Metoda odbić zwierciadlanych

Transkrypt

1 Metoa obić zwiecialanych Pzypuśćmy, że łaunek punktowy (Rys ) umieszczony jest w oległości o nieskończonej powiezchni pzewozącej, umiejscowionej na płaszczyźnie X0Y Piewsze pytanie, jakie o azu się nasuwa jest następujące: Jaki jest potencjał V oaz natężenie E w obszaze na płaszczyzną? Nie mogą one pochozić tylko o łaunku, ponieważ wyinukuje na powiezchni pzewonika pewien łaunek o znaku pzeciwnym W związku z tym całkowity potencjał oaz natężenie bęą sumą potencjałów i natężeń pochozących bezpośenio o i o łaunku inukowanego Ale jak można obliczyć te wielkości, skoo nie wiaomo jak uży jest wyinukowany łaunek i jaki jest jego ozkła? Z X Rys Łaunek w oległości na powiezchnią pzewozącą Y Z pomocą pzychozi nam metoa obić zwiecialanych Metoa ta polega na zastąpieniu powiezchni pzewozącej ównoważnymi jej łaunkami pozonymi (tzw uojonymi lub zwiecialanymi) Muszą one wytwozyć takie samo pole jak to, któe zostało wytwozone pzez łaunki zeczywiste, wyinukowane na powiezchni pzewozącej Po wyznaczeniu ozkłau łaunków zwiecialanych zaganienie ozwiązujemy alej tak, jakby w ukłazie nie występowała powiezchnia pzewoząca, a pole było wytwazane pzez łaunki piewotne i zwiecialane Klasyczna poceua znajowania ozkłau pola w takim ukłazie polegałaby na napisaniu opowienich ównań Maxwella i ozwiązaniu ich pzy uwzglęnieniu waunków bzegowych zaganienia Jest to bazo tune, ponieważ nieznany jest ozkła łaunków na powiezchni pzewozącej Funkcję opisującą ozkła pola i spełniającą ównania Maxwella oaz waunki bzegowe, spóbujemy znaleźć kozystając z twiezenia o jenoznaczności Twiezenie to mówi, że jeżeli znajziemy jakąkolwiek funkcję spełniającą ównania Maxwella oaz waunki bzegowe postawione w zaaniu to funkcja ta jest jeynym słusznym ozwiązaniem Tutaj waunkiem bzegowym jest zeowanie się skłaowej stycznej E na powiezchni pzewozącej Fakt zeowania się skłaowej stycznej wektoa natężenia pola elektycznego wynika z tego, iż w zaganieniach elektostatyki, na powiezchni pzewozącej istnieje potencjał o stałej watości powiezchnia pzewonika jest powiezchnią ekwipotencjalną Występuje tylko skłaowa nomalna wektoa natężenia pola elektycznego Waunek zeowania się skłaowej stycznej wektoa E na płaszczyźnie X0Y bęzie spełniony także wtey, gy ziałanie pzewozącej powiezchni zastąpimy fikcyjnym łaunkiem = umieszczonym w oległości po płaszczyzną X0Y, pzy założeniu że pzenikalność elektyczna całej pzestzeni jest ówna ε (zob Rys 2 na następnej stonie) W takim pzypaku, na płaszczyźnie X0Y natężenie pola elektycznego o wóch łaunków punktowych jest supepozycją natężeń pól o każego łaunku i wynosi: () E = E + E = + g 2 2 Skłaowa styczna wektoa E g o płaszczyzny X0Y ówna się: (2) Egstycz = Estycz + Estycz = E cosα + E cosα

2 Z ε I p p P II 0 α α E E g E Y X Rys 2 Łaunek zeczywisty oaz łaunek uojony obity wzglęem powiezchni pzewozącej, umiejscowionej na płaszczyźnie X0Y Obywie skłaowe twozą z płaszczyzną X0Y taki sam kąt α ( =, bo łaunek jest tak samo oalony o płaszczyzny jak łaunek ) Z poobieństwa tójkątów możemy napisać: () 2 2 x + y cosα = Bioąc powyższe zależności oaz uwzglęniając, że skłaowa styczna wektoa E g = 0 otzymamy: (4) a stą: x + y x + y + = 0, (5) = Wykazaliśmy więc spełnienie waunków zaania Zastąpienie pzewozącej płaszczyzny łaunkiem nie zmienia postawionych waunków bzegowych, a tym samym nie zmienia ozkłau pola na tą płaszczyzną W owolnym punkcie pzestzeni na płaszczyzną X0Y, tj w obszaze, w któym umieszczony jest łaunek natężenie pola elektostatycznego można opisać: (6) E = 4 2 p 2 p πε p p Potencjał opisany jest: (7) V = p p Watość potencjału w punkcie P(x, y, z) wynosi: (8) V ( x, y, z) = 4 πε x + y + ( z ) x + y + ( z + )

