Regresja liniowa i nieliniowa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Regresja liniowa i nieliniowa"

Transkrypt

1 Metody prognozowana: Regresja lnowa nelnowa Dr nż. Sebastan Skoczypec

2

3

4

5

6

7

8 Zmenna losowa Zmenna losowa X zmenna, która w wynku pewnego dośwadczena przyjmuje z pewnym prawdopodobeństwem wartość z określonego zboru Zmenną losową X nazywamy dyskretną (skokową), jeżel zbór wartośc zmennej X jest zborem skończonym lub przelczalnym (cąg lczbowy). Zmenną losową X nazywamy cągłą, jeżel zbór wartośc zmennej X można przedstawć jako przedzał lczbowy. Rozkładem zmennej losowej skokowej (funkcją rozkładu prawdopodobeństwa) nazywamy funkcję prawdopodobeństwa, która każdej realzacj zmennej X przyporządkowuje określone prawdopodobeństwo: dla p>=0 gdze: P(X=x) prawdopodobeństwo, że zmenna X przyjme wartość x, = p 1 = 1 Dystrybuantą zmennej losowej X nazywamy funkcję F(x) dla wszystkch lczb rzeczywstych o postac 0 dla x< x1 F ( x) = P( X x) = p p1 dla x1 x< x2 x x F( x) = p1 + p2 dla x2 x< x3 M 1 dla x x 1 Zmenna losowa skokowa P ( X = x ) = p

9 Funkcją gęstośc prawdopodobeństwa zmennej losowej cągłej nazywamy funkcję f(x), określoną na zborze lczb rzeczywstych, spełnającą warunk: dla dla dowolnych a < b Zmenna losowa cągła b f ( x) 0 f ( x) dx = P( a X b) = P( a < X < b) a p = 1 = 1 f ( x) dx = 1 f ( x) dx = 1 P( X = a) = 0 b a Dystrybuantą zmennej losowej X cągłej nazwyamy funkcję: x f F ( x) = P( X < x) = ( t) dt P ( X < x1 ) = F( x1 ) P( x2 < X < x3) = F( x3) F( x2 ) P( X > x4 ) = 1 F( x4 )

10

11 Wprowadzene Metody Prognozowana: Jakość prognoz 21 Wprowadzene Korelacja: rodzaj zależnośc pomędzy zmennym losowym, z których każda wyznaczona jest przez pewną cechę, ze względu na którą bada sę dano populację. Regresja: sprowadzene zagadnena współzależnośc zmennych losowych do zależnośc funkcyjnej. Na podstawe wynków badań dośwadczalnych wyznacza sę zależność pomędzy zmennym losowym, najczęścej w forme tzw. równana regresj, które przedstawa charakter zwązków pomędzy czynnkam wejścowym wynkowym. Z matematycznego punktu wdzena, regresją nazywamy dowolną metodę statystyczną pozwalającą estymować warunkową wartość oczekwaną zmennej losowej, zwanej zmenną objaśnaną, dla zadanych wartośc nnej zmennej lub wektora zmennych losowych (tzw. zmennych objaśnających). Metody Prognozowana: Jakość prognoz 22

12 Wprowadzene W zapse formalnym model przybera postać: Y = f(x,β) + ε lub Y = f(x+ ε X,β) + ε gdze: X wektor zmennych objaśnających Y zmenna objaśnana β - wektor współczynnków regresj f(x,β) funkcja regresj ε, ε X - błąd losowy Metody Prognozowana: Jakość prognoz 24

13 Wprowadzene Celem konstrukcj modelu jest przyblżene neznanej funkcj f przez jej estymator. Sprowadza sę to do takego wyznaczena wektora współczynnków β, aby zmnmalzować w zborze uczącym funkcję straty. L(f, f) = f( (a,b)) Zwykle jako marę błędów stosuje sę sumę kwadratów różnc (błędów regresj): (a,b) = (a-b) 2 wówczas oblczena są najprostsze - dopasowane modelu sprowadza sę do zastosowana prostej matematyczne metody najmnejszych kwadratów (MNK). Metody Prognozowana: Jakość prognoz 25

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28 Stosunek korelacyjny Współczynnk korelacj r ne jest czuły na zależnośc krzywolnowe. Gdy zależność mędzy dwoma zmennym jest nelnowa, wówczas mara koncentracj wynków pomarów względem krzywej regresj może być tzw. stosunek korelacyjny: η x y = 1 k j= 1 ( m j 1) S ( n 1) S 2 x y 2 y j 2 2 gdze: k lczba przedzałów, S x y j m j lość punktów w j przedzale - warancja dla j przedzału, Metody Prognozowana: Jakość prognoz 56

29 Stosunek korelacyjny Stosunek korelacyjny: określa stosunek pomędzy dwoma zmennym, których zależność przyczynowo skutkowa jest określona (x zależy od y). Jeżel zależność ta ne jest znana to należy określć η x y. η x y = 0: brak koleralcj mędzy badanym zmennym (tzn. brak zależnośc zmennej y od x) η x y = 1: zależność pomędzy x y jest funkcyjna η x y = r x y : zależność lnowa Metody Prognozowana: Jakość prognoz 57 Charakter relacj Współczynnk korelacj lnowej Stosunek korelacj Zależność mędzy zmennym x y r x y =±1 - funkcyjna lnowa r x y =0 η x y =1 funkcja krzywolnowa r x y =0 η x y =0 brak korelacj r x y =0 η x y <1 r x y =η x y - korelacja krzywolnowa dokładna korelacja lnowa r x y >0 η x y <1 korelacja lnowa Metody Prognozowana: Jakość prognoz 58

