Przykłady 8.1 : zbieżności ciągów zmiennych losowych
|
|
|
- Bartłomiej Leszczyński
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachuek rawopoobieństwa MA8 Wyział Matematyki, Matematyka Stosowaa rzykłay 8. Róże rozaje zbieżości ciągów zmieych losowych. rawa wielkich liczb. Twierzeia graicze. rzykłay 8. : zbieżości ciągów zmieych losowych (a Niech Ω = [0, ], F - borelowskie pozbiory Ω, -prawopoobieństwo geometrycze. Defiiujemy X (ω =, gy 0 ω < 0, gy, ω. okaż, że X z pr. X, gzie (X = 0 =. rzy ustaloym ω (0, ] la ω mamy X (ω = 0 0. oieważ (ω : lim X (ω = 0 = (0, ] =, z pr. mamy X X, gzie (X = 0 =. Uwaga: oieważ X (0 =, więc ciąg te ie jest zbieży puktowo. (b Rozważmy ciąg (X taki, że (X = 0 = = (X =. L okaż, że X X oraz la owolego r > 0 X r X, gzie (X = 0 =. Dla owolego ɛ > 0 mamy ( X 0 ɛ = (X = = Zatem X X, gzie (X = 0 =. Dla owolego r > 0 mamy EX r = 0 + r = L Zatem X r X, gzie (X = 0 = (c Niech Ω = [0, ], F-pozbiory borelowskie Ω, -prawopoobieństwo geometrycze. Defiiujemy 0, gy 0 ω X (ω =, 2+, gy < ω. 2+ okaż, że X X, gzie X taka, że (X = 0 = (X = = , gy x 0, Mamy F (x = (X < x = (X = 0 =, gy 0 < x, 2+, gy x >. Zatem la każego x mamy F (x F (x, gzie F (x = 0, gy x 0, 0.5, gy 0 < x,, gy x >, jest ystrybuatą zmieej losowej X takiej, że (X = 0 = (X = = 0.5. Otrzymujemy więc, że X X.
2 2 Uwaga: X możemy zefiiować a róże sposoby, p. 0, gy 0 ω 0.5, X =, gy 0.5 < ω. albo albo jeszcze iaczej. X =, gy 0 ω 0.5, 0, gy 0.5 < ω. ( Niech (X = = (X = = 0.5 oraz iech X + = X. okaż, że X X, gzie X ma taki rozkła jak X, ale ciąg te ie jest zbieży z prawopoobieństwem ai stochastyczie. 0, gy x, Mamy la każego x F (x = F (x = 0.5, gy < x,, gy x >. Zatem X X, gzie X ma taki rozkła jak X. F (x. Ciąg (X ie jest zbieży z prawopoobieństwem, bo przy ustaloym ω ciąg X (ω albo ma postać ( albo ( +, a są to ciągi rozbieże. Ciąg (X ie jest też zbieży stochastyczie. Dowó (ie wprost: Załóżmy, że X X. Graica X musi mieć rozkła taki jak X. Wtey la ɛ < 2 mamy a = ( X X ɛ = (X =, X = + (X =, X = oraz a + = ( X + X ɛ = (X + =, X = + (X + =, X = = = (X =, X = + (X =, X = = a. Ciąg a spełia rówaie rekurecyje a + = a. Zatem, o ile ma graicę, to graicę rówą 0.5. W kosekwecji, ( X X ɛ ie może zbiegać o 0, co sprzecze jest z założeiem. (e Niech zmiea losowa Y ma rozkła oissoa (a la pewego a > 0, a. Zefiiujmy X = Y a a. Jaka jest graica weług rozkłau ciągu (X? Mamy ϕ Y (t = e a(eit, a stą ϕ X (t = Ee it(y a/ a = e a(eit/ a it a. a (e it/ a it a = a + it + ( 2 ( it + o it = a 2 a a a = 2 t2 + o ( a a 2 t2. Stą ϕ X (t ϕ(t = e 2 t2. Graica ϕ(t jest ciągła w 0 i jest to fukcja charakterystycza zmieej losowej X o rozkłazie ormalym N (0,. Z twierzeia Lévy ego otrzymujemy zatem, że X X, gzie X ma rozkła ormaly N (0,.
