1. SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW.

Transkrypt

1 Olga Kopacz, Aam Łoygowski, Kzysztof Tymbe, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Konsultacje naukowe: pof. hab. Jezy Rakowski Poznań /. SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW.. Łuk jenopzegubowy kołowy. Dla łuku jak na ysunku(rys..) la obieam ukła postawowy (Rys..) i wykonuję la niego wykesy momentów. Rys.. Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

2 Rys.. Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

3 Ukła ównań kanonicznych pzyjmuje zatem postać: X + X + P X + X + P Poszczególne współczynniki wyznaczamy zaś, z zależności: i k ik s (.) pzy czym każemu punktowi na łuku w ukłazie współzęnych x,y opowiaa punkt o współzęnych biegunowych, stą: x ( ) x P współczynniki wynoszą: s s y y y x x s s ( ) ( + ) Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

4 Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe + + s s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ) ( s s P P Pzy czym: 5 ' 8 o ac Dalszy ciąg postępowania wygląa jak w każym innym łuku (patz wykła popzeni).

5 . Łuk bezpzegubowy-linie wpływu naliczbowych. Powiezmy, że mamy łuk bezpzegubowy (Rys..)i chcemy wyznaczyć linie wpływu naliczbowych. Ukła ten jest ukłaem tzykotnie niewyznaczalnym. Wygone jest tu wykozystać metoę bieguna spężystego. Schemat postawowy pzyjmujemy pzecinając łuk jak na ysunku poniżej (Rys..) Otzymamy wtey ukła ównań kanonicznych pzyjmuje postać: X + X + X + P X + X + X + P X + X + X + P Położenie bieguna spężystego okeślamy wielkością e z waunku s stą: e s J c y s J J c s J s x J c x y J c / J c x J / x c f Funkcją opisującą kzywiznę jest : x( x), a l ζ ζ y ξ f ξ ζ ξ ξ ζ I I ( x). ξ f ξ f Rys.. Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

6 Współczynniki Rys.. ik obliczamy zgonie z wzoem (.): i k ik s Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

7 Spójzmy na wykesy momentów(rys..) (Uwaga! na biegunie nie wykonujemy wykesów-jego I ) okazuje się, że wpowazenie bieguna spężystego powouje obniżenie wykesu momentów -otzymaliśmy zatem funkcję wuznakową-suma pól f ówna jest zeu! Zatem, a ponieważ e stą i, Nasz ukła ównań kanonicznych spowaza się zatem o postaci: X + P X + P X + P Współczynniki ik okeślamy z wyżej wypisanego wzou (.) kozystając z twiezenia Weeszczegina-oha. l l l f f l f f f f 8 l l l l l l Szukane linie wpływu okeślamy zależnością: ip lwx i (.) β ii usimy zatem wyznaczyć zatem: P( x), P ( x), P( x). Nasz łuk jest łukiem symetycznym zatem alsze postępowanie pzepowazimy na jego połówce (Rys..5) Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

8 W celu wyznaczenia P( x ) wyznaczamy wykesy momentów o naliczbowej i zaanej siły P (ys..5).współczynnik okeślony jest wzoem : l P ( x) s (.) Okeślmy P( x ) jako funkcję a skoo ( a x) to :powyższy związek pzechozi o postaci : f a ( x a) x( l x) f ( ) ( ) l f P a x α α a pzy czym α. Postępując analogicznie otzymujemy : l a l P ( a) x α Rys..5 Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

9 W YKŁ ADY Z ECHANIKI BUDOWLI a l P ( a) x α ε ( ) Linie wpływu zatem la naszej umownej części po zamianie paametu a, na współzęną x okeślone są następująco : 5 l lwx ( ) ξ ξ f lwx l ξ lwx ξ ξ ( ) Na poniższym ysunku pzestawiono wyżej okeślone linie wpływu naliczbowych(ys..6). Rys..6 Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

