Metody probabilistyczne egzamin

Transkrypt

1 Imię i azwisko: N ideksu: Metody pobabilistycze egzami Data: Godzia: 3:00 Zadaie [8pkt] Podaj aksjomaty Kołmogoowa dla miay pawdopodobieństwa P zdefiiowaej a σ-ciele zdazeń F 2 Ω. Odpowiedz zwięźle, bez ozpisywaia się. Odpowiedź: wykład 2, slajd 8 Zadaie 2 [6pkt] Świetie pospeujące kasyo z Bee otwozyło filię w Staddle, w któej wpowadziło zupełie ową, ietypową gę. Gacz ozpoczya gę z puktem, a ga toczy się dokładie 5 ud. W każdej udzie gacz i kupie zucają kostką: gacz zwykłą, uczciwą kostką sześciościeą, atomiast kupie uczciwą kostką sześciościeą a któej dwa azy występuje cyfa, dwa azy cyfa 2 i dwa azy cyfa 3, ie ma atomiast cyf od 4 w góę. Ruda jest okeślaa jako zwycięska, jeżeli gacz i kupie wyzucą a kostkach tę samą watość. W każdej zwycięskiej udzie liczba puktów gacza jest podwajaa. Kasyo wypłaca agody wg pzeliczika: pukt = seba moeta. Niech zmiea losowa N ozacza liczbę zwycięski ud, a zmiea losowa W liczbę puktów gacza po ozegaiu wszystkich ud, tj. wysokość wypłacoej agody. (a) W każdej udzie, jakie jest pawdopodobieństwo, że uda okaże się zwycięska? [2pkt] 6, bo takie jest pawdopodobieństwo wyzuceia takiej samej watości jak ustaloy wyik kupiea (b) Podaj azwę i paamety ozkładu pawdopodobieństwa zmieej losowej N. [2pkt] Rozkład dwumiaowy B(5, 6 ) (c) Oblicz śedią liczbę zwycięskich ud. [pkt] EN = 5 6 = 5 6 (d) Podaj, w fomie fukcji pawdopodobieństwa, ozkład pawdopodobieństwa zmieej losowej W. [2pkt] ( ) ( 5 k ( ) 5 5 k P (W = 2 k ) = P (N = k) = k {0,,..., 5} k 6) 6 (e) Oblicz śedią liczbę puktów, któe zdobędzie gacz w ciągu gy. [4pkt] To iestety jest tochę pacochłoe EW = = ,64 (f) Ile miimalie sebych moet kasyo musi pobieać jako opłatę za pzystąpieie do gy, żeby z pawdopodobieństwem pzyajmiej 90% gacz stacił a gze? Odpowiedź uzasadij. [3pkt] Wykozystujemy pawdopodobieństwa obliczoe w popzedim pukcie i obsewujemy, że Podczas gdy P (W 4) = P (N 2) = = ,965 P (W 2) = P (N ) = = ,804 Zatem kasyo musi pobieać pzyajmiej 4 sebe moety jako opłatę za gę / 7

2 (g) Ile miimalie sebych moet kasyo musi pobieać jako opłatę za pzystąpieie do gy, żeby długotemiowo ie stacić a powadzeiu gy? [2pkt] Co ajmiej tyle co śedia watość wygaej EW Zadaie 3 [6pkt] Niestety, kasyo w Staddle od samego początku ma duży poblem: do szefa kasya zgłosił się jede z gaczy, któy twiedzi, że używae pzez kasyo kostki są zaczaowae. Gacz miaowicie twiedzi, że a każdej z pięciu kostek sześciościeych (o stadadowo umeowaych ściakach:, 2,..., 6) 6-tka wypada z pawdopodobieństwem 5 6. Szef odpowiedział a to: a 99% asze kostki są uczciwe... (a) Pzypisz symbole astępującym zdazeiom i wykozystaj podczas dalszego ozwiązywaia zadaia: [pkt] kostki są uczciwe; H kostki są ieuczciwe; H 2 wypadły cztey 6-tki i jede iy wyik w jedoczesym zucie wszystkimi pięcioma kostkami. E (b) Jakie jest pawdopodobieństwo, że kostki są uczciwe, a jakie, że kostki są ieuczciwe? [pkt] P (H ) = P (H 2 ) = 00 (c) Jakie jest pawdopodobieństwo, że wypadły cztey 6-tki i jede iy wyik pod waukiem, że kostki są uczciwe? [2pkt] ( ) ( 5 4 ( ) 5 P (E H ) = = 4 6) (d) Jakie jest pawdopodobieństwo, że wypadły cztey 6-tki i jede iy wyik pod waukiem, że kostki są ieuczciwe? [2pkt] ( ) (5 5 4 ( ) P (E H 2 ) = = 4 6) (e) Jakie jest pawdopodobieństwo zdazeia wypadły cztey 6-tki i jede iy wyik? [3pkt] P (E) = P (E H )P (H ) + P (E H 2 )P (H 2 ) = = po czym zucił jedocześie wszystkimi pięcioma kostkami i wyzucił cztey 6-tki oaz jede iy wyik. (f) Bioąc pod uwagę wyik zutu jakie jest pawdopodobieństwo, że kostki są uczciwe? [4pkt] P (H E) = P (E H )P (H ) P (E) = = % (g) Bioąc pod uwagę wyik zutu jakie jest pawdopodobieństwo, że kostki są ieuczciwe? [pkt] P (H 2 E) = P (H E) = % 2 / 7