3 Kozystając z () wyznaczymy watość skłaowej nomalnej na powiezchni X0Y: (9) E = E + E = E sinα + E sinα gnom nom nom Analogicznie jak la skłaowej stycznej można napisać: (0) sinα = Uwzglęniając, że 2 = x 2 + y oaz =, otzymamy: () Egnom = = πε x + y + 2 Wyznaczone powyżej zależności wykozystamy o obliczeń w pogamie MATLAB W tym celu napiszemy funkcję, któa umożliwi nam obliczenie potencjału z ównania (8): function V = metoa_obic(,,epsilon,x,y,z) V = /(4*pi*epsilon)* (/sqt(x^2+y^2+(z-)^2) -(/sqt(x^2+y^2+(z+)^2))); Do obliczenia natężenia pola elektycznego bęziemy wykozystywać ównież popzenio zapisane funkcje: pochona2 oaz natezeniepola Jeśli nie ma ich na ysku twaym komputea, to należy je ponownie zapisać (skompilowane pliki są na stonie: kszuteupl/mmwe/nazwafunkcjip) function = pochona2(x,y) Lx = length(x); x = x(:lx)-x(:lx-2); y = y(:lx)-y(:lx-2); = [NaN y/x NaN]; function [Ex,Ey] = natezeniepola(x,y,v) fo k=:length(y) Ex(k,:) = -pochona2(x,v(k,:)); en fo k=:length(x) Ey(:,k) = -pochona2(y,v(:,k)'); en ZADANIE Łaunek = 6 C znajuje się w ielektyku o pzenikalności elektycznej ε = ε 0 w oległości o płaszczyzny pzewozącej (Rys 2) Wyznacz pole w ielektyku Pzestaw potencjał V i natężenie pola E na ysunku, na płaszczyźnie X0Z (la y = 0) Wyznacz gęstość powiezchniową łaunków, któe powstaną na powiezchni ozielającej wa śoowiska i siłę ziałającą na łaunek

4 ROZWIĄZANIE W oknie Comman Winow wpowazamy ane o zaania oaz efiniujemy obsza obliczeń: clea, % usuwa wszystkie zapamiętane zmienne close all % zamyka wszystkie ysunki x =-9:02:2; % watości x obszau obliczeń [mm] y = 0; % watość y obszau obliczeń [mm] z = 0:02:7; % watości z obszau obliczeń [mm] [X,Z]= meshgi(x,z); % twozy obsza obliczeń płaszczyzna XZ =6; % watość łaunku =5; % oległość w osi Z epsilon = 8854e-2; % pzenikalność elektyczna la powietza a następnie obliczamy watości potencjału la każej watości x i z: fow = :length(z), % pętla po w: la każego z fo k= :length(x), % pętla po k: la każego x V(w,k) = metoa_obic(,,epsilon,x(k),y,z(w)); % obliczenia en % koniec pętli po k en % koniec pętli po w i ysujemy wykes potencjału za pomocą funkcji pcolo: pcolo(x,z,v) % ysuje watości V na płaszczyźnie X0Z axisequal % ustawia ówne skale na osiach axistight % opasowuje ozmia ukłau współzęnych shaingflat % cieniowanie wykesu bez intepolacji Na ysunku wizimy ozkła potencjału wokół łaunku Pzyjmijmy teaz, że łaunek jest umieszczony nieco alej o płaszczyzny X0Y (w oległości = 2) i la takiej sytuacji ozwiążemy zaanie o końca: =2; fow =:length(z), % pętla po w: la każego z fo k = :length(x), % pętla po k: la każego x V(w,k)= metoa_obic(,,epsilon,x(k),y,z(w)); en % koniec pętli po k en % koniec pętli po w pcolo(x,z,v) % ysuje watości V na płaszczyźnie X0Z axisequal % ustawia ówne skale na osiach X i Z axistight % opasowuje ozmia ukłau współzęnych shaingflat % ustawia koloowanie wykesu bez intepolacji holon % potzymuje bieżący wykes [Ex,Ey] = natezeniepola(x,z,v); h =quive(x,z,ex,ey); set(h,'autoscalefacto',5,'colo',[ ]); Znając ozkła E i V można wyznaczyć gęstość powiezchniową łaunków, któe powstaną na powiezchni ozielającej wa śoowiska Z waunków ciągłości wektoa E pzy pzejściu pzez płat łaunku powiezchniowego z obszau I o II wynika, że gęstość łaunku powiezchniowego jest popocjonalna o nieciągłości skłaowej nomalnej E: (2) ε(e IIn E In ) = σ 4

