ROZDZIAŁ 5 OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA W PROBLEMIE INFLACJA BEZROBOCIE

Transkrypt

1 Wesława Bogusławska ROZDZIAŁ 5 OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA W PROBLEMIE INFLACJA BEZROBOCIE 1. Wprowadzene Od początku stnena cywlzacj człowek poszukwał rozwązań które umożlwłyby osągane jak najlepszych rezultatów. Nejednokrotne pojawał sę jednak dylemat jak rozwązać problem w którym stotnych jest węcej nż jedno kryterum. Uznane bowem jednego za stotny a nne za mnej bądź też wypracowane określonego kompromsu pomędzy wszystkm (ne rzadko przecwstawnym często doprowadzało do sytuacj pomnęca poszukwanego optmum. Rozwązywanu takego typu problemów ma służyć optymalzacja welokryteralna nazywana równeż poloptymalzacją. Jej stotą jest określene przy pomocy przyjętych ogranczeń brzegowych zboru ocen kompromsowych wyznaczene z nego na podstawe dodatkowego kryterum oceny odpowadającego jej rozwązana preferowanego. Perwszą publkacją sygnalzującą sposób rozwązywana problemów z weloma kryetram była praca włoskego ekonomsty V. Pareto z 1896 roku. Kolejne publkacje z tego obszaru badawczego ukazały sę dopero na początku lat pęćdzesątych XX weku. W 1951 roku H.W. Kuhn A.W. Tucker sformułowal zadane wektorowej maksymalzacj zwązanej z nm dualnośc. Następne A. Charnes w 1957 roku W.W. Cooper w 1961 roku zaprezentowal koncepcję programowana celowego. W 1964 roku. Kapln przedstawł rozważana na temat wyboru rozwązań w przypadku występowana klku przecwstawnych kryterów optymalzacj A. Klnger programowane lnowe a W.L. Nelson optymalzację dynamczną welokryteralną z zastosowanem metody herarchcznej. Od tego czasu coraz lcznej pojawają sę publkacje ukazujące nowe koncepcje rozwązywana zadań welokryteralnych. Dynamczny rozwój optymalzacj welokryteralnej ne znajduje jednak właścwego odbca w lteraturze polskej. Choć publkowane są artykuły z zakresu poloptymalzacj to poza ksążką E. Konarzewskej Gubały (1980 A. Ameljańczyka (1984 Z. Galasa I. Nykowskego Z. Żółkewskego (1987 W.M. Paczkowskego (1999 brak jest monografcznych opracowań. W tej ostatnej przedstawona została jedna z najnowszych metod (nelnowa dyskretna metoda orto dagonalna poszukwana rozwązań optymalnych nezdomnowanych. Ponadto zaprezentowany został model dyskretnej optymalzacj ewolucyjnej z użycem którego można formułować rozwązywać zadana optymalzacj poloptymalzacj. Praca zawera równeż nowe podejśce do dekompozycj zagadneń optymalzacyjnych. Wykorzystanu optymalzacj welokryteralnej w procesach podejmowana decyzj makroekonomcznych pośwęcony został ponższy artykuł. Na przykładze problemu nflacja bezroboce przedstawono możlwośc analzy welokryteralnej w sterowanu poltyką gospodarczą. W celu sformułowana zadana poloptymalnego zbudowano modele ekonometryczne które z uwag na fakt że ne były podstawowym zamarem artykułu przyjęły jedyne proste wyrażena arytmetyczne. Do oszacowana model wykorzystano dane kwartalne dotyczące gospodark polskej za lata na ch podstawe dobrano zmenne objaśnające