30

31 Estymacja parametrów w modelu (2) ε gdze (y, x ) oznacza elementy próby losowej. Estymacja parametrów w modelu (3) Każdą obserwację empryczną można zapsać jako: y = b + a x +ε. Problem estymacj sprowadza sę do wyznaczena mnumum funkcj s danej wzorem. 2 s ( a, b ) = ε n = 1 = n [ y ( b + a x )] = 1 2

32 Funkcja s jest funkcją dwóch newadomych (a b), aby znaleźć mnmum tej funkcj musmy wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcj s względem obu newadomych: przyrównać te pochodne do zera. Estymacja parametr Estymacja parametrów modelu (4) w modelu (4) = = = = n a n b x a b y x s x a b y s 1 1 ) ( 2 ' ) ( 2 ' Otrzymujemy układ równań postac: Estymacja parametr Estymacja parametrów modelu (5) w modelu (5) = = = = 0 ) ˆ ˆ ( 0 ) ˆ ˆ ( 1 1 n n x a b y x x a b y x xy x x x x y y a n n var cov ) ( ) )( ( ˆ = = = = x a y b = ˆ ˆ Rozwązując mamy: cov xy (kowarancja ) - lczba określająca zależność lnową mędzy zmennym losowym x y. var x (warancja) mara zmennośc zwązana ze zróżncowanem zboru

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46 Lnearyzacja modelu regresj welomanowej 1 1 y = ; u = x, v = a + bx x x 1 1 y = ; u =, v = a + bx x y y = ax b + c; u = lg x, v = lg( y c) y = ae y = ae bx b x ; u = x, v = lg y 1 ; u =, v = lg y x y = alg x + b; u = lg x, v = y y = ax α ; u = lg x, v = lg y

47 Użyce regresj: 1.konstruowane modelu - budowa tzw. modelu regresyjnego, czyl funkcj, opsującej jak zależy wartość oczekwana zmennej objaśnającej od zmennych objaśnanych. Funkcja ta może być zadana: ne tylko czystym wzorem matematycznym, ale także całym algorytmem, np. w postac drzewa regresyjnego, sec neuronowej, tp. Model konstruuje sę tak, aby jak najlepej pasował do danych z próby, zawerającej zarówno zmenne objaśnające, jak objaśnane (tzw. zbór uczący). Metody Prognozowana: Jakość prognoz 94

48 2. Wylczane regresj (stosowane modelu, scorng) użyce wylczonego modelu do danych w których znamy tylko zmenne objaśnające (wejścowe), w celu wyznaczena wartośc oczekwanej zmennej objaśnanej. Metody Prognozowana: Jakość prognoz 95

49 Należy y sprawdzć 1) Adekwatność funkcj - czy funkcja jest odpowedna dla badana ch zmennych X,Y 2) Istotność parametrów funkcj - mów nam, w jakm stopnu, w lu procentach można zawerzyć ch warygodnośc ( czy w ogóle). α /2 1 -α α /2 Pozomem stotnośc nazywamy przyjęte prawdopodobeństwo pomyłk w trakce oceny stotnośc parametru Werykacja adekwatnoc funkcj: test F t n,α t n,α weryfkacja stotnośc współczynnków funkcj obektu - test t Studenta. Weryfkacja adekwatnośc modelu obektu Model obektu opsuje jego właścwośc zachowane tylko w przyblżenu. Spowodowane jest to nedokładnoścą wyznaczena parametrów modelu oraz neadekwatnoścą struktury modelu. Na nedokładność wyznaczena parametrów modelu mają wpływ następujące czynnk: - błędy przyjętej metody dentyfkacj parametrów modelu, - błędy oblczeń numerycznych, - błędy danych użytych do dentyfkacj parametrów modelu. Neadekwatność struktury modelu wynka natomast z trzech czynnków: - pomnęca wśród welkośc modelujących obekt, czynnków stotnych dla przebegu zjawsk w obekce, -newłaścwą specyfkacją welkośc modelujących obekt, -przyjęcem newłaścwego typu równana modelu.

50 Weryfkacja adekwatnosc modelu Model obektu opsuje jego właścwośc zachowane tylko w przyblżenu. Spowodowane jest to: nedokładnoścą wyznaczena parametrów modelu neadekwatnoścą struktury modelu. Na nedokładność wyznaczena parametrów modelu mają wpływ następujące czynnk: - błędy przyjętej metody dentyfkacj parametrów modelu, - błędy oblczeń numerycznych, - błędy danych użytych do dentyfkacj parametrów modelu. Weryfkacja adekwatnosc modelu Neadekwatność struktury modelu wynka natomast z trzech czynnków: pomnęca wśród welkośc modelujących obekt, czynnków stotnych dla przebegu zjawsk w obekce, newłaścwą specyfkacją welkośc modelujących obekt przyjęcem newłaścwego typu równana modelu. Metody Prognozowana: Jakość prognoz 100

