Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki

Transkrypt

1 Katea lektotechiki Teoetyczej i Ifomatyki Pzemiot: Teoia ola elektomagetyczego Nume ćwiczeia: Temat: Metoa oić lustzaych Postawy teoetycze Pzyuśćmy, że łauek uktowy (ys. ) umieszczoy jest w oległości o ieskończoej owiezchi zewozącej, umiejscowioej a łaszczyźie XY. Piewsze ytaie, jakie o azu się asuwa jest astęujące: Jaki jest otecjał V oaz atężeie w oszaze a łaszczyzą? Nie mogą oe ochozić tylko o łauku, oieważ wyiukuje a owiezchi zewoika ewie łauek o zaku zeciwym. W związku z tym całkowity otecjał oaz atężeie ęą sumą otecjałów i atężeń ochozących ezośeio o i o łauku iukowaego. Ale jak moża oliczyć te wielkości, skoo ie wiaomo jak uży jest wyiukoway łauek i jaki jest jego ozkła? Z Y X ys. Łauek w oległości a owiezchią zewozącą Z omocą zychozi am metoa oić zwiecialaych. Metoa ta olega a zastąieiu owiezchi zewozącej ówoważymi jej łaukami ozoymi (tzw. uojoymi lu zwiecialaymi). Muszą oe wytwozyć takie samo ole jak to, któe zostało wytwozoe zez łauki zeczywiste, wyiukowae a owiezchi zewozącej. Po wyzaczeiu ozkłau łauków zwiecialaych zagaieie ozwiązujemy alej tak, jaky w ukłazie ie wystęowała owiezchia zewoząca, a ole yło wytwazae zez łauki iewote i zwiecialae. W ogólości metoa może yć wykozystaa o oliczaia ozkłaów ól zy wystęowaiu óżych śoowisk iekoieczie zewozących.

2 Pzykła Łauek zajuje się w ielektyku o zeikalości elektyczej ε w oległości o łaszczyzy zewozącej (ys. ). Wyzaczyć ole w ielektyku, gęstość owiezchiową łauków, któe owstaą a owiezchi ozielającej wa śoowiska i siłę ziałającą a łauek. Z [V,sigma,F] = t_metoa_oic(.6e-9,.7e-,esilo,x,,z); suf(x,z,v); W ooy sosó możemy szyko oliczyć gęstość owiezchiową łauku iukowaego a łycie: II ε I α α g P Y x = -e-:.e-:e-; y = x ; X = emat(x,legth(y),); Y = emat(y,,legth(x)); [V,sigma,F] = t_metoa_oic(.6e-9,.7e-,esilo,x,y,); suf(x,y,sigma); coloa; Iymi fukcjami, któych możemy użyć o ysowaia wykesów są mesh i colo. X ys. Łauek zeczywisty oaz łauek uojoy oity wzglęem owiezchi zewozącej, umiejscowioej a łaszczyźie XY ozwiązaie Klasycza oceua zajowaia ozkłau ola w takim ukłazie olegałay a aisaiu oowieich ówań Maxwella i ozwiązaiu ich zy uwzglęieiu wauków zegowych zagaieia. Jest to azo tue, oieważ iezay jest ozkła łauków a owiezchi zewozącej. Fukcję oisującą ozkła ola i sełiającą ówaia Maxwella oaz wauki zegowe, sóujemy zaleźć kozystając z twiezeia o jeozaczości. Twiezeie to mówi, że jeżeli zajziemy jakąkolwiek fukcję sełiającą ówaia Maxwella oaz wauki zegowe ostawioe w zaaiu to fukcja ta jest jeyym słuszym ozwiązaiem. Tutaj waukiem zegowym jest zeowaie się skłaowej styczej a owiezchi zewozącej. Fakt zeowaia się skłaowej styczej wektoa atężeia ola elektyczego wyika z tego, iż w zagaieiach elektostatyki, a owiezchi zewozącej istieje otecjał o stałej watości owiezchia zewoika jest owiezchią ekwiotecjalą. Wystęuje tylko skłaowa omala wektoa atężeia ola elektyczego. Zaaie - wykozystaie ogamu MATLAB Posługując się fukcją t_metoa_oic i zestawioymi owyżej fukcjami ogamu MATLAB oszę zaosewować jak zy zmiaach oszczególych aametów zaaia (q,, ε, x, y, z) zmieiają się watości: ) otecjału V wokół łauku (zaosewować zmiay V zy zmiaach q, i ε. Jak zmieia się V gy miezymy go coaz alej o łauku?), ) łauku σ iukowaego a łycie (jak zależy o q, i ε?), ) siły F elektostatyczego oziaływaia mięzy łaukiem a łytą (jak zależy o q, i ε?). W sawozaiu oszę oać wyiki osewacji. ks 9--4 Wykażemy, że wauek zeowaia się skłaowej styczej wektoa a łaszczyźie XY ęzie sełioy także wtey, gy ziałaie zewozącej łyty zastąimy fikcyjym łaukiem = umieszczoym w oległości o łaszczyzą XY, zy założeiu że zeikalość elektycza całej zestzei jest ówa ε.