2 46 Wesława Bogusławska zjawsko nflacj π bezroboca B.. Aproksymacja funkcj nflacj bezroboca Jednym z najstotnejszych elementów modelu matematycznego optymalzacj w zagadnenach ekonomcznych są odpowedno dobrane funkcje celu. Zbudowane zależnośc pomędzy przeszłą przewdywaną sytuacją gospodark a pewnym jej mernkam jest nezbędnym etapem wstępnym formułowana modelu zadana. Matematyczną postać funkcj celu można osągnąć przez dokonane aproksymacj danych makroekonomcznych. Polega ona na doborze wyrażena analtycznego f które będze w przyblżenu opsywać daną funkcję f h określoną tablcą wartośc albo wykresem. Proces doberana wzoru emprycznego f j składa sę z czterech etapów: sformułowana modelu zebrana danych statystycznych szacowana parametrów modelu oraz weryfkacj modelu jego korekty. Przy wymenonych etapach budując funkcję opsującą nflację π przyjęto za zmenne objaśnające trzy czynnk: relację przecętnego wynagrodzena realnego w ujęcu kwartalnym (w do realnego Produktu Krajowego Brutto wytworzonego w danym kwartale (w/ relację penądza gotówkowego w ujęcu realnym (H stan na konec kwartału do realnego wytworzonego w danym kwartale (H/ oraz stopę redyskontową ( stan na konec kwartału. Dobór zmennych objaśnających został oparty na stnejącej teor ekonomcznej jak też na współczynnkach korelacj statystycznej pomędzy daną zmenną objaśnaną (π a zmennym objaśnającym. 1 Oszacowana postać funkcj nflacj (merzonej wskaźnkem CPI cen towarów usług konsumpcyjnych przyjęła postać wykładnczą: w ( exp exp exp 0 x = exp π. (1 Przeprowadzono weryfkację obejmującą: analzę merytoryczną ocen uzyskanych dla poszczególnych parametrów badane statystycznej stotnośc ocen parametrów analzę stopna dopasowana modelu do danych emprycznych (współczynnk determnacj R oraz odchylene standardowe składnka resztowego e analzę prawdłowośc zastosowanej metody estymacj w teśce Durbna Watsona. Współczynnk determnacj R oraz odchylene standardowe składnka resztowego e oblczano według formuł: n n ( p p ( p p R = 1 =1 =1 n e = n ( p p ( =1 gdze: p empryczne wartośc zmennej objaśnanej p teoretyczne wartośc otrzymane dla oszacowanego modelu p średna arytmetyczna zaobserwowanych wartośc p zmennej objaśnanej n lczba obserwacj rocznych. W oszacowanym modelu uzyskano R = e = (3 Przeprowadzając natomast analzę merytoryczną uzyskanych ocen poszczególnych parametrów sprawdzono sensowność znaków ocen parametrów. W przyjętym modelu nflacj H 1 J.Hozer tatystyka. Ops statystyczny towarzyszene Pomoc Rozwój zczecn 1998 s Tamże s. 35.

3 Optymalzacja welokryteralna w probleme nflacja-bezroboce 47 wszystke zmenne objaśnające uzyskały znak dodatn. Jest to prawdłowe z punktu teor ekonomcznej poneważ w przypadku zmennej płace (w jeżel tempo wzrostu wynagrodzeń realnych jest szybsze nż tempo przyrostu Produktu Krajowego Brutto to w gospodarce występuje bezpodstawny wzrost wynagrodzeń czynnk tak staje sę czynnkem nflacjogennym. Podobna sytuacja dotyczy emsj penądza gotówkowego (H gdze szybsze tempo tego przyrostu w stosunku do przyrostu Produktu Krajowego Brutto oznacza emsję tak zwanego pustego penądza która stanow jedno ze źródeł nflacj. Z kole w przypadku stopy redyskonta weksl wzrost stopy procentowej oznacza wyższe koszty nwestycj produkcj co w dalszej konsekwencj prowadz do wzrostu cen produktów uruchomena spral nflacyjnej typu ceny płace. Podobną aproksymację przeprowadzono dla funkcj bezroboca B(w/ /Z gdze w/ tak jak w przypadku nflacj oznacza relację przecętnych wynagrodzeń realnych w ujęcu kwartalnym do realnego wytworzonego w danym kwartale a /Z relację realnego wytworzonego w badanym kwartale do przecętnego zatrudnena w tymże kwartale czyl tak zwaną produkcyjność 3. Postać funkcj oraz odpowadające jej wartośc współczynnka determnacj R odchylena standardowego składnka resztowego e są następujące: w B ( x = (4a Z R = e = 197. (4b W przypadku bezroboca w funkcj ne ujęto an dynamk an stopy procentowej gdyż dla badanego okresu w gospodarce polskej zmenna wykazała dodatną korelację ze zmenną objaśnaną a stopa procentowa ujemną co z podstawową teorą ekonomczną jest nezgodne. Przeprowadzona analza wskazuje jednak na fakt że w przypadku gospodark polskej obnżająca sę stopa procentowa spowodowała wzrost nwestycj technologcznych czego efektem były masowe redukcje etatów. Jednocześne wzrost tych nwestycj wywołał szybke tempo wzrostu gospodarczego. Poneważ oszacowane funkcje dotyczą określonej sytuacj gospodarczo społecznej stąd też w marę stablzacj gospodark polskej ulegać będą one modyfkacjom Optymalzacja welokryteralna w probleme nflacja bezroboce Funkcje nflacj bezroboca wykorzystane zostały w matematycznym modelu welokryteralnej analzy nflacj gdze poszukwana była decyzja która jednocześne mnmalzowałaby funkcję nflacj π oraz funkcję bezroboca B. Zadane poloptymalzacj sformułowano następująco: ( x π( x ( x ( x π B Mn f( x = Mn (5a max maxb T H w x = Z (5b N H w X = x R : 50 80% ; ; 0 5 ; (5c Z T 3 H.Varan Intermedate Mcroeconomcs. A Modern Approach New York London 1990 s W.Bogusławska W.M.Paczkowsk Kreowane poltyk antynflacyjnej metodą satysfakcj w: Materały XVII Ogólnopolskej Konferencj Poloptymalzacj CAD. PAN PK Koszaln Zeszyty Naukowe Wydzału Mechancznego nr 0 s