51 Weryfkacja adekwatnosc modelu Oceny adekwatnośc modelu dokonuje sę na dwa sposoby: 1)Perwsza metoda polega oblczenu wartośc błędu aproksymacj wybraną funkcją f porównanu jej z pewną arbtralne wybraną wartoścą dopuszczalną e d. Jeśl oblczona wartość błędu e max jest mnejsza od e d wówczas uznaje sę wyznaczony model za adekwatny. 2)Zastosowane statystycznego testu stotnośc testu F (Snedecora) Metody Prognozowana: Jakość prognoz 101 Weryfkacja adekwatnosc modelu Defncje błędów aproksymacj: maksymalny bezwzględny błąd aproksymacj: maksymalny błąd względny: błąd średnokwadratowy: Metody Prognozowana: Jakość prognoz 102

52

53

54 Hpotezą statystyczną nazywamy: każde przypuszczene dotyczące neznanego rozkładu badanej cechy populacj, o prawdzwośc lub fałszywośc którego wnoskuje sę na podstawe badanej próbk. Przy weryfkacj hpotez postępuje sę w ten sposób, że oprócz weryfkowanej hpotezy zwanej hpotezą zerową wyróżna sę jeszcze nną hpotezę K, która najczęścej wynka z celu badana statystycznego, zwaną hpotezą alternatywną. W celu weryfkacj hpotezy budujemy funkcję opartą na próbe (najlepej próbe losowej prostej) δ(x 1,...,X n ) zwaną statystyką testową. Przy poberanu różnych próbek, nawet o tej samej lcznośc n funkcja ta przyjmuje na ogół różne wartośc, z których jedne będąśwadczyły o prawdzwośc weryfkowanej hpotezy a nne będą ją odrzucały. Naturalnym zatem jest podzelene zboru wszystkch wartośc, które może przyjąć statystyka testowa na dwa dopełnające sę zbory W W, take że: Zbór W nazywamy zborem krytycznym, zaś zbór W zborem przyjęć.

55 Weryfkacja adekwatnosc modelu Testu stotnośc test F (Snedecora): Weryfkacja sę statystyczne hpotezy poprzez porównane warancję błędów aproksymacj (warancję adekwatnośc) σ a2 z warancją nedokładnośc pomarów welkośc wyjścowej σ 2. Przyjmuje sę następujące hpotezy: 1) hpoteza zerowa H0: σ a2 = σ 2 oznaczająca, ż model jest adekwatny, 2) hpoteza alternatywna: H1: σ a2 > σ 2 oznaczająca, ż model ne jest adekwatny. Metody Prognozowana: Jakość prognoz 109 Weryfkacja adekwatnosc modelu Procedura weryfkacj statystycznej dla jednakowej lczby powtórzeń r we wszystkch układach planu eksperymentu jest następująca: a)oblcza sę wartość funkcj testowej: b)na podstawe rozkładu F (Snedecora) odczytuje sę z tablcy statystycznej wartość krytyczną F α, f 2, f 1 odpowadającą założonemu pozomow ufnośc α. c) Sprawdza sę warunek F F α, f 2, f 1. Jeśl warunek jest spełnony wówczas ne ma podstaw do odrzucena hpotezy zerowej przyjmuje sę, że model jest adekwatny. W przecwnym raze prawdzwa jest hpoteza alternatywna, czyl model ne jest adekwatny. Stwerdzene na podstawe jednej z wymenonych metod neadekwatnośc modelu obektu oznacza koneczność ponownego przeprowadzena aproksymacj funkcją o nnej postac lub zwększene lczby pomarów dla każdego układu planu dośwadczena. Metody Prognozowana: Jakość prognoz 110

56 Regresja weloraka (1) Dotychczas rozpatrywalśmy tylko dwe zmenne: Y X. Częścej mamy do czynena z przypadkam w których jest zmenna losową Y oraz k zmennych X (stałych lub losowych). y + + b = m( x1,... xk ) = b0 + b1 x1 k x k Model regresj lnowej można równeż rozszerzyć w nny sposób, wprowadzając do nego jako sztuczne stworzone predyktory np. loczyny dwóch lub wększej lczby zmennych objaśnających. Pozwala to na uwzględnene tzw. nterakcj pomędzy zmennym, czyl zmany sły wpływu jednej ze zmennych przy różnych wartoścach nnej zmennej.

57 Regresja weloraka (2) Współczynnk korelacj welorakej: R = n = 1 n ( yˆ y) ( y ) y = y empryczna wartość -tego czynnka wynkowego, n lość pomarów, y - wartość średna -tego czynnka wynkowego ŷ - wartość -tego czynnka wynkowego oblczona z r. regresj Regresja weloraka (3) Współczynnk R można też oblczyć na podstawe: R = 2 y x r + r 2 y z ry xry zrx z 2 1 ry x gdze: r y x, r y z, r x z współczynnk korelacj lnowej pomędzy poszczególnym czynnkam. Im R blższe 1 tym wernejsze odwzorowane zmennośc cech badanych przez lnowa funkcję regresj welorakej.