3 3 rzykła 8.2 : prawa wielkich liczb Rozważmy ciąg (X iezależych zmieych losowych, przy czym X ma rozkła ormaly N (m = a, σ = 4 /4, gzie a (0,. okaż, że ciąg te spełia SWL i MWL. EX = a, D 2 X = /2, a z iezależości D2 (X X 2 = 2 Mamy i z twierzeia o 3 ciągach D2 (S SWL. oato (skoro D 2 X = = 2 2 mamy D 2 X 2 = 0 D2 (S 2 = ( = Zatem z twierzeia Markowa baay ciąg spełia 2 2 = 2 = < (p = 3/2 >. 3/2 Zatem z twierzeia Kołmogorowa baay ciąg spełia MWL. rzykłay 8.3 : twierzeie e Moivre a-laplace a (a Ustalmy ɛ = δ = Chcemy wyzaczyć, la którego mamy Rozwiązaie: ( S p > ɛ < δ. ( Metoa a postawie ierówości Czebyszewa prowazi o wiosku, że waruek ( jest p( p spełioy, gy >. δɛ 2 Dla p = 0.5, ɛ = 0.05 i δ = 0.05 otrzymujemy > > Na postawie twierzeia e Moivre a-laplace a, la p = 0.5, ɛ = 0.05, δ = 0.05, otrzymujemy, że la spełieia waruku ( wystarczy, aby 2( Φ(0. + < (2 Możemy oszacować, la których waruek (2 bęzie spełioy, w astępujący sposób: 2( Φ(0. < 0.0 Φ(0. > > (z tablic > = Dla > 663 mamy Zatem, gy > 663, to 2( Φ(0. + < = 0.05, a w kosekwecji zachozi (.
4 4 (b W pewym towarzystwie ubezpieczeiowym jest ubezpieczoych 0000 samochoów. Każy z właścicieli płaci roczą skłakę 30 zł za samochó. Śreio 6 a 000 samochoów ulega uszkozeiu w ciągu roku. Właścicielowi uszkozoego pojazu towarzystwo wypłaca 2500 zł. Na postawie tw. Moivre a Laplace a oszacuj, jakie jest prawopoobieństwo, że w ciągu roku zysk przekroczy zł. Oszacuj też błą przybliżeia. Rozwiązaie: Moel: schemat Beroulliego, sukces to uszkozeie samochou, p = (6 a 000 samochoów S to liczba sukcesów w próbach, czyli liczba uszkozeń ubezpieczoych samochoów, = 0000 = 0 4 Wpłata o towarzystwa ubezpieczeiowego wyosi 30 = zł. Wypłata to 2500 S zł. Zysk towarzystwa to Z = S. Zysk przekroczy zł Z > S < 70. Mamy zatem oszacować (S < 70, przy czym = 0 4 jest ość uże, by użyć przybliżeia a postawie tw. Moivre a-laplace a. Otrzymujemy ( (S < 70 Φ = Φ ( ( Φ(.23 = z tablic staarowego rozkłau ormalego. Błą przybliżeia ie przekracza 0.5( ( ( Op. rawopoobieństwo, że w ciągu roku zysk przekroczy zł, wyosi ± Uwaga: Wyik okłay otrzymay w Matlabie komeą biocf(69,0000,0.006 to rzykłay 8.4 : cetrale twierzeie graicze Lieberga-Lévy ego (a ewa kostrukcja skłaa się ze 00 jeakowych elemetów. Na postawie CTG Lieberga Lévy ego oszacuj prawopoobieństwo, że całkowita masa tej kostrukcji ie przekroczy 333 kg, jeśli rozkła masy elemetów, z których jest złożoa, ma wartość oczekiwaą 3.3 kg i ochyleie staarowe 0. kg. Rozwiązaie: Ozaczmy przez X k masę elemetu r k w kg, k =, 2,..., 00. Zakłaamy, że X, X 2,..., X 00 są iezależymi zmieymi losowymi. Z treści zaaia mają oe jeakowy rozkła, przy czym m = EX k = 3.3; a σ = D 2 X k = 0.. Masa całej kostrukcji to S = X k la = 00. Mamy oszacować (S 333. k= oieważ wariacja D 2 X k = σ 2 jest skończoa i większa o 0, a = 00 wystarczająco uże, możemy skorzystać z CTG Lieberga Lévy ego. Otrzymujemy ( = S m σ 3 Φ(3.00 = (S 333 = ( S m σ a postawie tablic staarowego rozkłau ormalego. Op. rawopoobieństwo, że całkowita masa tej kostrukcji ie przekroczy 333 kg, to w przybliżeiu