4 48 Wesława Bogusławska gdze: x wektor zmennych decyzyjnych f wektor funkcj celu (ocen decyzj X obszar decyzj dopuszczalnych X R N N lczba zmennych decyzyjnych. Wspólną zmenną decyzyjną w zadanu globalnym jest stosunek płac realnych do 4 realnego. Przestrzeń decyzj A jest czterowymarowa ( A R. Obszar dopuszczalny w 3 przypadku analzy nflacj jest trójwymarowy ( X π R w przypadku analzy bezroboca R 1 X G R. Natomast dwuwymarowy ( X B a w zadanu globalnym jednowymarowy ( przestrzeń celu B jest dwuwymarowa ( Y R. Chcąc ocenć wpływ konkretnych decyzj na analzowane funkcje π B zdyskretyzowano obszar decyzj dopuszczalnych (rys. 1 przyporządkowując kolejne odpowadające sobe numery poszczególnym decyzjom ch ocenom. W zadanu nflacja bezroboce w wynku zbeżnych kryterów uzyskano ocenę domnującą y D. ytuację decyzyjną zadana nflacja bezroboce przy unormowanych funkcjach celu przedstawono na rysunku. H/ =6= =17=18 13=14=15 10=11=1 =3=4 7=8=9 19=0=1 w/ 4=5=6 5=x 5 =x D 1== =x 5 =x D 0.8 5=7=16 4=13= 1=10= =17=6 =11=0 5=14=3 9=18=7 3=1=1 6=15=4 /Z Rysunek 1. Obszar decyzj dopuszczalnych X zbór decyzj nezdomnowanych X problemu nflacja konsumpcja Źródło: opracowane własne. Decyzja domnująca posada jednoznaczne najlepsze oceny analzowanych funkcj.

5 Optymalzacja welokryteralna w probleme nflacja-bezroboce 49 Jednak w gospodarce ne mus to oznaczać realzacj takej właśne strateg. Ponadto przyjęty model cechują odchylena e na baze których można określć mękke oceny decyzj (y R. W mękkm zadanu optymalzacj w zależnośc od parametrów rozmyca zblżone efekty powodowane mogą być przez różne decyzje. tąd potrzeba określena decyzj dających oceny lokalne nezdomnowane. Inflacja unormowana =y D Bezroboce unormowane Rysunek. Zbór ocen twardych problemu nflacja bezroboce Źródło: opracowane własne. W celu wyznaczena ocen nezdomnowanych sformułowano zadane satysfakcj. Ogólne poszukuje sę w nm rozwązana satysfakcjonującego x to znaczy takego dla którego funkcja celu osąga wartość mnejszą w przypadku mnmalzacj fukcj celu f od wartośc zadowalającej f (rys. 3. a jedna zmenna decyzyjna N = 1 b dwe zmenne decyzyjne N = f f f < f x X x X X x x f=const. f=f x f x 0 x x x f x 1 x 1 x 1 Rysunek 3. Rozwązane satysfakcjonujące x zadana optymalzacj Źródło: opracowane własne. W zadanach welokryteralnych wyróżnć można słabe mocne zadane satysfakcj. W słabym zadanu satysfakcj przy mnmalzacj j-tej f j wystarczy wyznaczyć dowolne rozwązane (rys. 4 x X = {x R N : g 0 h = 0 [f j f j ]} gdze g h są funkcjam ogranczeń. Natomast w mocnym zadanu satysfakcj generuje sę I rozwązań