3 (h) Czy gacz powiie pzyjąć do wiadomości zapewieia szefa czy aczej dążyć temat? Odpowiedź uzasadij. [2pkt] Raczej dążyć temat, poieważ P (H 2 E) > P (H E), a więc dowody (słabo!) pzemawiają za H 2. Zadaie 4 [3pkt] Rzucamy N azy kostką (załóż N 2), uzyskując w te sposób ciąg N cyf ze zbiou {, 2, 3, 4, 5, 6}. (a) Wyzacz pawdopodobieństwo zdazeia A, że żade sąsiadujące cyfy się ie powtazają (p. dla N = 7 ciąg, 4, 2, 5, 6, 4, ma taką własość, a ciąg 3, 4, 2, 2, 5, 6, ie ma). Zób to staaie: zdefiiuj Ω, wyzacz Ω, A i oblicz pawdopodobieństwo z modelu klasyczego. [6pkt] Ω moża zdefiiować jakie wszystkie możliwe ciągi o długości N złożoe z cyf z {, 2, 3, 4, 5, 6}, czyli Ω = 6 N. Ciągi spzyjające zdazeiu A mają dowolą piewszą cyfę, a każda koleja może zostać wybaa tylko z pięciu możliwych (poieważ jeda ówa popzediej jest zaboioa). Czyli A = 6 5 N, a stąd P (A) = ( ) 5 N. 6 (b) Oblicz watość oczekiwaą liczby dwucyfowych liczb (złożoych z sąsiadujących cyf), któe są podziele pzez 3. Pzykład: pzy N = 5 i ciągu 2, 4,, 5, 3 dostajemy liczby 24, 4, 5, 53, z któych piewsza i tzecia są podziele pzez 3. Uwaga: Wykozystaj addytywość watości oczekiwaej, wyaźie zdefiiuj odpowiedie zmiee losowe! Wskazówka: liczba jest podziela pzez 3 wtedy i tylko wtedy gdy suma jej cyf jest podziela pzez 3. [7pkt] Niech zmiea losowa X i {0, }, i =,..., N, okeśla czy dwucyfowa liczba zaczyająca się a pozycji i jest podziela pzez 3 (X i = ), czy ie jest podziela pzez 3 (X i = 0). Na 36 możliwych dwucyfowych liczb, 2,..., 65, 66 mamy 2 liczb podzielych pzez 3: 2, 5, 2, 24, 33, 36, 42, 45, 5, 54, 63, 66. Stąd otzymujemy EX i = P (X i = ) = 2 36 = 3. Zauważmy teaz, że zmiea Y = X + X X N jest sumayczą liczbą dwucyfowych liczb podzielych pzez 3. Tym samym: EY = E(X + X X N ) = EX + EX EX N = N 3 Zadaie 5 [pkt] Niech X, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowym ozkładzie z EX i = µ i D 2 (X i ) = σ 2. Niech X = i= X i będzie śedią aytmetyczą z piewszych zmieych. (a) Udowodij, że E(X ) = µ oaz D 2 (X ) = σ2, wyaźie zazaczając z jakich paw kozystasz [6pkt]. (b) Na podstawie ieówości Czebyszewa i wyików z popzediego puktu udowodij słabe pawo wielkich liczb Chińczya, tz. że dla dowolego ɛ > 0: lim P ( X µ > ɛ) = [5pkt] Odpowiedź zajduje się a slajdach -4 wykładu. Zadaie 6 [2pkt] Czas oczekiwaia a wyik zapytaia do bazy daych (w milisekudach) dobze modeloway jest ciągłą zmieą losową X o gęstości pawdopodobieństwa: { c f(x) = x dla x > 3 0 dla x 3 / 7