5 5 (b Czas oczekiwaia a tramwaj liii 4 jest zmieą losową o rozkłazie wykłaiczym o śreiej 5 miut. a A cozieie w i robocze ojeżża im o pracy. Oszacuj a postawie CTG Lieberga Lévy ego prawopoobieństwo, że pa A traci kwartalie (czyli w ciągu 65 kolejych i roboczych a czekaie a tramwaj liii 4 więcej iż 000 miut. Rozwiązaie: Ozaczmy przez X k czas oczekiwaia a tramwaj w iu o kolejym umerze k (w miutach, k =, 2,..., 65. Zakłaamy, że X, X 2,..., X 65 są iezależymi zmieymi losowymi. Z treści zaaia mają oe jeakowy rozkła wykłaiczy Exp(λ o śreiej m = EX k = 5 miut. oieważ la takiego rozkłau m = EX k = λ, a σ 2 = D 2 X k = λ 2 = m 2, więc mamy tu σ = 5. Czas stracoy kwartalie a ojazy to S = X k la = 65. Mamy oszacować (S > 000. oieważ wariacja D 2 X k = σ 2 jest skończoa i większa o 0, a = 65 wystarczająco uże, możemy skorzystać z CTG Lieberga Lévy ego. Otrzymujemy (S > 000 = ( ( S m σ > = S m σ > Φ ( Φ(0.2 = = z tablic staarowego rozkłau ormalego. Dla X o rozkłazie Exp(λ = /5 mamy E X m 3 = x 5 3 e x/5 x = (2e 2. Zatem błą przybliżeia z ierówości Berry-Esseea ie przekracza 2e Op. rawopoobieństwo, że pa A traci kwartalie a czekaie a tramwaj liii 4 więcej iż 000 miut, to w przybliżeiu ± 0.5. Uwaga: oieważ X k ma rozkła wykłaiczy, moża pokazać, że S ma rozkła gamma G(λ,. Stą wyik okłay otrzymamy w Matlabie komeą -gamcf(000,65,5. (c Na ulicy stoi sprzeawca gazet. Załóżmy, że każy z mijających go przechoiów kupuje gazetę z jeakowym prawopoobieństwem. Śrei czas sprzeaży 000 gazet jest rówy 4 goziy i z prawopoobieństwem 0.95 zawiera się w przeziale o 3 o 5 gozi. Oszacuj a postawie CTG Lieberga Lévy ego, ile maksymalie gazet może zamówić sprzeawca, aby z prawopoobieństwem 0.99 ie pozostała mu żaa po 6 goziach? Rozwiązaie: Ozaczmy przez T i czas o sprzeaży (i -szej o sprzeaży i-tej gazety (w goziach, i =, 2,...,. Załóżmy, że T, T 2,..., T są iezależymi zmieymi losowymi o takim samym rozkłazie, przy czym skończoe są ET i = m i D 2 T i = σ 2 > 0. Wtey z CTG Lieberga Lévy ego S = T i ma asymptotyczie rozkła ormaly N (m, σ. Z treści zaaia 000m = ES 000 = 4. Mamy zatem m = i= k= 0
6 6 oato (3 S 000 ( 5 = 0.95, a poieważ 3 4 (3 S = σ 000 S m σ 5 4 σ 000 ( ( ( Φ Φ = 2Φ, 00σ 00σ 00σ otrzymujemy 2Φ ( ( 0 0 = 0.95 Φ 00σ 00σ 0 00σ =.96 0 σ = 96 = (z tablic rozkłau ormalego Szukamy takiego, aby (S (3 Z CTG Lieberga-Lévy ego mamy (S 6 = S m σ ( 0 96( Φ. 0 Jeżeli Φ 96 to uzajemy, że ierówość (3 jest spełioa. ( 96( ; (4 Z tablic staarowego rozkłau ormalego oczytujemy, że Φ(2.326 = Zatem ierówość (4 jest spełioa, gy 96( ( , gzie jest liczbą aturalą miejszą lub rówą 500, 77. Opowieź: Maksymala liczba gazet, którą z prawopoobieństwem 0.99 ua się sprzeać w ciagu 6 gozi, to 77. rzykłay 8.5 : twierzeie oissoa, losowaie ze zwracaiem i bez zwracaia (a rzy masowych prześwietleiach małoobrazkowych prawopoobieństwo atrafieia a chorego a gruźlicę jest 0.0. Na postawie przybliżeia oissoa oszacuj prawopoobieństwo, że wśró 200 osób prześwietloych bęzie ie miej iż 3 chorych. Następie oszacuj to prawopoobieństwo a postawie tw. Moivre a Laplace a. Oszacuj błęy przybliżeń la obu meto i porówaj wyiki.
