Elektrodynamika. Część 2. Specjalne metody elektrostatyki. Ryszard Tanaś. Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Transkrypt

1 Elektroynamika Część 2 Specjalne metoy elektrostatyki Ryszar Tanaś Zakła Optyki Nieliniowej, UAM Spis treści 3 Specjalne metoy elektrostatyki 3 3. Równanie Laplace a Metoa obrazów Metoa separacji zmiennych Rozwinięcie multipolowe

2 3 Specjalne metoy elektrostatyki 3. Równanie Laplace a 3.. Wprowazenie Er) = ˆR R 2ρr ) τ, zρwyznaczamy E, zwykle trune V r) = R ρr ) τ, zρwyznaczamyv, trochę łatwiej V = ǫ 0 ρ równanie Poissona V = 0 równanie Laplace a, tam gzie ρ = Warunki brzegowe i twierzenie o jenoznaczności Rozwiązanie równania Laplace a w pewnym obszarze V jest określone jenoznacznie, jeśli poana jest wartość rozwiązania V na powierzchni S bęącej brzegiem obszaru V. funkcja V zaana na powierzchni S szukamy funkcji V wewnątrz obszaru V

3 3..3 Przewoniki i rugie twierzenie o jenoznaczności W obszarze V otoczonym przez przewoniki i zawierającym łaunki objętościowe o gęstości ρ pole elektryczne jest określone jenoznacznie, jeśli zaany jest całkowity łaunek na każym z przewoników. powierzchnie całkowania zaane ρ Q 3 Q 2 V Q 4 S Q zewnętrzna powierzchnia graniczna, może być w nieskończoności 3.2 Metoa obrazów 3.2. Klasyczny przykła Łaunek q w oległości o nieskończonej, uziemionej, przewozącej płaszczyzny. Jaki jest potencjał w obszarze na płaszczyzną? z q x V = 0 y Chcemy znaleźć rozwiązanie równania Poissona la z > 0 przy warunkach brzegowych:.v= 0 laz= 0

4 2.V 0 lax 2 +y 2 +z 2 2 Rozważmy zupełnie inny ukła z +q x q y V x,y,z) = [.V= 0 laz= 0 q x2 +y 2 + z ) 2 2.V 0 lax 2 +y 2 +z 2 2 ] q x2 +y 2 + z +) 2 Jeynym łaunkiem laz> 0 jest łaunek +q umieszczony w 0, 0,). To są warunki wyjściowego zaania! Z twierzenia o jenoznaczności rozwiązań wynika, że, la z 0, potencjał łaunku znajującego się na uziemioną płaszczyzną przewozącą jest taki sam jak o ukłau wóch łaunków +q i q rozmieszczonych symetrycznie wzglęem płaszczyzny xy.

5 Łaunekq jest zwiercialanym obrazem łaunkuq. Stą nazwa metoa obrazów Inukowane łaunki powierzchniowe V σ = ǫ 0 n V σ = ǫ 0 z V z = z=0 σx,y) = 2π qz ) x2 ) 3 + +y 2 + z ) 2 qz +) x2 +y 2 + z +) 2 ) 3 q x 2 +y ) 3 gęstość powierzchniowa łaunku

6 Q = σ a łaunek całkowity Obliczmy tę całkę, wprowazając współrzęne biegunowe r, φ) r 2 =x 2 +y 2, a =r r φ σr) = Q = 2π 0 q 2πr ) 3/2 0 q q 2πr ) 3/2r r φ = r = q Siła i energia F = q 2 2) 2ẑ W = q 2 2 W = q 2 4 Dlaczego połowa? tak jak la wóch łaunków wa łaunki bez płaszczyzny przewozącej łaunek i płaszczyzna przewoząca W = ǫ 0 2 E 2 τ Dlaz< 0,E= 0 la łaunku i powierzchni przewozącej

7 Możemy to obliczyć W = F l = q 2 4z 2 z = q2 4z ) = q Inne zaania związane z metoą obrazów Przykła: Łaunek punktowy q znajuje się w oległości a o śroka uziemionej przewozącej kuli o promieniu R. Znaleźć potencjał na zewnątrz kuli. R a q V = 0

8 Rozważmy zupełnie inny ukła r θ. }{{} b R q. }{{} a R q Dwa łaunki punktoweq iq q = R q, b =R2 a a V r) = q R +q R wybieramy takieq ib ) ten potencjał znika na powierzchni kuli r =R) We współrzęnych sferycznych [ V r,θ) = q r2 +a 2 2ar cosθ ] q R2 + ra/r) 2 2ra cosθ V R, θ) = 0, potencjał zeruje się na powierzchni kuli Z jenoznaczności rozwiązań wynika, że ten potencjał jest potencjałem na zewnątrz kuli. F = qq a b) 2 = σ = ǫ 0 V n q 2 Ra a 2 R 2 ) 2 siła przyciągania gęstość powierzchniowa łaunku