58 Regresja weloraka (4) Współczynnk modelu b 1,..., b k będzemy nazywamy cząstkowym współczynnkam regresj. y = b + b x + + b x + e j j k kj j Kryterum estymacj: należy tak dobrać parametry modelu, aby suma kwadratów odchyleń od modelu była jak najmnejsza: 2 j ( j j k kj ) s = e = y b b x b x = mn j j 2 Badane stotnośc regresj welokrotnej Hpotezę o nestotnośc regresj welokrotnej możemy zapsać jako: H 0 : b 1 = b 2 = = b k = 0 jej weryfkacja testem F Fshera-Snedecora. Sumy kwadratów odchyleń średne kwadraty potrzebne do zweryfkowana hpotezy o stotnośc regresj mogą być wyznaczone z nżej podanych wzorów: SS SSR = b $ cov x y MSR = k SSE SSE = var y b$ cov x y MSE = n k 1 R

59 Badane stotnośc regresj welokrotnej Hpotezę H 0 : b 1 = b 2 = = b k = 0 odrzucamy gdy F R > F k n k α,, 1 Odrzucene hpotezy H 0 jest równoznaczne z tym, że co najmnej jeden współczynnk regresj jest różny od zera; tzn. stneje zwązek funkcyjny lnowy mędzy zmenną zależną a zmennym nezależnym. Problem statystyczny: które zmenne nezależne pownny pozostać w modelu regresj. Weryfkacja stotno stotnośc współczynnk czynnków regresj (2) Charakteryzując obekt badań przyjmuje sę określoną lczbę zmennych wejścowych. Ne ma jednak pewnośc czy wszystke zdefnowane zmenne wejścowe mają wpływ na dzałane obektu. Stwerdzene braku skorelowana określonej zmennej wejścowej x k ze zmenną wyjścową y umożlwa uproszczene modelu badań poprzez usunęce zmennej x k. Dzałane take jest uzasadnone główne ze względów ekonomcznych, gdyż prostszy model oznacza mnejszą lość sprzętu techncznego ne-zbędnego do przeprowadzena pomarów oraz uproszczene oblczeń matematycznych.

60 Weryfkacja stotno stotnośc współczynnk czynnków regresj (2) Informacja o wpływe kolejnych welkośc wejścowych x k na welkość wyjścową y jest ukryta w wartoścach współczynnków funkcj aproksymującej. Przykładowo: jeśl wszystke współczynnk przy x 2 wynoszą zero tzn. a 2 = a 22 = a 12 = 0 wówczas można stwerdzć, że welkość wyjścowa y ne zależy od welkośc wejścowej x 2. Gdyby natomast współczynnk przy x 2 wynosły: a 22 = a 12 = 0 oraz a 2 0 wówczas można wycągnąć wnosek, że welkość x 2 wpływa na welkość wyjścową, ale tylko lnowo. Weryfkacja stotno stotnośc współczynnk czynnków regresj (2) Analza współczynnków funkcj aproksymującej jest bardzo stotna dla realzatora badań, który uzyskuje w ten sposób stotne nformacje o sposobe dzałana obektu. Analza ta nos nazwę weryfkacj stotnośc współczynnków funkcj aproksymującej. Realzowana jest w oparcu o test t- Studenta oraz ocenę wartośc kowarancj wszystkch par współczynnków {a, a j } funkcj aproksymującej f( ). Wykryce nestotnych współczynnków funkcj aproksymującej na podstawe testu t-studenta lub ch wzajemnego skorelowana (nezerowej wartośc kowarancj) wskazuje na koneczność uproszczena modelu. Po wyznaczenu funkcj aproksymującej należy ponowne przeprowadzć weryfkację jej adekwatnośc. Dopero pozytywne przejśce tej weryfkacj jest podstawą elmnacj nestotnych współczynnków.

61 Weryfkacja hpotez o stotnośc cząstkowych współczynnk czynnków regresj Problem sprowadza sę do zweryfkowana ser k hpotez zerowych mówących o tym, że -ty cząstkowy współczynnk regresj jest równy zero. Hpotezy te mogą być weryfkowane testem t-studenta Weryfkacja hpotez H 0 : b = 0 Wyrażene s 2 y/ x,... x 1 k = var y b$ cov x y n k 1 jest oszacowanem średnego kwadratu odchyleń od regresj. Przy prawdzwośc hpotez zerowych tak określone statystyk mają rozkład t-studenta z lczbą stopn swobody równą n-k-1

62 Hpotezę H 0 : b = 0 będzemy odrzucać, jeżel wartość statystyk t znajdze sę w obszarze krytycznym. Jeżel zmenne nezależne są z sobą powązane to oceny stotnośc cząstkowych współczynnków regresj ne są nezależne. Problem doboru zmennych W przypadku stnena slnych współzależnośc mędzy zmennym nezależnym analzując funkcję regresj welokrotnej dochodzmy do wnosku, że jest ona stotna statystyczne (testem F). Weryfkując dalej hpotezy o stotnośc cząstkowych współczynnków uzyskujemy wartośc testu t Studenta, które ne przeczą hpotezom zerowym. Czyl mamy stotną funkcję regresj ale wszystke zmenne (analzowane oddzelne) są nestotne, pownny węc być usunęte z modelu. Zaczynamy od pełnego zestawu potencjalnych zmennych nezależnych, a następne kolejno usuwamy z modelu tę zmenną nezależną, której rola w opsywanu zależnośc mędzy zmenną Y a zmennym nezależnym jest najmnejsza. Podejśce take nos nazwę regresj krokowej.