7 7 Rozwiązaie: Moel: schemat Beroulliego, sukces-pacjet jest chory, p = 0.0, S to liczba sukcesów w próbach, czyli liczba chorych wśró baaych osób, = 200. Mamy oszacować (S 3. = , p = oraz p = 2 0, zatem uzasaioe jest skorzystaie z metoy przybliżeia oissoa. Otrzymujemy (S 3 = (S = 0 (S = (S = 2 p 0 p p 2 = = = ; gzie p k oczytae z tablic rozkłau oissoa z λ = p = = 2. Błą przybliżeia ie przekracza p 2 = 0.02 = 200 jest ość uże, więc możemy także użyć metoy przybliżeia a postawie tw. Moivre a-laplace a. Otrzymujemy ( (S 3 Φ = Φ ( ( Φ(0.36 = = = z tablic staarowego rozkłau ormalego. Błą przybliżeia ie przekracza 0.5(0.02 +( ( 0.0 orówaie otrzymaych przybliżoych wartości prawopoobieństwa, że wśró 200 osób prześwietloych bęzie ie miej iż 3 chorych: z tw. oissoa z tw. Moivre a-laplace a ± ± Uwaga: Wyik okłay otrzymay w Matlabie komeą -biocf(2,200,0.0 to (b artia N = 250 sztuk towaru zawiera M = 8 sztuk waliwych. Wylosowao bez zwracaia = 0 sztuk. artię orzuca się, gy w próbce zajują się co ajmiej 2 sztuki waliwe. Zaleźć prawopoobieństwo, że partia zostaie przyjęta. Oszacuj to prawopoobieństwo a postawie przybliżeia rozkłaem Beroulliego i przybliżeia rozkłaem oissoa. orówaj wyiki. Rozwiązaie: X (b - to ilość sztuk waliwych w próbce. artia zostaie przyjęta, gy X (b < 2}. Ze wzorów okłaych otrzymujemy (X (b < 2 = (X (b = 0 + (X (b = = (8 0 ( 232 Obliczeie przybliżoe z rozkłau Beroulliego: (X (b < 2 ( ( 0 0 ( 0 ( ( Obliczeie przybliżoe z rozkłau oissoa: 0 ( (8 ( ( ( (X (b < 2 e λ + λe λ =, 72e 0, , gzie parametr λ = = 0.72 orówaie otrzymaych wartości (X (b < 2: wzory przybliżeie przybliżeie okłae z rozkłau Beroulliego z rozkłau oissoa
Wykład 13: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA064 Wyział Elektroiki, rok aka 2008/09, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 3: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług
Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.
Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau
Twierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest
5 Twierdzenia graniczne
A. Kasprzyk, STATYSTYKA A 22 5 Twierzeia graicze 5.1 Typy zbieżości zmieych losowych Defiicja 5.1 Rozważmy ciag ciag z.l. { }, z których każa ma ystrybuate F, oraz z.l. Z o ystrybuacie F. Mówimy że ciag
Lista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
![Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym](/thumbs/101/149835017.jpg "Lista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym")
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.
