykłady: W. f.: kórą moŝna zmerzyć. czas, długość, naęŝene pola elekrycznego, przenkalność elekryczna kryszałów.

Bardziej szczegółowo

65120/ / / /200

65120/ / / /200 . W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę

Bardziej szczegółowo

tor ruchu ruch prostoliniowy ruch krzywoliniowy

tor ruchu ruch prostoliniowy ruch krzywoliniowy KINEMATYKA Klasyfkacja ruchów Ruch jednosajny prosolnowy Ruch jednosajne zmenny Spadek swobodny Rzu ponowy w dół w órę Rzu pozomy rzu ukośny Ruch jednosajny po okręu Welkośc kąowe Polechnka Opolska Opole

Bardziej szczegółowo

CZYNNIKI KSZTAŁTUJĄCE REGIONALNE ZRÓŻNICOWANIE STÓP BEZROBOCIA REJESTROWANEGO W LATACH

CZYNNIKI KSZTAŁTUJĄCE REGIONALNE ZRÓŻNICOWANIE STÓP BEZROBOCIA REJESTROWANEGO W LATACH Humanes and Socal Scences 2013 HSS, vol. XVIII, 20 (1/2013), pp. 9-21 January March Paweł DYKAS 1 Tomasz MISIAK 2 Tomasz TOKARSKI 3 CZYNNIKI KSZTAŁTUJĄCE REGIONALNE ZRÓŻNICOWANIE STÓP BEZROBOCIA REJESTROWANEGO

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA REGIONALNA

STATYSTYKA REGIONALNA ЕЗЮМЕ В,. Т (,,.),. В, 2010. щ,. В -,. STATYSTYKA REGIONALNA Paweł DYKAS Zróżncowane rozwoju powatów w woj. małopolskm W artykule podjęto próbę analzy rozwoju ekonomcznego powatów w woj. małopolskm, wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Podstawowe założenia modelu: Równowaga na rynku dóbr - wyprowadzenie krzywej IS. efekt majątkowy.

Podstawowe założenia modelu: Równowaga na rynku dóbr - wyprowadzenie krzywej IS. efekt majątkowy. mgr Bartłomej Rokck Ćwczena z Makroekonom II Model ISLM Podstawowe założena modelu: penądz odgrywa ważną rolę przy determnowanu pozomu dochodu zatrudnena nwestycje ne mają charakteru autonomcznego, a ch

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE MIERNIKI DYNAMIKI ZJAWISK

PODSTAWOWE MIERNIKI DYNAMIKI ZJAWISK PODSTAWOWE MIERNIKI DYNAMIKI ZJAWISK Założena Nech oznacza ozom (warość) badanego zjawska (zmennej) w kolejnch momenach czasu T0, gdze T 0 0,1,..., n 1 oznacza worz szereg czasow. zbór numerów czasu. Cąg

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 . Zmenne dyskretne Kontrasty: efekty progowe, kontrasty w odchylenach Interakcje. Przyblżane model nelnowych Stosowane do zmennych dyskretnych o uporządkowanych

Bardziej szczegółowo

KURS EKONOMETRIA. Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS EKONOMETRIA. Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ZADANIE DOMOWE.   Strona 1 KURS EKONOMETRIA Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonomerycznego ZADANIE DOMOWE www.erapez.pl Srona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (ylko jedna jes prawdziwa). Pyanie 1 Kóre z poniższych

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Ewa Dziawgo Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych

Ewa Dziawgo Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 7 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu

Bardziej szczegółowo

Sztuczne sieci neuronowe. Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311

Sztuczne sieci neuronowe. Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyki, p. 311 Sztuczne sec neuronowe Krzysztof A. Cyran POLITECHNIKA ŚLĄSKA Instytut Informatyk, p. 311 Wykład 6 PLAN: - Repetto (brevs) - Sec neuronowe z radalnym funkcjam bazowym Repetto W aspekce archtektury: zajmowalśmy

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r.

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r. Mnster Edukacj arodowej Pan Katarzyna HALL Mnsterstwo Edukacj arodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 arszawa Dna 03 czerwca 2009 r. TEMAT: Propozycja zmany art. 30a ustawy Karta auczycela w forme lstu otwartego

Bardziej szczegółowo

Założenia metodyczne optymalizacji ekonomicznego wieku rębności drzewostanów Prof. dr hab. Stanisław Zając Dr inż. Emilia Wysocka-Fijorek

Założenia metodyczne optymalizacji ekonomicznego wieku rębności drzewostanów Prof. dr hab. Stanisław Zając Dr inż. Emilia Wysocka-Fijorek Założenia meodyczne opymalizacji ekonomicznego wieku rębności drzewosanów Prof. dr hab. Sanisław Zając Dr inż. Emilia Wysocka-Fijorek Plan 1. Wsęp 2. Podsawy eoreyczne opymalizacji ekonomicznego wieku

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA NEOKLASYCZNEJ TEORII WZROSTU EKOLOGICZNIE UWARUNKOWANEGO W MODELOWANIU ZRÓWNOWAŻONEGO ROZWOJU REGIONU. Henryk J. Wnorowski, Dorota Perło

ZAŁOŻENIA NEOKLASYCZNEJ TEORII WZROSTU EKOLOGICZNIE UWARUNKOWANEGO W MODELOWANIU ZRÓWNOWAŻONEGO ROZWOJU REGIONU. Henryk J. Wnorowski, Dorota Perło 0-0-0 ZAŁOŻENIA NEOKLASYCZNEJ TEORII WZROSTU EKOLOGICZNIE UWARUNKOWANEGO W MODELOWANIU ZRÓWNOWAŻONEGO ROZWOJU REGIONU Henryk J. Wnorowski, Doroa Perło Plan wysąpienia Cel referau. Kluczowe założenia neoklasycznej

Bardziej szczegółowo

Wykład 10: Równowaga makroekonomiczna w krótkim okresie. Makroekonomia II Zima 2017/2018 SGH. Jacek Suda

Wykład 10: Równowaga makroekonomiczna w krótkim okresie. Makroekonomia II Zima 2017/2018 SGH. Jacek Suda Wykład 10: Równowaga makroekonomczna w krótkm okrese Makroekonoma II Zma 2017/2018 SGH Jacek Suda Zmany stopy wzrostu realnego PKB w US W długm okrese PKB stopnowo rośne W krótkm okrese PKB waha sę wokół

Bardziej szczegółowo

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej

Bardziej szczegółowo