63 Regresja nelnowa (1) W welu przypadkach nteresuje nas nelnowy zwązek mędzy zmenną Y a zmenną X Właścwe Estymację nelnową możemy traktować jako uogólnene metod lnowych. W przypadku Estymacj nelnowej sam decydujemy o określenu natury tego zwązku; na przykład możemy przyjąć, że zmenna zależna ma być funkcją: logarytmczną zmennej nezależnej (zmennych nezależnych) funkcją wykładnczą funkcją pewnego założonego lorazu zmennych nezależnych td. Regresa nelnowa (2) Współczynnk regresj: -ty, cząstkowy współczynnk regresj opsuje o le średno zmen sę wartość zmennej Y przy wzrośce -tej wartośc zmennej X o jednostkę przy ustalonych wartoścach pozostałych zmennych nezależnych. W przypadku wększośc model regresj nelnowej taka nterpretracja ne jest możlwa. Jeśl dopuszczamy dowolny typ zależnośc mędzy zmennym nezależnym a zmenną zależną, pojawają sę dwa pytana, po perwsze, jake rodzaje zależnośc "mają sens", to znaczy, jak można je w znaczący sposób znterpretować? Zależność nelnowa ne daje sę zwykle tak łatwo znterpretować zwerbalzować. Po druge, jak dokładne oblczyć zależność, to znaczy jak wywnoskować, czy faktyczne występuje zależność nelnowa taka, jakej oczekwalśmy?

64 Współczynnk determnacj Wyrażene to nazywamy współczynnkem determnacj. Informuje: n 2 = 1 y x = n r = 1 ( x x) ( x x) r 2 <0; 1> ( y y) ( y y) jaka część zmennośc całkowtej zmennej losowej Y została wyjaśnona regresją lnową względem X

65 Weryfkacja hpotezy o stotnośc korelacj Założymy, że rozkład zmennych losowych Y X w populacj generalnej jest normalny. Na podstawe n - elementowej próby chcemy zweryfkować hpotezę, że zmenne te są lnowo nezależne: H 0 0 :ρ = wobec H 1 :ρ 0 Jeżel H 0 jest prawdzwa, to statystyka: t = r 1 r 2 n 2 ma rozkład t Studenta z lczbą stopn swobody v = n 2. Hpoteza o stotnośc korelacj może być także zweryfkowana poprzez porównane wyznaczonego współczynnka z próby z wartoścam krytycznym współczynnka korelacj welokrotnej Pearsona. r > Rα, k, n k 1 Weryfkacja hpotezy o stotnośc regresj Weryfkacj hpotezy o stotnośc regresj testem F Fshera-Snedecora. Analza warancj ma postać Zmenność df SS M.S F emp. F α Regresj 1 n 2 MS F SS = R R R ( yˆ y) Odchyleń n-2 SS E MS E F α,1,n-2 = 1 Całkowta n-1 ( ) SS = y y = var y T n = 1 2

66 Przedzał ufnośc dla wartośc modelu Dla regresj lnowej statystyka: m$( x) m( x) t = S m $ ( x ) ma rozkład t Studenta z lczbą stopn swobody n - 2. Na tej podstawe możemy wyznaczyć przedzał ufnośc dla wartośc z modelu: m x) < mˆ ( x) t, n 2Smˆ ( x) ; mˆ ( x) + t, n 2Smˆ ( x) > ( α α

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Dobór zmiennych objaśniających

Dobór zmiennych objaśniających Dobór zmennych objaśnających Metoda grafowa: Należy tak rozpąć graf na werzchołkach opsujących poszczególne zmenne, aby występowały w nm wyłączne łuk symbolzujące stotne korelacje pomędzy zmennym opsującym.

Bardziej szczegółowo

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np. Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X

( ) ( ) 2. Zadanie 1. są niezależnymi zmiennymi losowymi o. oraz. rozkładach normalnych, przy czym EX. i σ są nieznane. 1 Niech X Prawdopodobeństwo statystyka.. r. Zadane. Zakładamy, że,,,,, 5 są nezależnym zmennym losowym o rozkładach normalnych, przy czym E = μ Var = σ dla =,,, oraz E = μ Var = 3σ dla =,, 5. Parametry μ, μ σ są

Bardziej szczegółowo

65120/ / / /200

65120/ / / /200 . W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej Rachunek prawdopodobeństwa statstka W 11: Analz zależnoścpomędz zmennm losowm Model regresj welokrotnej Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Model regresj lnowej Model regresj lnowej prostej

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 2. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 2014 część 2 Katarzyna Lubnauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzanu Admr D. Aczel 2. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucjan Kowalsk. 4. Statystyka opsowa,

Bardziej szczegółowo

Parametry zmiennej losowej

Parametry zmiennej losowej Eonometra Ćwczena Powtórzene wadomośc ze statysty SS EK Defncja Zmenną losową X nazywamy funcję odwzorowującą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbór lczb rzeczywstych, taą że przecwobraz dowolnego zboru

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO ANALIZY KORELACJI I REGRESJI

WPROWADZENIE DO ANALIZY KORELACJI I REGRESJI WPROWADZENIE DO ANALIZY KORELACJI I REGRESJI dr Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. Prezentowany artykuł pośwęcony jest wybranym zagadnenom analzy korelacj regresj. Po przedstawenu najważnejszych

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

Metody predykcji analiza regresji

Metody predykcji analiza regresji Metody predykcj analza regresj TPD 008/009 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Przebeg wykładu. Predykcja z wykorzystanem analzy regresj.. Przypomnene wadomośc z poprzednch przedmotów..