4 (poszę zauważyć, że czas wyosi zawsze co ajmiej ms, ale może być zaczie dłuższy) (a) Wyzacz stałą omalizacyją ozkładu c. [3pkt] stąd c = 2. = f(x) dx = cx 3 dx = c 2 x 2 = c 2, (b) Wyzacz watość oczekiwaą EX. [3pkt] EX = xf(x) dx = 2 xx 3 dx = 2x = 2. (c) Wyzacz waiację D 2 (X). Wskazówka: użyj wzou skócoego możeia dla waiacji. [3pkt] Poieważ D 2 (X) = E(X 2 ) (EX) 2 = E(X 2 ) 4, pozostaje policzyć E(X 2 ): E(X 2 ) = Czyli waiacja jest ieskończoa. x 2 f(x) dx = 2 x 2 x 3 dx = 2 l x = (d) Oblicz pawdopodobieństwo, że czas zgłoszeia będzie dłuższy iż 0 milisekud. [3pkt] P (X > 0) = 0 f(x) dx = 2 x 3 dx = x 2 = = 00 Wskazówka: do policzeia wszystkich puktów wystaczy zajomość jedej całki: { l x dla α = x α dx = +α xα+ dla α. Zadaie 7 [2pkt] Iloaz iteligecji (IQ) został zapojektoway w te sposób, aby ozkład tej cechy w całej populacji był ozkładem omalym o watości oczekiwaej µ = 00 i odchyleiu stadadowym σ = 5. Czyli jeśli X to zmiea losowa opisująca IQ osoby wybaej losowo z populacji, to X N(00, 5 2 ). Odpowiedz a poiższe pytaia, wyiki wpiew pzedstawiając za pomocą wyażeń zawieających dystybuatę stadadowego ozkład omalego Φ(x), a astępie podaj kokete wyiki liczbowe kozystając z (iektóych z) astępujących watości: Φ(0) = 0.5, Φ() = 0.84, Φ(2) = 0.977, Φ(3) = (a) Małgosia zobiła test iteligecji uzyskując IQ = 45. Jaka część populacji jest badziej iteligeta od Małgosi? Wpiew pzedstaw cześć populacji iteligetiejszą od Małgosi jako pawdopodobieństwo pewego zdazeia dotyczącego zmieej losowej X, a astępie oblicz to pawdopodobieństwo. Część populacji iteligetiejsza od Małgosi to dokładie pawdopodobieństwo tego, że losowo wybaa z populacji osoba będzie miała IQ wyższe, iż 45, tz. P (X > 45). Skoo X N(00, 5 2 ) to Z = X 00 5 N(0, ), więc: ( ) X P (X > 45) = P > = P (Z > 3) = Φ(3) = / 7

5 (b) Wyzacz jaka część populacji ma IQ pomiędzy 65 a 5. Tu wkadł się błąd: powio być 70 zamiast 65. Wtedy część populacji z IQ pomiędzy 70 a 5 jest ówa P (70 X 5). Pzekształcając ( P (70 X 5) = P X 00 ) 5 00 = P ( 2 Z ) = Φ() Φ( 2) = Φ() ( Φ(2) ) = = 0.88 Moża było też zostawić 65, ale wtedy w wyiku otzymujemy P ( 35 5 Z ) = Φ() Φ( 7 3 ), i tego dugiego wyiku ie ma wśód wymieioych, więc tzeba to tak zostawić. Oczywiście uzam oba podejścia. Zadaie 8 [2pkt] Jaś staje pzed zadaiem estymacji iezaej watości oczekiwaej µ = EX czasu życia bateii motowaej w samochodach elektyczych z póby X,..., X. Poieważ słyszał wcześiej, że czas życia takich bateii wyosi ok. 8 lat, postaawia użyć astępującego estymatoa: µ = α 8 + ( α) X, dla X = X i, i= gdzie α [0, ] jest współczyikiem okeślającym pzetag między tym, co Jasiu uzyska z póby, a tym co wiedział wcześiej. W szczególości, α = 0 daje stadadowy estymato watości oczekiwaej. (a) Wyzacz obciążeie estymatoa µ, tz. E µ µ. Czy estymato jest obciążoy? [5pkt] Policzymy watość oczekiwaą: Obciążeie wyosi więc E[ µ] µ = (8 µ)α. E[ µ] = 8α + ( α)e[x ] = 8α + µ( α) (b) Wyzacz waiację tego estymatoa, D 2 ( µ). W obębie wyiku powia się pojawić waiacja ozkładu σ 2 = D 2 (X). [5pkt] Zgodie z pawem skalowaia waiacji D 2 (ay + b) = a 2 D 2 (Y ). Pzyjmując za Y = X, b = 8α i a = α mamy: D 2 ( µ) = ( α) 2 D 2 (X ) = ( α) 2 σ2. (c) Jakość estymatoów, ówież tych obciążoych, moża ogólie miezyć za pomocą tzw. błędu kwadatowego estymatoa, zdefiiowaego jako: błąd kwadatowy = (obciążeie) 2 + waiacja. Na podstawie popzedich wyików wyzacz błąd kwadatowy estymatoa µ i okeśl czy poszczególe człoy (kwadat obciążeia i waiacja) osą czy maleją z watością α? W jakiej sytuacji duża watość paametu α (zacząco większa od zea) byłaby wskazaa? [2pkt] 5 / 7