3 Oliczając siłę elektostatyczego oziaływaia mięzy łaukiem a łytą możemy osłużyć się wektoem ciągiem watości aej zmieej. Otzymamy w te sosó wyiki la kilku watości łauku alo oległości, alo zeikalości elektyczej śoowiska (tylko la jeego z tych agumetów możemy zyjąć wiele watości). Wygoie jest wcześiej zefiiować wekto, a zy wywołaiu fukcji osłużyć się jego azwą: = [e- e- e- 4e- 5e- 6e- 7e- 8e- 9e- e-]; [V,sigma,F] = t_metoa_oic(.6e-9,,esilo,,,); Postawieie a końcu liii śeika owouje, że wielkości są oliczae i są zyisywae o oowieich zmieych, ale ie są wyświetlae a ekaie. Możemy je wywołać wisując oowieią azwę lu zoaczyć w ostaci gaficzej ysując wykes. Jeą z ostęych w ogamie fukcji ysujących wykesy jest fukcja lot: lot(,f) Na osi oziomej okłaae są watości zmieej, a a osi ioowej zmieej F. W te sam sosó możemy oliczyć i aysować wykesy zależości o iych zmieych. Poszukując watości otecjału w óżych uktach zestzei osłużymy się zmieymi w ostaci maciezy. Dzięki temu możemy za jeym azem oliczyć watość otecjału w wielu uktach. W tym celu efiiujemy wsółzęe x i z w astęujący sosó: x = -e-:.e-:e-; z = :.e-:.5e-; z = z ; X = emat(x,legth(z),); Z = emat(z,,legth(x)); W iewszej liii utwozyliśmy wekto x, okeślający wsółzęe o - mm co, o mm. Pooie utwozyliśmy wekto z. Wystęujący w tzeciej liii aostof o zmieej ozacza tasozycję (zamiaę kolum z wieszami). Na koiec twozymy macieze X i Y, któe owstają zez owieleie wieszy zmieej x i kolum zmieej y tak, ay owe zmiee miały takie same wymiay. Wywołujemy teaz fukcję t_metoa_oic z owymi agumetami i ysujemy wyiki. Do zoieia wykesu a łaszczyźie XZ wykozystamy fukcję suf: W takim zyaku, a łaszczyźie XY atężeie ola elektyczego o wóch łauków uktowych wyosi: g = + = +. 4πε 4πε () Skłaowa stycza wektoa g o łaszczyzy XY ówa się: gstycz stycz stycz = + = cosα + cosα. () Oywie skłaowe twozą z łaszczyzą XY taki sam kąt α ( =, o łauek jest tak samo oaloy o łaszczyzy jak łauek ). Z ooieństwa tójkątów możemy aisać: x + y cosα =. () Bioąc owyższe zależości oaz uwzglęiając, że skłaowa stycza wektoa g = otzymamy: a stą: x + y x + y + =, (4) 4πε 4πε =. (5) Wykazaliśmy więc sełieie wauków zaaia. Zastąieie zewozącej łaszczyzy łaukiem ie zmieia ostawioych wauków zegowych, a tym samym ie zmieia ozkłau ola a tą łaszczyzą. W owolym ukcie zestzei a łaszczyzą XY, tj. w oszaze, w któym umieszczoy jest łauek atężeie ola elektostatyczego moża oisać: Potecjał oisay jest: Watość otecjału w ukcie P(x, y, z) wyosi: = 4πε 4 πε. (6) V = 4πε 4πε. (7) V ( x, y, z) =. 4 πε x + y + ( z ) x + y + ( z + ) (8) Kozystając z () wyzaczymy watość skłaowej omalej a owiezchi XY: = + = siα + siα. (9) gom om om Aalogiczie jak la skłaowej styczej moża aisać: siα =. ()