9 V n = V r σθ) = ǫ lar=r { 2 q2r 2a cosθ) r 2 +a 2 2ar cosθ) 3/2 } q[a/r) 2 2r 2a cosθ] R 2 + ra/r) 2 2ar cosθ) 3/2 r=r = q a 2 R 2 4πR a 2 +R 2 2aR cosθ) 3/2 3.3 Metoa separacji zmiennych 3.3. Współrzęne kartezjańskie Przeczytać w poręczniku Współrzęne kuliste Równanie Laplace a r 2 r 2 V ) + r r r 2 sinθ V ) 2 V + sinθ θ θ r 2 sin 2 θ 2 φ 2 = 0 r 2 r 2 V ) + r r r 2 sinθ V ) = 0 symetria osiowa sinθ θ θ V r, θ) = Rr)Θθ) separacja zmiennych

10 R R r 2 R ) + r r Θ sinθ r 2 R ) =ll + ), r r θ sinθ Θ θ Θ sinθ ) = 0 separacja sinθ Θ ) = ll + ) θ Równanie różniczkowe cząstkowe zostało sprowazone o ukłau θ wóch równań różniczkowych zwyczajnych. r r 2 R ) = ll + )R równanie pierwsze r Rr) =Ar l + B r l+ rozwiązanie θ sinθ Θ ) = ll + ) sinθθ θ równanie rugie Θθ) =P l cosθ) rozwiązanie wielomiany Legenre a) P l x) = ) l 2 l x 2 ) l wzór Roriguesa l! x P 0 x) = P x) =x P 2 x) = 3x 2 )/2 P 3 x) = 5x 3 3x)/2 wielomiany Legenre a P 4 x) = 35x 4 30x 2 + 3)/8 P 5 x) = 63x 5 70x 3 + 5x)/8

11 V r,θ) = A l r l + B ) l r l+ P l cosθ) rozwiązanie ogólne la symetrii osiowej Przykła: Na powierzchni powłoki kulistej o promieniu R utrzymywany jest potencjałv 0 θ). Znaleźć potencjał wewnątrz powłoki V r,θ) = A l r l P l cosθ), B l = 0 V R,θ) = A l R l P l cosθ) =V 0 θ) π 0 lal l P l x)p l x) x = P l cosθ)p l cosθ) sinθθ = 2 2l+ lal =l 0 A l R 2 π l 2l + = A l = 2l + 2R l Jeśli π 0 0 V 0 θ)p l cosθ) sinθ θ V 0 θ)p l cosθ) sinθ θ V 0 θ) =k sin 2 θ/2) = k 2 cosθ) =k 2 to V r,θ) = k 2 [ ] r 0 P 0 cosθ) r R P cosθ) [ P0 cosθ) P cosθ) ] = k 2 rr cosθ )

12 Przykła: Na powierzchni kuli o promieniurzaany jest potencjałv 0 θ). Znaleźć potencjał na zewnątrz kuli, zakłaając, że nie ma tam łaunków. B l V r,θ) = r l+p lcosθ), teraza l = 0 B l V R,θ) = R l+p lcosθ) =V 0 θ) B l R l + 2 2l + = B l = 2l + R l+ 2 π 0 π 0 V 0 θ)p l cosθ) sinθθ V 0 θ)p l cosθ) sinθθ Przykła: Nienałaowaną metalową kulę o promieniu R umieszczono w jenoronym zewnętrznym polu elektrycznym o natężeniu E =E 0 ẑ. Znaleźć potencjał i pole na zewnątrz kuli. z R y

13 W kuli potencjał jest stały, możemy przyjąćv = 0. W użej oległości o kuli pole ma postaće 0 ẑ, czyliv E 0 z V = 0 lar=r V E 0 r cosθ lar R B l warunki brzegowe A l R l + R l+ = 0 B l = A l R 2l+ z pierwszego warunku ) V r,θ) = A l r l R2l+ r l+ P l cosθ) A l r l P l cosθ) = E 0 r cosθ z rugiego warunku lar R A = E 0, pozostałea l = 0 ) V r,θ) = E 0 r R3 r 2 cosθ V E = V = r ˆr + V r θ ˆθ + ) V r sinθ φ ˆφ ) ) =E R3 r 3 cosθ ˆr R3 r 3 sinθ ˆθ ) V σθ) = ǫ 0 r =ǫ 0 E R3 r=r r 3 cosθ = 3ǫ 0 E 0 cosθ r=r σθ)>0 la 0<θ<π/2 σθ)<0 laπ/2<θ<π