Bardziej szczegółowo

Egzamin ze statystyki/ Studia Licencjackie Stacjonarne/ Termin I /czerwiec 2010

Egzamin ze statystyki/ Studia Licencjackie Stacjonarne/ Termin I /czerwiec 2010 Egzamn ze statystyk/ Studa Lcencjacke Stacjonarne/ Termn /czerwec 2010 Uwaga: Przy rozwązywanu zadań, jeśl to koneczne, naleŝy przyjąć pozom stotnośc 0,01 współczynnk ufnośc 0,99 Zadane 1 PonŜsze zestawene

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystya.05.00 r. Zadane Zmenna losowa X ma rozład wyładnczy o wartośc oczewanej, a zmenna losowa Y rozład wyładnczy o wartośc oczewanej. Obe zmenne są nezależne. Oblcz E( Y X + Y =

Bardziej szczegółowo

dy dx stąd w przybliżeniu: y

dy dx stąd w przybliżeniu: y Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA Wykład 4: Model ekonometryczny - dodatkowe zagadnienia

EKONOMETRIA Wykład 4: Model ekonometryczny - dodatkowe zagadnienia EKONOMETRIA Wykład 4: Model ekonometryczny - dodatkowe zagadnena dr Dorota Cołek Katedra Ekonometr Wydzał Zarządzana UG http://wzr.pl/dorota-colek/ dorota.colek@ug.edu.pl 1 Wpływ skalowana danych na MNK

Bardziej szczegółowo

Laboratorium ochrony danych

Laboratorium ochrony danych Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji liniowej oraz funkcja regresji liniowej dwóch zmiennych

Współczynnik korelacji liniowej oraz funkcja regresji liniowej dwóch zmiennych Współcznnk korelacj lnowej oraz funkcja regresj lnowej dwóch zmennch S S r, cov współcznnk determnacj R r Współcznnk ndetermnacj ϕ r Zarówno współcznnk determnacj jak ndetermnacj po przemnożenu przez 00

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 7 Analiza korelacji - współczynnik korelacji Pearsona Cel: ocena współzależności między dwiema zmiennymi ilościowymi Ocenia jedynie zależność liniową. r = cov(x,y

Bardziej szczegółowo

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji modele ekonometryczne

Analiza regresji modele ekonometryczne Analza regresj modele ekonometryczne Klasyczny model regresj lnowej - przypadek jednej zmennej objaśnającej. Rozpatrzmy klasyczne zagadnene zależnośc pomędzy konsumpcją a dochodam. Uważa sę, że: - zależność

Bardziej szczegółowo

Nieparametryczne Testy Istotności

Nieparametryczne Testy Istotności Neparametryczne Testy Istotnośc Wzory Neparametryczne testy stotnośc schemat postępowana punkt po punkce Formułujemy hpotezę główną odnoszącą sę do: zgodnośc populacj generalnej z jakmś rozkładem, lub:

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

Trzecie laboratoria komputerowe ze Staty Testy

Trzecie laboratoria komputerowe ze Staty Testy Trzece laboratora komputerowe ze Staty Testy Korzystać będzemy z danych dane_3.dta. Chcemy (jak zwykle ) oszacować model zarobków. Tym razem nteresująca nas postać modelu to: p0 = β + β pd0 + β pl08 +

Bardziej szczegółowo

Markowa. ZałoŜenia schematu Gaussa-

Markowa. ZałoŜenia schematu Gaussa- ZałoŜena scheatu Gaussa- Markowa I. Model jest nezennczy ze względu na obserwacje: f f f3... fl f, czyl y f (x, ε) II. Model jest lnowy względe paraetrów. y βo + β x +ε Funkcja a być lnowa względe paraetrów

Bardziej szczegółowo

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.

Bardziej szczegółowo

Klasyfkator lnowy Wstęp Klasyfkator lnowy jest najprostszym możlwym klasyfkatorem. Zakłada on lnową separację lnowy podzał dwóch klas mędzy sobą. Przedstawa to ponższy rysunek: 5 4 3 1 0-1 - -3-4 -5-5

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ

Współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności między dwiema cechami Oznaczenie: ϱ Własności współczynnika korelacji 1. Współczynnik korelacji jest liczbą niemianowaną 2. ϱ 1,

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania (lub wskazówki do rozwiązań) większości zadań ze skryptu STATYSTYKA: MATERIAŁY POMOCNICZE DO ZAJĘĆ oraz EGZAMINÓW Z LAT

Rozwiązania (lub wskazówki do rozwiązań) większości zadań ze skryptu STATYSTYKA: MATERIAŁY POMOCNICZE DO ZAJĘĆ oraz EGZAMINÓW Z LAT Rozwązana (lub wskazówk do rozwązań) wększośc zadań ze skryptu STATYSTYKA: MATERIAŁY POMOCNICZE DO ZAJĘĆ oraz EGZAMINÓW Z LAT 01-014 ZMIENNA LOSOWA I JEJ ROZKŁAD Zadane 1/ str. 4 a/ zmenna może przyjmować

Bardziej szczegółowo

Zjawiska masowe takie, które mogą wystąpid nieograniczoną ilośd razy. Wyrazów Obcych)

Zjawiska masowe takie, które mogą wystąpid nieograniczoną ilośd razy. Wyrazów Obcych) Statystyka - nauka zajmująca sę metodam badana przedmotów zjawsk w ch masowych przejawach ch loścową lub jakoścową analzą z punktu wdzena nauk, do której zakresu należą.