4 Uwzglęiając, że = x + y + oaz =, otzymamy: gom = = 4πε 4πε πε x + y +. () Zając ozkła i V moża wyzaczyć gęstość owiezchiową łauków, któe owstaą a owiezchi ozielającej wa śoowiska. Z wauków ciągłości wektoa zy zejściu zez łat łauku owiezchiowego z oszau I o II wyika, że gęstość łauku owiezchiowego jest oocjoala o ieciągłości skłaowej omalej : ε( II I ) = σ. () Poieważ w oszaze II ole ie istieje ( II = ), to owiezchiowa gęstość łauku wyaża się astęująco: σ = εg = = π π x + y +. () Na owiezchi iukuje się łauek o zaku zeciwym o zaku łauku. Gęstość owiezchiowa ma ajwiększą watość la x = y =. Całkowity łauek, któy owstaie a owiezchi ozielającej wa śoowiska owiie yć ówy : x x = = = = + σs 4 y σx y y ( ) π π ( + y ) x + y + x + y + y y π = = actg = =. (4) + π y π π Łauek zyciągay jest zez łaszczyzę, oieważ zajuje się a iej iukoway łauek o zaku zeciwym. Siłę tego zyciągaia moża oliczyć: F = z. (5) 4 πε ( ) Poieważ wekto siły jest skieoway ówolegle o osi Z ze zwotem zeciwym, to jej watość: F = =. (6) 4 πε( ) 6πε ówaia (8), () i (6) jako fukcja w języku MATLAB Wyzaczoe w zykłazie zależości wykozystamy o oliczeń w ogamie MATLAB. W tym celu aiszemy fukcję, któa ułatwi am oliczeia. Po uuchomieiu ogamu wyieamy z główego meu ocje: File New M-file. Otwiea się okieko, w któym wiszemy fukcję: fuctio [V,sigma,F] = t_metoa_oic(q,,esilo,x,y,z); V =./(4*i*esilo).*... (q./sqt(x.^+y.^+(z-).^)... -(q./sqt(x.^+y.^+(z+).^))); sigma = -q.*..../(*i*(x.^+y.^+.^).^(/)); F = q^./(6*i*esilo*.^); Ay moża yło kozystać z fukcji, koiecze jest zaisaie jej w ostaci liku a ysku. Wyieamy z meu: File Save As... Nazwa liku owia yć taka sama jak azwa fukcji, w tym zyaku ęzie to t_metoa_oic (ie ależy używać olskich zaków!). Plik musi yć zaisay w katalogu, któy ęzie wioczy la ogamu MATLAB, takim katalogiem jest. katalog Wok. Wywołaie fukcji astęuje zez wywołaie jej azwy w okie oleceń (Comma Wiow): [V,sigma,F] = t_metoa_oic(.6e-9,e-,8.854e-,,,.5e-) Po wisaiu owyższego oleceia i wciśięciu NT ogam oliczy szukae watości i zyisze je o zmieych V, sigma i F la oaych agumetów, czyli la łauku q =,6-9 C umieszczoego w oległości = mm o łyty w owietzu lu w óżi alo iym ośoku o zeikalości ε = ε. Watość otecjału zostaie oliczoa la uktu (x =, y =, z =,5 - ), a watość gęstości owiezchiowej łauku a łycie (z = ) la wsółzęych x = i y =. Postęując w ooy sosó możemy zaleźć iteesujące as wielkości ówież la iych aych. Oliczoe watości V, sigma i F są zaamiętywae i zachowują oliczoą watość tak ługo, jak ługo ie zostaie oa zmieioa zez użytkowika lu skasowaa. W każej chwili możemy wywołać oliczoą uzeio wielkość wisując w okie oleceń jej azwę i wciskając NT. Pooie, możemy kozystać z watości, któe sami zefiiujemy,. ε : esilo = 8.854e- 4 9