14 Przykła: Na powierzchni kulistej powłoki o promieniu R umieszczono łaunek powierzchniowy o gęstościσ 0 θ). Znaleźć potencjał wewnątrz i na zewnątrz powłoki. V r,θ) = A l r l P l cosθ), wewnątrz r R) B l V r,θ) = r l+p lcosθ), na zewnątrz r R) A l R l B l P l cosθ) = R l+p lcosθ), potencjał jest ciągły B l =A l R 2l+ Vzew r V wew r l + ) B l R l+2p lcosθ) ) = skłaowa normalna σ 0 θ), ǫ 0 pola jest nieciągła r=r la l R l P l cosθ) = σ 0 θ) ǫ 0 2l + )A l R l P l cosθ) = σ 0 θ) ǫ 0 A l = 2ǫ 0 R l π 0 σ 0 θ)p l cosθ) sinθθ

15 R + r Dla A = k 2ǫ 0 π 0 σ 0 θ) =k cosθ =kp cosθ) [P cosθ)] 2 sinθ θ, pozostałea l = 0 V r,θ) = k 3ǫ 0 r cosθ, wewnątrz r R) V r,θ) = k R 3 cosθ, na zewnątrz r R) 3ǫ 0 r2 3.4 Rozwinięcie multipolowe 3.4. Przybliżona postać potencjału na użych oległościach Przykła: Fizyczny ipol elektryczny skłaa się z wóch łaunków o równej wartości i przeciwnym znaku ±q), znajujących się w oległości. Znaleźć przybliżoną postać potencjału w użej oległości o tego ukłau. +q θ R q

16 V r) = q q ) R + R potencjał o obu łaunków ) R 2 ± =r r cosθ =r2 2 ze wzoru cosθ + 4 r 4r 2 cosinusów ) /2 R ± r r cosθ ± 2r ) r cosθ lar R + R r 2 cosθ V r) q cosθ r 2 Momenty multipolowe ÑÓÒÓÔÓÐ V /rµ + ÔÓÐ V /r 2 µ + Û ÖÙÔÓÐ V /r 3 µ + + Ó ØÙÔÓÐ V /r 4 µ

17 Przypaek ogólny τ R P r θ r V r) = R ρr ) τ ) r R 2 =r 2 + r ) 2 2rr cosθ =r [ 2 2 ) ] r + 2 cosθ r r R =r ) ) r r +ǫ, ǫ = r r 2 cosθ, ǫ lar /r R = r +ǫ) /2 = r 2 ǫ ǫ2 5 ) 6 ǫ3 + [ R = ) ) r r r 2 r r 2 cosθ + 3 ) r 2 r 8 r r 2 cosθ 5 ) r 3 ) r 3 + ] 6 r r 2 cosθ [ = ) ) r r + cosθ 2 ) + 3 cos 2 θ r r r 2 ) ] r cos 3 θ 3 cosθ ) + r 2 ) 2 R = r ) r n P n cosθ ) wzór ogólny n=0 r

18 V r) = V r) = [ r + r 3 n=0 r n+ ρr ) τ + r 2 r ) cos2 θ 2 r ) n P n cosθ )ρr ) τ r cosθ ρr ) τ ) ] ρr ) τ + rozwinięcie multipolowe Człony monopolowy i ipolowy V mon = Q r, Q = V ip r) = r 2 r cosθ = ˆr r V ip r) = r 2 ˆr p = ρ τ człon monopolowy r cosθ ρr ) τ człon ipolowy r ρr )τ r ρr ) τ moment ipolowy V ip r) = p ˆr r 2 potencjał o ipola

19 p = n q i r i moment ipolowy ukłau łaunków punktowych i= z +q r + q r y x p =qr + qr =qr + r ) =q la ipola fizycznego Problem początku ukłau współrzęnych w rozwinięciu multipolowym x x z x O z r z a r R q y y τ p = r = ȳ ten łaunek ma moment ipolowy p =q ŷ; potencjałv = q R rozwinięty wzglęem /r ma wszystkie potęgi; zmiana początku ukłau współrzęnych zmienia postać rozwinięcia multipolowego; moment monopolowy nie zmienia się r ρr ) τ = r a)ρr ) τ r ρr ) τ a ρr ) τ = p Qa

20 3.4.4 Natężenie pola elektrycznego ipola z P θ r x p φ y V ip r,θ) = ˆr p r 2 = E = V = r ˆr + r E r = V r = 2p cosθ r 3 E θ = r E φ = r sinθ V θ = p sinθ r 3 V φ = 0 p cosθ r 2 θ ˆθ + r sinθ E ip r,θ) = p r 3 2 cosθ ˆr + sinθ ˆθ ) φ ˆφ V ) w wybranym ukłazie współrzęnych

21 z z + y y pole iealnego ipola pole ipola fizycznego E ip r) = r 3 [ 3p ˆr) ˆr p ] pole ipola w owolnym ukłazie współrzęnych

22