Rchuek prwopoobieństw MA1181 Wyził T, MS, rok k. 2013/14, sem. zimowy Wykłowc: r hb. A. Jurlewicz Wykł 9: Róże rozje zbieżości ciągów zmieych losowych. rw wielkich liczb. Zbieżość z prwopoobieństwem 1:
Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
I kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Estymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Modele zmienności aktywów ryzykownych. Model multiplikatywny Rozkład logarytmiczno-normalny Parametry siatki dwumianowej
Moele zmieości akywów ryzykowych Moel muliplikaywy Rozkła logarymiczo-ormay Paramery siaki wumiaowej Moel muliplikaywy zmieości akywów Rekurecyjy moel muliplikaywy: (=, (k+ = (k u(k, k=,, Cea akywa w chwili
Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Ciągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Estymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
1 Dwuwymiarowa zmienna losowa
1 Dwuwymiarowa zmiea loowa 1.1 Dwuwymiarowa zmiea loowa kokowa X = x i, Y = y k = p ik przy czym i, k N oraz p ik = 1; i k p i = X = x i = p ik dla i N; p k = Y = y k = p ik dla k N; k i F 1 x = p i dla
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Rozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
WYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 8.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Model ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Zadanie 3. ( ) Udowodnij, że jeśli (X n, F n ) jest martyngałem, to. X i > t) E X n. . t. P(sup
Szkice rozwiązań zadań z serii dwuastej oraz części zadań z kartkówki. Zadaie 1. Niech (X, F ) będzie martygałem. Czy X jest domykaly, jeśli ciąg EX l X jest zbieży? X jest zbieży prawie a pewo? X jest
0.1 Statystyczne Podstawy Modelu Regresji
0.1 Statystycze Podstawy Modelu Regresji iech daa będzie przestrzeń probabilistycza (Ω, F, P ). Fukcję X : Ω R, określoą a przestrzei zdarzeń elemetarych Ω, o wartościach rzeczywistych, takich że x R {ω
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
n n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Projekt ze statystyki
Projekt ze statystyki Opracowaie: - - Spis treści Treść zaia... Problem I. Obliczeia i wioski... 4 Samochó I... 4 Miary położeia... 4 Miary zmieości... 5 Miary asymetrii... 6 Samochó II... 8 Miary położeia:...
zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
a 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
PRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Statystyka Matematyczna. Skrypt. Spis treści. SKN Matematyki Stosowanej. s k n. m s 23 kwietnia Oznaczenia i definicje 3
Spis treści Ozaczeia i defiicje 3 Wioskowaie statystycze 3. Statystyki dostatecze................................................. 3.. Rodzia rozkładów wykładiczych......................................
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa)
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 0 (powt. wiadomości z r. p-stwa) Literatura M. Cieciura, J. Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 005 R.Leiter, J.Zacharski, "Zarys
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 6.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Własości rozkładu ormalego Cetrale twierdzeie graicze Fukcja charakterystycza
Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Ćwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Wokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Funkcja generująca rozkład (p-two)
Fucja geerująca rozład (p-wo Defiicja: Fucją geerującą rozład (prawdopodobieńswo (FGP dla zmieej losowej przyjmującej warości całowie ieujeme, azywamy: [ ] g E P Twierdzeie: (o jedozaczości Jeśli i są
Zadania z rachunku prawdopodobieństwa I* Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo
Zadaia z rachuku prawdopodobieństwa I* - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Trochę zadań kombinatorycznych. 1. na ile sposobów można siedmiu stojących na peronie pasażerów umieścić w trzech wagonach?
Trochę zadań kombiatoryczych 1. a ile sposobów moża siedmiu stojących a peroie pasażerów umieścić w trzech wagoach? 2. Na szachowicy o wymiarach umieszczamy 8 ierozróżialych wież szachowych tak aby żade
MACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
I. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Komputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 7 7.04.07 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 06/07 Cetrale twierdzeie graicze - przypomieie Sploty Pobieraie próby, estymatory
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
ROZDZIAŁ 5. Renty życiowe
ROZDZIAŁ 5 Renty życiowe Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy czy osoba której przyszły czas
Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Statystyka Matematyczna. Skrypt. Spis treści. SKN Matematyki Stosowanej. s k n. m s 11 czerwca Oznaczenia i definicje 4
Spis treści Ozaczeia i defiicje 4 Wioskowaie statystycze 4. Statystyki dostatecze................................................. 4.. Rodzia rozkładów wykładiczych......................................
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Metody statystyczne w naukach biologicznych
Metoy statystycze w aukach biologiczych 006-04-11 Wykła: Weryfikacja hipotez statystyczych. Zaaiem statystyki matematyczej jest wioskowaie o populacji geeralej a postawie populacji próbej. Wioskowaie to
Rozkłady statystyk z próby Twierdzenia graniczne
Rozkłady statystyk z róby Twierdzeia graicze PRÓBA LOSOWA Próbą losową rostą azyway ciąg -zieych losowych iezależych i osiadających jedakowe rozkłady takie jak rozkład zieej losowej w oulacji geeralej
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA
PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI FILIP.RACIBORSKI@WUM.EDU.PL ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM ZADANIE 1 Z populacji wyborców pobrao próbkę 1000 osób i okazało
Wykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło
Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Kurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XXXVI Egzami dla Aktuariuszy z 0 paździerika 2005 r. Część I Matematyka fiasowa Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Niech dur() ozacza duratio