5 umieszczae w oległości ieskończeie wiele azy. x = x o śoków sfe. Poces te kotyuoway yć musi Dla -tego oicia łauki wewątz sfey i wewątz sfey mają watości: i są umieszczoe w oległości: = = 4πε V (6) x x k = xk x =, =,,,... x = (7) Pzykła Łauek zajuje się w oległości o śoka metalowej sfey o omieiu (ys.). M ` x ` o śoków sfe. 8 Zgoie z awem Gaussa całkowity łauek zgomazoy a zeczywistej metalowej sfeze jest ówy sumie wszystkich łauków, ( ): I =, I I = Pojemość mięzy wiema sfeami wyosi: C I = = πε V = k = xk = (8) =, x = (9) Iloczy w awiasie w wyażeiu a ojemość jest miejszy iż (x jest zawsze miejsze o ). Poieważ >, szeeg jest szyko zieży i zwykle wystaczy ogaiczyć się o kilku wyazów. Natężeie ola elektyczego w ukcie M sfey jest ówe sumie atężeń o wszystkich fikcyjych łauków uktowych wewątz ou sfe. Stą atężeie ola elektyczego a owiezchi sfe wyosi: M = + V. ( x ) = + M= k () M 4πε = 4πε ( x) xk ( x) ( x) = = Liteatua. ysza Sikoa, Teoia Pola lektomagetyczego, Wyawictwa Naukowo-Techicze, 997, wyaie tzecie zmieioe, st. 5. Davi J. Giffiths, Postawy lektoyamiki, Wyawictwa Naukowe PWN,, wyaie iewsze, st Makus Zah, Pole lektomagetycze, Państwowe Wyawictwo Naukowe, 989, st. - 9 ks 5--4 ys. Metalowa sfea o omieiu oaz łauek Wyzaczyć ołożeie i watość fikcyjego łauku ', któy zastęuje oziaływaie metalowej sfey zy oliczaiu ola w jej otoczeiu. ozważyć zyaki: ) sfey uziemioej, ) sfey utzymywaej a stałym otecjale V, ) sfey oosoioej. ozwiązaie Pzyaek ) ozważmy ajiew zyaek, w któym kula jest uziemioa (V = ). Należy zaleźć watości ' oaz sełiające wauek zegowy zeowaia się otecjału a owiezchi. Woec tego suma otecjałów a owiezchi sfey wyaża się: Łauek fikcyjy musi mieć watość : + = 4πε 4πε (7) = (8) ówaie owyższe owio yć sełioe zy wszystkich możliwych watościach i ', stą stosuek ' o musi yć stały. Zachozi to wówczas kiey tójkąty M i 'M są ooe. Moża wtey skozystać z astęującej oocji: x = = (9) 5

6 Z owyższych ówań możemy okeślić watość łauku ': = () oaz jego ołożeie: x = () Pzykła Wyzaczyć ojemość omięzy wiema sfeami o omieiach (ys. 4) zy oległości ich śoków ówej ( > ). Okeślić maksymalą watość atężeia ola elektyczego a owiezchiach sfe jeżeli óżica otecjałów omięzy imi wyosi V. Okazuje się, że te otecjał zika we wszystkich uktach a sfeze, a zatem asuje o wauków zegowych aszego wyjściowego olemu la oszau a zewątz sfey. Pzyaek ) W zyaku ugim sfea utzymywaa jest a stałym otecjale V. Jeśli a owiezchi kuli utzymyway jest stały otecjał elektyczy V, to wyzaczoy uzeio ojeyczy łauek zwiecialay, sowoowały ówież i w tym zyaku wyzeowaie otecjału a owiezchi sfey. Ay oieść otecjał sfey o żąaej watości V ależy umieścić w jej śoku oatkowy fikcyjy łauek: = 4πε V () Łauki oaz ' sowazają otecjał sfey o zea, atomiast łauek '' ustala jej otecjał a żąaej watości. Mamy więc sełioy ostawioy w zagaieiu wauek zegowy. Pzyaek ) W ostatim zyaku (sfea oosoioa) możemy stwiezić, że całkowity łauek zgomazoy a iej ęzie ówy zeo, a jej otecjał ęzie stały (V k = cost). Bęzie to sełioe wówczas, gy o ozeiego ukłau łauków i ' (atz zyaek iewszy) oamy tzeci łauek fikcyjy (o watości ówej '), umieszczoy w śoku sfey. Taka watość wyika z koieczości zaewieia zeowego, sumayczego łauku sfey. Całkowity, stały otecjał ochozi tylko o łauku ' : ` Vk = = () 4πε 4πε ys.4 Ukła wóch sfe o omieiach oaz oowiaający im ukła łauków fikcyjych ozwiązaie Wowazimy ukła fikcyjych łauków wewątz sfe, któe sowoują, że sfey ęą ekwiotecjale (o otecjałach oowieio V i V). Załóżmy, że w śoku kuli lewej (ozaczoej zez ) zajuje się łauek = 4πε V, a w śoku kuli awej (ozaczoej zez ) łauek. Potecjał ou sfe o każego z łauków z osoa jest taki, jakiego żąamy. Jeakże ugi łauek owouje, że sfey ie są ekwiotecjale. Uwzglęiając zykła możemy stwiezić, że sytuacja ulegie oawie jeżeli wowazimy łauki i okeśloe ówaiem: 4πε V = = = umieszczoe wewątz ou sfe w oległości x = o ich śoków. Łauek wewątz sfey, łauek a zewątz oaz łauek wewątz sfey ają w ezultacie otecjał sfey ówy V. To samo jest sełioe la sfey. Jeakże łauki i + a zewątz sfe zmieiają ich ekwiotecjaly chaakte. Dla skomesowaia tych łauków oamy łauki + wewątz sfey i wewątz sfey o watości: (4) = = = 4πε V x x x (5) 6 7