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych

Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Korelacja krzywoliniowa i współzależność cech niemierzalnych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

DIAGNOSTYKA WYMIENNIKÓW CIEPŁA Z UWIARYGODNIENIEM WYNIKÓW POMIARÓW EKPLOATACYJNYCH

DIAGNOSTYKA WYMIENNIKÓW CIEPŁA Z UWIARYGODNIENIEM WYNIKÓW POMIARÓW EKPLOATACYJNYCH RYNEK CIEŁA 03 DIANOSYKA YMIENNIKÓ CIEŁA Z UIARYODNIENIEM YNIKÓ OMIARÓ EKLOAACYJNYCH Autorzy: rof. dr hab. nż. Henryk Rusnowsk Dr nż. Adam Mlejsk Mgr nż. Marcn ls Nałęczów, 6-8 paźdzernka 03 SĘ Elementam

Bardziej szczegółowo

0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4

0 0,2 0, p 0,1 0,2 0,5 0, p 0,3 0,1 0,2 0,4 Zad. 1. Dana jest unkcja prawdopodobeństwa zmennej losowej X -5-1 3 8 p 1 1 c 1 Wyznaczyć: a. stałą c b. wykres unkcj prawdopodobeństwa jej hstogram c. dystrybuantę jej wykres d. prawdopodobeństwa: P (

Bardziej szczegółowo

METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów.

METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów. Opracowane: Dorota Mszczyńska METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównane obektów przy ocene welokryteralnej. Rankng obektów. Porównane wybranych obektów (warantów decyzyjnych) ze względu na różne cechy (krytera)

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

I. Elementy analizy matematycznej

I. Elementy analizy matematycznej WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI

ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI ĆWICZENIE 11 ANALIZA KORELACJI I REGRESJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Współczynnik korelacji liniowej definicja 3. Estymacja współczynnika korelacji 4. Testy istotności współczynnika korelacji

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

STATYSTYCZNA ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW Zakład Metrolog Systemów Pomarowych P o l t e c h n k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 4 60-965 POZAŃ (budynek Centrum Mechatronk, Bomechank anonżyner) www.zmsp.mt.put.poznan.pl tel. +48 61 665 5 70 fax

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp

Bardziej szczegółowo

Krzywa wieża w Pizie. SAS Data Step. Przykład (2) Wykład 13 Regresja liniowa

Krzywa wieża w Pizie. SAS Data Step. Przykład (2) Wykład 13 Regresja liniowa Bonformatyka - rozwój oferty edukacyjnej Unwersytetu Przyrodnczego we Wrocławu projekt realzowany w ramac Programu Operacyjnego Kaptał Ludzk współfnansowanego ze środków Europejskego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw

MATERIAŁY I STUDIA. Zeszyt nr 286. Analiza dyskryminacyjna i regresja logistyczna w procesie oceny zdolności kredytowej przedsiębiorstw MATERIAŁY I STUDIA Zeszyt nr 86 Analza dyskrymnacyjna regresja logstyczna w procese oceny zdolnośc kredytowej przedsęborstw Robert Jagełło Warszawa, 0 r. Wstęp Robert Jagełło Narodowy Bank Polsk. Składam

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając

Bardziej szczegółowo

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia, Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą

Bardziej szczegółowo

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

X WYKŁAD STATYSTYKA. 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 X WYKŁAD STATYSTYKA 14/05/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 10 ANALIZA KORELACJI Korelacja 1. Współczynnik korelacji 2. Kowariancja 3. Współczynnik korelacji liniowej definicja 4. Estymacja współczynnika

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka układów kombinacyjnych

Diagnostyka układów kombinacyjnych Dagnostyka układów kombnacyjnych 1. Wprowadzene Dagnostyka obejmuje: stwerdzene stanu układu, systemu lub ogólne sec logcznej. Jest to tzw. kontrola stanu wykrywająca czy dzałane sec ne jest zakłócane

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia Kolokwium 1 semestr 20/12/08. / 5 pkt. / 5 pkt. / 5 pkt. / 5 pkt. /20 pkt. Regulamin i informacje dodatkowe

Ekonometria ćwiczenia Kolokwium 1 semestr 20/12/08. / 5 pkt. / 5 pkt. / 5 pkt. / 5 pkt. /20 pkt. Regulamin i informacje dodatkowe Ekonometra IE Kolokwum 0/1/08 mę, nazwsko, nr ndeksu: Ekonometra ćwczena Kolokwum 1 semestr 0/1/08 Zadane 1 Zadane Zadane 3 Zadane 4 Razem / 5 pkt / 5 pkt / 5 pkt / 5 pkt /0 pkt Skala ocen: do 8,00 punktów

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

Regresja i Korelacja

Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja Regresja i Korelacja W przyrodzie często obserwujemy związek między kilkoma cechami, np.: drzewa grubsze są z reguły wyższe, drewno iglaste o węższych słojach ma większą gęstość, impregnowane

Bardziej szczegółowo

Analiza korelacji i regresji

Analiza korelacji i regresji Analza korelacj regresj Zad. Pewen zakład produkcyjny zatrudna pracownków fzycznych. Ich wydajność pracy (Y w szt./h) oraz mesęczne wynagrodzene (X w tys. zł) przedstawa ponższa tabela: Pracownk y x A

Bardziej szczegółowo

Opracowanie metody predykcji czasu życia baterii na obiekcie i oceny jej aktualnego stanu na podstawie analizy bieżących parametrów jej eksploatacji.