10 . DODATKI...Stopień statycznej niewyznaczalności Stopień statycznej niewyznaczalności można wyznaczyć wieloma sposobami. W tym ozziale pzytoczymy tzy z nich. Na początku zefiniujmy kotność pzegubów. Na poniższych ysunkach wizimy kilka ozaji pzegubów z óżną liczbą pętów się w nich schozących. Rys..7 Piewszy z nich jest pzegubem jenokotnym (ys..7 a). Oznacza to, że możliwy jest owolny obót w obębie tego pzegubu. Jeśli w węźle zbiegają się więcej niż wa pęty (ys..6 b,c i ) mówimy o pzegubach wielokotnych. Ich nazwa pochozi o liczby zbiegających się pętów. Pzegub w któym zbiegają się wa pęty połączone jak na ysunku.6 nazywamy pzegubem jenokotnym. Kotność pzegubu oznaczamy ogólnie jako : K R k (.) gzie : k liczba pętów zbiegających się w pełnym pzegubie. Pzestawmy w skócie wspomniane metoy okeślania stopnia statycznej niewyznaczalności : Sposób Sposób ten polega na zamianie pętów na pojeyncze tacze w wyniku okonania cięć. Stopień statycznej niewyznaczalności okeślamy wg wzou : SSN p t (.5) gzie : p liczba pzeciętych pętów t liczba utwozonych niezależnych tacz. Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

11 Pzykła Weźmy ukła pętów jak na ysunku poniżej i spóbujmy okeślić jego SSN. Rys..8 By ozucić więz I musimy zobić wa cięcia(ys..8b), więz II tzy a tzeci tylko jeno cięcie. Z ysunku powyżej wiać, że z pzecięcia oatkowo wóch pętów gónych nasz ukła pętowy pzekształcił się w ukła tzech niezależnych tacz poza tym pzecięcieα α i β β to oatkowe zwolnienie sześciu więzów (+). Zatem zgonie ze wzoem (.5)stopień statycznej niewyznaczalności : SSN p t ( ) Pzykła Na ysunku.9 pzestawiona jest ama (ukła pętów). Sposób postępowania jest analogiczny jak w pzykłazie piewszym. Okeślamy liczbę cięć i liczbę tacz Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

12 powstałych w ich wyniku. Liczba cięć la poszczególnych więzów związana jest z kotnością pzegubów stą cztey cięcia w węźle II ( K ) ( ). Rys..9 W tym pzypaku okonaliśmy cztenastu cięć uzyskując pzy tym wie tacze. Zatem stopień statycznej niewyznaczalności : SSN p t 8 ukła jest ośmiokotnie statycznie niewyznaczalny. Sposób Sposób ten polega na wpowazeniu oatkowych więzów, któe usztywnią ukła. Paktycznie sposób ten polega na wpowazeniu w miejsce poó utwiezenia i zastąpieniu pzegubów popoami spężystymi. Stopień statycznej niewyznaczalności ukłau : SSN N (.6) gzie : N stopień statycznej niewyznaczalności nowego pzesztywnionego ukłau liczba wpowazonych oatkowych więzów. Pzykła Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

13 Na poniższym ysunku(ys..) pokazano ukła pętowy pze i po usztywnieniu. Liczba więzów potzebnych o usztywnienia pokazana została na ysunku (ys..b) Rys.. Stopień statycznej niewyznaczalności ukłau wynosi zatem : SSN N 6 6 Pzykła Pzyjzyjmy się teaz amie z ysunku.8. Należy tu zwócić uwagę na to, iż pęty góne zostały pzecięte w celu usunięcia ukłau zamkniętego, któy twozą owe pęty. Stopień statycznej niewyznaczalności nowego pzesztywnionego ukłau wynosi : N (ys..), liczba wpowazonych więzów cztey. Zatem : SSN N 8 otzymaliśmy wynik jak w pzypaku okeślania SSN metoą piewszą. Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

14 Rys.. Sposób ożna uowonić, że stopień statycznej niewyznaczalności : SSN + p + p + p ( w + w ) (.7) gzie : liczba eakcji (albo liczba więzów popoowych) p liczba pętów zakończonych obustonnie pzegubami p liczba pętów zakończonych z jenej stony pzegubem z ugiej spężyście zamocowanych p liczba pętów obustonnie spężyście zamocowanych w w liczba węzłów pzegubowych liczba węzłów w któych występują spężyście zamocowane pęty. Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe

15 Pzykła Dla ukłau z ysunku. możemy okeślić zgonie z ysunkiem poniżej (ys..) : p bak p 5 (oznaczono // na ysunku) p 7 (oznaczono /// na ysunku) w o w 9 w, w oajemy także pzeguby i utwiezenia SSN 5 6 Rys.. Pzykła amy ukła jak na ysunku (ys..). Postępując analogicznie o pzykłau otzymujemy : + 5 p bak p p w w SSN Rys.. Kopacz, Łoygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tympe