6 50 Wesława Bogusławska x X X dla których określa sę satysfakcjonujące oceny nezdomnowane y k k 1K K I odpowadające m rozwązana nezdomnowane x k ze zboru Y X Y (rys. 5. Następne wybera sę jedną ocenę preferowaną y p odpowadające jej rozwązane preferowane x p. Przyjęte pozomy warunków satysfakcj f j mają bezpośredn wpływ na właścwośc zborów X s Y s oraz na cechy ocen rozwązań satysfakcjonujących. x X f =f f y 1 * Y 1 y nad X y Y 1 y Y f f x X = y = f Y Y = Y 1 Y y Y Y X 1 mn f y d y * f x 1 mn Rysunek 4. Rozwązane x ocena satysfakcjonująca y zadana poloptymalzacj Źródło: opracowane własne. a b c f f Y y 1 * y d Y Y f y Y Y k y Y y * x = X X f f f =f y D Y Y f Y x 1 Rysunek 5. Mocne zadane satysfakcj przy rozbeżnych kooperacyjnych funkcjach celu Źródło: opracowane własne. Najczęścej ocena zadowalająca leży mędzy zborem nezdomnowanym Y a punktem Nadra y nad (rys. 4. W takej sytuacj pozom warunków f j zapewnany jest przez wskazane jako satysfakcjonującego dowolnego rozwązana z obszaru satysfakcj X. Zazwyczaj jednak zaostrza sę warunk satysfakcj określając wartośc f j dla najlepszego stnejącego rozwązana. Poszukwane jest wówczas rozwązane lepsze od stosowanych dotychczas a dyskretne zbory satysfakcj X Y zawerają od klku do klkudzesęcu punktów 5 rys. 5. W analzowanym zadanu obszar satysfakcj Y został wyznaczony za pomocą zadowalających przyjętych arbtralne dla gospodark polskej w 004 roku wartośc funkcj nflacj =.0% bezroboca f = 16.0%. Zbór ocen satysfakcj dla problemu został 5 W.M. Paczkowsk Wybrane problemy dyskretnej optymalzacj ewolucyjnej P zczecn 1999 Prace Naukowe P nr 544 s. 140.

7 pokazany na rysunku 6. Optymalzacja welokryteralna w probleme nflacja-bezroboce 51 Inflacja unormowana y d Y L 5= y D Y y L f 6 f B = % π =. 0 % Bezroboce unormowane Rysunek 6. Zbór ocen satysfakcj problemu nflacja bezroboce Źródło: opracowane własne. W słabym zadanu satysfakcj ocena zadowalająca f jest położona wewnątrz zboru ocen Y. Jest ną każda ocena należąca do obszaru satysfakcj Y. W przypadku zadana nflacja bezroboce są to oceny y 4 y 7 y 8 y 13 y 16 y 17 y y 6. Z kole elementy k nezdomnowane y zboru Y Y mocnego zadana satysfakcj są położone na brzegu zboru ocen rozwązań y k Y. ą nm oceny y 16 y y 6 (rys. 6. pośród tych ocen na podstawe dodatkowego kryterum poszukwana jest ocena preferowana. Wyboru decyzj preferowanej dokonano metodą TOPI 6. W metodze TOPI poszukuje sę oceny położonej najblżej punktu dealnego y d ale równocześne jak najdalej od punktu antydealnego d ( d pt = ft y Mn gdze dd = y yd d I y Y dd+ d a = y ya. a Przyjmuje sę tu zamast lnowej wektorową normalzację wartośc kryterów ( ( 0 f j x y j =. f x [ j ( ] W sytuacj gdy dwa waranty są jednakowo odległe od rozwązana dealnego preferowane jest rozwązane bardzej odległe od rozwązana antydealnego. Decyzja preferowana x p t określona jest na podstawe wyznaczonej oceny 1 preferowanej y p t jako jej przecwobraz x p t = f ( yp t. Poneważ odwzorowane y = f( x jest surjekcją czyl może być wzajemne nejednoznaczne należy odpowedno kontrolować proces poszukwana przecwobrazu oceny y w zborze decyzj dopuszczalnych X. p t ya 6 Tamże s