Opracowanie metody predykcji czasu życia baterii na obiekcie i oceny jej aktualnego stanu na podstawie analizy bieżących parametrów jej eksploatacji. Zakład Systemów Zaslana (Z-5) Opracowane nr 323/Z5 z pracy statutowej pt. Opracowane metody predykcj czasu życa bater na obekce oceny jej aktualnego stanu na podstawe analzy beżących parametrów jej eksploatacj.

Bardziej szczegółowo

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ Autor: Joanna Wójcik

System Przeciwdziałania Powstawaniu Bezrobocia na Terenach Słabo Zurbanizowanych SPRAWOZDANIE Z BADAŃ   Autor: Joanna Wójcik Opracowane w ramach projektu System Przecwdzałana Powstawanu Bezroboca na Terenach Słabo Zurbanzowanych ze środków Europejskego Funduszu Społecznego w ramach Incjatywy Wspólnotowej EQUAL PARTNERSTWO NA

Bardziej szczegółowo

Stosowana Analiza Regresji

Stosowana Analiza Regresji prostej Stosowana Wykład I 5 Października 2011 1 / 29 prostej Przykład Dane trees - wyniki pomiarów objętości (Volume), średnicy (Girth) i wysokości (Height) pni drzew. Interesuje nas zależność (o ile

Bardziej szczegółowo

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim 5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną

Bardziej szczegółowo

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00 Współczynnk przenkana cepła U v. 4.00 1 WYMAGANIA Maksymalne wartośc współczynnków przenkana cepła U dla ścan, stropów, stropodachów, oken drzw balkonowych podano w załącznku do Rozporządzena Mnstra Infrastruktury

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I

Wykład 2: Uczenie nadzorowane sieci neuronowych - I Wykład 2: Uczene nadzorowane sec neuronowych - I Algorytmy uczena sec neuronowych Na sposób dzałana sec ma wpływ e topologa oraz funkconowane poszczególnych neuronów. Z reguły topologę sec uznae sę za

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KORELACJI WYDATKÓW NA KULTURĘ Z BUDŻETU GMIN ORAZ WYKSZTAŁCENIA RADNYCH

ANALIZA KORELACJI WYDATKÓW NA KULTURĘ Z BUDŻETU GMIN ORAZ WYKSZTAŁCENIA RADNYCH Potr Mchalsk Węzeł Centralny OŻK-SB 25.12.2013 rok ANALIZA KORELACJI WYDATKÓW NA KULTURĘ Z BUDŻETU GMIN ORAZ WYKSZTAŁCENIA RADNYCH Celem ponższej analzy jest odpowedź na pytane: czy wykształcene radnych

Bardziej szczegółowo

Ekonometryczne modele nieliniowe

Ekonometryczne modele nieliniowe Ekonomeryczne modele nelnowe Wykład 5 Progowe modele regrej Leraura Hanen B. E. 997 Inference n TAR Model, Sude n Nonlnear Dynamc and Economerc,. Tek na rone nerneowej wykładu Dodakowa leraura Hanen B.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb

Bardziej szczegółowo

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm Marusz B. Bogack 1 Metody

Bardziej szczegółowo

WSKAŹNIK OCENY HIC SAMOCHODU OSOBOWEGO W ASPEKCIE BEZPIECZEŃSTWA RUCHU DROGOWEGO

WSKAŹNIK OCENY HIC SAMOCHODU OSOBOWEGO W ASPEKCIE BEZPIECZEŃSTWA RUCHU DROGOWEGO WSKAŹNIK OCENY SAMOCHODU OSOBOWEGO W ASPEKCIE BEZPIECZEŃSTWA RUCHU DROGOWEGO Dagmara KARBOWNICZEK 1, Kazmerz LEJDA, Ruch cała człoweka w samochodze podczas wypadku drogowego zależy od sztywnośc nadwoza

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13)

Analiza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13) Analiza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13) dr Mariusz Grządziel semestr letni 2012 Przykład wprowadzajacy W zbiorze danych homedata (z pakietu R-owskiego UsingR) można znaleźć ceny

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady

Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń Problem Przykłady Analiza wariancji w analizie regresji - weryfikacja prawdziwości przyjętego układu ograniczeń 1. Problem ozwaŝamy zjawisko (model): Y = β 1 X 1 X +...+ β k X k +Z Ηβ = w r Hipoteza alternatywna: Ηβ w r

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 ZESZYTY NAUKOWE NSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANE MASOWEGO MOMENTU BEZWŁADNOŚC WZGLĘDEM OS PODŁUŻNEJ DLA SAMOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWE WZORÓW DOŚWADCZALNYCH 1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

TEORIA PORTFELA MARKOWITZA

TEORIA PORTFELA MARKOWITZA TEORIA PORTFELA MARKOWITZA Izabela Balwerz 28 maj 2008 1 Wstęp Teora portfela została stworzona w 1952 roku przez amerykańskego ekonomstę Harry go Markowtza Opera sę ona na mnmalzacj ryzyka nwestycyjnego

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze

Wykłady Jacka Osiewalskiego. z Ekonometrii. CZĘŚĆ PIERWSZA: Modele Regresji. zebrane ku pouczeniu i przestrodze Wykłady Jacka Osewalskego z Ekonometr zebrane ku pouczenu przestrodze UWAGA!! (lstopad 003) to jest wersja neautoryzowana, spsana przeze mne dawno temu od tego czasu ne przejrzana; ma status wersj roboczej,

Bardziej szczegółowo