5 Ponieważ w obszaze II pole nie istnieje (E IIn = 0), to powiezchniowa gęstość łaunku wyaża się następująco: () σ = εeng = = 2π π x + y + 2 Łaunek pzyciągany jest pzez płaszczyznę, ponieważ znajuje się na niej inukowany łaunek o znaku pzeciwnym Siłę tego pzyciągania można obliczyć: (4) F = 2 z 4 πε (2 ) Ponieważ wekto siły jest skieowany ównolegle o osi Z ze zwotem pzeciwnym, to jej watość: (5) F 2 = = 4 πε(2 ) 6πε 2 2 Napisz funkcje: launek oaz sila, któe bęą obliczać wielkości wyażone wzoami () oaz (5) Pamiętaj o zaeklaowaniu w nawiasie agumentów funkcji, występujących we wzoach function sigma = launek( ) function F = sila( ) Wykonaj obliczenia za pomocą tych funkcji Pzestaw wyniki obliczania gęstości powiezchniowej łaunku na ysunku, na płaszczyźnie X0Y (la z = 0) ZADANIE 2 Zmoyfikuj wzó (8) oaz zapisane o obliczeń funkcje tak, aby ziałały popawnie la sytuacji, gy pojeynczy łaunek umieszczony jest na płaszczyzną pzewozącą w owolnym punkcie, o współzęnych (x 0, y 0, z 0 ) Wykonaj obliczenia za pomocą zmienionych funkcji la położenia łaunku w punkcie (-,, 2) Pzestaw wyniki obliczania potencjału na płaszczyznach pzecinających osie ukłau współzęnych w óżnych punktach (la wybanej osi ustalamy punkt pzecięcia np y = 0 jak w zaaniu, i wykonujemy obliczenia la wybanego zakesu pozostałych zmiennych) ZADANIE Zapisz ównanie la potencjału w sytuacji, gy łaunek znajuje się w pobliżu wóch pzewozących płaszczyzn, stykających się po kątem postym Napisz funkcję obliczającą potencjał w takim ukłazie i wykonaj obliczenia oaz pzestaw je na wykesie 5

6 PYTANIA SPRAWDZAJĄCE DO TEGO ĆWICZENIA Poaj wzó na potencjał pola elektycznego V w oległości o łaunku elektycznego q 2 Zastosuj poany w zaaniu wzó la kilku pzykłaowych watości oaz q Oblicz potencjał pola elektycznego V pochozący o kilku łaunków 4 Poaj wzó na natężenie pola elektycznego E w oległości o łaunku elektycznego q 5 Poaj wzó na skłaowe E x i E y wektoa E leżącego na płaszczyźnie xy, jeśli znana jest ługość tego wektoa i kąt α jaki twozy on z osią x 6 Zastosuj poane w zaaniach 4 i 5 wzoy la kilku pzykłaowych watości oaz q 7 Oblicz natężenie pola elektycznego E pochozące o kilku łaunków (jak oaje się wektoy?) 8 Opisz (kótko, jenym zaniem) na czym polega metoa obić zwiecialanych PYTANIA NA NASTĘPNĄ WEJŚCIÓWKĘ: METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH Poszukujemy ozkłau skalanego potencjału elektycznego V(x,y) w pewnym obszaze Ω oganiczonym bzegiem Γ Znamy zależności mięzy natężeniem pola elektycznego E a potencjałem elektycznym V i łaunkiem (lub gęstością łaunku ρ) Co jest potzebne o ozwiązania zaania metoą óżnic skończonych? 2 Na czym polega ozwiązanie zaania metoą óżnic skończonych? Co jest wynikiem obliczeń tą metoą (funkcja, watość, ównanie)? Omów waunki bzegowe Diichleta 4 Omów waunki bzegowe Neumanna 5 Czym óżnią się waunki bzegowe Diichleta o waunków Neumanna? 6 Poaj wzó na potencjał w owolnym węźle, na postawie potencjałów w węzłach sąsienich 7 Czym są siatka i węzeł w tej metozie? 6