6 Błąd wyosi α 2 (8 µ) 2 + ( α) 2 σ2. Kwadat obciążeia ośie więc z α (za wyjątkiem sytuacji gdy µ = 8), atomiast waiacja maleje z α. Jeśli pawdziwa watość µ jest blisko 8 (czyli Jasio tafiłby ze swoim początkowym oszacowaiem), to zapewe wato wziąć większą watość α, poieważ zmiejszy to waiację, a obciążeie i tak jest małe. Oczywiście ie zamy pawdziwej watości µ (bo po co byśmy ją wtedy estymowali), więc ie jesteśmy w staie tego okeślić a pioi. Dla dociekliwych (ale ie tzeba było tego obić!): zakładając, że zamy µ i σ 2 możemy zaleźć miimum błędu, pzyówując jego pochodą po α do zea: 2α(8 µ) 2 2( α) σ2 = 0 α = σ2 σ 2 + (8 µ)2 Zadaie 9 (adobowiązkowe i badzo tude!!) [5pkt] Pijay golfista jedym udezeiem kija posyła piłeczkę w losowym kieuku (kąt wybay jedostajie a okęgu) a odległość 0 metów. Oblicz pawdopodobieństwo, że po tzech udezeiach piłeczka zajduje się ie dalej iż 0 metów od pozycji statowej. Uwaga: możesz ozwiązać postszą wesję zadaia i policzyć pawdopodobieństwo zajścia powyższego po dwóch udezeiach [7pkt]. 6 / 7

7 Niech pozycja statowa to pukt O, po piewszym zucie jesteśmy w pukcie A, po dugim w B, po tzecim w C. Niech = 0 (odległość zutu). Wesja z dwoma zutami: O A Wystaczy zauważyć, że pukt B (miejsce piłeczki po dwóch zutach) będzie w odległości ie dalszej iż od puktu O wtedy i tylko wtedy, gdy zajdzie się a pogubioym łuku. A więc pawdopodobieństwo tego zdazeia to stosuek długości pogubioego łuku do obwodu całego okęgu. Poieważ długość kątowa łuku ówa jest podwojoej długości kąta w aysowaym tójkącie ówoboczym, mamy więc długość łuku ówą 2 3π (kąt 20). A więc pawdopodobieństwo wyosi 3, bo obwód okęgu to 2π. Wesja z tzema zutami: Niech α okeśla kąt pod jakim została zucoa piłka w dugim zucie w stosuku do kąta w piewszym zucie. Z symetii te kąt został wybay jedostajie a okęgu. O β B α A Pukt C (miejsce piłeczki po tzech zutach) będzie w odległości ie dalszej iż od puktu O wtedy i tylko wtedy, gdy zajdzie się a pogubioym łuku. Tzeba więc tylko policzyć długość kątową tego łuku, czyli β. Pzedstawiam wesję studeta Kamila Piechowiaka, któa okazuje się postsza iż moja własa. :) Wystaczy spojzeć, że kąt β to jede z kątów ombu o długości. Poieważ suma kątów w ombie musi być ówa 360 = 2π, a jede z kątów ombu to π α, to wychodzi a to, że β = α. Tzeba tylko uważać a to, że cały te ysuek działa dopóki α jest pomiędzy 0 a π (poieważ dla większych α otzymujemy β = 2π α), ale a szczęście dla większych α mamy odbicie lustzae względem osi X, więc wystaczy zliczyć pawdopodobieństwo po α [0, π] i podwoić. Niech S ozacza zdazeie, że pukt C zajduje się a łuku. Właśie doszliśmy do tego, że P (S α) = β 2π = α 2π dla α [0, π] oaz P (S α) = P (S α). Jeśli f(α) = 2π jest gęstością ozkładu α, to: 2π π P (S) = P (S α)f(α) dα = 2 P (S α) 0 0 2π dα = π 2π 2 α dα = α 2 0 2π 2 π 2 = / 7