8 5 Wesława Bogusławska Z wartośc funkcj ( f t y wynka że ocena 16 jednocześne najdalej od oceny antydealnej y położona jest najblżej oceny dealnej y d y a. Ocena ta odpowada decyzj preferowanej [ H/ w/ /Z ] T = [ ] T x pd =. Poddając weryfkacj zbór ocen zauważyć można że w gospodarce polskej utrzymując relację płac realnych do na takm pozome aby relacja ta ne przekraczała 100 czyl aby dynamka przyrostu płac realnych ne przewyższała dynamk w następnych okresach stopa nflacj jak bezroboca będą ulegały obnżenu. Dodatkowo procesy nflacyjne wykazywać będą jeszcze wększą tendencję spadkową a nawet pojawene sę deflacj gdy relacja penądza gotówkowego do utrzymywana będze na dotychczasowym pozome to jest 0. Dlatego też obnżene podstawowych stóp procentowych o około 15 pkt.% ne pownno w najblższym okrese stanowć zagrożena dla procesów nflacyjnych. Wpłynąć natomast pownny na wzrost popytu globalnego doprowadzć do wzrostu którego sła oddzaływana na welkość zatrudnena ne pownna być już znoszona w takm stopnu jak dotychczas przez wzrost produktywnośc. Dlatego też w 004 roku stopa bezroboca pownna zacząć sę obnżać. W przypadku poszukwana oceny preferowanej zamast metody TOPI można zastosować metodę leksykografczną 7. Metoda ta zakłada przyjęce przez decydenta preferencj (j= 1...J: z dwóch decyzj x 1 x lepsza jest ta która zapewna wyższy stopeń realzacj celu najważnejszego (j=1. Jeśl obe decyzje realzują go w jednakowym stopnu to lepsza jest ta która zapewna wyższy stopeń realzacj kolejnej funkcj celu (j=. Proces powtarza sę aż do otrzymana jednoelementowego zboru X j j J. Poneważ w przypadku gospodark polskej najstotnejszą w obecnych warunkach jest funkcja bezroboca stąd stanow ona cel najważnejszy. W wynku przyjętego celu oceną preferowaną wyznaczoną według metody leksykografcznej jest tak jak w zadanu satysfakcj ocena y 16. Poneważ w przypadku stosowana optymalzacj leksykografcznej ne jest wymagana znajomość zborów ocen rozwązań nezdomnowanych stąd w sytuacj otrzymana oceny zdomnowanej lepej jest stosować metodę leksykografczną nż metodę satysfakcj. Należałoby jednak w tym przypadku zastanowć sę czy ne lepej jest stosować optymalzację jednokryteralną? Zadane take jest bowem prostsze w formułowanu rozwązywanu a wynk jest dentyczny. Za stosowanem metody leksykografcznej przemawa jednak fakt że w porównanu z zadanem jednokryteralnym oceny welokryteralne stneją można łatwo wrócć do zagadnena welokryteralnego. Aby zatem zadane poloptymalzacj ne upraszczało sę do zadana jednokryteralnego wprowadzć można modyfkację polegającą na nadanu poszczególnym funkcjom celu dozwolonych np. dzesęcoprocentowych odchyleń od wartośc optymalnej. 4. Uwag końcowe Przedstawony sposób postępowana ukazuje możlwość zbudowana zależnośc funkcyjnych odzwercedlających pewne zjawska ekonomczne. Na ch podstawe można przewdzeć jak zachowywać sę będze gospodarka jeżel podjęta zostane określona stratega decyzyjna. Rząd oraz wojewodowe jako podmoty regulujące procesam gospodarczym regonów kraju wykorzystując odpowedne aparaty narzędz mogą pośredno oddzaływać mnej lub bardzej znacząco na poszczególne ekonomczne welkośc. Proces podejmowana decyzj gospodarczych jest cągły. Należy węc dla określonych decyzj 7 P.Fshburn Lexcographc orders utltes and decson rules w: Management cence Vol s ; A.Ameljańczyk Optymalzacja welokryteralna w problemach sterowana zarządzana Ossolneum Wrocław 1984 s ; W.M.Paczkowsk Wybrane problemy dyskretnej optymalzacj ewolucyjnej P zczecn 1999 Prace Naukowe P nr 544 s. 89.

9 Optymalzacja welokryteralna w probleme nflacja-bezroboce 53 wybrać odpowedną perspektywę czasową w zależnośc od potrzeb w sposób dynamczny modyfkować postać aktywnych funkcj celu optymalzacj. formułowane welokryteralne w procesach podejmowana decyzj ekonomcznych może prowadzć do znaczne lepszych rozwązań nż w przypadku tradycyjnych procesów decyzyjnych.